中学でも分かるガロアの証明➁『部分群』について

　前回（本シリーズ (28)）では『集合』と『群』を説明しました。ここでは『部分集合』と『部分群』について解説していきます。

　前回、３次置換全体の集合
　$S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
は、置換の積（合成）という演算に関して群となることを解説しました。この集合 $S_3$ を『３次対称群』といいます。

（再掲）３次対称群の要素

$$\begin{align*} &\begin{rcases} ➀\hspace{6pt} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \alpha & \beta & \gamma \end{pmatrix} =I=id(=\rho_1)\\ \\ ➁\hspace{6pt} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \gamma & \alpha & \beta \end{pmatrix} =(\alpha     \gamma     \beta) =\rho_2\\ \\ ➂\hspace{6pt} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \beta & \gamma & \alpha \end{pmatrix} =(\alpha     \beta     \gamma) =\rho_3 \end{rcases}偶置換\\ \\ &\begin{rcases} ➃\hspace{6pt} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \alpha & \gamma & \beta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta & \gamma \end{pmatrix}=\tau_1\\ \\ ➄\hspace{6pt} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \end{pmatrix}=\tau_2\\ \\ ➅\hspace{6pt} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma\\ \beta & \alpha & \gamma \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix}=\tau_3 \end{rcases}奇置換 \end{align*}$$

　これらを三角形の図形の移動でとらえると

　①～③は回転、④～➅は反転と、２つに分けることができます。　
　ここからは『部分集合』、『部分群』について解説していきます。

部分集合について

　例えば、２つの集合
　$\text{P}=\{2,  4\}$
　$\text{Q}=\{1,  2,  3,  4,  5\}$
では、どの $\text{P}$ の要素もまた $\text{Q}$ の要素になっています。つまり
　$\text{P}$ の要素 $2$ は $\text{Q}$ の要素になっている。
　$\text{P}$ の要素 $4$ は $\text{Q}$ の要素になっている。
　この２つの集合の関係を図で描くと、次のようになります。

　このように、集合が表す範囲を視覚的に表したものを『ベン図』といいます。
　一般に、２つの集合 $\text{A}$、$\text{B}$ において、$\text{A}$ のどの要素もまた $\text{B}$ の要素であるとき、すなわち

$$\begin{align*} x \in\text{A}　ならば　x \in\text{B} \end{align*}$$

が成り立つとき、A は B に含まれる、または B は A を含むといいます。

　また、$\text{A}$ が $\text{B}$ に含まれることを、記号で次のように書きます。

$$\begin{align*} \text{A}\subset\text{B}　または　\text{B}\supset\text{A} \end{align*}$$

このとき、$\text{A}$ は $\text{B}$ の『部分集合』といいます。大きい方に開いていると覚えます。２つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この２つの集合の間に包含関係があるといいます。

　先ほどの集合
　$\text{P}=\{2,  4\}$
　$\text{Q}=\{1,  2,  3,  4,  5\}$
の例でいえば、P は Q に含まれるので

$$\begin{align*} \text{P}\subset\text{Q}　または　\text{Q}\supset\text{P} \end{align*}$$

が成り立ちます。

（再掲）

　なお、同じ集合 $\text{A}$ に対して

$$\begin{align*} x \in\text{A}　ならば　x \in\text{A} \end{align*}$$

が成り立つので、$\text{A}$ 自身も $\text{A}$ の部分集合、つまり

$$\begin{align*} \text{A}\subset\text{A}　または　\text{A}\supset\text{A} \end{align*}$$

となります。また、$\text{A}\subset\text{B}$ かつ $\text{B}\subset\text{A}$ ならば、$\text{A}$ と $\text{B}$ はその要素がまったく一致して

$$\begin{align*} \text{A}=\text{B} \end{align*}$$

となります。

　さて、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ を要素を並べて書くと、次のようになります。

$$\begin{align*} \mathbb{Z}=\{\cdots,  -3.  -2.  -1,   0,   1,   2,   3,  \cdots\} \end{align*}$$

　ここで、自然数全体の集合を $\mathbb{N}$ を考えます。要素を並べて書くと次のようになります。

$$\begin{align*} \mathbb{N}=\{1,   2,   3,   4,   5,  \cdots\} \end{align*}$$

記号 $\mathbb{N}$ は、Natural number（自然数）の頭文字からきています。
　すると、集合 $\mathbb{N}$ は、集合 $\mathbb{Z}$ に含まれていることがわかります。つまり

$$\begin{align*} \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} \end{align*}$$

　ベン図で表すと次のようになります。

　つまり、集合 $\mathbb{N}$ は、集合 $\mathbb{Z}$ の部分集合です。集合 $\mathbb{N}$ は、集合 $\mathbb{Z}$ に含まれるという包含関係があります。

集合 {1,  2,  3} のすべての部分集合

　ここで、集合 $\{1,  2,  3\}$ のすべての部分集合を考えてみましょう。以下の集合が $\{1,  2,  3\}$ の部分集合になります。
　$\phi$、$\{1\}$、$\{2\}$、$\{3\}$、
　$\{1,  2\}$、$\{1,  3\}$、$\{2,  3\}$、$\{1,  2,  3\}$
　$\phi$（ファイ）は空集合を表します。空集合は要素をまったくもたない集合です。空集合 $\phi$ は、どのような集合の部分集合にもなっていると考えます。また、自分自身も部分集合となるので、$\{1,  2,  3\}$ も部分集合です。

　さて、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は、たし算に関して群となることは前回示しました。では、その部分集合である $\mathbb{N}$ も、たし算に関して群になるでしょうか？　前回述べた群の定義 (1)～(4) を満たすかどうかで確認していきます。
　まずは。前回やった群の定義の復習です。

群の定義（復習）

　空でない集合 $G$ の任意の要素 $a,  b,  c$ の間に１つの演算 $*$ が規定されているとする。
　この集合 $G$ の任意の要素 $a,  b,  c$ が、その演算 $*$ に関して次の条件を満たすとき、$G$ は演算 $*$ に関して群であるという。
(1)　$a*b$ は $G$ の要素である。
(2)　交換法則 $(a*b)*c=a*(b*c)$ が成り立つ。
(3)　$a*e=e*a=a$ となる単位元 $e$ が $G$ に存在する。
(4)　$a*x=x*a=e$ となる逆元 $x$ が $G$ に存在する。

＊＊＊

(1) を満たすことを、集合 $\bm G$ は演算 $\bm *$ について閉じているといいます。演算の結果、集合 $G$ からはみ出さないことを意味します。
(2) は、カッコを気にしないで、どこから演算を施してもよいことを保証します。
(3) は、左右どちらから演算を施しても変化しない要素の存在です。その要素を単位元といいます。
(4) は、左右両方から演算を施すと単位元になる要素の存在です。その要素を逆元といいます。

　要するに群とは、イメージとして
(1)　全部そろっている
(2)　どこからでもつなげることができる
(3)　変えないことができる
(4)　元に戻すことができる
の４つの条件が成り立つ要素の集まり（集合）です。

部分群とは

　ある群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が同じ演算で群になるとき、その部分集合 $H$ を、 $G$ の『部分群』といいます。
　ここで重要なのは、あくまでも「同じ演算で」ということです。もとの群がたし算に関して群となる場合、その部分群もたし算に関して群となります。

たし算に関してℕはℤの部分群か？

　さて、整数全体の集合

$$\begin{align*} \mathbb{Z}=\{\cdots,  -3.  -2.  -1,   0,   1,   2,   3,  \cdots\} \end{align*}$$

は、たし算に関して群となることは前回示しました。では、その部分集合である自然数の集合

$$\begin{align*} \mathbb{N}=\{1,   2,   3,   4,   5,  \cdots\} \end{align*}$$

は部分群になるでしょうか。もちろん部分群は「同じ演算」で考えるので、考える演算はたし算です。
　では、群の定義 (1)～(4) を順に確認していきます。

(1)　自然数同士を足しても自然数である。
　$2+3=5$（自然数）
　自然数はたし算について閉じています。

(2)　結合法則は成り立つ。
例　$(2+3)+5=2+(3+5)$
　結合法則は常になりたちます。

しかし・・・

(3)　単位元は存在しない。
　足しても変化しないのが単位元です。例えば
　$1+e=e+1=1$
を考えます。$1$ に足しても変化しないもの、これ満たす $e$ が単位元となりますが、それは自然数の集合には存在しません。計算上では $e=0$ とすれば成り立ちますが、$0$ は自然数ではないので、(3) は満たさないことが分かります。
　よって (3) を満たさない（つまり、(1)～(4) のすべてを満たさない）ので、$\mathbb{N}$ はたし算に関して $Z$ の部分群にならないことが示されました。

たし算に関して {-1, 0, 1} はℤの部分群か？

　一方、 $\mathbb{Z}$ の部分集合として
　$S=\{-1,  0,  1\}$
をとったとき、この集合 $S$ はたし算に関して群になるでしょうか。群の定義 (1)～(4) を順に確認していきます。

(1)　$S$ の任意の要素同士を足しても $S$ の要素になる。
　すべての要素について確認します。
　$-1+0=-1 \in S$
　$0+(-1)=-1 \in S$
　$-1+1=0 \in S$
　$1+(-1)=0 \in S$
　$0+1=1 \in S$
　$1+0=1 \in S$
より、足したものはすべて $S$ の要素になります。$S$ はたし算について閉じています。

(2)　結合法則は成り立つ。
例　$(-1+0)+1=-1+(0+1)$
　結合法則は常に成り立ちます。

(3)　単位元は存在する。
　足しても変化しないのが単位元です。
　$-1+\underline{0}=\underline{0}+(-1)=-1$（変化しない）
　$\hspace{8pt}0+\underline{0}=\underline{0}+0=0$（変化しない）
　$\hspace{8pt}1+\underline{0}=\underline{0}+1=1$（変化しない）
より、下線部の $0$ が単位元となります。よって、単位元は $S$ に存在します。

(4)　逆元は存在する。
　たして単位元 $0$ になるのが逆元です。
　$-1+\underline{1}=\underline{1}+(-1)=0$（単位元）
より、$-1$ の逆元は $1$
　$0+\underline{0}=\underline{0}+0=0$（単位元）
より、$0$ の逆元は $0$
　$1+(\underline{-1})=\underline{-1}+1=0$（単位元）
より、$1$ の逆元は $-1$
　下線部が各々の逆元です。よって、すべての要素に対して逆元は $S$ に存在します。

　以上により、群の条件 (1)～(4) をすべて満たしているので
　$S=\{-1,  0   1\}$
は、たし算に関して $Z$ の部分群となります。
　 $N$ も $S$ も $Z$ の部分集合ではありますが、たし算に関して、$N$ は部分群ではなく $S$ は部分群となります。

　部分集合であっても、部分群となる場合もあれば、ならない場合もあります。
　ここで部分群について補足です。
　ある群 $G$ の部分群のうち、最大のものは自分自身 $G$ です。また、最小のものは単位元 $e$ だけからなる群 $\{e\}$ です（注１）。この２つは『自明な部分群』といいます。どんな群にも、この自明な部分群は必ず存在します。自明な部分群以外の部分群を『真部分群』といいます。真部分群があるかないかは群によります。

３次交代群について

　さて、３次対称群
　$S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
は置換の積に関して群となりますが、その偶置換だけを集めた部分集合
　$A_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$
は、$S_3$ の部分群となるでしょうか。結論からいうと、$A_3$ は $S_3$ の部分群となります。この $A_3$ を『３次交代群』といいます。

　では、この偶置換だけを集めた３次交代群 $A_3$ が、置換の積に関して群の定義 (1)～(4) を満たしていることを確認していきます。

偶置換の集合が部分群になることの証明

(1)　偶置換同士の積は偶置換である。

　$A_3$ の任意の２つの要素の積は $A_3$ の要素になります。
　$A_3$ の要素は全部で $3$ 通りあるので、その置換の積は全部で $3\times3=9$ 通りありますが、そのすべてが $A_3$ の要素になること、つまり $A_3$ からはみ出さないことを具体的に示していきます。
　前回 $S_3$ に対して行ったのと同じ方法なので、ここでは簡潔に書いていきます。

(a)　先に $id$ を作用させると、結果は次のようになります。$id$ は恒等置換なので、いずれも変化しません。
(a1)　$idid=id$
(a2)　$id\rho_2=\rho_2$
(a3)　$id\rho_3=\rho_3$

　(a1)～(a3) は、すべて $A_3$ の要素になります。
　この結果を表にまとめると、次のようになります。先に作用させる置換を縦に、後に作用させる置換を横に並べています。

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{0pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先} \hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3 \end{array} \begin{array}{c} \\ ← \text{(a)} \end{array}$$

(b)　先に $\rho_2$ を作用させると、結果は次のようになります。
(b1)　$\rho_2id=\rho_2$
(b2)　$\rho_2\rho_2=\rho_3$
(b3)　$\rho_2\rho_3=id$

　(b1)～(b3) は、すべて $A_3$ の要素になります。
　これまでの結果を表にまとめると、次のようになります。先に作用させる置換を縦に、後に作用させる置換を横に並べています。

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{0pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先} \hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id \end{array} \begin{array}{c} \\ ← \text{(a)}\\ ← \text{(b)} \end{array}$$

(c)　先に $\rho_3$ を作用し、次に３次対称群のすべての要素を作用させると、結果は次のようになります。
(c1)　$\rho_3id=\rho_3$
(c2)　$\rho_3\rho_2=id$
(c3)　$\rho_3\rho_3=\rho_2$

　(c1)～(c3) は、すべて $A_3$ の要素になります。
　これまで結果を表にまとめると、次のようになります。先に作用させる置換を縦に、後に作用させる置換を横に並べています。

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{-10pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先} \hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id\\ \hline \rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 \end{array} \begin{array}{c} \\ \leftarrow (a)\\ \leftarrow (b)\\ \leftarrow (c) \end{array}$$

　以上により、$3\times3=9$ 通りのすべてが $A_3$ の要素に含まれることが分かりました。$A_3$ は置換の積について閉じています。

(2)　結合法則は成り立つ。

例　$(\rho_2id)\rho_3=\rho_2(id\rho_3)$
　　$(\rho_2id)\rho_2=\rho_2(id\rho_2)$
　任意の要素に対して成り立つので、同じ要素があっても構いません。
　結合法則は常に成り立ちます。

(3)　単位元は存在する。

　置換の積で、変化しないのが単位元です。
　$id\underline{id}=\underline{id}id=id$（変化しない）
　$\rho_2\underline{id}=\underline{id}\rho_2=\rho_2$（変化しない）
　$\rho_3\underline{id}=\underline{id}\rho_3=\rho_3$（変化しない）
より、下線部の $id$ が単位元となります。よって、単位元は $A_3$ に存在します。

(4)　逆元は存在する。

　置換の積で、単位元 $id$ になるのが逆元です。
　$id$ については
　$id\underline{id}=\underline{id}id=id$（単位元）
より、$id$ が逆元となります。
　$\rho_2$ については
　$\rho_2\underline{\rho_3}=\underline{\rho_3}\rho_2=id$（単位元）
より、$\rho_3$ が逆元となります。
　$\rho_3$ については
　$\rho_3\underline{\rho_2}=\underline{\rho_2}\rho_3=id$（単位元）
より、$\rho_2$ が逆元となります。
　下線部が各々の逆元です。よって、すべての要素に対して逆元は $A_3$ に存在します。
　置換を回転とみなすと、$\rho_2$ は $120^\circ$ 回転、$\rho_3$ は $240^\circ$ 回転なので、それらを連続して回転させると $360^\circ$ になり、元に戻る（$id$ になる）というイメージです。

　以上により、群の定義 (1)～(4) をすべて満たしているので、$A_3$ は置換の積に関して群となります。そしてそれは $S_3$ の部分集合であることから、$A_3$ は $S_3$ の部分群となることが示されました。

３次対称群のすべての部分群

　先ほど示したのも含めて、置換の積に関して
　$S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
の部分群になるものには、全部で以下の６通りがあります。
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}=S_3$
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3\}=A_3$
　$\{id,  \tau_1\}$
　$\{id,  \tau_2\}$
　$\{id,  \tau_3\}$
　$\{id\}$

　なお、自分自身 $S_3$ や、要素が単位元だけからなる集合 $\{id\}$ は『自明な部分群』となります。また、自明な部分群以外の部分群は『真部分群』となります。
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$（自明な部分群）
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$（真部分群）
　$\{id,  \tau_1\}$（真部分群）
　$\{id,  \tau_2\}$（真部分群）
　$\{id,  \tau_3\}$（真部分群）
　$\{id\}$（自明な部分群）

　群の定義 (3) より、単位元があることは群の条件に必要なので、どの部分群にも単位元 $id$ が含まれます。
　ここでは $\{id,  \tau_1\}$ について、群の定義 (1)～(4) をすべて満たすことを確認していきます。

(1)　$\{id,  \tau_1\}$ の要素の積は $\{id,  \tau_1\}$ に含まれる。
　$idid=id$
　$id\tau_1=\tau_1$
　$\tau_1id=\tau_1$
　$\tau_1\tau_1=id$
より、置換の積はすべて $\{id,  \tau_1\}$ に含まれます。$\{id,  \tau_1\}$ は置換の積について閉じています。

(2)　結合法則は成り立つ。
例　$(\tau_1id)\tau_1=\tau_1(id\tau_1)$
　任意の要素に対して成り立つので、同じ要素があっても構いません。
　結合法則は常に成り立ちます。

(3)　単位元は存在する。
　$id\underline{id}=\underline{id}id=id$（変化しない）
　$\tau_1\underline{id}=\underline{id}\tau_1=\tau_1$（変化しない）
より、下線部の $id$ が単位元となります。

(4)　逆元は存在する。
　$id\underline{id}=\underline{id}id=id$（単位元）
より、$id$ の逆元は $id$ です。
　$\tau_1\underline{\tau_1}=\underline{\tau_1}\tau_1=id$
より、$\tau_1$ の逆元は $\tau_1$ です。
　下線部が各々の逆元となります。

　以上により、群の定義 (1)～(4) をすべて満たしているので、$\{id,  \tau_1\}$ は部分群となります。他の部分群に対しても、同様にして群であることが証明されます。

まとめ

　ここでは『部分群』の解説をしましたが、いよいよ次は、ガロアの証明の核となる『正規部分群』の解説に入ります。部分群のうち、特別な性質をもつ『正規部分群』が、解の公式が存在するかどうかのカギを握ります。次回はそれを解説する予定していきます。

（注１）{id} が群になることの証明。

　恒等置換のみの集合 $\{id\}$ が、置換の積に関して群の定義 (1)～(4) をすべて満たすことを確認していきます。
(1)　$idid$ は $\{id\}$ の要素である。
　$idid=id$
より、$\{id\}$ の要素となります。

(2)　結合法則は成り立つ。
例　$(idid)id=id(idid)$
より、結合法則は成り立ちます。

(3)　単位元は存在する。
　$id\underline{id}=\underline{id}id=id$（変化しない）
より、下線部の $id$ が単位元となります。

(4)　逆元は存在する。
　$id\underline{id}=\underline{id}id=id$（単位元）
より、$id$ の逆元は下線部の $id$ です。

　以上により、群の定義 (1)～(4) をすべて満たしているので、恒等置換だけからなる集合 $\{id\}$ は、置換の積に関して群となります。$id$ は単位元なので、$\{id\}$ は単位元だけからなる群です。一般に、単位元だけからなる群は、すべての群の部分群となります。

（参考）各章の内容

（１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出
　　　・平方完成
（２）「３次方程式の解の公式」を導出するための準備
　　　・$1$ の３乗根 $\omega$
（３）「３次方程式の解の公式」を式変形で導出
　　　・チルンハウス変換
（４）「解と係数の関係」と「対称式」の解説
（５）「対称式」を用いた「２次方程式の解の公式」の導出
（６）「解の置換」と「ラグランジュ・リゾルベント」の解説
（７）「ラグランジュ・リゾルベント」による「３次方程式の解の公式」の導出
（８）「偶置換」と「奇置換」の解説（ここから「アーベルの証明」の準備）
（９）「差積の２乗」が対称式となること、及び「差積」と平方根を結ぶ等式の証明。
（10）「平方根」「３乗根」と次々と累乗根を加えていくアイデア
（11）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）
（12）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。
（13）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。$\longrightarrow$ ３次方程式の解の公式の完成
（14）「アーベルの証明」の解説①。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、構成可能な式の対称性が５次置換（対称式）から偶置換シンメトリーへと破壊されることを解説。
（15）「アーベルの証明」の解説②。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、偶置換と奇置換に分類する。
（16）「アーベルの証明」の解説➂。「すべての偶置換は３次巡回置換の積で表される」ことの解説。
（17）「アーベルの証明」の解説➃（最後）。「任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せる」ことによって、５次方程式には解の公式が存在しないことが証明されることの解説。
（18）もっと分かりやすくシリーズ①「累乗根の添加」について重点解説。
（19）もっと分かりやすくシリーズ②「対称性の破壊」について重点解説。
（20）もっと分かりやすくシリーズ③「対称性を恒等置換まで破壊」することについて重点解説。
（21）もっと分かりやすくシリーズ➃　何次方程式でも「最初に解の差積を添加して対称性を破壊すること」は常套手段。
（22）もっと分かりやすくシリーズ➄「解の和と差の連立」による２次方程式の解の公式の導出について。
（23）もっと分かりやすくシリーズ➅「対称式ではない解の公式を基本対称式で表す」ことのついて。
（24）もっと分かりやすくシリーズ➆「定数 $\bm{\omega}$」について復習
（25）もっと分かりやすくシリーズ➇　３次方程式の解の公式の導出方法「カルダノの方法」を復習
（26）もっと分かりやすくシリーズ➈「カルダノの方法」と「対称性の破壊」の関連について
（27）もっと分かりやすくシリーズ⑩　そもそもなぜ解の公式が存在しないかを『巡回置換』から紐解く
（28）中学でも分かるガロアの証明①　ガロアの発見した「群」について簡単に解説