竹村の家庭教師が始まった。
＜２次方程式の解と係数の関係（復習）＞ ２次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β
α + β ⏟ 基本対称式 = − b a α β ⏟ 基本対称式 = c a \begin{align*}
\underbrace{\alpha+\beta}_{基本対称式}&=-\dfrac{b}{a}\\
\underbrace{\alpha\beta}_{基本対称式}&=\dfrac{c}{a}
\end{align*} 基本対称式 α + β 基本対称式 α β = − a b = a c
解と係数の関係の左辺は基本対称式なので、基本対称式で表せれば係数 a , b , c a, b, c a , b , c a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β 2 2 2
α = ( α + β ) + ( α − β ) 2 β = ( α + β ) − ( α − β ) 2 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}
\end{align*} α β = 2 ( α + β ) + ( α − β ) = 2 ( α + β ) − ( α − β )
という式です」α \alpha α β \beta β α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β
{ α + β = − b a α − β = ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\
\\
\alpha-\beta=\pm\sqrt{\left(\dfrac{b}{a}\right)^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a b α − β = ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
と２次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
α = ( α + β ) + ( α − β ) 2 β = ( α + β ) − ( α − β ) 2 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}
\end{align*} α β = 2 ( α + β ) + ( α − β ) = 2 ( α + β ) − ( α − β )
の右辺の、α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β
x = − b a ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 \begin{align*}
x&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\sqrt{\left(\dfrac{b}{a}\right)^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}
\end{align*} x = 2 − a b ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
という２次方程式の解の公式が得られるんだったね。これを変形していくと、教科書に出てくる
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
を得ることができた。さて α + β \alpha+\beta α + β α \alpha α β \beta β α \alpha α β \beta β α + β \alpha+\beta α + β α \alpha α β \beta β （注）追記 。これは３次方程式の解の公式を『対称式』という観点で導出するときに鍵となる考え方なんだ。α \alpha α β \beta β
＜ α \boldsymbol{\alpha} α と β \boldsymbol{\beta} β の置換＞ ➀ α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β
α ⟶ α β ⟶ β を ( α β α β ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \alpha\\
\beta\longrightarrow \beta
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix} α ⟶ α β ⟶ β を ( α α β β )
と表す。何も変わらない場合も置換に含めるよ。これは「恒に等しい置換」という意味で『恒等置換』という。そしてもう１つ
② α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α
α ⟶ β β ⟶ α を ( α β β α ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \beta\\
\beta\longrightarrow \alpha
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha\
\end{pmatrix} α ⟶ β β ⟶ α を ( α β β α )
と表す。（ ）の中の解は、上から下へ置換されると考えればいい。ここで、α \alpha α β \beta β
( α β α β ) と ( α β β α ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{10pt}と\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha\
\end{pmatrix} ( α α β β ) と ( α β β α )
のみで、他には無いことに注意しよう。すると α − β \alpha-\beta α − β
➀ ( α β α β ) では α − β ⟶ α − β ② ( α β β α ) では α − β ⟶ β − α \begin{align*}
&➀
\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\alpha-\beta \longrightarrow \alpha-\beta\\
&②
\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\alpha-\beta \longrightarrow \beta-\alpha
\end{align*} ➀ ( α α β β ) では α − β ⟶ α − β ② ( α β β α ) では α − β ⟶ β − α
と、➀の恒等置換では変化しないが、②では変化する。しかし２乗した ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2
➀では ( α − β ) 2 ⟶ ( α − β ) 2 ②では ( α − β ) 2 ⟶ ( β − α ) 2 = { − ( α − β ) } 2 = ( α − β ) 2 \begin{alignat*}{2}
&➀では & (\alpha-\beta)^2 \longrightarrow &(\alpha-\beta)^2\\
&②では & (\alpha-\beta)^2 \longrightarrow &(\beta-\alpha)^2\\
& & =&\{-(\alpha-\beta)\}^2\\
& & =&(\alpha-\beta)^2
\end{alignat*} ➀ では ② では ( α − β ) 2 ⟶ ( α − β ) 2 ⟶ = = ( α − β ) 2 ( β − α ) 2 { − ( α − β ) } 2 ( α − β ) 2
より
➀ ( α β α β ) ② ( α β β α ) } では ( α − β ) 2 ⟶ ( α − β ) 2 \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\end{rcases}
\hspace{10pt}
\begin{align*}
&では\\
&(\alpha-\beta)^2 \longrightarrow (\alpha-\beta)^2
\end{align*} ➀ ( α α β β ) ② ( α β β α ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) 2 ⟶ ( α − β ) 2
となり、どちらの置換でも変化しない。− 1 -1 − 1 + 1 +1 + 1 α − β \alpha-\beta α − β ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 y 2 y^2 y 2 y 3 + p y + q = 0 y^{3}+p y+q=0 y 3 + p y + q = 0
エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス 1651年4月10日-1708年10月11日 ＜チルンハウス変換（復習）＞ 「３次方程式は一般に a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a ( ≠ 0 ) a(\ne 0) a ( = 0 ) x 3 x^3 x 3
x 3 + b a x 2 + c a x + d a = 0 x^{3}+\dfrac{b}{a} x^{2}+\dfrac{c}{a} x+\dfrac{d}{a}=0 x 3 + a b x 2 + a c x + a d = 0
この式に x = y − b 3 a x=y-\dfrac{b}{3 a} x = y − 3 a b
( y − b 3 a ) 3 ‾ + b a ( y − b 3 a ) 2 ‾ ‾ + c a ( y − b 3 a ) + d a = 0 \underline{\left(y-\dfrac{b}{3a}\right)^{3}}+\dfrac{b}{a}\underline{\underline{\left(y-\dfrac{b}{3 a}\right)^{2}}}+\dfrac{c}{a}\left(y-\dfrac{b}{3 a}\right)+\dfrac{d}{a}=0 ( y − 3 a b ) 3 + a b ( y − 3 a b ) 2 + a c ( y − 3 a b ) + a d = 0
すると一重線部の ( y − b 3 a ) 3 \left(y-\dfrac{b}{3a}\right)^3 ( y − 3 a b ) 3
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3} ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
を使って、a = y , b = b 3 a a=y, b=\dfrac{b}{3a} a = y , b = 3 a b
( y − b 3 a ) 3 = y 3 − 3 ⋅ y 2 ⋅ ( b 3 a ) + 3 ⋅ y ⋅ ( b 3 a ) 2 − ( b 3 a ) 3 = y 3 − 3 y 2 ⋅ b 3 a + 3 y ⋅ b 2 9 a 2 − b 3 27 a 3 = y 3 − b a y 2 + b 2 3 a 2 y − b 3 27 a 3 = y 3 − b a y 2 + 1 3 ⋅ b 2 a 2 y − 1 27 ⋅ b 3 a 3 = y 3 − b a y 2 + 1 3 ( b a ) 2 y − 1 27 ( b a ) 3 ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{aligned}
\left(y-\frac{b}{3 a}\right)^{3} &=y^{3}-3 \cdot y^{2} \cdot\left(\frac{b}{3 a}\right)+3 \cdot y \cdot\left(\frac{b}{3 a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{3 a}\right)^{3} \\
&=y^{3}-3 y^{2} \cdot \frac{b}{3 a}+3 y \cdot \frac{b^{2}}{9 a^{2}}-\frac{b^{3}}{27 a^{3}} \\
&=y^{3}-\frac{b}{a} y^{2}+\frac{b^{2}}{3 a^{2}} y-\frac{b^{3}}{27 a^{3}} \\
&=y^{3}-\frac{b}{a} y^{2}+\frac{1}{3} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} y-\frac{1}{27} \cdot \frac{b^{3}}{a^{3}} \\
&=y^{3}-\frac{b}{a} y^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2} y-\frac{1}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}\cdots(*1)
\end{aligned} ( y − 3 a b ) 3 = y 3 − 3 ⋅ y 2 ⋅ ( 3 a b ) + 3 ⋅ y ⋅ ( 3 a b ) 2 − ( 3 a b ) 3 = y 3 − 3 y 2 ⋅ 3 a b + 3 y ⋅ 9 a 2 b 2 − 27 a 3 b 3 = y 3 − a b y 2 + 3 a 2 b 2 y − 27 a 3 b 3 = y 3 − a b y 2 + 3 1 ⋅ a 2 b 2 y − 27 1 ⋅ a 3 b 3 = y 3 − a b y 2 + 3 1 ( a b ) 2 y − 27 1 ( a b ) 3 ⋯ ( ∗ 1 )
また二重線部の ( y − b 3 a ) 2 \left(y-\dfrac{b}{3a}\right)^2 ( y − 3 a b ) 2
( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2
を使って、a = y , b = b 3 a a=y, b=\dfrac{b}{3 a} a = y , b = 3 a b
( y − b 3 a ) 2 = y 2 − 2 ⋅ y ⋅ b 3 a + ( b 3 a ) 2 = y 2 − 2 b 3 a y + b 2 9 a 2 = y 2 − 2 3 ⋅ b a y + 1 9 ( b a ) 2 ⋯ ( ∗ 2 ) \begin{aligned}
\left(y-\dfrac{b}{3a}\right)^{2} &=y^{2}-2\cdot y\cdot\frac{b}{3 a}+\left(\dfrac{b}{3a}\right)^{2}\\
&=y^{2}-\dfrac{2 b}{3a} y+\dfrac{b^{2}}{9a^{2}}\\
&=y^{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{b}{a}y+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\cdots(*2)
\end{aligned} ( y − 3 a b ) 2 = y 2 − 2 ⋅ y ⋅ 3 a b + ( 3 a b ) 2 = y 2 − 3 a 2 b y + 9 a 2 b 2 = y 2 − 3 2 ⋅ a b y + 9 1 ( a b ) 2 ⋯ ( ∗ 2 )
よって
( y − b 3 a ) 3 ‾ + b a ( y − b 3 a ) 2 ‾ ‾ + c a ( y − b 3 a ) + d a = 0 \underline{\left(y-\dfrac{b}{3a}\right)^{3}}
+\dfrac{b}{a}\underline{\underline{\left(y-\dfrac{b}{3 a}\right)^{2}}}
+\dfrac{c}{a}\left(y-\dfrac{b}{3 a}\right)+\dfrac{d}{a}=0 ( y − 3 a b ) 3 + a b ( y − 3 a b ) 2 + a c ( y − 3 a b ) + a d = 0
の一重線部に ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 ) ( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 )
y 3 − b a y 2 + 1 3 ( b a ) 2 y − 1 27 ( b a ) 3 + b a { y 2 − 2 3 ⋅ b a y + 1 9 ( b a ) 2 } + c a ( y − b 3 a ) + d a = 0 \begin{align*}
y^{3}&-\dfrac{b}{a}y^{2}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}y-\dfrac{1}{27}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}\\
&+\dfrac{b}{a}\left\{y^{2}-\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{b}{a} y
+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}\right\}+\dfrac{c}{a}\left(y-\dfrac{b}{3 a}\right)+\dfrac{d}{a}=0
\end{align*} y 3 − a b y 2 + 3 1 ( a b ) 2 y − 27 1 ( a b ) 3 + a b { y 2 − 3 2 ⋅ a b y + 9 1 ( a b ) 2 } + a c ( y − 3 a b ) + a d = 0
さらに展開して
y 3 − b a y 2 + 1 3 ( b a ) 2 y − 1 27 ( b a ) 3 + b a y 2 − 2 3 ( b a ) 2 y + 1 9 ( b a ) 3 + c a y − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a = 0 \begin{align*}
y^{3}&-\dfrac{b}{a} y^{2}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2} y-\dfrac{1}{27}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}\\
&+\dfrac{b}{a} y^{2}-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2} y+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}
+\dfrac{c}{a} y-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{c}{a}\right)+\dfrac{d}{a}=0
\end{align*} y 3 − a b y 2 + 3 1 ( a b ) 2 y − 27 1 ( a b ) 3 + a b y 2 − 3 2 ( a b ) 2 y + 9 1 ( a b ) 3 + a c y − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d = 0
y y y
y 3 − b a y 2 + b a y 2 + 1 3 ( b a ) 2 y − 2 3 ( b a ) 2 y + c a y + 1 9 ( b a ) 3 − 1 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a = 0 \begin{align*}
y^{3}&-\bcancel{\dfrac{b}{a}y^{2}}+\bcancel{\dfrac{b}{a}y^{2}}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}y-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}y+\dfrac{c}{a}y\\
&+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}-\dfrac{1}{27}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{c}{a}\right)+\dfrac{d}{a}=0
\end{align*} y 3 − a b y 2 + a b y 2 + 3 1 ( a b ) 2 y − 3 2 ( a b ) 2 y + a c y + 9 1 ( a b ) 3 − 27 1 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d = 0
すると y 2 y^{2} y 2
y 3 + 1 3 ( b a ) 2 y − 2 3 ( b a ) 2 y + c a y + 1 9 ( b a ) 3 − 1 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a = 0 \begin{align*}
y^{3}&+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}y-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2} y+\dfrac{c}{a}y\\
&+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}-\dfrac{1}{27}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{c}{a}\right)+\dfrac{d}{a}=0
\end{align*} y 3 + 3 1 ( a b ) 2 y − 3 2 ( a b ) 2 y + a c y + 9 1 ( a b ) 3 − 27 1 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d = 0
y y y
y 3 + { 1 3 ( b a ) 2 y − 2 3 ( b a ) 2 + c a } y + 3 27 ( b a ) 3 − 1 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a = 0 y 3 + { − 1 3 ( b a ) 2 + c a ‾ } y + 2 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a ‾ ‾ = 0 \begin{align*}
y^{3}&+\left\{\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}y-\frac{2}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\right\}y\\
&+\frac{3}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{c}{a}\right)+\frac{d}{a}=0\\
y^{3}&+\left\{\underline{-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}}\right\}y\\
&+\underline{\underline{\frac{2}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{c}{a}\right)+\dfrac{d}{a}}}=0
\end{align*} y 3 y 3 + { 3 1 ( a b ) 2 y − 3 2 ( a b ) 2 + a c } y + 27 3 ( a b ) 3 − 27 1 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d = 0 + { − 3 1 ( a b ) 2 + a c } y + 27 2 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d = 0
ここで、この式の一重線部を p p p q q q
− 1 3 ( b a ) 2 + c a = p 2 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a = q \begin{align*}
-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}&=p\\
\frac{2}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{c}{a}\right)+\frac{d}{a}&=q
\end{align*} − 3 1 ( a b ) 2 + a c 27 2 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d = p = q
とおくと
y 3 + p y + q = 0 y^{3}+p y+q=0 y 3 + p y + q = 0
となり、これで『チルンハウス変換』、y 2 y^{2} y 2 y y y x = y − b 3 a x=y-\dfrac{b}{3a} x = y − 3 a b x x x y = s + t y=s+t y = s + t s , t s, t s , t y y y
ニコロ・フォンタナ・”タルタリア” 1499年または1500年-1557年12月13日 ジェロラモ・カルダーノ 1501年9月24日-1576年9月21日 さて、ここからは、その y = s + t y=s+t y = s + t 対称式 』と『解の置換 』を利用した、より発展的な方法で３次方程式の解の公式を導いていくことにしよう。５次以上の方程式に解の公式が存在しないことの証明においては、これからやる新しい方法が重要になるよ。y 3 + p y + q = 0 y^{3}+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
\end{align*} α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ωγ
この３つの式は『ラグランジュ・リゾルベント 』と呼ばれ、ラグランジュという１８世紀のフランスの数学者が、この式を用いて最初に解の公式を研究したのでこう呼ばれる。リゾルベントとは分解式という意味なので『ラグランジュの分解式』とも呼ばれるよ。
ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ 1736年1月25日-1813年4月10日 さて、これから y 3 + p y + q = 0 y^{3}+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
\end{align*} α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ωγ
を組み合わせることによって、つまり連立させることによって求めることができるんだ。α + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ β \beta β ω \omega ω γ \gamma γ ω 2 \omega^2 ω 2 β \beta β ω 2 \omega^2 ω 2 γ \gamma γ ω \omega ω β \beta β γ \gamma γ
α + ω β + ω 2 γ 入れ替わる ↕ ↕ 入れ替わる α + ω 2 β + ω γ \begin{alignat*}{2}
\alpha+&\omega\beta+& &\omega^2\gamma\\
{\small 入れ替わる}\hspace{3pt}&\hspace{-2pt}\updownarrow & &\hspace{-2pt}\updownarrow {\small入れ替わる}\\
\alpha+&\omega^2\beta+& &\omega\gamma
\end{alignat*} α + 入れ替わる α + ω β + ↕ ω 2 β + ω 2 γ ↕ 入れ替わる ωγ
では、α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ ω \omega ω ω \omega ω
＜ ω \boldsymbol{\omega} ω について（復習）＞ ω \omega ω 1 1 1 1 1 1 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 − 1 -1 − 1 i i i 2 i 2i 2 i 3 − 5 i 3-5i 3 − 5 i ω \omega ω 1 1 1 x 3 = 1 x^3=1 x 3 = 1 1 1 1
x 3 − 1 = 0 \begin{align*}
x^3-1=0
\end{align*} x 3 − 1 = 0
ここで a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) x 3 − 1 = 0 x^3-1=0 x 3 − 1 = 0 x 3 − 1 3 = 0 x^3-1^3=0 x 3 − 1 3 = 0 a = x , b = 1 a=x, b=1 a = x , b = 1
( x − 1 ) ( x 2 + x ⋅ 1 + 1 2 ) = 0 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = 0 \begin{align*}
(x-1)(x^2+x\cdot1+1^2)&=0\\
(x-1)(x^2+x+1)&=0
\end{align*} ( x − 1 ) ( x 2 + x ⋅ 1 + 1 2 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = 0 = 0
よって、各々のカッコの中身について
x − 1 = 0 または x 2 + x + 1 = 0 x-1=0\hspace{10pt}または\hspace{10pt}x^2+x+1=0 x − 1 = 0 または x 2 + x + 1 = 0
すると、x − 1 = 0 x-1=0 x − 1 = 0 x = 1 x=1 x = 1 x 2 + x + 1 = 0 x^2+x+1=0 x 2 + x + 1 = 0 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a \begin{align*}
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
について、a = 1 , b = 1 , c = 1 a=1, b=1, c=1 a = 1 , b = 1 , c = 1
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a = − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = − 1 ± 1 − 4 2 = − 1 ± − 3 2 = − 1 ± 3 i 2 = − 1 ± 3 i 2 \begin{align*}
x&=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}\\
&=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\\
&=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\\
&=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\\
&=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
\end{align*} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c = 2 ⋅ 1 − 1 ± 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 − 1 ± 1 − 4 = 2 − 1 ± − 3 = 2 − 1 ± 3 i = 2 − 1 ± 3 i
となります。− 3 = 3 i \sqrt{-3}=\sqrt{3}i − 3 = 3 i − 3 \sqrt{-3} − 3 − 3 -3 − 3 ( − 3 ) 2 = − 3 (\sqrt{-3})^2=-3 ( − 3 ) 2 = − 3 ( 3 i ) 2 = 3 2 ⋅ i 2 = 3 ⋅ ( − 1 ) = − 3 (\sqrt{3}i)^2=\sqrt{3}^2\cdot i^2=3\cdot(-1)=-3 ( 3 i ) 2 = 3 2 ⋅ i 2 = 3 ⋅ ( − 1 ) = − 3 3 i \sqrt{3}i 3 i − 3 -3 − 3 i i i − 3 = 3 i \sqrt{-3}=\sqrt{3}i − 3 = 3 i ( − 3 ) 2 = − 3 (\sqrt{-3})^2=-3 ( − 3 ) 2 = − 3 ↕ ⇒ − 3 = 3 i \hspace{25pt}\updownarrow \Rightarrow \sqrt{-3}=\sqrt{3}i ↕ ⇒ − 3 = 3 i ( 3 i ) 2 = − 3 (\sqrt{3}i)^2=-3 ( 3 i ) 2 = − 3 − 1 ± 3 i 2 \dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} 2 − 1 ± 3 i ω \omega ω
ω = − 1 + 3 i 2 または ω = − 1 − 3 i 2 \omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\hspace{10pt}または\hspace{10pt}\omega=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} ω = 2 − 1 + 3 i または ω = 2 − 1 − 3 i
つまり、ω \omega ω − 1 + 3 i 2 \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} 2 − 1 + 3 i − 1 − 3 i 2 \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} 2 − 1 − 3 i ω \omega ω ω = − 1 + 3 i 2 \omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} ω = 2 − 1 + 3 i x 3 = 1 x^3=1 x 3 = 1 ω \omega ω ω = − 1 + 3 i 2 \omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} ω = 2 − 1 + 3 i
ω 2 = ( − 1 + 3 i 2 ) 2 = ( − 1 + 3 i ) 2 2 2 = ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 i + ( 3 i ) 2 4 = 1 − 2 3 i + ( 3 ) 2 i 2 4 = 1 − 2 3 i + 3 ⋅ ( − 1 ) 4 = 1 − 2 3 i − 3 4 = − 2 − 2 3 i 4 = 2 ( − 1 − 3 i ) 4 = − 1 − 3 i 2 \begin{align*}
\omega^2&=\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\
&=\dfrac{(-1+\sqrt{3}i)^2}{2^2}\\
&=\dfrac{(-1)^2+2\cdot(-1)\cdot\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^2}{4}\\
&=\dfrac{1-2\sqrt{3}i+(\sqrt{3})^2i^2}{4}\\
&=\dfrac{1-2\sqrt{3}i+3\cdot(-1)}{4}\\
&=\dfrac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}\\
&=\dfrac{-2-2\sqrt{3}i}{4}\\
&=\dfrac{2(-1-\sqrt{3}i)}{4}\\
&=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}
\end{align*} ω 2 = ( 2 − 1 + 3 i ) 2 = 2 2 ( − 1 + 3 i ) 2 = 4 ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 i + ( 3 i ) 2 = 4 1 − 2 3 i + ( 3 ) 2 i 2 = 4 1 − 2 3 i + 3 ⋅ ( − 1 ) = 4 1 − 2 3 i − 3 = 4 − 2 − 2 3 i = 4 2 ( − 1 − 3 i ) = 2 − 1 − 3 i
より、もう一方の解が得られます。仮に ω = − 1 − 3 i 2 \omega=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} ω = 2 − 1 − 3 i
ω 2 = − 1 + 3 i 2 \begin{align*}
\omega^2&=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}
\end{align*} ω 2 = 2 − 1 + 3 i
と、もう一方の解が得られます。つまり
ω = − 1 + 3 i 2 のとき ω 2 = − 1 − 3 i 2 ω = − 1 − 3 i 2 のとき ω 2 = − 1 + 3 i 2 \begin{align*}
&\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\hspace{10pt}のとき\hspace{10pt}\omega^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\\
&\omega=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\hspace{10pt}のとき\hspace{10pt}\omega^2=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}
\end{align*} ω = 2 − 1 + 3 i のとき ω 2 = 2 − 1 − 3 i ω = 2 − 1 − 3 i のとき ω 2 = 2 − 1 + 3 i
となるので、x 3 = 1 x^3=1 x 3 = 1
x = 1 , ω , ω 2 \begin{align*}
x=1, \omega, \omega^2
\end{align*} x = 1 , ω , ω 2
とまとめることができます」ω \omega ω ω 2 \omega^2 ω 2 ω \omega ω ω \omega ω x 3 = 1 x^3=1 x 3 = 1 x = ω x=\omega x = ω
ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1
さらに、先ほどやった x 3 − 1 = 0 x^3-1=0 x 3 − 1 = 0
( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ＝０ (x-1)(x^2+x+1)＝０ ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ＝０
と因数分解されることにより、ω \omega ω x 2 + x + 1 = 0 x^2+x+1=0 x 2 + x + 1 = 0 x = ω x=\omega x = ω
ω 2 + ω + 1 = 0 \omega^2+\omega+1=0 ω 2 + ω + 1 = 0
以上をまとめて
＜ ω \boldsymbol{\omega} ω についての重要性質＞
ω 3 = 1 ω 2 + ω + 1 = 0 \begin{align*}
\omega^3&=1\\
\omega^2+\omega+1&=0
\end{align*} ω 3 ω 2 + ω + 1 = 1 = 0
この２つの等式は、ω \omega ω ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1
ω 4 = ω 3 ⋅ ω = 1 ⋅ ω = ω ω 5 = ω 3 ⋅ ω 2 = 1 ⋅ ω 2 = ω 2 ω 6 = ( ω 3 ) 2 = 1 2 = 1 \begin{align*}
\omega^4&=\omega^3\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega\\
\omega^5&=\omega^3\cdot\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2\\
\omega^6&=(\omega^3)^2=1^2=1
\end{align*} ω 4 ω 5 ω 6 = ω 3 ⋅ ω = 1 ⋅ ω = ω = ω 3 ⋅ ω 2 = 1 ⋅ ω 2 = ω 2 = ( ω 3 ) 2 = 1 2 = 1
という計算もよく使うので覚えておこう。一応確認しておくけど、指数法則 a m + n = a m a n , ( a m ) n = a m n a^{m+n}=a^ma^n,\hspace{5pt}(a^m)^n=a^{mn} a m + n = a m a n , ( a m ) n = a mn
α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
\end{align*} α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ωγ
を使って α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
＜ラグランジュ・リゾルベントを使って α , β , γ \boldsymbol{\alpha, \beta, \gamma} α , β , γ を求める＞ α \alpha α
= ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ) + ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 = α + α + α + β + ω β + ω 2 β + γ + ω 2 γ + ω γ 3 = α + α + α + ( 1 + ω + ω 2 ) β + ( 1 + ω 2 + ω ) γ 3 = α + α + α + ( 1 + ω + ω 2 ) β + ( 1 + ω + ω 2 ) γ 3 = 3 α + 0 ⋅ β + 0 ⋅ γ 3 = 3 α 3 = α \begin{align*}
=&\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\alpha+\alpha+\beta+\omega\beta+\omega^2\beta+\gamma+\omega^2\gamma+\omega\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\alpha+\alpha+(1+\omega+\omega^2)\beta+(1+\omega^2+\omega)\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\alpha+\alpha+(1+\omega+\omega^2)\beta+(1+\omega+\omega^2)\gamma}{3}\\
=&\dfrac{3\alpha+0\cdot\beta+0\cdot\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\bcancel{3}\alpha}{\bcancel{3}}\\
=&\alpha
\end{align*} = = = = = = = 3 ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ) + ( α + ω 2 β + ωγ ) 3 α + α + α + β + ω β + ω 2 β + γ + ω 2 γ + ωγ 3 α + α + α + ( 1 + ω + ω 2 ) β + ( 1 + ω 2 + ω ) γ 3 α + α + α + ( 1 + ω + ω 2 ) β + ( 1 + ω + ω 2 ) γ 3 3 α + 0 ⋅ β + 0 ⋅ γ 3 3 α α
左右入れ替えて
α = ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ) + ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}
\end{align*} α = 3 ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ) + ( α + ω 2 β + ωγ )
さっき証明した ω \omega ω ω 2 + ω + 1 = 0 \omega^2+\omega+1=0 ω 2 + ω + 1 = 0 1 + ω + ω 2 = 0 1+\omega+\omega^2=0 1 + ω + ω 2 = 0 β \beta β γ \gamma γ β \beta β β \beta β ω \omega ω ω 2 \omega^2 ω 2
α + β + γ ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
\omega(&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
\omega^2(&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)
\end{align*} ω ( ω 2 ( α + β + γ α + ω β + ω 2 γ ) α + ω 2 β + ωγ )
としてから、全部を足して３で割ると
( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 = α + β + γ + ω α + ω 2 β + ω 3 γ + ω 2 α + ω 4 β + ω 3 γ 3 = α + β + γ + ω α + ω 2 β + 1 ⋅ γ + ω 2 α + ω β + 1 ⋅ γ 3 = α + β + γ + ω α + ω 2 β + γ + ω β + ω 2 α + γ 3 = α + ω α + ω 2 α + β + ω β + ω 2 β + γ + γ + γ 3 = ( 1 + ω + ω 2 ) α + ( 1 + ω + ω 2 ) β + 3 γ 3 = 0 ⋅ α + 0 ⋅ β + 3 γ 3 = 3 γ 3 = γ \begin{align*}
&\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta+\omega^3\gamma+\omega^2\alpha+\omega^4\beta+\omega^3\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta+1\cdot\gamma+\omega^2\alpha+\omega\beta+1\cdot\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma+\omega\beta+\omega^2\alpha+\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\omega\alpha+\omega^2\alpha+\beta+\omega\beta+\omega^2\beta+\gamma+\gamma+\gamma}{3}\\
=&\dfrac{(1+\omega+\omega^2)\alpha+(1+\omega+\omega^2)\beta+3\gamma}{3}\\
=&\dfrac{0\cdot\alpha+0\cdot\beta+3\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\bcancel{3}\gamma}{\bcancel{3}}\\
=&\gamma
\end{align*} = = = = = = = = 3 ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ ) 3 α + β + γ + ω α + ω 2 β + ω 3 γ + ω 2 α + ω 4 β + ω 3 γ 3 α + β + γ + ω α + ω 2 β + 1 ⋅ γ + ω 2 α + ω β + 1 ⋅ γ 3 α + β + γ + ω α + ω 2 β + γ + ω β + ω 2 α + γ 3 α + ω α + ω 2 α + β + ω β + ω 2 β + γ + γ + γ 3 ( 1 + ω + ω 2 ) α + ( 1 + ω + ω 2 ) β + 3 γ 3 0 ⋅ α + 0 ⋅ β + 3 γ 3 3 γ γ
左右入れ替えて
γ = ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
\gamma&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}
\end{align*} γ = 3 ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ )
やはりここでも 1 + ω + ω 2 = 0 1+\omega+\omega^2=0 1 + ω + ω 2 = 0 α \alpha α β \beta β ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 β \beta β β \beta β ω 2 \omega^2 ω 2 ω \omega ω
α + β + γ ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ω ( α + ω 2 β + ω γ ) \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
\omega^2(&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
\omega(&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)
\end{align*} ω 2 ( ω ( α + β + γ α + ω β + ω 2 γ ) α + ω 2 β + ωγ )
としてから、全部を足して３で割る。γ \gamma γ ω \omega ω ω 2 \omega^2 ω 2
( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ 2 ) + ω ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 = α + β + γ + ω 2 α + ω 3 β + ω 4 γ + ω α + ω 3 β + ω 2 γ 3 = α + β + γ + ω 2 α + 1 ⋅ β + ω γ + ω α + 1 ⋅ β + ω 2 γ 3 = α + β + γ + ω 2 α + β + ω γ + ω α + β + ω 2 γ 3 = α + ω α + ω 2 α + β + β + β + γ + ω γ + ω 2 γ 3 = ( 1 + ω + ω 2 ) α + 3 β + ( 1 + ω + ω 2 ) γ 3 = 0 ⋅ α + 3 β + 0 ⋅ γ 3 = 3 β 3 = β \begin{align*}
&\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma^2)+\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\omega^2\alpha+\omega^3\beta+\omega^4\gamma+\omega\alpha+\omega^3\beta+\omega^2\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\omega^2\alpha+1\cdot\beta+\omega\gamma+\omega\alpha+1\cdot\beta+\omega^2\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\omega^2\alpha+\beta+\omega\gamma+\omega\alpha+\beta+\omega^2\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\alpha+\omega\alpha+\omega^2\alpha+\beta+\beta+\beta+\gamma+\omega\gamma+\omega^2\gamma}{3}\\
=&\dfrac{(1+\omega+\omega^2)\alpha+3\beta+(1+\omega+\omega^2)\gamma}{3}\\
=&\dfrac{0\cdot\alpha+3\beta+0\cdot\gamma}{3}\\
=&\dfrac{\bcancel{3}\beta}{\bcancel{3}}\\
=&\beta
\end{align*} = = = = = = = = 3 ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ 2 ) + ω ( α + ω 2 β + ωγ ) 3 α + β + γ + ω 2 α + ω 3 β + ω 4 γ + ω α + ω 3 β + ω 2 γ 3 α + β + γ + ω 2 α + 1 ⋅ β + ωγ + ω α + 1 ⋅ β + ω 2 γ 3 α + β + γ + ω 2 α + β + ωγ + ω α + β + ω 2 γ 3 α + ω α + ω 2 α + β + β + β + γ + ωγ + ω 2 γ 3 ( 1 + ω + ω 2 ) α + 3 β + ( 1 + ω + ω 2 ) γ 3 0 ⋅ α + 3 β + 0 ⋅ γ 3 3 β β
左右入れ替えて
β = ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}
\end{align*} β = 3 ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω ( α + ω 2 β + ωγ )
と、これで α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ ω \omega ω 1 + ω + ω 2 = 0 1+\omega+\omega^2=0 1 + ω + ω 2 = 0
α = ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ) + ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 β = ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 γ = ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}\\
\gamma&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}
\end{align*} α β γ = 3 ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ) + ( α + ω 2 β + ωγ ) = 3 ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω ( α + ω 2 β + ωγ ) = 3 ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ )
これらは”恒に成り立つ等式”なので『恒等式 』となる。常に成り立つ等式のことを恒等式と言ったね。すると森田君、この恒等式のパーツをなすラグランジュ・リゾルベントの３つの値
α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
\end{align*} α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ωγ
をすべて３次方程式の係数を用いて表すことができれば、理論的には３次方程式の解の公式が作れるね。１つ目は３次方程式の解と係数の関係から α + β + γ = 0 \alpha+\beta+\gamma=0 α + β + γ = 0 α , β \alpha, \beta α , β
α + β α − β \begin{align*}
&\alpha+\beta\\
&\alpha-\beta
\end{align*} α + β α − β
というものを考え、これを足して 2 2 2 α \alpha α 2 2 2 β \beta β
α = ( α + β ) + ( α − β ) 2 β = ( α + β ) − ( α − β ) 2 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}
\end{align*} α β = 2 ( α + β ) + ( α − β ) = 2 ( α + β ) − ( α − β )
「そうだね。前回の授業でやったけど、２次方程式の解の公式を対称式の観点で求めるときに、この
α + β α − β \begin{align*}
&\alpha+\beta\\
&\alpha-\beta
\end{align*} α + β α − β
が重要な式になってくるんだね。それでこの式のことを『２次方程式のラグランジュ・リゾルベント 』というよ。α + β \alpha+\beta α + β − b a -\dfrac{b}{a} − a b α − β \alpha-\beta α − β ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2
＜２次方程式のラグランジュ・リゾルベント＞
α + β α − β \begin{align*}
&\alpha+\beta\\
&\alpha-\beta
\end{align*} α + β α − β
＜３次方程式のラグランジュ・リゾルベント＞
α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
\end{align*} α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ωγ
この『２次方程式のラグランジュ・リゾルベント』は、『３次方程式のラグランジュ・リゾルベント』の拡張になっているんだ。森田君わかるかな」α + β \alpha+\beta α + β x 2 = 1 x^2=1 x 2 = 1 1 1 1 ± 1 \pm1 ± 1 1 1 1 − 1 -1 − 1 β \beta β
α + β α ＋ ( − 1 ) ⋅ β = α − β \begin{align*}
&\alpha+\beta\\
&\alpha＋(-1)\cdot\beta=\alpha-\beta
\end{align*} α + β α ＋ ( − 1 ) ⋅ β = α − β
となり、『２次方程式のラグランジュ・リゾルベント』が得られます。すると上式の α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β
α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma
\end{align*} α + β + γ α + ω β + ω 2 γ α + ω 2 β + ωγ
ですが、この場合は対称式 α + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ x 3 = 1 x^3=1 x 3 = 1 1 1 1 1 , ω , ω 2 1, \omega, \omega^2 1 , ω , ω 2 1 1 1 ω , ω 2 \omega, \omega^2 ω , ω 2 β \beta β γ \gamma γ α + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
＜ α , β , γ \boldsymbol{\alpha, \beta, \gamma} α , β , γ の置換＞ ➀ α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ
α ⟶ α β ⟶ β γ ⟶ γ を ( α β γ α β γ ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \alpha\\
\beta\longrightarrow \beta\\
\gamma\longrightarrow \gamma
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix} α ⟶ α β ⟶ β γ ⟶ γ を ( α α β β γ γ )
と表す。これは変化しないので『恒等置換』だね。
② α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α
α ⟶ γ β ⟶ α γ ⟶ β を ( α β γ γ α β ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\gamma\\
\beta\longrightarrow\alpha\\
\gamma\longrightarrow\beta
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix} α ⟶ γ β ⟶ α γ ⟶ β を ( α γ β α γ β )
と表す。これはα → γ → β → α \alpha\rightarrow\gamma\rightarrow\beta\rightarrow\alpha α → γ → β → α
③ α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
α ⟶ β β ⟶ γ γ ⟶ α を ( α β γ β γ α ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \beta\\
\beta\longrightarrow \gamma\\
\gamma\longrightarrow \alpha
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix} α ⟶ β β ⟶ γ γ ⟶ α を ( α β β γ γ α )
と表す。これは α → β → γ → α \alpha\rightarrow\beta\rightarrow\gamma\rightarrow\alpha α → β → γ → α
④ α \alpha α β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β
α ⟶ α β ⟶ γ γ ⟶ β を ( α β γ α γ β ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\alpha\\
\beta\longrightarrow\gamma\\
\gamma\longrightarrow\beta
\end{align*}
\hspace{14pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix} α ⟶ α β ⟶ γ γ ⟶ β を ( α α β γ γ β )
と表す。これは β \beta β γ \gamma γ
➄ β \beta β α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
α ⟶ γ β ⟶ β γ ⟶ α を ( α β γ γ β α ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\gamma\\
\beta\longrightarrow\beta\\
\gamma\longrightarrow\alpha
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix} α ⟶ γ β ⟶ β γ ⟶ α を ( α γ β β γ α )
と表す。これは α \alpha α γ \gamma γ
⑥ γ \gamma γ α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α
α ⟶ β β ⟶ α γ ⟶ γ を ( α β γ β α γ ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\beta\\
\beta\longrightarrow\alpha\\
\gamma\longrightarrow\gamma
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix} α ⟶ β β ⟶ α γ ⟶ γ を ( α β β α γ γ )
と表す。これは α \alpha α β \beta β α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
α β γ → ➀のケース α γ β → ④のケース β α γ → ➅のケース β γ α → ③のケース γ α β → ②のケース γ β α → ➄のケース \begin{align*}
&\alpha \beta \gamma \rightarrow ➀のケース\\
&\alpha \gamma \beta \rightarrow ④のケース\\
&\beta \alpha \gamma \rightarrow ➅のケース\\
&\beta \gamma \alpha \rightarrow ③のケース\\
&\gamma \alpha \beta \rightarrow ②のケース\\
&\gamma \beta \alpha \rightarrow ➄のケース
\end{align*} α β γ → ➀ のケース α γ β → ④ のケース β α γ → ➅ のケース β γ α → ③ のケース γ α β → ② のケース γ β α → ➄ のケース
より、やはり６通りだね。ここで、次のように『３次方程式のラグランジュ・リゾルベント』の２つ目の式を A A A B B B
A = α + ω β + ω 2 γ B = α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
B&=\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma
\end{align*} A B = α + ω β + ω 2 γ = α + ω 2 β + ωγ
それでは、上の置換 ➀～➅ において、A A A B B B A , B A, B A , B
＜３つの解の置換による『ラグランジュ・リゾルベント』の変化＞ α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ α + ω β + ω 2 γ = A \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=A\\
\end{align*} A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ α + ω β + ω 2 γ = A
B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ α + ω 2 β + ω γ = B \begin{align*}
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma=B\\
\end{align*} B = α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ α + ω 2 β + ωγ = B
より➀の置換では、A A A A A A B B B B B B
＜②のとき＞α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ γ + ω α + ω 2 β = ω 3 ‾ 1 γ + ω α + ω 2 β = ω ( ω 2 γ + α + ω β ) = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\\
&\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta\\
=\,&\omega(\omega^2\gamma+\alpha+\omega\beta)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega A\\
\end{align*} A = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ γ + ω α + ω 2 β 1 ω 3 γ + ω α + ω 2 β ω ( ω 2 γ + α + ω β ) ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A
B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ γ + ω 2 α + ω β = ω 3 ‾ 1 γ + ω 2 α + ω 3 ‾ 1 ⋅ ω β = ω 3 γ + ω 2 α + ω 4 β = ω 2 ( ω γ + α + ω 2 β ) = ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) = ω 2 B \begin{align*}
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\\
&\gamma+\omega^2\alpha+\omega\beta\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\gamma+\omega^2\alpha+\underset{1}{\underline{\omega^3}}\cdot\omega\beta\\
=\,&\omega^3\gamma+\omega^2\alpha+\omega^4\beta\\
=\,&\omega^2(\omega\gamma+\alpha+\omega^2\beta)\\
=\,&\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)=\omega^2B\\
\end{align*} B = = = = = α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ γ + ω 2 α + ω β 1 ω 3 γ + ω 2 α + 1 ω 3 ⋅ ω β ω 3 γ + ω 2 α + ω 4 β ω 2 ( ωγ + α + ω 2 β ) ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ ) = ω 2 B
よって②の置換では、A A A ω A \omega A ω A B B B ω 2 B \omega^2B ω 2 B ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A γ \gamma γ ω 3 \omega^3 ω 3 B B B γ \gamma γ ω β \omega\beta ω β ω 3 \omega^3 ω 3 ω 3 \omega^3 ω 3 1 1 1 A A A ω \omega ω ω A \omega A ω A B B B ω 2 \omega^2 ω 2 ω 2 B \omega^2B ω 2 B α \alpha α 1 1 1
＜③のとき＞α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ β + ω γ + ω 2 α = ω 3 β + ω 3 ⋅ ω γ + ω 2 α = ω 3 β + ω 4 γ + ω 2 α = ω 2 ( ω β + ω 2 γ + α ) = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω 2 A \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\\
&\beta+\omega\gamma+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^3\beta+\omega^3\cdot\omega\gamma+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^3\beta+\omega^4\gamma+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^2(\omega\beta+\omega^2\gamma+\alpha)\\
=\,&\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega^2A\\
\end{align*} A = = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ β + ωγ + ω 2 α ω 3 β + ω 3 ⋅ ωγ + ω 2 α ω 3 β + ω 4 γ + ω 2 α ω 2 ( ω β + ω 2 γ + α ) ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω 2 A
B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ β + ω 2 γ + ω α = ω 3 β + ω 2 γ + ω α = ω ( ω 2 β + ω γ + α ) = ω ( α + ω 2 β + ω γ ) = ω B \begin{align*}
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\\
&\beta+\omega^2\gamma+\omega\alpha\\
=\,&\omega^3\beta+\omega^2\gamma+\omega\alpha\\
=\,&\omega(\omega^2\beta+\omega\gamma+\alpha)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)=\omega B\\
\end{align*} B = = = = α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ β + ω 2 γ + ω α ω 3 β + ω 2 γ + ω α ω ( ω 2 β + ωγ + α ) ω ( α + ω 2 β + ωγ ) = ω B
よって③の置換では、A A A ω 2 A \omega^2 A ω 2 A B B B ω B \omega B ω B ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A ω 2 \omega^2 ω 2 ω 2 A \omega^2A ω 2 A B B B ω \omega ω ω B \omega B ω B α \alpha α 1 1 1
＜④のとき＞α \alpha α β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ α + ω γ + ω 2 β = α + ω 2 β + ω γ = B \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\\
&\alpha+\omega\gamma+\omega^2\beta\\
=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma=B\\
\end{align*} A = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ α + ωγ + ω 2 β α + ω 2 β + ωγ = B
B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ α + ω 2 γ + ω β = α + ω β + ω 2 γ = A \begin{align*}
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\\
&\alpha+\omega^2\gamma+\omega\beta\\
=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=A\\
\end{align*} B = = α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ α + ω 2 γ + ω β α + ω β + ω 2 γ = A
よって④の置換では、A A A B B B B B B A A A A A A B B B
＜➄のとき＞α \alpha α γ \gamma γ β \beta β γ \gamma γ α \alpha α
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ γ + ω β + ω 2 α = ω 3 γ + ω 3 ⋅ ω β + ω 2 α = ω 3 γ + ω 4 β + ω 2 α = ω 2 ( ω γ + ω 2 β + α ) = ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) = ω 2 B \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\\
&\gamma+\omega\beta+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^3\gamma+\omega^3\cdot\omega\beta+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^3\gamma+\omega^4\beta+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^2(\omega\gamma+\omega^2\beta+\alpha)\\
=\,&\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)=\omega^2B\\
\end{align*} A = = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ γ + ω β + ω 2 α ω 3 γ + ω 3 ⋅ ω β + ω 2 α ω 3 γ + ω 4 β + ω 2 α ω 2 ( ωγ + ω 2 β + α ) ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ ) = ω 2 B
B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ γ + ω 2 β + ω α = ω 3 γ + ω 2 β + ω α = ω ( ω 2 γ + ω β + α ) = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A \begin{align*}
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\\
&\gamma+\omega^2\beta+\omega\alpha\\
=\,&\omega^3\gamma+\omega^2\beta+\omega\alpha\\
=\,&\omega(\omega^2\gamma+\omega\beta+\alpha)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega A\\
\end{align*} B = = = = α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ γ + ω 2 β + ω α ω 3 γ + ω 2 β + ω α ω ( ω 2 γ + ω β + α ) ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A
よって➄の置換では、A A A ω 2 B \omega^2B ω 2 B B B B ω A \omega A ω A ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A ω 2 \omega^2 ω 2 ω 2 B \omega^2B ω 2 B B B B ω \omega ω ω A \omega A ω A α \alpha α 1 1 1
＜➅のとき＞α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α γ \gamma γ
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ β + ω α + ω 2 γ = ω 3 β + ω α + ω 2 γ = ω ( ω 2 β + α + ω γ ) = ω ( α + ω 2 β + ω γ ) = ω B \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\\
&\beta+\omega\alpha+\omega^2\gamma\\
=\,&\omega^3\beta+\omega\alpha+\omega^2\gamma\\
=\,&\omega(\omega^2\beta+\alpha+\omega\gamma)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)=\omega B\\
\end{align*} A = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ β + ω α + ω 2 γ ω 3 β + ω α + ω 2 γ ω ( ω 2 β + α + ωγ ) ω ( α + ω 2 β + ωγ ) = ω B
B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ β + ω 2 α + ω γ = ω 3 β + ω 2 α + ω 3 ⋅ ω γ = ω 3 β + ω 2 α + ω 4 γ = ω 2 ( ω β + α + ω 2 γ ) = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω 2 A \begin{align*}
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\\
&\beta+\omega^2\alpha+\omega\gamma\\
=\,&\omega^3\beta+\omega^2\alpha+\omega^3\cdot\omega\gamma\\
=\,&\omega^3\beta+\omega^2\alpha+\omega^4\gamma\\
=\,&\omega^2(\omega\beta+\alpha+\omega^2\gamma)\\
=\,&\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega^2A\\
\end{align*} B = = = = = α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ β + ω 2 α + ωγ ω 3 β + ω 2 α + ω 3 ⋅ ωγ ω 3 β + ω 2 α + ω 4 γ ω 2 ( ω β + α + ω 2 γ ) ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω 2 A
よって⑥の置換では、A A A ω B \omega B ω B B B B ω 2 A \omega^2A ω 2 A ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A ω \omega ω ω B \omega B ω B B B B ω 2 \omega^2 ω 2 ω 2 A \omega^2 A ω 2 A α \alpha α 1 1 1
➀ ( α β γ α β γ ) では A ⟶ A B ⟶ B ② ( α β γ γ α β ) では A ⟶ ω A B ⟶ ω 2 B ③ ( α β γ β γ α ) では A ⟶ ω 2 A B ⟶ ω B ④ ( α β γ α γ β ) では A ⟶ B B ⟶ A ➄ ( α β γ γ β α ) では A ⟶ ω 2 B B ⟶ ω A ➅ ( α β γ β α γ ) では A ⟶ ω B B ⟶ ω 2 A \hspace{-10pt}
\begin{align*}
&➀
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow A\\
B &\longrightarrow B
\end{align*}\\
&②
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega A\\
B &\longrightarrow \omega^2 B
\end{align*}\\
&③
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega^2 A\\
B &\longrightarrow \omega B
\end{align*}\\
&④
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow B\\
B &\longrightarrow A
\end{align*}\\
&➄
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega^2 B\\
B &\longrightarrow \omega A
\end{align*}\\
&➅
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega B\\
B &\longrightarrow \omega^2 A
\end{align*}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) では A B ⟶ A ⟶ B ② ( α γ β α γ β ) では A B ⟶ ω A ⟶ ω 2 B ③ ( α β β γ γ α ) では A B ⟶ ω 2 A ⟶ ω B ④ ( α α β γ γ β ) では A B ⟶ B ⟶ A ➄ ( α γ β β γ α ) では A B ⟶ ω 2 B ⟶ ω A ➅ ( α β β α γ γ ) では A B ⟶ ω B ⟶ ω 2 A
すると森田君がさっき指摘したように、A A A B B B A A A B B B ω \omega ω ω 2 \omega^2 ω 2 A , B A, B A , B ω \omega ω ω 2 \omega^2 ω 2 A , B A, B A , B A B AB A B ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1
➀では A B ⟶ A B ②では A B ⟶ ω A ⋅ ω 2 B = ω 3 A B = 1 ⋅ A B = A B ③では A B ⟶ ω 2 A ⋅ ω B = ω 3 A B = 1 ⋅ A B = A B ④では A B ⟶ B A = A B ➄では A B ⟶ ω 2 B ⋅ ω A = ω 3 A B = 1 ⋅ A B = A B ➅では A B ⟶ ω B ⋅ ω 2 A = ω 3 A B = 1 ⋅ A B = A B \begin{alignat*}{2}
&➀では & AB \longrightarrow &AB\\
\\
&②では & AB \longrightarrow &\omega A\cdot\omega^2B\\
& & =&\omega^3AB\\
& & =&1\cdot AB=AB\\
\\
&③では & AB \longrightarrow &\omega^2A\cdot\omega B\\
& & =&\omega^3AB\\
& & =&1\cdot AB=AB\\
\\
&④では & AB \longrightarrow &BA=AB\\
\\
&➄では & AB\longrightarrow &\omega^2B\cdot\omega A\\
& & =&\omega^3AB\\
& & =&1\cdot AB=AB\\
\\
&➅では & AB \longrightarrow &\omega B\cdot\omega^2A\\
& & =&\omega^3AB\\
& & =&1\cdot AB=AB
\end{alignat*} ➀ では ② では ③ では ④ では ➄ では ➅ では A B ⟶ A B ⟶ = = A B ⟶ = = A B ⟶ A B ⟶ = = A B ⟶ = = A B ω A ⋅ ω 2 B ω 3 A B 1 ⋅ A B = A B ω 2 A ⋅ ω B ω 3 A B 1 ⋅ A B = A B B A = A B ω 2 B ⋅ ω A ω 3 A B 1 ⋅ A B = A B ω B ⋅ ω 2 A ω 3 A B 1 ⋅ A B = A B
となり、①～➅ すべての置換で A B AB A B
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) ④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では A B ⟶ A B \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}\hspace{5pt}
\end{rcases}
\hspace{10pt}
では
\hspace{10pt}
AB \longrightarrow AB ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では A B ⟶ A B
ということだね。どの変換でも A B AB A B
A B = ( α + ω β + ω 2 γ ) ( α + ω β + ω 2 γ ) AB=(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma) A B = ( α + ω β + ω 2 γ ) ( α + ω β + ω 2 γ )
は、３変数 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ ω \omega ω A B AB A B A , B A, B A , B A B AB A B A , B A, B A , B A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3 A , B A, B A , B
➀ ( α β γ α β γ ) では A ⟶ A B ⟶ B ② ( α β γ γ α β ) では A ⟶ ω A B ⟶ ω 2 B ③ ( α β γ β γ α ) では A ⟶ ω 2 A B ⟶ ω B ④ ( α β γ α γ β ) では A ⟶ B B ⟶ A ➄ ( α β γ γ β α ) では A ⟶ ω 2 B B ⟶ ω A ➅ ( α β γ β α γ ) では A ⟶ ω B B ⟶ ω 2 A \hspace{-10pt}
\begin{align*}
&➀
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow A\\
B &\longrightarrow B
\end{align*}\\
&②
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega A\\
B &\longrightarrow \omega^2 B
\end{align*}\\
&③
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega^2 A\\
B &\longrightarrow \omega B
\end{align*}\\
&④
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow B\\
B &\longrightarrow A
\end{align*}\\
&➄
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega^2 B\\
B &\longrightarrow \omega A
\end{align*}\\
&➅
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega B\\
B &\longrightarrow \omega^2 A
\end{align*}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) では A B ⟶ A ⟶ B ② ( α γ β α γ β ) では A B ⟶ ω A ⟶ ω 2 B ③ ( α β β γ γ α ) では A B ⟶ ω 2 A ⟶ ω B ④ ( α α β γ γ β ) では A B ⟶ B ⟶ A ➄ ( α γ β β γ α ) では A B ⟶ ω 2 B ⟶ ω A ➅ ( α β β α γ γ ) では A B ⟶ ω B ⟶ ω 2 A
すると
ω 3 = 1 ω 6 = ( ω 3 ) 2 = 1 2 = 1 \begin{align*}
\omega^3&=1\\
\omega^6&=(\omega^3)^2=1^2=1
\end{align*} ω 3 ω 6 = 1 = ( ω 3 ) 2 = 1 2 = 1
に注意すると、A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3
➀では A 3 → A 3 B 3 → B 3 ②では A 3 → ( ω A ) 3 = ω 3 A 3 = 1 ⋅ A 3 = A 3 B 3 → ( ω 2 B ) 3 = ω 6 B 3 = 1 ⋅ B 3 = B 3 ③では A 3 → ( ω 2 A ) 3 = ω 6 A 3 = 1 ⋅ A 3 = A 3 B 3 → ( ω B ) 3 = ω 3 B 3 = 1 ⋅ B 3 = B 3 ④では A 3 → B 3 B 3 → A 3 ➄では A 3 → ( ω 2 B ) 3 = ω 6 B 3 = 1 ⋅ B 3 = B 3 B 3 → ( ω A ) 3 = ω 3 A 3 = 1 ⋅ A 3 = A 3 ⑥では A 3 → ( ω B ) 3 = ω 3 B 3 = 1 ⋅ B 3 = B 3 B 3 → ( ω 2 A ) 3 = ω 6 A 3 = 1 ⋅ A 3 = A 3 \begin{align*}
&\begin{align*}
➀では &A^3\rightarrow A^3\\
&B^3\rightarrow B^3
\end{align*}\\
&\begin{alignat*}{2}
\\
&②では & A^3 \rightarrow&(\omega A)^3\\
& & =&\,\omega^3A^3\\
& & =&\,1\cdot A^3=A^3\\
& & B^3\rightarrow&(\omega^2 B)^3\\
& & =&\,\omega^6 B^3\\
& & =&\,1\cdot B^3=B^3
\end{alignat*}\\
\\
&\begin{alignat*}{2}
&③では & A^3\rightarrow&(\omega^2 A)^3\\
& & =&\,\omega^6A^3\\
& & =&\,1\cdot A^3=A^3\\
& & B^3\rightarrow&(\omega B)^3\\
& & =&\,\omega^3B^3\\
& & =&\,1\cdot B^3=B^3
\end{alignat*}\\
\\
&④では
\begin{align*}
&A^3\rightarrow B^3\\
&B^3\rightarrow A^3
\end{align*}\\
\\
&\begin{alignat*}{2}
&➄では & A^3\rightarrow&(\omega^2 B)^3\\
& & =&\,\omega^6B^3\\
& & =&\,1\cdot B^3=B^3\\
& & B^3\rightarrow&(\omega A)^3\\
& & =&\,\omega^3A^3\\
& & =&\,1\cdot A^3=A^3
\end{alignat*}\\
\\
&\begin{alignat*}{2}
&⑥では & A^3\rightarrow&(\omega B)^3\\
& & =&\,\omega^3B^3\\
& & =&\,1\cdot B^3=B^3\\
& & B^3\rightarrow&(\omega^2 A)^3\\
& & =&\,\omega^6A^3\\
& & =&\,1\cdot A^3=A^3
\end{alignat*}
\end{align*} ➀ では A 3 → A 3 B 3 → B 3 ② では A 3 → = = B 3 → = = ( ω A ) 3 ω 3 A 3 1 ⋅ A 3 = A 3 ( ω 2 B ) 3 ω 6 B 3 1 ⋅ B 3 = B 3 ③ では A 3 → = = B 3 → = = ( ω 2 A ) 3 ω 6 A 3 1 ⋅ A 3 = A 3 ( ω B ) 3 ω 3 B 3 1 ⋅ B 3 = B 3 ④ では A 3 → B 3 B 3 → A 3 ➄ では A 3 → = = B 3 → = = ( ω 2 B ) 3 ω 6 B 3 1 ⋅ B 3 = B 3 ( ω A ) 3 ω 3 A 3 1 ⋅ A 3 = A 3 ⑥ では A 3 → = = B 3 → = = ( ω B ) 3 ω 3 B 3 1 ⋅ B 3 = B 3 ( ω 2 A ) 3 ω 6 A 3 1 ⋅ A 3 = A 3
となるので、まとめると
➀ ( α β γ α β γ ) では A 3 ⟶ A 3 B 3 ⟶ B 3 ② ( α β γ γ α β ) では A 3 ⟶ A 3 B 3 ⟶ B 3 ③ ( α β γ β γ α ) では A 3 ⟶ A 3 B 3 ⟶ B 3 ④ ( α β γ α γ β ) では A 3 ⟶ B 3 B 3 ⟶ A 3 ➄ ( α β γ γ β α ) では A 3 ⟶ B 3 B 3 ⟶ A 3 ➅ ( α β γ β α γ ) では A 3 ⟶ B 3 B 3 ⟶ A 3 \hspace{-10pt}
\begin{align*}
&➀
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow A^3\\
B^3 &\longrightarrow B^3
\end{align*}\\
&②
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow A^3\\
B^3 &\longrightarrow B^3
\end{align*}\\
&③
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow A^3\\
B^3 &\longrightarrow B^3\\
\end{align*}\\
&④
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow B^3\\
B^3 &\longrightarrow A^3
\end{align*}\\
&➄
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow B^3\\
B^3 &\longrightarrow A^3\\
\end{align*}\\
&➅
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow B^3\\
B^3 &\longrightarrow A^3\\
\end{align*}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) では A 3 B 3 ⟶ A 3 ⟶ B 3 ② ( α γ β α γ β ) では A 3 B 3 ⟶ A 3 ⟶ B 3 ③ ( α β β γ γ α ) では A 3 B 3 ⟶ A 3 ⟶ B 3 ④ ( α α β γ γ β ) では A 3 B 3 ⟶ B 3 ⟶ A 3 ➄ ( α γ β β γ α ) では A 3 B 3 ⟶ B 3 ⟶ A 3 ➅ ( α β β α γ γ ) では A 3 B 3 ⟶ B 3 ⟶ A 3
となる。ここで面白いのは、A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) } では A 3 ⟶ A 3 B 3 ⟶ B 3 \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow A^3\\
B^3 &\longrightarrow B^3
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ⎭ ⎬ ⎫ では A 3 B 3 ⟶ A 3 ⟶ B 3
一方④～➅のように、３つのうち２つだけを入れ替える置換だと A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3
④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では A 3 ⟶ B 3 B 3 ⟶ A 3 \begin{rcases}
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}\hspace{5pt}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
A^3 &\longrightarrow B^3\\
B^3 &\longrightarrow A^3
\end{align*} ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では A 3 B 3 ⟶ B 3 ⟶ A 3
「すると A 3 + B 3 A^3+B^3 A 3 + B 3 A 3 A^3 A 3 A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3 B 3 B^3 B 3 A 3 + B 3 A^3+B^3 A 3 + B 3 A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3 A 3 + B 3 A^3+B^3 A 3 + B 3
➀～③では A 3 + B 3 ⟶ A 3 + B 3 ④～➅では A 3 + B 3 ⟶ B 3 + A 3 = A 3 + B 3 \begin{alignat*}{2}
&➀～③では & A^3+B^3 \longrightarrow &\,A^3+B^3\\
\\
&④～➅では & A^3+B^3 \longrightarrow &\,B^3+A^3\\
& & =&\,A^3+B^3
\end{alignat*} ➀ ～ ③ では ④ ～ ➅ では A 3 + B 3 ⟶ A 3 + B 3 ⟶ = A 3 + B 3 B 3 + A 3 A 3 + B 3
以上をまとめると
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) ④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では A 3 + B 3 ⟶ A 3 + B 3 \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\hspace{5pt}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}\hspace{5pt}
\end{rcases}
\hspace{10pt}
\begin{align*}
&では\\
&A^3+B^3 \longrightarrow A^3+B^3
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では A 3 + B 3 ⟶ A 3 + B 3
となり、➀～➅のすべての置換について変化しないので
A 3 + B 3 = ( α + ω β + ω 2 γ ) 3 + ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
A^3+B^3=(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)^3+(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)^3
\end{align*} A 3 + B 3 = ( α + ω β + ω 2 γ ) 3 + ( α + ω 2 β + ωγ ) 3
は、３変数 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
＜まとめ＞
ラグランジュ・リゾルベントを
A = α + ω β + ω 2 γ B = α + ω β + ω 2 γ \begin{align*}
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
B&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma
\end{align*} A B = α + ω β + ω 2 γ = α + ω β + ω 2 γ
とおくと A , B A, B A , B A B AB A B A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 A 3 + B 3 A^3+B^3 A 3 + B 3
A B = ( α + ω β + ω 2 γ ) ( α + ω β + ω 2 γ ) A 3 + B 3 = ( α + ω β + ω 2 γ ) 3 + ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
AB&=(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
A^3+B^3&=(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)^3+(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)^3
\end{align*} A B A 3 + B 3 = ( α + ω β + ω 2 γ ) ( α + ω β + ω 2 γ ) = ( α + ω β + ω 2 γ ) 3 + ( α + ω 2 β + ωγ ) 3
は３変数 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ A B AB A B A 3 + B 3 A^3+B^3 A 3 + B 3
α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\
&\alpha\beta\gamma
\end{align*} α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ
の加減乗除で表すことができるんだ。そうすれば、３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0
α + β + γ = − b a α β + β γ + γ α = c a α β γ = − d a \begin{alignat*}{2}
\alpha+\beta+\gamma&= & - &\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&= & &\dfrac{c}{a}\\
\alpha\beta\gamma&= & -&\dfrac{d}{a}
\end{alignat*} α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ = = = − − a b a c a d
を使って、ある計算をすることで A A A B B B A , B A, B A , B α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
α = ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ ⏞ A ) + ( α + ω 2 β + ω γ ⏞ B ) 3 β = ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 γ = ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) 3 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+(\overbrace{\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma}^{A})+(\overbrace{\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma}^{B})}{3}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}\\
\gamma&=\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)+\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)+\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)}{3}
\end{align*} α β γ = 3 ( α + β + γ ) + ( α + ω β + ω 2 γ A ) + ( α + ω 2 β + ωγ B ) = 3 ( α + β + γ ) + ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω ( α + ω 2 β + ωγ ) = 3 ( α + β + γ ) + ω ( α + ω β + ω 2 γ ) + ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ )
に表れる、２つ目と３つ目のカッコの式だね。最初のカッコ α + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ − b a - \dfrac{b}{a} − a b A , B A, B A , B a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d x = x= x = A , B A, B A , B y = s + t y=s+t y = s + t s s s t t t
・・・・・・
今日の授業は終わった。
（了）
（コメント）客観的に見てくれる人がいないので、数式の文章がどのように伝わっているのか全く不明で書いています。これで分かるのでしょうか。
追記（注） Wikipedia より抜粋参照
n n n
The product of multiplication of the arithmetical series beginning and increasing by unity and continued to the number of places, will be the variations of number with specific figures.[1]
と訳せる一節が含まれる。置換論 』としてまとめ上げた。
