（追記） （初めに）
Q. 応募期間を過ぎたが、記事を修正しても審査対象になりますか？ A. 審査は締切時に公開された内容で行います。
運営ホームページより引用 誤字脱字や（内容を変えない）少しの文章の手直しなど、審査に影響しない範囲で修正を加えるかもしれません。まったく違う内容のものは、新しい章にして審査外で書いていきます。
＊＊＊
（本文始め）
本章で、いよいよ本丸に入ります。証明すべきことは
群の定義（復習） 空でない集合 G G G a , b , c a, b, c a , b , c ∗ * ∗ G G G a , b , c a, b, c a , b , c ∗ * ∗ G G G ∗ * ∗ 群 であるという。a ∗ b a*b a ∗ b G G G 交換法則 ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) (a*b)*c=a*(b*c) ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) a ∗ e = e ∗ a = a a*e=e*a=a a ∗ e = e ∗ a = a 単位元 e e e G G G a ∗ x = x ∗ a = e a*x=x*a=e a ∗ x = x ∗ a = e 逆元 x x x G G G
＊＊＊
(1) を満たすことを、集合 G \bm G G は演算 ∗ \bm * ∗ について閉じている といいます。演算の結果、集合 G G G 単位元 といいます。逆元 といいます。
逆元について新しい表記法 ここで新しい記号を導入します。G G G g g g g − 1 g^{-1} g − 1 G G G ∗ * ∗
g ∗ g − 1 = g − 1 ∗ g = e （単位元） \begin{align*}
g*g^{-1}=g^{-1}*g=e{\small（単位元）}
\end{align*} g ∗ g − 1 = g − 1 ∗ g = e （単位元）
を満たします。Z \mathbb{Z} Z + + + g = 3 g=3 g = 3
3 + ( − 3 ) = ( − 3 ) + 3 = 0 （単位元） \begin{align*}
3+(-3)=(-3)+3=0{\small（単位元）}
\end{align*} 3 + ( − 3 ) = ( − 3 ) + 3 = 0 （単位元）
より、g = 3 g=3 g = 3 g − 1 = − 3 g^{-1}=-3 g − 1 = − 3
３次対称群の要素における逆元 他にも例を上げます。３次対称群S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 }
i d = ( α β γ α β γ ) = I ρ 2 = ( α β γ γ α β ) = ( α γ β ) ρ 3 = ( α β γ β γ α ) = ( α β γ ) } 偶置換 τ 1 = ( α β γ α γ β ) = ( β γ ) τ 2 = ( α β γ γ β α ) = ( α γ ) τ 3 = ( α β γ β α γ ) = ( α β ) } 奇置換 \begin{align*}
&\begin{rcases}
id=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=I\\
\\
\rho_2=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=(\alpha \gamma \beta)\\
\\
\rho_3=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=(\alpha \beta \gamma)
\end{rcases}偶置換\\
\\
&\begin{rcases}
\tau_1=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
\tau_2=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
\tau_3=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\end{rcases}奇置換
\end{align*} i d = ( α α β β γ γ ) = I ρ 2 = ( α γ β α γ β ) = ( α γ β ) ρ 3 = ( α β β γ γ α ) = ( α β γ ) ⎭ ⎬ ⎫ 偶置換 τ 1 = ( α α β γ γ β ) = ( β γ ) τ 2 = ( α γ β β γ α ) = ( α γ ) τ 3 = ( α β β α γ γ ) = ( α β ) ⎭ ⎬ ⎫ 奇置換
偶置換とは偶数個の互換の合成（これを積という）で表せる置換であり、奇置換とは奇数個の互換の積で表せる置換です（本シリーズ (15)）。S 3 S_3 S 3
後 先 i d ρ 2 ‾ ρ 3 ‾ τ 1 τ 2 τ 3 ~ i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ‾ ρ 2 ρ 3 i d ‾ τ 3 τ 1 τ 2 ρ 3 ‾ ρ 3 i d ‾ ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 τ 1 τ 2 τ 3 ‾ i d ρ 2 ρ 3 τ 2 τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 ~ τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d ~ \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \underline{\rho_2} & \underline{\rho_3} & \tau_1 & \tau_2 & \utilde{\tau_3}\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\underline{\rho_2} & \rho_2 & \rho_3 & \underline{id} & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\underline{\rho_3} & \rho_3 & \underline{id} & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \underline{\tau_3} & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\utilde{\tau_3} & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & \utilde{id}
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
この対応表から
（例１） ρ 2 ρ 3 = ρ 3 ρ 2 = i d \rho_2\rho_3=\rho_3\rho_2=id ρ 2 ρ 3 = ρ 3 ρ 2 = i d ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 2 − 1 = ρ 3 \rho_2^{-1}=\rho_3 ρ 2 − 1 = ρ 3 ρ 3 \rho_3 ρ 3 ρ 3 − 1 = ρ 2 \rho_3^{-1}=\rho_2 ρ 3 − 1 = ρ 2
逆元は上式の下線部をみれば分かります。作用させて恒等置換 i d id i d
（例２） τ 3 τ 3 = i d \tau_3\tau_3=id τ 3 τ 3 = i d τ 3 \tau_3 τ 3 τ 3 \tau_3 τ 3
上式の波線部より、作用させて恒等置換 i d id i d β \beta β γ \gamma γ β \beta β γ \gamma γ τ 3 τ 3 = i d \tau_3\tau_3=id τ 3 τ 3 = i d ( β γ ) ( β γ ) = i d (\beta \gamma)(\beta \gamma)=id ( β γ ) ( β γ ) = i d ( β γ ) − 1 = ( β γ ) {(\beta \gamma)}^{-1}=(\beta \gamma) ( β γ ) − 1 = ( β γ )
部分群の定義（復習） ある群 G G G H H H H H H G G G 部分群 といいます（本シリーズ (29)）。同じ演算で ”ということです。もとの群がたし算に関して群になる場合、その部分群もたし算に関して群になります。
（例）S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } { i d } \{id\} { i d } { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 } { i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 } { i d , ρ 2 , ρ 3 } \{id, \rho_2, \rho_3\} { i d , ρ 2 , ρ 3 } S 3 S_3 S 3
正規部分群の定義（復習） N N N G G G G G G g g g
g N = N g \begin{align*}
gN=Ng
\end{align*} g N = N g
を満たすとき、N N N G G G 正規部分群 という。
＊＊＊
方程式に解の公式が存在するかどうかを議論するには、ただの部分群ではなく正規部分群であることが重要です。それは
（例）S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } { i d } \{id\} { i d } { i d , τ 1 } \{id, \tau_1\} { i d , τ 1 } { i d , τ 2 } \{id, \tau_2\} { i d , τ 2 } { i d , τ 3 } \{id, \tau_3\} { i d , τ 3 } { i d , ρ 2 , ρ 3 } \{id, \rho_2, \rho_3\} { i d , ρ 2 , ρ 3 } S 3 S_3 S 3 { i d } \{id\} { i d } { i d , ρ 2 , ρ 3 } \{id, \rho_2, \rho_3\} { i d , ρ 2 , ρ 3 } S 3 S_3 S 3
剰余群について新しい表記法 ここで、剰余群について新しい表記法を導入します。G G G N N N G G G N N N G / N G/N G / N a N ∘ b N = a b N aN\circ bN=abN a N ∘ b N = ab N G G G N N N 剰余群 といいます。なお a , b a, b a , b G G G
X 2 を添加 ↓ ＜体の拡大＞ Q 2 ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 ⊃ 縮小 I S 2 の正規部分群 ↑ { i d I , τ I } が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-10pt}{\footnotesize X_2 を添加}\\[-3pt]
&\hspace{4pt}\downarrow\\
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{8pt}Q_2&\hspace{-1pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset} Q_2(X_2)\\
\Updownarrow{\scriptsize \bm{対応}}\hspace{-15pt}&\hspace{25pt}\Updownarrow {\scriptsize \bm{対応}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{8pt}S_2\hspace{0pt}&\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_2 の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{4pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-10pt}{\footnotesize \{idI, \tau I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ Q 2 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 X 2 を添加 ↓ ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⊃ 縮小 S 2 の正規部分群 I ↑ が巡回群 { i d I , τ I }
をみるとS 2 = { i d , τ } S_2=\{id, \tau\} S 2 = { i d , τ } I = { i d } I=\{id\} I = { i d }
S 2 / I = { i d I , τ I } \begin{align*}
S_2/I=\{idI, \tau I\}
\end{align*} S 2 / I = { i d I , τ I }
と表記されます。この表記を使うと、先ほどの２次方程式についてのガロア対応は
X 2 を添加 ↓ ＜体の拡大＞ Q 2 ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 ⊃ 縮小 I S 2 の正規部分群 ↑ A 2 / I が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-10pt}{\footnotesize X_2 を添加}\\[-3pt]
&\hspace{4pt}\downarrow\\
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{8pt}Q_2&\hspace{-1pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset} Q_2(X_2)\\
\Updownarrow{\scriptsize \bm{対応}}\hspace{-15pt}&\hspace{25pt}\Updownarrow {\scriptsize \bm{対応}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{8pt}S_2\hspace{0pt}&\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_2 の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{4pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-10pt}{\footnotesize A_2/I \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ Q 2 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 X 2 を添加 ↓ ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⊃ 縮小 S 2 の正規部分群 I ↑ が巡回群 A 2 / I
となります。
X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ ＜体の拡大＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ↑ ↑ { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{5pt}{\footnotesize X_3 を添加}\hspace{8pt}{\footnotesize A を添加}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\downarrow\hspace{37pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3)}\hspace{-4pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-4pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3, A)}\\
&\hspace{-1pt}\Updownarrow {\footnotesize \bm{対応}}\hspace{11pt}\Updownarrow {\footnotesize \bm{対応}}\hspace{13pt}\Updownarrow {\footnotesize \bm{対応}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{3pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-7.5pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-7.5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-4pt}{\footnotesize \{idN, \tau_1N\} \atop が巡回群}\hspace{2pt}{\footnotesize \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ⇕ 対応 S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ↑ ↑ が巡回群 { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
をみると、３次対称群S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
S 3 / N = { i d N , τ 1 N } \begin{align*}
S_3/N=\{idN, \tau_1N\}
\end{align*} S 3 / N = { i d N , τ 1 N }
と表記されます。さらにN = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } I = { i d } I=\{id\} I = { i d }
N / I = { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \begin{align*}
N/I=\{id I, \rho_2I, \rho_3I\}
\end{align*} N / I = { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
と表記されます。この表記を使うと、先ほどの３次方程式のガロア対応は
X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ ＜体の拡大＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ↑ ↑ S 3 / N が巡回群 N / I が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{5pt}{\footnotesize X_3 を添加}\hspace{8pt}{\footnotesize A を添加}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\downarrow\hspace{37pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3)}\hspace{-4pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-4pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3, A)}\\
&\hspace{-1pt}\Updownarrow {\footnotesize \bm{対応}}\hspace{11pt}\Updownarrow {\footnotesize \bm{対応}}\hspace{13pt}\Updownarrow {\footnotesize \bm{対応}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{3pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-7.5pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-7.5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{4pt}{\footnotesize S_3/N \atop が巡回群}\hspace{7pt}{\footnotesize N/I \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ⇕ 対応 S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ↑ ↑ が巡回群 S 3 / N が巡回群 N / I
となります。
可換群の定義 ここで新たに可換群を定義します。
群 G G G a , b a, b a , b a b = b a ab=ba ab = ba G G G 可換群 』、または『アーベル群 』といいます。
＊＊＊
すべての要素について、積の順番を入れ換えても同じになる群が可換群です。この法則を『交換法則 』といいます。交換● が可● 能という意味で可換群といいます。
２次対称群、３次交代群は可換群であること 例えば、２次対称群 S 2 = { i d , τ } S_2=\{id, \tau\} S 2 = { i d , τ }
後 先 i d τ i d i d τ ‾ τ τ ‾ i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
& id & \tau\\ \hline\hline
id & id & \underline{\tau}\\ \hline
\tau & \underline{\tau} & id
\end{array} 後 先 i d τ i d i d τ τ τ i d
i d τ = τ i d ( = τ ) id\tau=\tau id (=\tau) i d τ = τ i d ( = τ ) S 2 S_2 S 2
なお、S 2 S_2 S 2 τ \tau τ S 2 = { i d , τ } = ⟨ τ ⟩ S_2=\{id, \tau\}=\langle\tau \rangle S 2 = { i d , τ } = ⟨ τ ⟩
また、３次交代群 A 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } A_3=\{id, \rho_2, \rho_3\} A 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N N N
後 先 i d ρ 2 ρ 3 i d i d ρ 2 ‾ ρ 3 ~ ρ 2 ρ 2 ‾ ρ 3 i d undefined ρ 3 ρ 3 ~ i d undefined ρ 2 \def\arraystretch{1.5}
\hspace{25pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}
\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
& id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline\hline
id & id & \underline{\rho_2} & \utilde{\rho_3}\\ \hline
\rho_2 & \underline{\rho_2} & \rho_3 & \underlinesegment{id} \\ \hline
\rho_3 & \utilde{\rho_3} & \underlinesegment{id} & \rho_2
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d ρ 3 ρ 3 i d ρ 2
i d ρ 2 = ρ 2 i d ( = ρ 2 ) id\rho_2=\rho_2id (=\rho_2) i d ρ 2 = ρ 2 i d ( = ρ 2 ) i d ρ 3 = ρ 3 i d ( = ρ 3 ) id\rho_3=\rho_3id (=\rho_3) i d ρ 3 = ρ 3 i d ( = ρ 3 ) ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 ( = i d ) \rho_3\rho_2=\rho_2\rho_3 (=id) ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 ( = i d ) undefined \underlinesegment{\hspace{5pt}} A 3 A_3 A 3
なお、A 3 A_3 A 3 ρ 2 \rho_2 ρ 2 A 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = ⟨ ρ 2 ⟩ A_3=\{id, \rho_2, \rho_3\}=\langle\rho_2 \rangle A 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = ⟨ ρ 2 ⟩
３次対称群は可換群ではないこと 一方、３次対称群 S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \rho_1, \rho_2, \rho_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 }
後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 3 τ 1 τ 2 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 τ 1 τ 2 τ 3 i d ρ 2 ρ 3 τ 2 τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
よりτ 1 ρ 3 = τ 3 \tau_1\rho_3=\tau_3 τ 1 ρ 3 = τ 3 ρ 3 τ 1 = τ 2 \rho_3\tau_1=\tau_2 ρ 3 τ 1 = τ 2 τ 1 ρ 3 ≠ ρ 3 τ 1 \tau_1\rho_3\ne\rho_3\tau_1 τ 1 ρ 3 = ρ 3 τ 1
ガロア対応における可換群 さらに、２次方程式についてのガロア対応について
X 2 を添加 ↓ ＜体の拡大＞ Q 2 ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 ⊃ 縮小 I S 2 の正規部分群 ↑ A 2 / I が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-10pt}{\footnotesize X_2 を添加}\\[-3pt]
&\hspace{4pt}\downarrow\\
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{8pt}Q_2&\hspace{-1pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset} Q_2(X_2)\\
\Updownarrow{\scriptsize \bm{対応}}\hspace{-15pt}&\hspace{25pt}\Updownarrow {\scriptsize \bm{対応}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{8pt}S_2\hspace{0pt}&\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_2 の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{4pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-10pt}{\footnotesize A_2/I \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ Q 2 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 X 2 を添加 ↓ ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⊃ 縮小 S 2 の正規部分群 I ↑ が巡回群 A 2 / I
巡回群 S 2 / I = { i d I , τ I } = ⟨ τ I ⟩ S_2/I=\{idI, \tau I\}=\langle\tau I \rangle S 2 / I = { i d I , τ I } = ⟨ τ I ⟩
後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N \def\arraystretch{1.5}
\hspace{45pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
\circ & idN & \tau_1N\\ \hline\hline
idN & idN & \tau_1N\\ \hline
\tau_1N & \tau_1N & idN
\end{array} 後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N
また、３次方程式についてガロア対応について
X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ ＜体の拡大＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ↑ ↑ S 3 / N が巡回群 N / I が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{5pt}{\footnotesize X_3 を添加}\hspace{8pt}{\footnotesize A を添加}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\downarrow\hspace{37pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3)}\hspace{-4pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-4pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3, A)}\\[-3pt]
&\hspace{17pt}\Updownarrow\hspace{7pt}{\footnotesize 対応}\hspace{7pt}\Updownarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{3pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-7.5pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-7.5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{4pt}{\footnotesize S_3/N \atop が巡回群}\hspace{7pt}{\footnotesize N/I \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ↑ ↑ が巡回群 S 3 / N が巡回群 N / I
巡回群 S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ S_3/N=\{idN, \tau_1N\}=\langle\tau_1N\rangle S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩
後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N \def\arraystretch{1.5}
\hspace{45pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
\circ & idN & \tau_1N\\ \hline\hline
idN & idN & \tau_1N\\ \hline
\tau_1N & \tau_1N & idN
\end{array} 後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N
巡回群 N / I = { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } = ⟨ ρ 2 I ⟩ N/I=\{idI, \rho_2I, \rho_3I\}=\langle\rho_2I\rangle N / I = { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } = ⟨ ρ 2 I ⟩
後 先 ∘ i d I ρ 2 I ‾ ~ ρ 3 I i d I i d I ρ 2 I ρ 3 I ρ 2 I ‾ ρ 2 I ρ 3 I ‾ i d I ρ 3 I ~ ρ 3 I i d I ~ ρ 2 I \def\arraystretch{1.5}
\hspace{41pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
\circ & idI & \utilde{\underline{\rho_2I}} & \rho_3I\\ \hline\hline
idI & idI & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline
\underline{\rho_2I} & \rho_2I & \underline{\rho_3I} & idI\\ \hline
\utilde{\rho_3I} & \rho_3I & \utilde{idI} & \rho_2I
\end{array} 後 先 ∘ i d I ρ 2 I ρ 3 I i d I i d I ρ 2 I ρ 3 I ρ 2 I ρ 2 I ρ 3 I i d I ρ 3 I ρ 3 I i d I ρ 2 I
群表はいずれも、右斜め下の対角線に関して線対称になります。
定理１ 巡回群ならば可換群である さて、可換群の例をいくつか見てきましたが、実は巡回群はすべて可換群になります。
「定理１」 巡回群ならば可換群である。
＊＊＊
先に述べた例をみると、確かに巡回群S 2 = { i d , τ } = ⟨ τ ⟩ S_2=\{id, \tau\}=\langle\tau\rangle S 2 = { i d , τ } = ⟨ τ ⟩ N ( = A 3 ) = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = ⟨ ρ 2 ⟩ N(=A_3)=\{id, \rho_2, \rho_3\}=\langle\rho_2\rangle N ( = A 3 ) = { i d , ρ 2 , ρ 3 } = ⟨ ρ 2 ⟩ S 2 / I = { i d I , τ I } = ⟨ τ I ⟩ S_2/I=\{idI, \tau I\}=\langle\tau I\rangle S 2 / I = { i d I , τ I } = ⟨ τ I ⟩ S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ S_3/N=\{idN, \tau_1 N\}=\langle\tau_1N\rangle S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ N / I = { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } = ⟨ ρ 2 I ⟩ N/I=\{idI, \rho_2I, \rho_3I\}=\langle\rho_2I\rangle N / I = { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } = ⟨ ρ 2 I ⟩ 「定理１」 を証明します。
（証明） G G G G G G G = { i d , g 1 , g 2 , g 3 , ⋯ g n } = ⟨ g ⟩ G=\{id, g^1, g^2, g^3, \cdots g^n\}=\langle g \rangle G = { i d , g 1 , g 2 , g 3 , ⋯ g n } = ⟨ g ⟩ n n n 0 0 0 g 0 = i d g^0=id g 0 = i d G G G
g 0 ( = i d ) ↓ g を作用 g 1 ↓ g を作用 g 2 ↓ g を作用 g 3 ↓ g を作用 ⋮ ↓ g を作用 g n ↓ g を作用 g 0 ( = i d ) ここで i d に戻る \begin{align*}
&\;g^0(=id)\\
&\downarrow {\small g を作用}\\
&\;g^1\\
&\downarrow {\small g を作用}\\
&\;g^2\\
&\downarrow {\small g を作用}\\
&\;g^3\\
&\downarrow {\small g を作用}\\
&\hspace{4pt}\vdots\\
&\downarrow {\small g を作用}\\
&\;g^n\\
&\downarrow {\small g を作用}\\
&\;g^0(=id) {\small ここで id に戻る}
\end{align*} g 0 ( = i d ) ↓ g を作用 g 1 ↓ g を作用 g 2 ↓ g を作用 g 3 ↓ g を作用 ⋮ ↓ g を作用 g n ↓ g を作用 g 0 ( = i d ) ここで i d に戻る
すると、G G G g j , g k ( ∈ G ) g^j, g^k (\in G) g j , g k ( ∈ G ) g j g k = g j + k g^jg^k=g^{j+k} g j g k = g j + k g k g j = g k + j = g j + k g^kg^j=g^{k+j}=g^{j+k} g k g j = g k + j = g j + k g j g k = g k g j g^jg^k=g^kg^j g j g k = g k g j G G G g j , g k g^j, g^k g j , g k
（証明終）
例えばg 2 g 5 = g 2 + 5 = g 7 g^2g^5=g^{2+5}=g^7 g 2 g 5 = g 2 + 5 = g 7 g 5 g 2 = g 5 + 2 = g 7 g^5g^2=g^{5+2}=g^7 g 5 g 2 = g 5 + 2 = g 7 g 2 g 5 = g 5 g 2 g^2g^5=g^5g^2 g 2 g 5 = g 5 g 2
定理２ 交換子についての定理 ここで解説する「定理２」は非常に抽象的な定理なので、後に具体例を与えます。G G G H H H H H H G / H G/H G / H G / H G/H G / H ∈ \in ∈ N = { 1 , 2 , 3 , ⋯ } \mathbb{N}=\{1, 2, 3, \cdots\} N = { 1 , 2 , 3 , ⋯ } 1 ∈ N 1 \in \mathbb{N} 1 ∈ N 2 ∈ N 2 \in \mathbb{N} 2 ∈ N ⋯ \cdots ⋯
「定理２」 G G G g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2
剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H \begin{align*}
剰余群 G/H は可換群である \Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in H
\end{align*} 剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
＊＊＊
これは、剰余群 G / H G/H G / H g 1 , g 2 ∈ G g_1, g_2 \in G g 1 , g 2 ∈ G g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 す● べ● て● H H H H H H g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g 1 g_1 g 1 g 2 g_2 g 2 交換子 』といいます。g 1 − 1 g_1^{-1} g 1 − 1 g 1 g_1 g 1 g 2 − 1 g_2^{-1} g 2 − 1 g 2 g_2 g 2
ここで、上記の「す● べ● て● 」という部分に注意してください。
g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H \begin{align*}
g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in H
\end{align*} g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
部分の意味は、任意の g 1 , g 2 ∈ G g_1, g_2 \in G g 1 , g 2 ∈ G g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 す● べ● て● H H H g 1 , g 2 ∈ G g_1, g_2 \in G g 1 , g 2 ∈ G g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H H H す● べ● て● 」という表現は、証明の最後の部分まで関係してきますので、注意したい部分には「●」で強調していきます。
剰余群 G / H G/H G / H \hspace{15pt}
⇕ \hspace{5pt}\Updownarrow ⇕
なお『同値 』とは、２つの条件 p , q p, q p , q p ならば q p ならば q p ならば q p ⟹ q p \Longrightarrow q p ⟹ q q ならば p q ならば p q ならば p q ⟹ p q \Longrightarrow p q ⟹ p p p p q q q 同値 である』といいp ⟺ q p \Longleftrightarrow q p ⟺ q 「定理２」 を証明します。
（証明） ある群 G G G H H H H H H G / H G/H G / H G / H G/H G / H g 1 H , g 2 H ∈ G / H g_1H, g_2H \in G/H g 1 H , g 2 H ∈ G / H g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2 G G G G / H G/H G / H g 1 H ∘ g 2 H = g 2 H ∘ g 1 H g_1H\circ g_2H=g_2H\circ g_1H g 1 H ∘ g 2 H = g 2 H ∘ g 1 H
剰余群 G / H は可換群である ⇔ g 1 H ∘ g 2 H = g 2 H ∘ g 1 H 剰余類同士の演算 a H ∘ b H = a b H より ⇔ g 1 g 2 H = g 2 g 1 H ⇒ 両辺に左から g 2 − 1 をかけて ⇐ 両辺に左から g 2 をかけて ⇔ g 2 − 1 g 1 g 2 H = g 2 − 1 g 2 ‾ e g 1 H g 2 − 1 g 2 = e より ⇔ g 2 − 1 g 1 g 2 H = e g 1 ‾ g 1 H e g 1 = g 1 より ⇔ g 2 − 1 g 1 g 2 H = g 1 H ⇒ 両辺に左から g 1 − 1 をかけて ⇐ 両辺に左から g 1 をかけて ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = g 1 − 1 g 1 ‾ e H g 1 − 1 g 1 = e より ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = e H e H = H より ⋯ ( ∗ 1 ) ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H ⋯ ( ∗ 2 ) \begin{align*}
剰余群 G/H は可換群である
&\Leftrightarrow g_1H \circ g_2H=g_2H \circ g_1H\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize 剰余類同士の演算 aH\!\!\circ\!bH\!\!=\!abH より}\\
&\Leftrightarrow g_1g_2H=g_2g_1H\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize \Rightarrow 両辺に左から {g_2}^{-1} をかけて}\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize \Leftarrow 両辺に左から g_2 をかけて}\\
&\Leftrightarrow {g_2}^{-1}g_1g_2H=\underset{e}{\underline{{g_2}^{-1}g_2}}g_1H\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize {g_2}^{-1}g_2=e より}\\
&\Leftrightarrow {g_2}^{-1}g_1g_2H=\underset{g_1}{\underline{eg_1}}H\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize eg_1=g_1 より}\\
&\Leftrightarrow {g_2}^{-1}g_1g_2H=g_1H\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize \Rightarrow 両辺に左から {g_1}^{-1} をかけて}\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize \Leftarrow 両辺に左から g_1 をかけて}\\
&\Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2H=\underset{e}{\underline{{g_1}^{-1}g_1}}H\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize {g_1}^{-1}g_1=e より}\\
&\Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2H=eH\\
&\hspace{16pt}{\footnotesize eH=H より \cdots (*1)}\\
&\Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2H=H\\
&\Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2\in H \cdots (*2)\\
\end{align*} 剰余群 G / H は可換群である ⇔ g 1 H ∘ g 2 H = g 2 H ∘ g 1 H 剰余類同士の演算 a H ∘ b H = ab H より ⇔ g 1 g 2 H = g 2 g 1 H ⇒ 両辺に左から g 2 − 1 をかけて ⇐ 両辺に左から g 2 をかけて ⇔ g 2 − 1 g 1 g 2 H = e g 2 − 1 g 2 g 1 H g 2 − 1 g 2 = e より ⇔ g 2 − 1 g 1 g 2 H = g 1 e g 1 H e g 1 = g 1 より ⇔ g 2 − 1 g 1 g 2 H = g 1 H ⇒ 両辺に左から g 1 − 1 をかけて ⇐ 両辺に左から g 1 をかけて ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = e g 1 − 1 g 1 H g 1 − 1 g 1 = e より ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = eH eH = H より ⋯ ( ∗ 1 ) ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H ⋯ ( ∗ 2 )
より
剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H \begin{align*}
剰余群 G/H は可換群である \Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in H
\end{align*} 剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
（証明終）
ところどころでg 1 − 1 g 1 = g 1 g 1 − 1 = e {g_1}^{-1}g_1=g_1{g_1}^{-1}=e g 1 − 1 g 1 = g 1 g 1 − 1 = e g 1 − 1 {g_1}^{-1} g 1 − 1 g 1 g_1 g 1 g 2 − 1 g 2 = g 2 g 2 − 1 = e {g_2}^{-1}g_2=g_2{g_2}^{-1}=e g 2 − 1 g 2 = g 2 g 2 − 1 = e g 2 − 1 {g_2}^{-1} g 2 − 1 g 2 g_2 g 2 e g 1 = g 1 eg_1=g_1 e g 1 = g 1 e e e e H = H ⋯ ( ∗ 1 ) eH=H \cdots (*1) eH = H ⋯ ( ∗ 1 ) g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H ⋯ ( ∗ 2 ) {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2H=H \Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2\in H \cdots (*2) g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H ⋯ ( ∗ 2 )
ここで、分かりにくいと思われる ( ∗ 1 ) , ( ∗ 2 ) (*1), (*2) ( ∗ 1 ) , ( ∗ 2 )
( ∗ 1 ) e H = H (*1) eH=H ( ∗ 1 ) eH = H
e H eH eH H H H e e e H H H H = { e , h 2 , h 3 } H=\{e, h_2, h_3\} H = { e , h 2 , h 3 } H H H e e e e e e e e = e ee=e ee = e e h 2 = h 2 eh_2=h_2 e h 2 = h 2 e h 3 = h 3 eh_3=h_3 e h 3 = h 3
e H = e { e , h 2 , h 3 } = { e e , e h 2 , e h 3 } = { e , h 2 , h 3 } = H \begin{align*}
eH&=e\{e, h_2, h_3\}\\
&=\{ee, eh_2, eh_3\}\\
&=\{e, h_2, h_3\}\\
&=H
\end{align*} eH = e { e , h 2 , h 3 } = { ee , e h 2 , e h 3 } = { e , h 2 , h 3 } = H
よって、 e H = H eH=H eH = H
( ∗ 2 ) g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H (*2) {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2H=H \Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2\in H ( ∗ 2 ) g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
同値になることの証明なので、「⇒ \Rightarrow ⇒ ⇐ \Leftarrow ⇐ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 = g {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2=g g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 = g g H = H ⇔ g ∈ H gH=H \Leftrightarrow g\in H g H = H ⇔ g ∈ H H = { e , h 2 , h 3 } H=\{e, h_2, h_3\} H = { e , h 2 , h 3 } n n n H H H G G G e e e
（⇒ \Rightarrow ⇒ g H = H gH=H g H = H g ∈ H g\in H g ∈ H H H H e e e g H = H gH=H g H = H
g H = g { e , h 2 , h 3 } = { g e , g h 2 , g h 3 } = { g , g h 2 , g h 3 } = H \begin{align*}
gH&=g\{e, h_2, h_3\}\\
&=\{ge, gh_2, gh_3\}\\
&=\{g, gh_2, gh_3\}\\
&=H
\end{align*} g H = g { e , h 2 , h 3 } = { g e , g h 2 , g h 3 } = { g , g h 2 , g h 3 } = H
e e e g e = g ge=g g e = g
H = { g , g h 2 , g h 3 } \begin{align*}
H=\{g, gh_2, gh_3\}
\end{align*} H = { g , g h 2 , g h 3 }
となるので、確かに H H H g g g
g ∈ H \begin{align*}
g\in H
\end{align*} g ∈ H
（⇐ \Leftarrow ⇐ g ∈ H g\in H g ∈ H g H = H gH=H g H = H g ∈ H g\in H g ∈ H H H H g g g H H H g g g H H H H H H
g H = g { e , h 2 , h 3 } = { g e , g h 2 , g h 3 } = { g , g h 2 , g h 3 } g ∈ H より要素は H と同じ（順番が違うだけ） = { e , h 2 , h 3 } = H \begin{align*}
gH&=g\{e, h_2, h_3\}\\
&=\{ge, gh_2, gh_3\}\\
&=\{g, gh_2, gh_3\}\\
&\hspace{15pt}{\footnotesize g\in H より要素は H と同じ（順番が違うだけ）}\\
&=\{e, h_2, h_3\}\\
&=H
\end{align*} g H = g { e , h 2 , h 3 } = { g e , g h 2 , g h 3 } = { g , g h 2 , g h 3 } g ∈ H より要素は H と同じ（順番が違うだけ） = { e , h 2 , h 3 } = H
よって
g H = H \begin{align*}
gH=H
\end{align*} g H = H
以上によりg H = H ⇔ g ∈ H gH=H \Leftrightarrow g\in H g H = H ⇔ g ∈ H g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2H=H \Leftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2\in H g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H = H ⇔ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
交換子について具体例 この交換子について、具体的に例を上げてみます。S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d N = ρ 2 N = ρ 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } idN=\rho_2N=\rho_3N=\{id, \rho_2, \rho_3\} i d N = ρ 2 N = ρ 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\} τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } i d , τ 1 id, \tau_1 i d , τ 1 S 3 / N = { i d N , τ 1 N } S_3/N=\{idN, \tau_1N\} S 3 / N = { i d N , τ 1 N } a H ∘ b H = a b H aH\circ bH=abH a H ∘ b H = ab H τ 1 N \tau_1N τ 1 N S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ S_3/N=\{idN, \tau_1N\}=\langle \tau_1N \rangle S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩
すると「定理１」より「巡回群は可換群」なのでS 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ S_3/N=\{idN, \tau_1N\}=\langle \tau_1N \rangle S 3 / N = { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩
後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N \def\arraystretch{1.5}
\hspace{45pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
\circ & idN & \tau_1N\\ \hline\hline
idN & idN & \tau_1N\\ \hline
\tau_1N & \tau_1N & idN
\end{array} 後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N
より、i d N , τ 1 N ∈ S 3 / N idN, \tau_1N \in S_3/N i d N , τ 1 N ∈ S 3 / N i d N ∘ τ 1 N = τ 1 N ∘ i d N ( = τ 1 N ) idN\circ\tau_1N=\tau_1N\circ idN(=\tau_1N) i d N ∘ τ 1 N = τ 1 N ∘ i d N ( = τ 1 N ) S 3 S_3 S 3 g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2
剰余群 S 3 / N は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ N \begin{align*}
剰余群 S_3/N は可換群である \Longleftrightarrow {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2 \in N
\end{align*} 剰余群 S 3 / N は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ N
より、交換子 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 N N N
剰余群 S 3 / N S_3/N S 3 / N \hspace{13pt}
⇕ \hspace{5pt}\Updownarrow ⇕
なお、g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2 N ( ⊂ S 3 ) N (\subset S_3) N ( ⊂ S 3 ) S 3 S_3 S 3 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 N N N
S 3 S_3 S 3 g 1 = ρ 2 ( ∈ S 3 ) g_1=\rho_2 (\in S_3) g 1 = ρ 2 ( ∈ S 3 ) g 2 = τ 3 ( ∈ S 3 ) g_2=\tau_3 (\in S_3) g 2 = τ 3 ( ∈ S 3 ) S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3
後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 3 τ 1 τ 2 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 2 τ 3 τ 1 τ 1 τ 1 τ 2 τ 3 i d ρ 2 ρ 3 τ 2 τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 3 τ 1 τ 2 ρ 2 ρ 3 i d \def\arraystretch{1.5}
\hspace{36pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}
& id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline
id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline
\rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline
\rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline
\tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline
\tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline
\tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id
\end{array} 後 先 i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 i d i d ρ 2 ρ 3 τ 1 τ 2 τ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 i d τ 2 τ 3 τ 1 ρ 3 ρ 3 i d ρ 2 τ 3 τ 1 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 i d ρ 3 ρ 2 τ 2 τ 2 τ 1 τ 3 ρ 2 i d ρ 3 τ 3 τ 3 τ 2 τ 1 ρ 3 ρ 2 i d
よりρ 2 − 1 = ρ 3 {\rho_2}^{-1}=\rho_3 ρ 2 − 1 = ρ 3 ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3 τ 3 − 1 = τ 3 {\tau_3}^{-1}=\tau_3 τ 3 − 1 = τ 3 τ 2 \tau_2 τ 2 τ 3 \tau_3 τ 3 ρ 3 τ 3 = τ 1 \rho_3\tau_3=\tau_1 ρ 3 τ 3 = τ 1 τ 1 ρ 2 = τ 2 \tau_1\rho_2=\tau_2 τ 1 ρ 2 = τ 2 τ 2 τ 3 = ρ 2 \tau_2\tau_3=\rho_2 τ 2 τ 3 = ρ 2
ρ 2 − 1 ‾ ρ 3 τ 3 − 1 ‾ τ 3 ρ 2 τ 3 = ρ 3 τ 3 ‾ τ 1 ρ 2 τ 3 = τ 1 ρ 2 ‾ τ 2 τ 3 = τ 2 τ 3 ‾ ρ 2 = ρ 2 ∈ N \begin{align*}
\underset{\rho_3}{\underline{{\rho_2}^{-1}}}\,\underset{\tau_3}{\underline{{\tau_3}^{-1}}}\,\rho_2\tau_3
&=\underset{\tau_1}{\underline{\rho_3\tau_3}}\rho_2\tau_3\\
&=\underset{\tau_2}{\underline{\tau_1\rho_2}}\tau_3\\
&=\underset{\rho_2}{\underline{\tau_2\tau_3}}\\
&=\rho_2 \in N
\end{align*} ρ 3 ρ 2 − 1 τ 3 τ 3 − 1 ρ 2 τ 3 = τ 1 ρ 3 τ 3 ρ 2 τ 3 = τ 2 τ 1 ρ 2 τ 3 = ρ 2 τ 2 τ 3 = ρ 2 ∈ N
よって、交換子 ρ 2 − 1 τ 3 − 1 ρ 2 τ 3 {\rho_2}^{-1}{\tau_3}^{-1}\rho_2\tau_3 ρ 2 − 1 τ 3 − 1 ρ 2 τ 3 N N N S 3 S_3 S 3 g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 N N N
補足１「定理２」に関する補足 ここで、先ほどの「定理２」
群 G G G g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2
剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H \begin{align*}
剰余群 G/H は可換群である \Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in H
\end{align*} 剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
への補足を与えます。この定理の中の
g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H \begin{align*}
{g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2 \in H
\end{align*} g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
という表現について、これは単に交換子g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 H H H H H H G G G H H H g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 す● べ● て● 含んでいる」G G G g 1 , g 2 , g 3 , g 4 g_1, g_2, g_3, g_4 g 1 , g 2 , g 3 , g 4 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 {g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g 3 − 1 g 4 − 1 g 3 g 4 {g_3}^{-1}{g_4}^{-1}g_3g_4 g 3 − 1 g 4 − 1 g 3 g 4 { g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 } { g 3 − 1 g 4 − 1 g 3 g 4 } \{{g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2\}\{{g_3}^{-1}{g_4}^{-1}g_3g_4\} { g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 } { g 3 − 1 g 4 − 1 g 3 g 4 } H H H
剰余群 G / H G/H G / H \hspace{15pt}
⇕ \hspace{5pt}\Updownarrow ⇕
なお、上図では２つの交換子の積ですが、３つでも４つでも、複数個つらなっていても問題ありません。（ひとつも含めて）交換子の複数個の積であれば、す● べ● て● H H H
（交換子） （交換子） ⋯ （交換子） ∈ H \begin{align*}
（交換子）\hspace{-7pt}（交換子）\cdots（交換子）\in H
\end{align*} （交換子） （交換子） ⋯ （交換子） ∈ H
以上のことを、後の証明で使いやすいように「補足１」 としてまとめておきます。
「補足１」 定理２に関する補足として、G G G す● べ● て● H H H
＊＊＊
定理３ 任意の３次巡回置換は、３次巡回置換の交換子で表せる ここで、交換子について次の定理があります。
「定理３」 任意の３次巡回置換は、３次巡回置換の交換子で表せる。
＊＊＊
例えば、任意の３次巡回置換を ( i j k ) (i j k) ( i j k ) i , j , k i, j, k i , j , k x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ( i j k ) (i j k) ( i j k ) l , m l, m l , m
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) \begin{align*}
(i j k)={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i )
この式の右辺は交換子（３次巡回置換の交換子）になっていることに注意してください。上記の式についてg 1 = ( k l i ) g_1=(k l i) g 1 = ( k l i ) g 2 = ( j m i ) g_2=(j m i) g 2 = ( j m i )
( i j k ) = ( k l i ) ‾ g 1 − 1 ( j m i ) ‾ g 2 − 1 ( k l i ) ‾ g 1 ( j m i ) ‾ g 2 = g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 （交換子） \begin{align*}
(i j k)&={\underset{g_1}{\underline{(k l i)}}}^{-1}{\underset{g_2}{\underline{(j m i)}}}^{-1}\underset{g_1}{\underline{(k l i)}}\hspace{3pt}\underset{g_2}{\underline{(j m i)}}\\
&={g_1}^{-1}{g_2}^{-1}g_1g_2{\small（交換子）}
\end{align*} ( i j k ) = g 1 ( k l i ) − 1 g 2 ( j m i ) − 1 g 1 ( k l i ) g 2 ( j m i ) = g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 （交換子）
と、確かに交換子になります。
( k l i ) − 1 = ( i l k ) \begin{align*}
{(k l i)}^{-1}=(i l k)
\end{align*} ( k l i ) − 1 = ( i l k )
となることを先に証明します。
（証明） 巡回置換 ( k l i ) (k l i) ( k l i ) k → l → i → k k \rightarrow l \rightarrow i \rightarrow k k → l → i → k
( k l i ) = ( k l i l i k ) \begin{align*}
(k l i)=
\begin{pmatrix}
k & l & i\\
l & i & k
\end{pmatrix}
\end{align*} ( k l i ) = ( k l l i i k )
上から下へ置き換えるとよみます。( k l i ) − 1 {(k l i)}^{-1} ( k l i ) − 1
( k l i ) = ( k l i l i k ) ↕ 上下を入れ換える ( k l i ) − 1 = ( l i k k l i ) \begin{align*}
(k l i)&=
\begin{pmatrix}
k & l & i\\
l & i & k
\end{pmatrix}\\[10pt]
&\hspace{33pt}\updownarrow {\small 上下を入れ換える}\\[5pt]
{(k l i)}^{-1}&=
\begin{pmatrix}
l & i & k\\
k & l & i
\end{pmatrix}
\end{align*} ( k l i ) ( k l i ) − 1 = ( k l l i i k ) ↕ 上下を入れ換える = ( l k i l k i )
上から下へを置き換えたものを、さらに下から上へと置き換えることによって元に戻ります。するとこれはi → l → k → i i \rightarrow l \rightarrow k \rightarrow i i → l → k → i
( k l i ) − 1 = ( l i k k l i ) = ( i l k ) \begin{align*}
{(k l i)}^{-1}=
\begin{pmatrix}
l & i & k\\
k & l & i
\end{pmatrix}
=(i l k)
\end{align*} ( k l i ) − 1 = ( l k i l k i ) = ( i l k )
よって
( k l i ) − 1 = ( i l k ) \begin{align*}
{(k l i)}^{-1}=(i l k)
\end{align*} ( k l i ) − 1 = ( i l k )
となります。
（証明終）
それでは
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) \begin{align*}
(i j k)={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i )
を証明します。
（証明） 先ほど証明したように、巡回置換の逆元は逆から並べればよいので( k l i ) − 1 = ( i l k ) {(k l i)}^{-1}=(i l k) ( k l i ) − 1 = ( i l k ) ( j m i ) − 1 = ( i m j ) {(j m i)}^{-1}=(i m j) ( j m i ) − 1 = ( i m j )
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) = ( i l k ) ( i m j ) ( k l i ) ( j m i ) ⋯ ( ∗ 3 ) \begin{align*}
(i j k)&={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)\\
&=(i l k)(i m j)(k l i)(j m i) \cdots (*3)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) = ( i l k ) ( i m j ) ( k l i ) ( j m i ) ⋯ ( ∗ 3 )
ここからは、文字列i j k l m i j k l m i j k l m ( ∗ 3 ) (*3) ( ∗ 3 )
( i j k ) = ( i l k ) ➀ ( i m j ) ➁ ( k l i ) ➂ ( j m i ) ➃ \begin{align*}
(i j k)=\underset{➀}{(i l k)}\underset{➁}{(i m j)}\underset{➂}{(k l i)}\underset{➃}{(j m i)}
\end{align*} ( i j k ) = ➀ ( i l k ) ➁ ( i m j ) ➂ ( k l i ) ➃ ( j m i )
➀ ➀ ➀ ➃ ➃ ➃
i j k l m ↓ ← ( i l k ) ➀ を作用 l j i k m ↓ ← ( i m j ) ➁ を作用 l i m k j ↓ ← ( k l i ) ➂ を作用 i k m l j ↓ ← ( j m i ) ➃ を作用 j k i l m \begin{alignat*}{5}
&i & &j & &k & &l & &m\\
& & & & &\hspace{-3pt}\downarrow & & & &\leftarrow \underset{➀}{(i l k)} を作用\\
&l & &j & &i & &k & &m\\
& & & & &\hspace{-3pt}\downarrow & & & &\leftarrow \underset{➁}{(i m j)} を作用\\
&l & &i & &\!m & &k & &j\\
& & & & &\hspace{-3pt}\downarrow & & & &\leftarrow \underset{➂}{(k l i)} を作用\\
&i & &k & &\!m & &l & &j\\
& & & & &\hspace{-3pt}\downarrow & & & &\leftarrow \underset{➃}{(j m i)} を作用\\
&j & &k & &i & &l & &m
\end{alignat*} i l l i j j j i k k k ↓ i ↓ m ↓ m ↓ i l k k l l m ← ➀ ( i l k ) を作用 m ← ➁ ( i m j ) を作用 j ← ➂ ( k l i ) を作用 j ← ➃ ( j m i ) を作用 m
最初と最後をつなげると
i j k l m ↓ ← ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) を作用 j k i l m \begin{alignat*}{5}
&i & &j & &k & &l & &m\\
& & & & &\hspace{-3pt}\downarrow & & & &\hspace{-20pt}\leftarrow {\footnotesize {(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i) を作用}\\
&j & &k & &i & &l & &m
\end{alignat*} i j j k k ↓ i l l m ← ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) を作用 m
するとこれはi → j → k → i i \rightarrow j \rightarrow k \rightarrow i i → j → k → i
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) \begin{align*}
(i j k)={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i )
が証明されました。
（証明終）
ここで重要なポイントは、この式を構成するには、i , j , k , l , m i, j, k, l, m i , j , k , l , m i = x 1 i=x_1 i = x 1 j = x 2 j=x_2 j = x 2 k = x 3 k=x_3 k = x 3 ( x 1 x 2 x 3 ) (x_1 x_2 x_3) ( x 1 x 2 x 3 ) l = x 4 l=x_4 l = x 4 m = x 5 m=x_5 m = x 5
( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 3 x 4 x 1 ) − 1 ( x 2 x 5 x 1 ) − 1 ( x 3 x 4 x 1 ) ( x 2 x 5 x 1 ) \begin{align*}
(x_1 x_2 x_3)={(x_3 x_4 x_1)}^{-1}{(x_2 x_5 x_1)}^{-1}(x_3 x_4 x_1)(x_2 x_5 x_1)
\end{align*} ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 3 x 4 x 1 ) − 1 ( x 2 x 5 x 1 ) − 1 ( x 3 x 4 x 1 ) ( x 2 x 5 x 1 )
と交換子で表すことはできません。つまり、この文字を方程式の解とした場合、５つの解をもつ５次方程式でなければこの「定理３」は適用できないことになります。
ここで、偶置換について次の定理があります。
定理４ 偶置換は３次巡回置換、および３次巡回置換の積で表すことができる 一般に、偶置換と３次巡回置換を結ぶ定理として、次の定理があります。
「定理４」 任意の偶置換は３次巡回置換、および３次巡回置換の複数個の積で表すことができる。
＊＊＊
以下、この「定理４」を証明します。
（証明）
偶置換 = ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ⋯ ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ‾ 偶数個の互換 = { ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ‾ ２つセット } { ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ‾ ２つセット } ⋯ { ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ‾ ２つセット } \begin{align*}
偶置換&=\underset{偶数個の互換}{\underline{(＊ ＊)(＊ ＊)(＊ ＊)(＊ ＊)\hspace{5pt}\cdots\hspace{5pt}(＊ ＊)(＊ ＊)}}\\
&=\{\underset{２つセット}{\underline{(＊ ＊)(＊ ＊)}}\}\{\underset{２つセット}{\underline{(＊ ＊)(＊ ＊)}}\}\hspace{5pt}\cdots\hspace{5pt}\{\underset{２つセット}{\underline{(＊ ＊)(＊ ＊)}}\}
\end{align*} 偶置換 = 偶数個の互換 ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) ⋯ ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) = { ２つセット ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) } { ２つセット ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) } ⋯ { ２つセット ( ＊ ＊ ) ( ＊ ＊ ) }
なお、一般に置換の積は交換法則は成り立ちます。交換法則は成り立つので、上記の様にカッコで区切っても問題ありません。しかし、交換法則は成り立たないので、置換の順番を入れ換えてはいけません。順番を入れ換えないでカッコで区切るのは大丈夫です。
(case1) 共通の文字を含むもの。( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) (x_1 x_2)(x_1 x_3) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) x 1 x_1 x 1
(case2) 共通の文字を含まないもの。( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) (x_1 x_2)(x_3 x_4) ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 )
(case1) の型は、次のように３次巡回置換で表すことができます（本シリーズ (16)）。
( x 1 ‾ x 2 ) ( x 1 ‾ x 3 ) = ( x 1 ‾ x 2 x 3 ) \begin{align*}
(\underline{x_1} x_2)(\underline{x_1} x_3)=(\underline{x_1} x_2 x_3)
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 3 )
各々の最初にある共通の文字 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3
( 〇 ♠ ) ( 〇 ♣ ) = ( 〇 ♠ ♣ ) ⋯ （公式１） \begin{align*}
(〇 ♠)(〇 ♣)=(〇 ♠ ♣) \cdots（公式１）
\end{align*} ( 〇 ♠ ) ( 〇 ♣ ) = ( 〇 ♠ ♣ ) ⋯ （公式１）
〇 〇 〇
(case2) の型は、次のように３次巡回置換の積で表すことができます（本シリーズ (16)）。
( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 4 x 3 ) \begin{align*}
(x_1 x_2)(x_3 x_4)&=(x_1 x_3 x_2)(x_2 x_4 x_3)
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 4 x 3 )
これは、次のような形式で公式化できます。
( 〇 ♠ ) ( △ ♣ ) = ( 〇 △ ♠ ) ( ♠ ♣ △ ) ⋯ （公式２） \begin{align*}
(〇 ♠)(△ ♣)&=(〇 △ ♠)(♠ ♣ △) \cdots（公式２）
\end{align*} ( 〇 ♠ ) ( △ ♣ ) = ( 〇 △ ♠ ) ( ♠ ♣ △ ) ⋯ （公式２）
赤矢印、青矢印の順に、文字を拾いながら並べていきます。
２つの互換の積は (case1) と (case2) の、必ずどちらかの型になるので、この２つの公式を用いることによって、任意の偶置換を３次巡回置換、または３次巡回置換の複数個の積であらわすことができます。
（証明終）
具体例をあげてみます。
( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) \begin{align*}
(x_1 x_2)(x_4 x_1)(x_1 x_2)(x_4 x_5)
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 )
これは互換が４個（偶数個）なので偶置換です。これを、前２つと後ろ２つの２つのブロックに分けます。
{ ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) } { ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) } \begin{align*}
\{(x_1 x_2)(x_4 x_1)\}\{(x_1 x_2)(x_4 x_5)\}
\end{align*} {( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 )} {( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 )}
前２つについては、互換は順番を入れ換えても同じ、つまり( x 4 x 1 ) = ( x 1 x 4 ) (x_4 x_1)=(x_1 x_4) ( x 4 x 1 ) = ( x 1 x 4 )
( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) \begin{align*}
(x_1 x_2)(x_4 x_1)&=(x_1 x_2)(x_1 x_4)\\
&=(x_1 x_2 x_4)
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 4 )
後ろ２つについては、（公式２）を用いて
( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 2 x 5 x 4 ) \begin{align*}
(x_1 x_2)(x_4 x_5)&=(x_1 x_4 x_2)(x_2 x_5 x_4)
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 2 x 5 x 4 )
まとめると
( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) = { ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) } { ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) } = { ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) } { ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) } = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 2 x 5 x 4 ) \begin{align*}
&(x_1 x_2)(x_4 x_1)(x_1 x_2)(x_4 x_5)\\
=\,&\{(x_1 x_2)(x_4 x_1)\}\{(x_1 x_2)(x_4 x_5)\}\\
=\,&\{(x_1 x_2)(x_1 x_4)\}\{(x_1 x_2)(x_4 x_5)\}\\
=\,&(x_1 x_2 x_4)(x_1 x_4 x_2)(x_2 x_5 x_4)
\end{align*} = = = ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 ) ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) {( x 1 x 2 ) ( x 4 x 1 )} {( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 )} {( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 )} {( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 )} ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 2 x 5 x 4 )
となり、偶置換を３次巡回置換の積で表すことができました。
ここで、後のために部分集合について復習します（本シリーズ (29)）。
部分集合の定義（復習） 例えば、２つの集合P = { 2 , 4 } \text{P}=\{2, 4\} P = { 2 , 4 } Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \text{Q}=\{1, 2, 3, 4, 5\} Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } P \text{P} P Q \text{Q} Q P \text{P} P 2 2 2 Q \text{Q} Q P \text{P} P 4 4 4 Q \text{Q} Q
一般に、２つの集合 A \text{A} A B \text{B} B A \text{A} A どの要素もまた B \text{B} B
A ⫅ B \begin{align*}
\text{A}\subseteqq\text{B}
\end{align*} A ⫅ B
と表します。このとき、A \text{A} A B \text{B} B 部分集合 といいます。「どの要素もまた」 という部分です。A \text{A} A す● べ● て● のB \text{B} B
A ⫅ B \begin{align*}
\text{A}\subseteqq\text{B}
\end{align*} A ⫅ B
となります。
表記上の注意 なお蛇足として、イコールを含めないで
A ⊂ B \begin{align*}
\text{A}\subset\text{B}
\end{align*} A ⊂ B
と表記する場合もあります。A ⊂ B \text{A}\subset\text{B} A ⊂ B A = B \text{A}=\text{B} A = B A ⫅ B \text{A}\subseteqq\text{B} A ⫅ B
真部分集合 また、イコールを含まない場合はA ⫋ B \text{A}\subsetneqq\text{B} A ⫋ B ≠ \ne = A \text{A} A B \text{B} B 真部分集合 』といいます。平たくいえば、真部分集合とは{ 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} { 1 , 2 , 3 } ϕ \phi ϕ { 1 } \{1\} { 1 } { 2 } \{2\} { 2 } { 3 } \{3\} { 3 } { 1 , 2 } \{1, 2\} { 1 , 2 } { 2 , 3 } \{2, 3\} { 2 , 3 } { 1 , 3 } \{1, 3\} { 1 , 3 } { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} { 1 , 2 , 3 } { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} { 1 , 2 , 3 } ϕ \phi ϕ { 1 } \{1\} { 1 } { 2 } \{2\} { 2 } { 3 } \{3\} { 3 } { 1 , 2 } \{1, 2\} { 1 , 2 } { 2 , 3 } \{2, 3\} { 2 , 3 } { 1 , 3 } \{1, 3\} { 1 , 3 }
５次対称群のガロア対応 いよいよここから証明の本丸に入ります。証明すべき命題はS 5 S_5 S 5
まず、５次方程式の５つの解をx 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 5 × 4 × 3 × 3 × 1 = 120 5\times4\times3\times3\times1=120 5 × 4 × 3 × 3 × 1 = 120 S 5 S_5 S 5 60 60 60 60 60 60 （注２） （本シリーズ (15)）。60 60 60 A 5 A_5 A 5
さて、５次交代群 A 5 A_5 A 5 S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 S 5 / A 5 S_5/A_5 S 5 / A 5 n n n S n S_n S n n n n A n A_n A n A n A_n A n S n / A n S_n/A_n S n / A n
（例）S 3 / N = { i d N , τ 1 N } 要素が２つ = ⟨ τ 1 N ⟩ S_3/N=\underset{要素が２つ}{\{idN, \tau_1N\}}=\langle\tau_1N\rangle S 3 / N = 要素が２つ { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ A 3 = N A_3=N A 3 = N S 4 / A 3 S_4/A_3 S 4 / A 3 S 5 / A 5 S_5/A_5 S 5 / A 5 S 6 / A 6 S_6/A_6 S 6 / A 6
すると、ここまでの５次方程式についての「体の拡大」と「群の縮小」との対応関係（ガロア対応）は下図のようになります。
X 5 を添加 ↓ ＜体の拡大＞ Q 5 ( ω 5 ) ⊂ 拡大 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 5 ⊃ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ↑ S 5 / A 5 が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{5pt}{\footnotesize X_5 を添加}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_5(\omega_5)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-2pt}{\scriptsize Q_5(\omega_5, X_5)}\\[-3pt]
&\hspace{19pt}\Updownarrow\hspace{1pt}{\footnotesize 対応}\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\uparrow\\[-3pt]
&\hspace{8pt}{\footnotesize S_5/A_5 \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 5 を添加 ↓ Q 5 ( ω 5 ) ⊂ 拡大 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) ⇕ 対応 S 5 ⊃ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ↑ が巡回群 S 5 / A 5
以下、この対応関係について解説します。流れは３次方程式のときと同じです（本シリーズ (37)）。
まず、一般の５次方程式a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 a , b , c , d , e , f a, b, c, d, e, f a , b , c , d , e , f 1 1 1 1 1 1 ω 5 \omega_5 ω 5 Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 ) Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 )
証明は省きますが、３次方程式のときにやった Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 ) 120 120 120
よって、Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 ) S 5 S_5 S 5
次に、一般の５次方程式 a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5
X 5 = ( x 1 − x 2 ) ( x 1 − x 3 ) ( x 1 − x 4 ) ( x 1 − x 5 ) ⋅ ( x 2 − x 3 ) ( x 2 − x 4 ) ( x 2 − x 5 ) ⋅ ( x 3 − x 4 ) ( x 3 − x 5 ) ⋅ ( x 4 − x 5 ) \begin{align*}
X_5=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)&\\
\cdot\,(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)&\\
\cdot\,(x_3-x_4)(x_3-x_5)&\\
\cdot\,(x_4-x_5)&
\end{align*} X 5 = ( x 1 − x 2 ) ( x 1 − x 3 ) ( x 1 − x 4 ) ( x 1 − x 5 ) ⋅ ( x 2 − x 3 ) ( x 2 − x 4 ) ( x 2 − x 5 ) ⋅ ( x 3 − x 4 ) ( x 3 − x 5 ) ⋅ ( x 4 − x 5 )
を考えます。この差積 X 5 X_5 X 5
X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X 4 , X 5 , X 6 , ⋯ X_4, X_5, X_6, \cdots X 4 , X 5 , X 6 , ⋯
この差積 X 5 X_5 X 5 ( X 5 ) 2 {\left(X_5\right)}^2 ( X 5 ) 2 Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 ) X 5 X_5 X 5 Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 )
そこで、Q 5 ( ω 5 ) Q_5(\omega_5) Q 5 ( ω 5 ) X 5 X_5 X 5 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) Q_5(\omega_5, X_5) Q 5 ( ω 5 , X 5 )
添加された差積 X 5 X_5 X 5 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) Q_5(\omega_5, X_5) Q 5 ( ω 5 , X 5 )
すると、S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) Q_5(\omega_5, X_5) Q 5 ( ω 5 , X 5 ) A 5 A_5 A 5
＜体の拡大＞ Q 5 ( ω 5 ) ⊂ 拡大 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 5 ⊃ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 \begin{align*}
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_5(\omega_5)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-2pt}{\scriptsize Q_5(\omega_5, X_5)}\\[-3pt]
&\hspace{19pt}\Updownarrow\hspace{1pt}{\footnotesize 対応}\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ Q 5 ( ω 5 ) ⊂ 拡大 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) ⇕ 対応 S 5 ⊃ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5
しかしこれだけだとただ対応させているだけなので、この拡大と縮小の対応関係を、群構造の面から補強します。それが次に述べる「剰余群が巡回群になる」ことです。S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 S 5 / A 5 S_5/A_5 S 5 / A 5 X 5 X_5 X 5 S 5 / A 5 S_5/A_5 S 5 / A 5 X 3 X_3 X 3 S 3 / N S_3/N S 3 / N X 5 X_5 X 5 S 5 / A 5 S_5/A_5 S 5 / A 5
X 5 を添加 ↓ ＜体の拡大＞ Q 5 ( ω 5 ) ⊂ 拡大 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 5 ⊃ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ↑ S 5 / A 5 が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{5pt}{\footnotesize X_5 を添加}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_5(\omega_5)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-2pt}{\scriptsize Q_5(\omega_5, X_5)}\\[-3pt]
&\hspace{19pt}\Updownarrow\hspace{1pt}{\footnotesize 対応}\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\uparrow\\[-3pt]
&\hspace{8pt}{\footnotesize S_5/A_5 \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 5 を添加 ↓ Q 5 ( ω 5 ) ⊂ 拡大 Q 5 ( ω 5 , X 5 ) ⇕ 対応 S 5 ⊃ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ↑ が巡回群 S 5 / A 5
方程式に解の公式が存在するかどうかは、このガロア対応の群の縮小構造に着目します。剰余群が巡回群になるような正規部分群をとりながら、５次対称群 S 5 S_5 S 5 I = { i d } I=\{id\} I = { i d } S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5
（最終目標）５次対称群が可解群ではないことの証明 今の段階で、群を S 3 S_3 S 3 A 5 A_5 A 5
＜ステージ１＞ ＜群の縮小＞ S 5 ⊃ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ↑ S 5 / A 5 が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-4pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ１＞}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{4pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\\[-4pt]
&\hspace{18.5pt}\uparrow\\[-3pt]
&\hspace{7pt}{\footnotesize S_5/\hspace{-1pt}A_5 \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ ＜ステージ１＞ S 5 ⊃ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ↑ が巡回群 S 5 / A 5
すると、S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 M M M A 5 / M A_5/M A 5 / M M ( ⊂ A 5 ) M (\subset A_5) M ( ⊂ A 5 )
＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ ＜群の縮小＞ S 5 ⊃ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ⊃ 縮小 M A 5 の正規部分群 ↑ ↑ S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-7pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ１＞}}\hspace{0pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ２＞}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-6pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\hspace{-6pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny A_5 の正規部分群}{M}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\uparrow\hspace{40pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{7pt}{\footnotesize S_5/A_5 \atop が巡回群}\hspace{10pt}{\footnotesize A_5/M \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ ＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ S 5 ⊃ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ⊃ 縮小 A 5 の正規部分群 M ↑ ↑ が巡回群 S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M
なお、縮小なので
A 5 ≠ M \begin{align*}
A_5\ne M
\end{align*} A 5 = M
であることに注意してください。A 5 A_5 A 5 A 5 A_5 A 5 M M M A 5 A_5 A 5 ⫌ \supsetneqq ⫌
＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ ＜群の縮小＞ S 5 ⫌ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ⫌ 縮小 M A 5 の正規部分群 ↑ ↑ S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-7pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ１＞}}\hspace{0pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ２＞}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{-5pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\hspace{-6pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{-6pt}\underset{\tiny A_5 の正規部分群}{M}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\uparrow\hspace{42pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{7pt}{\footnotesize S_5/A_5 \atop が巡回群}\hspace{12pt}{\footnotesize A_5/M \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ ＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ S 5 ⫌ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ⫌ 縮小 A 5 の正規部分群 M ↑ ↑ が巡回群 S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M
S 5 S_5 S 5 I = { i d } I=\{id\} I = { i d }
＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ ＜群の縮小＞ S 5 ⫌ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ⫌ 縮小 M A 5 の正規部分群 ⫌ 縮小 ⋯ ⫌ 縮小 I ↑ ↑ ↑ ↑ S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M が巡回群 M / ? が巡回群 ? / I が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-7pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ１＞}}\hspace{0pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ２＞}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{-5pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\hspace{-6pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{-6pt}\underset{\tiny A_5 の正規部分群}{M}\hspace{-6pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{6pt}\cdots \hspace{6pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}I\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\uparrow\hspace{42pt}\uparrow\hspace{40pt}\uparrow\hspace{38pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{7pt}{\footnotesize S_5/A_5 \atop が巡回群}\hspace{12pt}{\footnotesize A_5/M \atop が巡回群}\hspace{10pt}{\footnotesize M/? \atop が巡回群}\hspace{10pt}{\footnotesize ?/I \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ ＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ S 5 ⫌ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ⫌ 縮小 A 5 の正規部分群 M ⫌ 縮小 ⋯ ⫌ 縮小 I ↑ ↑ ↑ ↑ が巡回群 S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M が巡回群 M / ? が巡回群 ? / I
そこで、証明は背理法 を用います。背理法は（注１で詳解） 。
背理法による証明 （証明） S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 M M M A 5 / M A_5/M A 5 / M M ( ⫋ A 5 ) M (\subsetneqq A_5) M ( ⫋ A 5 )
＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ ＜群の縮小＞ S 5 ⫌ 縮小 A 5 S 5 の正規部分群 ⫌ 縮小 M A 5 の正規部分群 ↑ ↑ S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-7pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ１＞}}\hspace{0pt}{\footnotesize \bm{＜ステージ２＞}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_5\hspace{5pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{-5pt}\underset{\tiny S_5 の正規部分群}{A_5}\hspace{-6pt}\overset{\bm{縮小}}{\supsetneqq}\hspace{-6pt}\underset{\tiny A_5 の正規部分群}{M}\\[-4pt]
&\hspace{19pt}\uparrow\hspace{42pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{7pt}{\footnotesize S_5/A_5 \atop が巡回群}\hspace{12pt}{\footnotesize A_5/M \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ ＜ステージ１＞ ＜ステージ２＞ S 5 ⫌ 縮小 S 5 の正規部分群 A 5 ⫌ 縮小 A 5 の正規部分群 M ↑ ↑ が巡回群 S 5 / A 5 が巡回群 A 5 / M
あらためて、M M M A 5 A_5 A 5
M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 ) \begin{align*}
M \subsetneqq A_5 \cdots (*4)
\end{align*} M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 )
であることに注意してください。後に使うので、これを ( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 )
まず、A 5 / M A_5/M A 5 / M
「定理１」 巡回群は可換群である。
より、A 5 / M A_5/M A 5 / M
「定理２」 G G G g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2
剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H \begin{align*}
剰余群 G/H は可換群である \Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in H
\end{align*} 剰余群 G / H は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ H
より、群 A 5 A_5 A 5 g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2
剰余群 A 5 / M は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ M \begin{align*}
剰余群 A_5/M は可換群である \Longleftrightarrow g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in M
\end{align*} 剰余群 A 5 / M は可換群である ⟺ g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ M
が成り立ちます。「定理２」について、G G G A 5 A_5 A 5 H H H M M M
剰余群 A 5 / M A_5/M A 5 / M \hspace{5pt}
⇕ \hspace{15pt}\Updownarrow ⇕
すると、A 5 / M A_5/M A 5 / M g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ M g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in M g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 ∈ M A 5 A_5 A 5 g 1 , g 2 ( ∈ A 5 ) g_1, g_2 (\in A_5) g 1 , g 2 ( ∈ A 5 ) g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 す● べ● て● M M M
「A 5 A_5 A 5 g 1 , g 2 g_1, g_2 g 1 , g 2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 g 1 − 1 g 2 − 1 g 1 g 2 す● べ● て● M M M
すると、「定理２」に関する「補足１」
「補足１」 定理２に関する補足として、G G G す● べ● て● H H H
より、次のことがいえます。後に重要になるので、これを ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 )
「A 5 A_5 A 5 す● べ● て● M M M ⋯ ( ∗ 5 ) \cdots (*5) ⋯ ( ∗ 5 )
「補足１」について、G G G A 5 A_5 A 5 H H H M M M
５次交代群について さてここで、５次交代群 A 5 A_5 A 5 A 5 A_5 A 5 S 5 S_5 S 5 （注２） 。つまり A 5 A_5 A 5
「定理４」 任意の偶置換は３次巡回置換、または３次巡回置の複数個の積で表すことができる。
より、A 5 A_5 A 5 （注３） 。
さらに
「定理３」 任意の３次巡回置換は、３次巡回置換の交換子で表せる。
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) \begin{align*}
(i j k)={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i )
より、A 5 A_5 A 5 A 5 A_5 A 5
これで、A 5 A_5 A 5 A 5 A_5 A 5
すると、先に示した ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 )
「A 5 A_5 A 5 す● べ● て● M M M ⋯ ( ∗ 5 ) \cdots (*5) ⋯ ( ∗ 5 )
より、A 5 A_5 A 5 す● べ● て● のA 5 A_5 A 5 M M M
A 5 A_5 A 5 M M M
よって、先に述べた「部分集合の定義」により
A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 ) \begin{align*}
A_5 \subseteqq M \cdots (*6)
\end{align*} A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 )
が示されます。
（復習）部分集合の定義 A \text{A} A す● べ● て● のB \text{B} B
A ⫅ B \begin{align*}
\text{A}\subseteqq\text{B}
\end{align*} A ⫅ B
＊＊＊
この部分集合の定義において、A A A A 5 A_5 A 5 B B B M M M
A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 ) \begin{align*}
A_5 \subseteqq M \cdots (*6)
\end{align*} A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 )
になります。A 5 A_5 A 5 M M M A 5 = M A_5=M A 5 = M S 5 S_5 S 5 M M M A 5 A_5 A 5
M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 ) \begin{align*}
M \subsetneqq A_5 \cdots (*4)
\end{align*} M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 )
であることは、背理法の証明の最初の方で述べました。つまり、( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 ) ( ∗ 6 ) (*6) ( ∗ 6 )
M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 ) A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 ) \begin{align*}
M &\subsetneqq A_5 \cdots (*4)\\
A_5 &\subseteqq M \cdots (*6)
\end{align*} M A 5 ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 ) ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 )
は同時に成り立ちません。( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 ) M M M A 5 A_5 A 5
( ∗ 6 ) (*6) ( ∗ 6 ) A 5 A_5 A 5 M M M A 5 ⫋ M A_5\subsetneqq M A 5 ⫋ M A 5 = M A_5=M A 5 = M
よって、( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 ) ( ∗ 6 ) (*6) ( ∗ 6 ) S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5
（証明終）
結局のところ、 S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 I = { i d } I=\{id\} I = { i d } S 5 S_5 S 5
６次以上の方程式の場合はどうか？ ６次方程式には６つの解 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) \begin{align*}
(i j k)={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i )
が適用できるようになり、本記事と同じ議論でS 6 S_6 S 6 n n n S n S_n S n n ≧ 5 n\geqq5 n ≧ 5
追記（まとめ）証明の急所はどこか？ 証明の急所は、「定理３」である次の等式
( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i ) \begin{align*}
(i j k)={(k l i)}^{-1}{(j m i)}^{-1}(k l i)(j m i)
\end{align*} ( i j k ) = ( k l i ) − 1 ( j m i ) − 1 ( k l i ) ( j m i )
にあります。i , j , k , l , m i, j, k, l, m i , j , k , l , m i = x 1 i=x_1 i = x 1 j = x 2 j=x_2 j = x 2 k = x 3 k=x_3 k = x 3 ( i j k ) = ( x 1 x 2 x 3 ) (i j k)=(x_1 x_2 x_3) ( i j k ) = ( x 1 x 2 x 3 ) l = x 4 l=x_4 l = x 4 m = x 5 m=x_5 m = x 5
( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 3 x 4 x 1 ) − 1 ( x 2 x 5 x 1 ) − 1 ( x 3 x 4 x 1 ) ( x 2 x 5 x 1 ) \begin{align*}
(x_1 x_2 x_3)={(x_3 x_4 x_1)}^{-1}{(x_2 x_5 x_1)}^{-1}(x_3 x_4 x_1)(x_2 x_5 x_1)
\end{align*} ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 3 x 4 x 1 ) − 1 ( x 2 x 5 x 1 ) − 1 ( x 3 x 4 x 1 ) ( x 2 x 5 x 1 )
と交換子で表すことはできない。つまり、５次以上の方程式に関して、この「定理３」の等式を用いた証明は適用されることになります。S 5 S_5 S 5
M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 ) \begin{align*}
M \subsetneqq A_5 \cdots (*4)
\end{align*} M ⫋ A 5 ⋯ ( ∗ 4 )
であったものが、「定理３」の等式
( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 3 x 4 x 1 ) − 1 ( x 2 x 5 x 1 ) − 1 ( x 3 x 4 x 1 ) ( x 2 x 5 x 1 ) \begin{align*}
(x_1 x_2 x_3)={(x_3 x_4 x_1)}^{-1}{(x_2 x_5 x_1)}^{-1}(x_3 x_4 x_1)(x_2 x_5 x_1)
\end{align*} ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 3 x 4 x 1 ) − 1 ( x 2 x 5 x 1 ) − 1 ( x 3 x 4 x 1 ) ( x 2 x 5 x 1 )
を用いることによって
A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 ) \begin{align*}
A_5 \subseteqq M \cdots (*6)
\end{align*} A 5 ⫅ M ⋯ ( ∗ 6 )
が導き出され、( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 ) ( ∗ 6 ) (*6) ( ∗ 6 ) S 5 S_5 S 5
終わりに 以上で「群」を用いることによって、５次以上の方程式に解の公式が存在しないことが証明されました。A 5 A_5 A 5 { i d } \{id\} { i d }
メインの部分はこの章で終わりとなりますが、必要があれば（時間の許す範囲内で）補足として次の章から拾い上げていきます。
（注１）『背理法』について（復習） 『背理法 』とは、「ある命題の結論が正しいことを証明するために、その結論の否定を仮定して、すでに真であるとわかっている事実や元の命題の仮設などに矛盾することから、その命題の結論が正しいことを証明する方法」n n n n 2 n^2 n 2 n n n
（証明）n n n n n n n n n k k k − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ -2, -1, 0, 1, 2, \cdots − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ n = 2 k + 1 n=2k+1 n = 2 k + 1 ( ∗ ) (*) ( ∗ ) ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
n 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = ( 2 k ) 2 + 2 ⋅ 2 k ⋅ 1 + 1 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2 ( 2 k 2 + 2 k ) + 1 = 2 l + 1 （ただし l = 2 k 2 + 2 k とおいた） \begin{align*}
n^2&=(2k+1)^2\\
&=(2k)^2+2\cdot2k\cdot1+1^2\\
&=4k^2+4k+1\\
&=2(2k^2+2k)+1\\
&=2l+1 （ただし l=2k^2+2k とおいた）
\end{align*} n 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = ( 2 k ) 2 + 2 ⋅ 2 k ⋅ 1 + 1 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2 ( 2 k 2 + 2 k ) + 1 = 2 l + 1 （ただし l = 2 k 2 + 2 k とおいた）
すると、k k k l ( = 2 k 2 + 2 k ) l(=2k^2+2k) l ( = 2 k 2 + 2 k ) 2 l + 1 2l+1 2 l + 1 ( ∗ ) (*) ( ∗ ) n 2 n^2 n 2 n n n n n n
( ∗ ) (*) ( ∗ ) ⋯ , − 5 , − 3 , − 1 , 1 , 3 , 5 , ⋯ \cdots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \cdots ⋯ , − 5 , − 3 , − 1 , 1 , 3 , 5 , ⋯ − 5 = 2 × ( − 3 ) + 1 -5=2\times(-3)+1 − 5 = 2 × ( − 3 ) + 1 − 3 = 2 × ( − 2 ) + 1 -3=2\times(-2)+1 − 3 = 2 × ( − 2 ) + 1 − 1 = 2 × ( − 1 ) + 1 -1=2\times(-1)+1 − 1 = 2 × ( − 1 ) + 1 1 = 2 × 0 + 1 1=2\times0+1 1 = 2 × 0 + 1 3 = 2 × 1 + 1 3=2\times1+1 3 = 2 × 1 + 1 5 = 2 × 2 + 1 5=2\times2+1 5 = 2 × 2 + 1 ⋮ \hspace{30pt}\vdots ⋮ 2 k + 1 2k+1 2 k + 1 k k k
なお、確認として、2 2 2 偶数 といいます。また、2 2 2 奇数 といいます。よって、偶数ではない数は奇数です。− 4 -4 − 4 − 3 -3 − 3 0 0 0 2 2 2
（注２）５次置換を偶置換と奇置換に分類（復習） さて本シリーズ (15) で、５次置換すべてを互換の積で表し、偶置換と奇置換に分類しました。偶置換とは偶数個の互換の積で表せる置換であり、奇置換とは奇数個の互換の積で表せる置換です（本シリーズ (15)）。
(case1) 動かない文字が５つの場合 1 1 1 偶置換 I = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) I=(x_1 x_2)(x_1 x_2) I = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )
(case2) 動かない文字が３つの場合 10 10 10 奇置換 ( x 1 x 2 ) (x_1 x_2) ( x 1 x 2 )
(case3) 動かない文字が２つの場合 20 20 20 偶置換 ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) (x_1 x_2 x_3)=(x_1 x_2)(x_1 x_3) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 )
(case4) 動かない文字が１つの場合(case4-1) 共通の文字のない２つの互換の積 15 15 15 偶置換 ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) (x_1 x_2)(x_3 x_4) ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) 30 30 30 奇置換 ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) (x_1 x_2 x_3 x_4)=(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_4) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 )
(case5) 動かない文字が０の場合(case5-1) 互いに共通の文字のない、１つの互換と３次巡回置換との積 20 20 20 奇置換 ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ( x 3 x 5 ) (x_1 x_2)(x_3 x_4 x_5)=(x_1 x_2)(x_3 x_4)(x_3 x_5) ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ( x 3 x 5 ) 24 24 24 ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) (x_1 x_2 x_3 x_4 x_5)=(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_5) ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) 偶置換
＊＊＊
全部で何通りあるかを確認すると(case1)+(case2)+(case3)+(case4-1)+(case4-2)+(case5-1)+(case5-2) ＝ 1 + 10 + 20 + 15 + 30 + 20 + 24 ＝1+10+20+15+30+20+24 ＝ 1 + 10 + 20 + 15 + 30 + 20 + 24 = 120 =120 = 120 (case1)+(case3)+(case4-1)+(case5-2) ＝ 1 + 20 + 15 + 24 ＝1+20+15+24 ＝ 1 + 20 + 15 + 24 = 60 =60 = 60 (case2)+(case4-2)+(case5-1) ＝ 10 + 30 + 20 ＝10+30+20 ＝ 10 + 30 + 20 = 60 =60 = 60 60 60 60
（注３）60通りの偶置換を３次巡回置換で表す（復習） 任意の偶置換は３次巡回置換で表すことができます。60 60 60
(case1) 動かない文字が５つの場合 この場合は何も変化させない恒等置換 I I I
I = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) \begin{align*}
I=(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_2 x_3)
\end{align*} I = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 )
と表すことによって、恒等置換を３次巡回置換の積で表すことができます。
(case3) 動かない文字が２つの場合 これは３次巡回置換そのもので、次のように ① ① ① ⑮ ⑮ ⑮ 15 15 15
( x 1 〇 〇 ) 型 ① ( x 1 x 2 x 3 ) ② ( x 1 x 2 x 4 ) ③ ( x 1 x 2 x 5 ) ④ ( x 1 x 3 x 2 ) ⑤ ( x 1 x 3 x 4 ) ⑥ ( x 1 x 3 x 5 ) ⑦ ( x 1 x 4 x 2 ) ⑧ ( x 1 x 4 x 3 ) ⑨ ( x 1 x 4 x 5 ) ⑩ ( x 1 x 5 x 2 ) ⑪ ( x 1 x 5 x 3 ) ⑫ ( x 1 x 5 x 4 ) ( x 2 〇 〇 ) 型 ⑬ ( x 2 x 3 x 4 ) ⑭ ( x 2 x 3 x 5 ) ⑮ ( x 2 x 4 x 3 ) ⑯ ( x 2 x 4 x 5 ) ⑰ ( x 2 x 5 x 3 ) ⑱ ( x 2 x 5 x 4 ) ( x 3 〇 〇 ) 型 ⑲ ( x 3 x 4 x 5 ) ⑳ ( x 3 x 5 x 4 ) \begin{align*}
&(x_1 〇 〇) 型\\
&① (x_1 x_2 x_3)\\
&② (x_1 x_2 x_4)\\
&③ (x_1 x_2 x_5)\\
&④ (x_1 x_3 x_2)\\
&⑤ (x_1 x_3 x_4)\\
&⑥ (x_1 x_3 x_5)\\
&⑦ (x_1 x_4 x_2)\\
&⑧ (x_1 x_4 x_3)\\
&⑨ (x_1 x_4 x_5)\\
&⑩ (x_1 x_5 x_2)\\
&⑪ (x_1 x_5 x_3)\\
&⑫ (x_1 x_5 x_4)\\[5pt]
&(x_2 〇 〇) 型\\
&⑬ (x_2 x_3 x_4)\\
&⑭ (x_2 x_3 x_5)\\
&⑮ (x_2 x_4 x_3)\\
&⑯ (x_2 x_4 x_5)\\
&⑰ (x_2 x_5 x_3)\\
&⑱ (x_2 x_5 x_4)\\[5pt]
&(x_3 〇 〇) 型\\
&⑲ (x_3 x_4 x_5)\\
&⑳ (x_3 x_5 x_4)
\end{align*} ( x 1 〇 〇 ) 型 ① ( x 1 x 2 x 3 ) ② ( x 1 x 2 x 4 ) ③ ( x 1 x 2 x 5 ) ④ ( x 1 x 3 x 2 ) ⑤ ( x 1 x 3 x 4 ) ⑥ ( x 1 x 3 x 5 ) ⑦ ( x 1 x 4 x 2 ) ⑧ ( x 1 x 4 x 3 ) ⑨ ( x 1 x 4 x 5 ) ⑩ ( x 1 x 5 x 2 ) ⑪ ( x 1 x 5 x 3 ) ⑫ ( x 1 x 5 x 4 ) ( x 2 〇 〇 ) 型 ⑬ ( x 2 x 3 x 4 ) ⑭ ( x 2 x 3 x 5 ) ⑮ ( x 2 x 4 x 3 ) ⑯ ( x 2 x 4 x 5 ) ⑰ ( x 2 x 5 x 3 ) ⑱ ( x 2 x 5 x 4 ) ( x 3 〇 〇 ) 型 ⑲ ( x 3 x 4 x 5 ) ⑳ ( x 3 x 5 x 4 )
(case3) はすべて３次巡回置換です。
(case4) 動かない文字が１つの場合 (case4-1) ① ① ① ⑮ ⑮ ⑮ 15 15 15
（再掲）
( x 1 x 2 ) ( 〇 △ ) 型 ① ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ② ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 5 ) ③ ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ④ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 4 ) ⑤ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 5 ) ⑥ ( x 1 x 3 ) ( x 4 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑦ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ⑧ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 5 ) ⑨ ( x 1 x 4 ) ( x 3 x 5 ) ( x 1 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑩ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 3 ) ⑪ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 5 ) ( x 3 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ⑬ ( x 2 x 3 ) ( x 4 x 5 ) ( x 2 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑭ ( x 2 x 4 ) ( x 3 x 5 ) ( x 2 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑮ ( x 2 x 5 ) ( x 3 x 4 ) \begin{align*}
&(x_1 x_2)(〇 △) 型\\
&① (x_1 x_2)(x_3 x_4)\\
&② (x_1 x_2)(x_3 x_5)\\
&③ (x_1 x_2)(x_4 x_5)\\[5pt]
&(x_1 x_3)(〇 △) 型\\
&④ (x_1 x_3)(x_2 x_4)\\
&⑤ (x_1 x_3)(x_2 x_5)\\
&⑥ (x_1 x_3)(x_4 x_5)\\[5pt]
&(x_1 x_4)(〇 △) 型\\
&⑦ (x_1 x_4)(x_2 x_3)\\
&⑧ (x_1 x_4)(x_2 x_5)\\
&⑨ (x_1 x_4)(x_3 x_5)\\[5pt]
&(x_1 x_5)(〇 △) 型\\
&⑩ (x_1 x_5)(x_2 x_3)\\
&⑪ (x_1 x_5)(x_2 x_4)\\
&⑫ (x_1 x_5)(x_3 x_4)\\[5pt]
&(x_2 x_3)(〇 △) 型\\
&⑬ (x_2 x_3)(x_4 x_5)\\[5pt]
&(x_2 x_4)(〇 △) 型\\
&⑭ (x_2 x_4)(x_3 x_5)\\[5pt]
&(x_2 x_5)(〇 △) 型\\
&⑮ (x_2 x_5)(x_3 x_4)
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( 〇 △ ) 型 ① ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ② ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 5 ) ③ ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ④ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 4 ) ⑤ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 5 ) ⑥ ( x 1 x 3 ) ( x 4 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑦ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ⑧ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 5 ) ⑨ ( x 1 x 4 ) ( x 3 x 5 ) ( x 1 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑩ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 3 ) ⑪ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 5 ) ( x 3 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ⑬ ( x 2 x 3 ) ( x 4 x 5 ) ( x 2 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑭ ( x 2 x 4 ) ( x 3 x 5 ) ( x 2 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑮ ( x 2 x 5 ) ( x 3 x 4 )
なお、これらは共通の文字の無い互いに独立な互換の積なので、順番を入れ替えても同じものとなります。① ① ① ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 3 x 4 ) ( x 1 x 2 ) (x_1 x_2)(x_3 x_4)=(x_3 x_4)(x_1 x_2) ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 3 x 4 ) ( x 1 x 2 )
これらは、次の（公式２）
を用いれば、すべて３次巡回置換で表すことができます。例として ① ① ①
( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 ) ‾ 恒等置換を間に挟む ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 2 x 3 ) ‾ 前の２つをセット ( x 2 x 3 ) ( x 3 x 4 ) ‾ ‾ 後ろの２つをセット = ( x 2 x 1 ) ( x 2 x 3 ) ‾ 先頭の文字をそろえる ( x 3 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ‾ ‾ 先頭の文字をそろえる = ( x 2 x 1 x 3 ) ‾ 公式１利用 ( x 3 x 2 x 4 ) ‾ ‾ 公式１利用 = ( x 1 x 3 x 2 ) ‾ 並び替え ( x 2 x 4 x 3 ) ‾ ‾ 並び替え \begin{align*}
(x_1 x_2)(x_3 x_4)&=(x_1 x_2)\underset{恒等置換を間に挟む}{\underline{(x_2 x_3)(x_2 x_3)}}(x_3 x_4)\\
&=\underset{前の２つをセット}{\underline{(x_1 x_2)(x_2 x_3)}}\,\underset{後ろの２つをセット}{\underline{\underline{(x_2 x_3)(x_3 x_4)}}}\\
&=\underset{先頭の文字をそろえる}{\underline{(x_2 x_1)(x_2 x_3)}}\,\underset{先頭の文字をそろえる}{\underline{\underline{(x_3 x_2)(x_3 x_4)}}}\\
&=\underset{公式１利用}{\underline{(x_2 x_1 x_3)}}\,\underset{公式１利用}{\underline{\underline{(x_3 x_2 x_4)}}}\\
&=\underset{並び替え}{\underline{(x_1 x_3 x_2)}}\,\underset{並び替え}{\underline{\underline{(x_2 x_4 x_3)}}}
\end{align*} ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) 恒等置換を間に挟む ( x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 ) ( x 3 x 4 ) = 前の２つをセット ( x 1 x 2 ) ( x 2 x 3 ) 後ろの２つをセット ( x 2 x 3 ) ( x 3 x 4 ) = 先頭の文字をそろえる ( x 2 x 1 ) ( x 2 x 3 ) 先頭の文字をそろえる ( x 3 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = 公式１利用 ( x 2 x 1 x 3 ) 公式１利用 ( x 3 x 2 x 4 ) = 並び替え ( x 1 x 3 x 2 ) 並び替え ( x 2 x 4 x 3 )
と恒等置換をはさみ込む方法です。この変換を 15 15 15
( x 1 x 2 ) ( 〇 △ ) 型 ① ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 4 x 3 ) ② ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 5 x 3 ) ③ ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 2 x 5 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ④ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 3 x 4 x 2 ) ⑤ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 3 x 5 x 2 ) ⑥ ( x 1 x 3 ) ( x 4 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 3 x 5 x 4 ) ( x 1 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑦ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 4 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 x 3 ) ⑧ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 4 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 x 5 ) ⑨ ( x 1 x 4 ) ( x 3 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 4 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 3 x 4 x 5 ) ( x 1 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑩ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 5 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 2 x 5 x 3 ) ⑪ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 5 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 2 x 5 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 5 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 5 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 3 x 5 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ⑬ ( x 2 x 3 ) ( x 4 x 5 ) = ( x 2 x 4 x 3 ) ( x 3 x 5 x 4 ) ( x 2 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑭ ( x 2 x 4 ) ( x 3 x 5 ) = ( x 2 x 3 x 4 ) ( x 4 x 5 x 3 ) = ( x 2 x 3 x 5 ) ( x 3 x 4 x 5 ) ( x 2 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑮ ( x 2 x 5 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 2 x 3 x 5 ) ( x 5 x 4 x 3 ) = ( x 2 x 3 x 5 ) ( x 3 x 5 x 4 ) \begin{alignat*}{2}
&(x_1 x_2)(〇 △) 型\\
&① (x_1 x_2)(x_3 x_4) & &=(x_1 x_3 x_2)(x_2 x_4 x_3)\\
&② (x_1 x_2)(x_3 x_5) & &=(x_1 x_3 x_2)(x_2 x_5 x_3)\\
&③ (x_1 x_2)(x_4 x_5) & &=(x_1 x_4 x_2)(x_2 x_5 x_4)\\[5pt]
&(x_1 x_3)(〇 △) 型\\
&④ (x_1 x_3)(x_2 x_4) & &=(x_1 x_2 x_3)(x_3 x_4 x_2)\\
&⑤ (x_1 x_3)(x_2 x_5) & &=(x_1 x_2 x_3)(x_3 x_5 x_2)\\
&⑥ (x_1 x_3)(x_4 x_5) & &=(x_1 x_4 x_3)(x_3 x_5 x_4)\\[5pt]
&(x_1 x_4)(〇 △) 型\\
&⑦ (x_1 x_4)(x_2 x_3) & &=(x_1 x_2 x_4)(x_4 x_3 x_2)\\
& & &=(x_1 x_2 x_4)(x_2 x_4 x_3)\\
&⑧ (x_1 x_4)(x_2 x_5) & &=(x_1 x_2 x_4)(x_4 x_5 x_2)\\
& & &=(x_1 x_2 x_4)(x_2 x_4 x_5)\\
&⑨ (x_1 x_4)(x_3 x_5) & &=(x_1 x_3 x_4)(x_4 x_5 x_3)\\
& & &=(x_1 x_3 x_4)(x_3 x_4 x_5)\\[5pt]
&(x_1 x_5)(〇 △) 型\\
&⑩ (x_1 x_5)(x_2 x_3) & &=(x_1 x_2 x_5)(x_5 x_3 x_2)\\
& & &=(x_1 x_2 x_5)(x_2 x_5 x_3)\\
&⑪ (x_1 x_5)(x_2 x_4) & &=(x_1 x_2 x_5)(x_5 x_4 x_2)\\
& & &=(x_1 x_2 x_5)(x_2 x_5 x_4)\\
&⑫ (x_1 x_5)(x_3 x_4) & &=(x_1 x_3 x_5)(x_5 x_4 x_3)\\
& & &=(x_1 x_3 x_5)(x_3 x_5 x_4)\\[5pt]
&(x_2 x_3)(〇 △) 型\\
&⑬ (x_2 x_3)(x_4 x_5) & &=(x_2 x_4 x_3)(x_3 x_5 x_4)\\[5pt]
&(x_2 x_4)(〇 △) 型\\
&⑭ (x_2 x_4)(x_3 x_5) & &=(x_2 x_3 x_4)(x_4 x_5 x_3)\\
& & &=(x_2 x_3 x_5)(x_3 x_4 x_5)\\[5pt]
&(x_2 x_5)(〇 △) 型\\
&⑮ (x_2 x_5)(x_3 x_4) & &=(x_2 x_3 x_5)(x_5 x_4 x_3)\\
& & &=(x_2 x_3 x_5)(x_3 x_5 x_4)
\end{alignat*} ( x 1 x 2 ) ( 〇 △ ) 型 ① ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) ② ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 5 ) ③ ( x 1 x 2 ) ( x 4 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ④ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 4 ) ⑤ ( x 1 x 3 ) ( x 2 x 5 ) ⑥ ( x 1 x 3 ) ( x 4 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑦ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ⑧ ( x 1 x 4 ) ( x 2 x 5 ) ⑨ ( x 1 x 4 ) ( x 3 x 5 ) ( x 1 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑩ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 3 ) ⑪ ( x 1 x 5 ) ( x 2 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 5 ) ( x 3 x 4 ) ( x 2 x 3 ) ( 〇 △ ) 型 ⑬ ( x 2 x 3 ) ( x 4 x 5 ) ( x 2 x 4 ) ( 〇 △ ) 型 ⑭ ( x 2 x 4 ) ( x 3 x 5 ) ( x 2 x 5 ) ( 〇 △ ) 型 ⑮ ( x 2 x 5 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 2 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 3 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 3 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 3 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 4 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 4 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 2 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 4 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 5 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 2 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 5 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 2 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 5 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 3 x 5 x 4 ) = ( x 2 x 4 x 3 ) ( x 3 x 5 x 4 ) = ( x 2 x 3 x 4 ) ( x 4 x 5 x 3 ) = ( x 2 x 3 x 5 ) ( x 3 x 4 x 5 ) = ( x 2 x 3 x 5 ) ( x 5 x 4 x 3 ) = ( x 2 x 3 x 5 ) ( x 3 x 5 x 4 )
これで (case4-1) のすべての互換の積を、３次巡回置換の積で表すことができました。
(case5) 動かない文字が０の場合 (case5-2) ① ① ① ㉔ ㉔ ㉔ 24 24 24
（再掲）
( x 1 x 2 〇 △ □ ) 型 ① ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ② ( x 1 x 2 x 3 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ③ ( x 1 x 2 x 4 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ④ ( x 1 x 2 x 4 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ⑤ ( x 1 x 2 x 5 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ⑥ ( x 1 x 2 x 5 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 3 〇 △ □ ) 型 ⑦ ( x 1 x 3 x 2 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ⑧ ( x 1 x 3 x 2 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ⑨ ( x 1 x 3 x 4 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ⑩ ( x 1 x 3 x 4 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ⑪ ( x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 3 x 5 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 〇 △ □ ) 型 ⑬ ( x 1 x 4 x 2 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ⑭ ( x 1 x 4 x 2 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ⑮ ( x 1 x 4 x 3 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ⑯ ( x 1 x 4 x 3 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ⑰ ( x 1 x 4 x 5 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ⑱ ( x 1 x 4 x 5 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 〇 △ □ ) 型 ⑲ ( x 1 x 5 x 2 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ⑳ ( x 1 x 5 x 2 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ㉑ ( x 1 x 5 x 3 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ㉒ ( x 1 x 5 x 3 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ㉓ ( x 1 x 5 x 4 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ㉔ ( x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) \begin{align*}
&(x_1 x_2 〇 △ \square) 型\\
&① (x_1 x_2 x_3 x_4 x_5)=(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_5)\\
&② (x_1 x_2 x_3 x_5 x_4)=(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_4)\\
&③ (x_1 x_2 x_4 x_3 x_5)=(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_5)\\
&④ (x_1 x_2 x_4 x_5 x_3)=(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_3)\\
&⑤ (x_1 x_2 x_5 x_3 x_4)=(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_4)\\
&⑥ (x_1 x_2 x_5 x_4 x_3)=(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_3)\\[5pt]
&(x_1 x_3 〇 △ \square) 型\\
&⑦ (x_1 x_3 x_2 x_4 x_5)=(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_5)\\
&⑧ (x_1 x_3 x_2 x_5 x_4)=(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_4)\\
&⑨ (x_1 x_3 x_4 x_2 x_5)=(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_5)\\
&⑩ (x_1 x_3 x_4 x_5 x_2)=(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_2)\\
&⑪ (x_1 x_3 x_5 x_2 x_4)=(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_4)\\
&⑫ (x_1 x_3 x_5 x_4 x_2)=(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_2)\\[5pt]
&(x_1 x_4 〇 △ \square) 型\\
&⑬ (x_1 x_4 x_2 x_3 x_5)=(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_5)\\
&⑭ (x_1 x_4 x_2 x_5 x_3)=(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_3)\\
&⑮ (x_1 x_4 x_3 x_2 x_5)=(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_5)\\
&⑯ (x_1 x_4 x_3 x_5 x_2)=(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_2)\\
&⑰ (x_1 x_4 x_5 x_2 x_3)=(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_3)\\
&⑱ (x_1 x_4 x_5 x_3 x_2)=(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_2)\\[5pt]
&(x_1 x_5 〇 △ \square) 型\\
&⑲ (x_1 x_5 x_2 x_3 x_4)=(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_4)\\
&⑳ (x_1 x_5 x_2 x_4 x_3)=(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_3)\\
&㉑ (x_1 x_5 x_3 x_2 x_4)=(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_4)\\
&㉒ (x_1 x_5 x_3 x_4 x_2)=(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_2)\\
&㉓ (x_1 x_5 x_4 x_2 x_3)=(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_3)\\
&㉔ (x_1 x_5 x_4 x_3 x_2)=(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_2)
\end{align*} ( x 1 x 2 〇 △ □ ) 型 ① ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ② ( x 1 x 2 x 3 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ③ ( x 1 x 2 x 4 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ④ ( x 1 x 2 x 4 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ⑤ ( x 1 x 2 x 5 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ⑥ ( x 1 x 2 x 5 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 3 〇 △ □ ) 型 ⑦ ( x 1 x 3 x 2 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ⑧ ( x 1 x 3 x 2 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ⑨ ( x 1 x 3 x 4 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ⑩ ( x 1 x 3 x 4 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ⑪ ( x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 3 x 5 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 〇 △ □ ) 型 ⑬ ( x 1 x 4 x 2 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ⑭ ( x 1 x 4 x 2 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ⑮ ( x 1 x 4 x 3 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ⑯ ( x 1 x 4 x 3 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ⑰ ( x 1 x 4 x 5 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ⑱ ( x 1 x 4 x 5 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 〇 △ □ ) 型 ⑲ ( x 1 x 5 x 2 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ⑳ ( x 1 x 5 x 2 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ㉑ ( x 1 x 5 x 3 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ㉒ ( x 1 x 5 x 3 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ㉓ ( x 1 x 5 x 4 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ㉔ ( x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 )
これらは前２つと後ろ２つに分けで、それぞれは共通の文字のある互換の積なので、（公式１）
を用いて３次巡回置換に変換します。例えば ① ① ①
( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ‾ 前の２つをセット ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ‾ ‾ 後ろの２つをセット = ( x 1 x 2 x 3 ) ‾ 公式１を利用 ( x 1 x 4 x 5 ) ‾ ‾ 公式１を利用 \begin{align*}
(x_1 x_2 x_3 x_4 x_5)&=\,\underset{前の２つをセット}{\underline{(x_1 x_2)(x_1 x_3)}}\,\underset{後ろの２つをセット}{\underline{\underline{(x_1 x_4)(x_1 x_5)}}}\\
&=\,\underset{公式１を利用}{\underline{(x_1 x_2 x_3)}}\,\underset{公式１を利用}{\underline{\underline{(x_1 x_4 x_5)}}}
\end{align*} ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = 前の２つをセット ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) 後ろの２つをセット ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) = 公式１を利用 ( x 1 x 2 x 3 ) 公式１を利用 ( x 1 x 4 x 5 )
この変形をすべての置換に実行していくと、次のようになります。
( x 1 x 2 〇 △ □ ) 型 ① ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 4 x 5 ) ② ( x 1 x 2 x 3 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 5 x 4 ) ③ ( x 1 x 2 x 4 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 5 ) ④ ( x 1 x 2 x 4 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 5 x 3 ) ⑤ ( x 1 x 2 x 5 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 1 x 3 x 4 ) ⑥ ( x 1 x 2 x 5 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 1 x 3 〇 △ □ ) 型 ⑦ ( x 1 x 3 x 2 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 1 x 4 x 5 ) ⑧ ( x 1 x 3 x 2 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 1 x 5 x 4 ) ⑨ ( x 1 x 3 x 4 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 1 x 2 x 5 ) ⑩ ( x 1 x 3 x 4 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 1 x 5 x 2 ) ⑪ ( x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 1 x 2 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 3 x 5 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 1 x 4 〇 △ □ ) 型 ⑬ ( x 1 x 4 x 2 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 1 x 3 x 5 ) ⑭ ( x 1 x 4 x 2 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 1 x 5 x 3 ) ⑮ ( x 1 x 4 x 3 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 1 x 2 x 5 ) ⑯ ( x 1 x 4 x 3 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 1 x 5 x 2 ) ⑰ ( x 1 x 4 x 5 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 4 x 5 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ⑱ ( x 1 x 4 x 5 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 4 x 5 ) ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 1 x 5 〇 △ □ ) 型 ⑲ ( x 1 x 5 x 2 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 5 x 2 ) ( x 1 x 3 x 4 ) ⑳ ( x 1 x 5 x 2 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 5 x 2 ) ( x 1 x 4 x 3 ) ㉑ ( x 1 x 5 x 3 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 5 x 3 ) ( x 1 x 2 x 4 ) ㉒ ( x 1 x 5 x 3 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 5 x 3 ) ( x 1 x 4 x 2 ) ㉓ ( x 1 x 5 x 4 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 5 x 4 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ㉔ ( x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 5 x 4 ) ( x 1 x 3 x 2 ) \begin{alignat*}{2}
&(x_1 x_2 〇 △ \square) 型\\
&① (x_1 x_2 x_3 x_4 x_5) & &=(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_5)\\
& & &=(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_4 x_5)\\
&② (x_1 x_2 x_3 x_5 x_4) & &=(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_4)\\
& & &=(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_5 x_4)\\
&③ (x_1 x_2 x_4 x_3 x_5) & &=(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_5)\\
& & &=(x_1 x_2 x_4)(x_1 x_3 x_5)\\
&④ (x_1 x_2 x_4 x_5 x_3) & &=(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_3)\\
& & &=(x_1 x_2 x_4)(x_1 x_5 x_3)\\
&⑤ (x_1 x_2 x_5 x_3 x_4) & &=(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_4)\\
& & &=(x_1 x_2 x_5)(x_1 x_3 x_4)\\
&⑥ (x_1 x_2 x_5 x_4 x_3) & &=(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_3)\\
& & &=(x_1 x_2 x_5)(x_1 x_4 x_3)\\[5pt]
&(x_1 x_3 〇 △ \square) 型\\
&⑦ (x_1 x_3 x_2 x_4 x_5) & &=(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_5)\\
& & &=(x_1 x_3 x_2)(x_1 x_4 x_5)\\
&⑧ (x_1 x_3 x_2 x_5 x_4) & &=(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_4)\\
& & &=(x_1 x_3 x_2)(x_1 x_5 x_4)\\
&⑨ (x_1 x_3 x_4 x_2 x_5) & &=(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_5)\\
& & &=(x_1 x_3 x_4)(x_1 x_2 x_5)\\
&⑩ (x_1 x_3 x_4 x_5 x_2) & &=(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_2)\\
& & &=(x_1 x_3 x_4)(x_1 x_5 x_2)\\
&⑪ (x_1 x_3 x_5 x_2 x_4) & &=(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_4)\\
& & &=(x_1 x_3 x_5)(x_1 x_2 x_4)\\
&⑫ (x_1 x_3 x_5 x_4 x_2) & &=(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_2)\\
& & &=(x_1 x_3 x_5)(x_1 x_4 x_2)\\[5pt]
&(x_1 x_4 〇 △ \square) 型\\
&⑬ (x_1 x_4 x_2 x_3 x_5) & &=(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_5)\\
& & &=(x_1 x_4 x_2)(x_1 x_3 x_5)\\
&⑭ (x_1 x_4 x_2 x_5 x_3) & &=(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_5)(x_1 x_3)\\
& & &=(x_1 x_4 x_2)(x_1 x_5 x_3)\\
&⑮ (x_1 x_4 x_3 x_2 x_5) & &=(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_5)\\
& & &=(x_1 x_4 x_3)(x_1 x_2 x_5)\\
&⑯ (x_1 x_4 x_3 x_5 x_2) & &=(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_5)(x_1 x_2)\\
& & &=(x_1 x_4 x_3)(x_1 x_5 x_2)\\
&⑰ (x_1 x_4 x_5 x_2 x_3) & &=(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_3)\\
& & &=(x_1 x_4 x_5)(x_1 x_2 x_3)\\
&⑱ (x_1 x_4 x_5 x_3 x_2) & &=(x_1 x_4)(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_2)\\
& & &=(x_1 x_4 x_5)(x_1 x_3 x_2)\\[5pt]
&(x_1 x_5 〇 △ \square) 型\\
&⑲ (x_1 x_5 x_2 x_3 x_4) & &=(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_3)(x_1 x_4)\\
& & &=(x_1 x_5 x_2)(x_1 x_3 x_4)\\
&⑳ (x_1 x_5 x_2 x_4 x_3) & &=(x_1 x_5)(x_1 x_2)(x_1 x_4)(x_1 x_3)\\
& & &=(x_1 x_5 x_2)(x_1 x_4 x_3)\\
&㉑ (x_1 x_5 x_3 x_2 x_4) & &=(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_2)(x_1 x_4)\\
& & &=(x_1 x_5 x_3)(x_1 x_2 x_4)\\
&㉒ (x_1 x_5 x_3 x_4 x_2) & &=(x_1 x_5)(x_1 x_3)(x_1 x_4)(x_1 x_2)\\
& & &=(x_1 x_5 x_3)(x_1 x_4 x_2)\\
&㉓ (x_1 x_5 x_4 x_2 x_3) & &=(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_2)(x_1 x_3)\\
& & &=(x_1 x_5 x_4)(x_1 x_2 x_3)\\
&㉔ (x_1 x_5 x_4 x_3 x_2) & &=(x_1 x_5)(x_1 x_4)(x_1 x_3)(x_1 x_2)\\
& & &=(x_1 x_5 x_4)(x_1 x_3 x_2)\\
\end{alignat*} ( x 1 x 2 〇 △ □ ) 型 ① ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) ② ( x 1 x 2 x 3 x 5 x 4 ) ③ ( x 1 x 2 x 4 x 3 x 5 ) ④ ( x 1 x 2 x 4 x 5 x 3 ) ⑤ ( x 1 x 2 x 5 x 3 x 4 ) ⑥ ( x 1 x 2 x 5 x 4 x 3 ) ( x 1 x 3 〇 △ □ ) 型 ⑦ ( x 1 x 3 x 2 x 4 x 5 ) ⑧ ( x 1 x 3 x 2 x 5 x 4 ) ⑨ ( x 1 x 3 x 4 x 2 x 5 ) ⑩ ( x 1 x 3 x 4 x 5 x 2 ) ⑪ ( x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 ) ⑫ ( x 1 x 3 x 5 x 4 x 2 ) ( x 1 x 4 〇 △ □ ) 型 ⑬ ( x 1 x 4 x 2 x 3 x 5 ) ⑭ ( x 1 x 4 x 2 x 5 x 3 ) ⑮ ( x 1 x 4 x 3 x 2 x 5 ) ⑯ ( x 1 x 4 x 3 x 5 x 2 ) ⑰ ( x 1 x 4 x 5 x 2 x 3 ) ⑱ ( x 1 x 4 x 5 x 3 x 2 ) ( x 1 x 5 〇 △ □ ) 型 ⑲ ( x 1 x 5 x 2 x 3 x 4 ) ⑳ ( x 1 x 5 x 2 x 4 x 3 ) ㉑ ( x 1 x 5 x 3 x 2 x 4 ) ㉒ ( x 1 x 5 x 3 x 4 x 2 ) ㉓ ( x 1 x 5 x 4 x 2 x 3 ) ㉔ ( x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 1 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 2 x 5 ) ( x 1 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 1 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 1 x 5 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 1 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 1 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 1 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 3 x 5 ) ( x 1 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 1 x 3 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 4 x 2 ) ( x 1 x 5 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 5 ) = ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 1 x 2 x 5 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 4 x 3 ) ( x 1 x 5 x 2 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 4 x 5 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 4 x 5 ) ( x 1 x 3 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 5 x 2 ) ( x 1 x 3 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 5 x 2 ) ( x 1 x 4 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 4 ) = ( x 1 x 5 x 3 ) ( x 1 x 2 x 4 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 5 x 3 ) ( x 1 x 4 x 2 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 ) = ( x 1 x 5 x 4 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 4 ) ( x 1 x 3 ) ( x 1 x 2 ) = ( x 1 x 5 x 4 ) ( x 1 x 3 x 2 )
これで (case5) のすべての５次巡回置換を、３次巡回置換の積で表すことができました。
まとめ (case1) 動かない文字が５つの場合 1 1 1 I = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) I=(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_2 x_3) I = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 )
(case3) 動かない文字が２つの場合 20 20 20 ( x 1 x 2 x 3 ) (x_1 x_2 x_3) ( x 1 x 2 x 3 )
(case4) 動かない文字が１つの場合(case4-1) 共通の文字のない２つの互換の積 15 15 15 ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 4 x 3 ) (x_1 x_2)(x_3 x_4)=(x_1 x_3 x_2)(x_2 x_4 x_3) ( x 1 x 2 ) ( x 3 x 4 ) = ( x 1 x 3 x 2 ) ( x 2 x 4 x 3 )
(case5) 動かない文字が０の場合24 24 24 ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 4 x 5 ) (x_1 x_2 x_3 x_4 x_5)=(x_1 x_2 x_3)(x_1 x_4 x_5) ( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 4 x 5 )
（参考）各章の内容 （１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出1 1 1 ω \omega ω アーベルの証明 」の準備）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。⟶ \longrightarrow ⟶ アーベルの証明 」の解説①。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、構成可能な式の対称性が５次置換（対称式）から偶置換シンメトリーへと破壊されることを解説。アーベルの証明 」の解説②。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、偶置換と奇置換に分類する。アーベルの証明 」の解説➂。「すべての偶置換は３次巡回置換の積で表される」ことの解説。アーベルの証明 」の解説➃（最後）。「任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せる」ことによって、５次方程式には解の公式が存在しないことが証明されることの解説。累乗根の添加 」について重点解説。対称性の破壊 」について重点解説。対称性を恒等置換まで破壊 」することについて重点解説。最初に解の差積を添加して対称性を破壊すること 」は常套手段。「解の和と差の連立」 による２次方程式の解の公式の導出について。対称式ではない解の公式を基本対称式で表す 」ことのついて。定数 ω \bm{\omega} ω カルダノの方法 」を復習カルダノの方法 」と「対称性の破壊 」の関連について巡回置換 』から紐解く群 」について簡単に解説部分群 」について簡単に解説正規部分群 」について剰余群 ）になること{ 𝑖 𝑑 } \{𝑖𝑑\} { i d } 剰余群 ）になること巡回群 」について、および剰余群が巡回群になること体 」について解説可解群 」になることによって証明する可解群 」になることによって証明する
