竹村の家庭教師が始まった。
＜２次方程式の解の公式＞ ２次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
＜３次方程式の解の公式＞ ３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0
x = { − b 3 a + − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a + ω − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω 2 − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a + − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 {\begin{align*}
x= \begin{cases}
-\dfrac{b}{3a}+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}\\
-\dfrac{b}{3 a}+\omega \sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\omega^{2} \sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}\\
-\dfrac{b}{3a}+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
\end{cases}
\end{align*}} x = ⎩ ⎨ ⎧ − 3 a b + 3 − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 + 3 − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 − 3 a b + ω 3 − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 + ω 2 3 − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 − 3 a b + 3 − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 + 3 − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3
ただし
p = − 1 3 ( b a ) 2 + c a q = 2 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a {\begin{align*}
p&=-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\\
q&=\frac{2}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{c}{a}\right)+\frac{d}{a}
\end{align*}} p q = − 3 1 ( a b ) 2 + a c = 27 2 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d
非常に複雑な式だけど、x x x p p p q q q p p p q q q a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d x x x x x x
＜解と係数の関係＞ a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha,\beta α , β α , β \alpha,\beta α , β α , β \alpha,\beta α , β
α + β = − b a α β = c a {\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}} α + β α β = − a b = a c
つまり２つの解を直接求めなくても、その解の和と積は係数を使って求めることができるというわけだね。解を足したのは − b a -\dfrac{b}{a} − a b c a \dfrac{c}{a} a c α , β \alpha, \beta α , β α , β \alpha, \beta α , β x 2 x^2 x 2 a ( ≠ 0 ) a(\not=0) a ( = 0 )
a ( x − α ) ( x − β ) = 0 ・・・① {\begin{align*}
a(x-\alpha)(x-\beta)=0 ・・・①
\end{align*}} a ( x − α ) ( x − β ) = 0 ・・・ ①
では森田君。例えば 1 , 2 1, 2 1 , 2 x 2 x^2 x 2 a a a a ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 a(x-1)(x-2)=0 a ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 a ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 a(x-1)(x-2)=0 a ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 x − 1 = 0 x-1=0 x − 1 = 0 x − 2 = 0 x-2=0 x − 2 = 0 x = 1 , 2 x=1, 2 x = 1 , 2 a ( x − α ) ( x − β ) ‾ = 0 a\underline{(x-\alpha)(x-\beta)}=0 a ( x − α ) ( x − β ) = 0
a { x 2 − ( α + β ) x + α β } = 0 {\begin{gather*}
a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}=0\\
\end{gather*}} a { x 2 − ( α + β ) x + α β } = 0
a a a
a x 2 − a ( α + β ) x + a α β = 0 {\begin{gather*}
ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=0
\end{gather*}} a x 2 − a ( α + β ) x + a α β = 0
これが a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
a x 2 + b ‾ x + c ‾ ‾ = 0 a x 2 − a ( α + β ) ‾ x + a α β ‾ ‾ = 0 {\begin{alignat*}{3}
ax^2& & \underline{+b}x& & \underline{\underline{+c}}&=0\\
ax^2& & \underline{-a(\alpha+\beta)}x& & \thinspace\underline{\underline{+a\alpha\beta}}&=0
\end{alignat*}} a x 2 a x 2 + b x − a ( α + β ) x + c + a α β = 0 = 0
b = − a ( α + β ) c = a ( α β ) {\begin{align*}
b&=-a(\alpha+\beta)\\
c&=a(\alpha\beta)
\end{align*}} b c = − a ( α + β ) = a ( α β )
左右入れ替えて
− a ( α + β ) = b a ( α β ) = c {\begin{align*}
-a(\alpha+\beta)&=b\\
a(\alpha\beta)&=c
\end{align*}} − a ( α + β ) a ( α β ) = b = c
各々の両辺を a ( ≠ 0 ) a(\not=0) a ( = 0 )
α + β = − b a α β = c a {\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}} α + β α β = − a b = a c
となり、これで証明されたね。まとめておこう」
＜２次方程式の解と係数の関係＞ a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β α + β = − b a \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} α + β = − a b α β = c a \alpha\beta=\dfrac{c}{a} α β = a c
「実はこの『解と係数の関係』。３次方程式にも存在するんだよ」⋯ \cdots ⋯ n n n
<３次方程式の解と係数の関係> a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 3 3 3 α , β \alpha, \beta α , β γ \gamma γ α + β + γ = − b a \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a} α + β + γ = − a b α β + β γ + γ α = c a \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a} α β + β γ + γ α = a c α β γ = − c a \alpha\beta\gamma=-\dfrac{c}{a} α β γ = − a c
続いて４次方程式は
＜４次方程式の解と係数の関係＞ a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 a x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 4 4 4 α , β , γ , δ \alpha, \beta, \gamma, \delta α , β , γ , δ α + β + γ + δ = − b a \alpha+\beta+\gamma+\delta=-\dfrac{b}{a} α + β + γ + δ = − a b α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ = c a \alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta \delta+\gamma\delta=\dfrac{c}{a} α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ = a c α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ = − d a \alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta \gamma\delta=-\dfrac{d}{a} α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ = − a d α β γ δ = e a \alpha \beta \gamma \delta=\dfrac{e}{a} α β γ δ = a e
すると森田君。何か法則性に気付くかな？」
α + β + γ + δ ⏟ 1 個ずつの和 = − b a α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ ⏟ 2 個の積の和 = c a α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ ⏟ 3 個の積の和 = − d a α β γ δ ⏟ 4 個の積 = e a {\begin{align*}
\underbrace{\alpha+\beta+\gamma+\delta}_{\text{1 個ずつの和}}&=-\dfrac{b}{a}\\
\underbrace{\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta \delta+\gamma\delta}_{\text{2 個の積の和}}&=\dfrac{c}{a}\\
\underbrace{\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta \gamma\delta}_{\text{3 個の積の和}}&=-\dfrac{d}{a}\\
\underbrace{\alpha \beta \gamma \delta}_{4 個の積}&=\dfrac{e}{a}\\
\end{align*}} 1 個ずつの和 α + β + γ + δ 2 個の積の和 α β + α γ + α δ + β γ + β δ + γ δ 3 個の積の和 α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ 4 個の積 α β γ δ = − a b = a c = − a d = a e
そうすると、式が長くなるのでやらないけど、５次方程式やそれ以上の次数の方程式にも、１個の和、２個の積の和、３個の積の和、４個の積の和、５個の積の和、⋯ \cdots ⋯ n n n n n n
＜対称式について＞
「先ほど２次方程式でやった『解と係数の関係』の α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β α \alpha α β \beta β
α + β = β + α ⇐ 同じ式 α β = β α ⇐ 同じ式 {\begin{align*}
\alpha+\beta&=\beta+\alpha &\Leftarrow 同じ式\\
\alpha\beta&=\beta\alpha &\Leftarrow 同じ式
\end{align*}} α + β α β = β + α = β α ⇐ 同じ式 ⇐ 同じ式
当たり前と言えば当たり前なんだけどね。2 + 3 2+3 2 + 3 3 + 2 3+2 3 + 2 2 × 3 2 \times 3 2 × 3 3 × 2 3 \times 2 3 × 2 対称式 』というよ。α − β \alpha-\beta α − β α \alpha α β \beta β
α − β ≠ β − α ⇐ 違う式 {\begin{align*}
\alpha-\beta \ne \beta-\alpha \Leftarrow 違う式
\end{align*}} α − β = β − α ⇐ 違う式
となり対称式にならない。2 − 3 2-3 2 − 3 3 − 2 3-2 3 − 2 3 − 3 3-3 3 − 3 α 2 + β 2 \alpha^2+\beta^2 α 2 + β 2 α \alpha α β \beta β
α 2 + β 2 = β 2 + α 2 ⇐ 同じ式 {\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2=\beta^2+\alpha^2 \Leftarrow 同じ式
\end{align*}} α 2 + β 2 = β 2 + α 2 ⇐ 同じ式
でも α 2 − β 2 \alpha^2-\beta^2 α 2 − β 2 α \alpha α β \beta β
α 2 − β 2 = β 2 − α 2 ⇐ 違う式 {\begin{align*}
\alpha^2-\beta^2=\beta^2-\alpha^2 \Leftarrow 違う式
\end{align*}} α 2 − β 2 = β 2 − α 2 ⇐ 違う式
それでは森田君。対称式として他にどんなものがあるかな？」( α + β ) 2 (\alpha+\beta)^2 ( α + β ) 2 ( α + β ) 3 (\alpha+\beta)^3 ( α + β ) 3 α 3 + β 3 \alpha^3+\beta^3 α 3 + β 3 1 a + 1 β \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta} a 1 + β 1 ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2 ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2 α \alpha α β \beta β α − β \alpha-\beta α − β
( α − β ) 2 = ( β − α ) 2 ⇐ 同じ式 α − β ≠ β − α ⇐ 違う式 {\begin{align*}
(\alpha-\beta)^2&=(\beta-\alpha)^2 &\Leftarrow 同じ式\\
\alpha-\beta& \ne \beta-\alpha &\Leftarrow 違う式
\end{align*}} ( α − β ) 2 α − β = ( β − α ) 2 = β − α ⇐ 同じ式 ⇐ 違う式
「ところでこの α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β 基本対称式 』というんだ。そこでこの基本対称式について次のような定理がある。
＜対称式の基本定理＞
加減乗除とは『足し算、引き算、掛け算、割り算』、つまり四則演算のこと。つまり、α 2 + β 2 \alpha^2+\beta^2 α 2 + β 2 α + β , α β \alpha+\beta, \alpha\beta α + β , α β
問題 ２次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β a , b , c a,b,c a , b , c α 2 + β 2 \alpha^2+\beta^2 α 2 + β 2 ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2
「まずは先生が解いてみようか。さっきやった『解と係数の関係』より
α + β = − b a α β = c a {\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}} α + β α β = − a b = a c
すると先ほどの『対称式の基本定理』。”全ての対象式は『基本対称式』の加減乗除で表すことができる”ので、それぞれを式を基本対称式 α + β , α β \alpha+\beta,\alpha\beta α + β , α β a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 α 2 + 2 α β + β 2 \alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2 α 2 + 2 α β + β 2
α 2 + 2 α β + β 2 = ( α + β ) 2 {\begin{align*}
\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2
\end{align*}} α 2 + 2 α β + β 2 = ( α + β ) 2
− 2 α β -2\alpha\beta − 2 α β
α 2 + β 2 ＝ ( α + β ‾ ) 2 − 2 α β ‾ {\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2＝(\underline{\alpha+\beta})^2-2\underline{\alpha\beta}
\end{align*}} α 2 + β 2 ＝ ( α + β ) 2 − 2 α β
すると下線部が基本対称式となるので、これに先ほどの解と係数の関係
α + β = − b a α β = c a {\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}} α + β α β = − a b = a c
を代入すれば
α 2 + β 2 ＝ ( α + β ) 2 − 2 α β = ( − b a ) 2 − 2 ⋅ c a = b 2 a 2 − 2 c a = b 2 a 2 − 2 a c a 2 = b 2 − 2 a c a 2 （答） {\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2 &＝(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\
&=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2} （答）
\end{align*}} α 2 + β 2 ＝ ( α + β ) 2 − 2 α β = ( − a b ) 2 − 2 ⋅ a c = a 2 b 2 − a 2 c = a 2 b 2 − a 2 2 a c = a 2 b 2 − 2 a c （答）
これで対称式 α 2 + β 2 \alpha^2+\beta^2 α 2 + β 2 a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d α , β \alpha,\beta α , β ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 a = α a=\alpha a = α b = β b=\beta b = β
( α − β ) 2 = α 2 − 2 α β + β 2 = α 2 + β 2 − 2 α β {\begin{align*}
(\alpha-\beta)^2 &=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2\\
&=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta
\end{align*}} ( α − β ) 2 = α 2 − 2 α β + β 2 = α 2 + β 2 − 2 α β
すると (1) で求めた α 2 + β 2 = b 2 − 2 a c a 2 \alpha^2+\beta^2=\dfrac{b^2-2ac}{a^2} α 2 + β 2 = a 2 b 2 − 2 a c α β = c a \alpha\beta=\dfrac{c}{a} α β = a c
( α − β ) 2 = α 2 + β 2 − 2 α β = b 2 − 2 a c a 2 − 2 ⋅ c a = b 2 − 2 a c a 2 − 2 c a = b 2 − 2 a c a 2 − 2 a c a 2 = b 2 − 2 a c − 2 a c a 2 = b 2 − 4 a c a 2 （答） {\begin{align*}
(\alpha-\beta)^2 &=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-2\cdot\dfrac{c}{a}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-2ac-2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-4ac}{a^2} （答）
\end{align*}} ( α − β ) 2 = α 2 + β 2 − 2 α β = a 2 b 2 − 2 a c − 2 ⋅ a c = a 2 b 2 − 2 a c − a 2 c = a 2 b 2 − 2 a c − a 2 2 a c = a 2 b 2 − 2 a c − 2 a c = a 2 b 2 − 4 a c （答）
となり求まりました」
（まとめ）＜２変数の基本対称式＞ α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β ＜３変数の基本対称式＞ α + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ α β + β γ + γ α \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha α β + β γ + γ α α β γ \alpha\beta\gamma α β γ ＜４変数の基本対称式＞ α + β + γ + δ \alpha+\beta+\gamma+\delta α + β + γ + δ α β + β γ + γ α \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha α β + β γ + γ α α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ \alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta α β γ + α β δ + α γ δ + β γ δ α β γ δ \alpha\beta\gamma\delta α β γ δ ＜５変数以上の基本対称式＞ も、同様に構成していけばよい。
「よって、３変数以上の対称式についても『対称式の基本定理』が成り立ち、すべて基本対称式の加減乗除で表すことができるんだね。例えば α 2 + β 2 + γ 2 \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 α 2 + β 2 + γ 2 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α , β , γ
問題 ３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α , β , γ α 2 + β 2 + γ 2 \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 α 2 + β 2 + γ 2 a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d
森田君はすぐさまペンを動かす。
( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α {\begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha
\end{align*}} ( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α
「えっどこで習ったの？」( α + β + γ ) 2 = ( α + β + γ ) ( α + β + γ ) (\alpha+\beta+\gamma)^2=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta+\gamma) ( α + β + γ ) 2 = ( α + β + γ ) ( α + β + γ )
α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α = ( α + β + γ ) 2 {\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)^2
\end{align*}} α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α = ( α + β + γ ) 2
2 α β + 2 β γ + 2 γ α 2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha 2 α β + 2 β γ + 2 γ α
α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − ( 2 α β + 2 β γ + 2 γ α ) = ( α + β + γ ‾ ) 2 − 2 ( α β + β γ + γ α ‾ ) {\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-(2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha)\\
&=(\underline{\alpha+\beta+\gamma})^2-2(\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha})
\end{align*}} α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − ( 2 α β + 2 β γ + 2 γ α ) = ( α + β + γ ) 2 − 2 ( α β + β γ + γ α )
すると下線部が基本対称式になるので、これに３次方程式の解の公式
α + β + γ = − b a α β + β γ + γ α = c a α β γ = − d a {\begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{c}{a}\\
\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{d}{a}
\end{align*}} α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ = − a b = a c = − a d
の上位２式を代入して
α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − 2 ( α β + β γ + γ α ) = ( − b a ) 2 − 2 ⋅ c a = b 2 a 2 − 2 c a = b 2 a 2 − 2 a c a 2 = b 2 − 2 a c a 2 （答） {\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\
&=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2} （答）
\end{align*}} α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − 2 ( α β + β γ + γ α ) = ( − a b ) 2 − 2 ⋅ a c = a 2 b 2 − a 2 c = a 2 b 2 − a 2 2 a c = a 2 b 2 − 2 a c （答）
「先生解けました」
( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α {\begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha
\end{align*}} ( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α
をその場で考えて書き出したのは凄いね。高校１年で習う公式だよ」( α + β ) 2 (\alpha+\beta)^2 ( α + β ) 2
( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β 2 = α 2 + β 2 + 2 α β {\begin{align*}
(\alpha+\beta)^2&=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\
&=\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta
\end{align*}} ( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β 2 = α 2 + β 2 + 2 α β
となるので γ \gamma γ
( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 ‾ + 2 α β + 2 β γ ‾ + 2 γ α ‾ {\begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\underline{\gamma^2}+2\alpha\beta+\underline{2\beta\gamma}+\underline{2\gamma\alpha}
\end{align*}} ( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α
の項が増えるという自然な見方も出来ます」γ \gamma γ
（了）
（コメント）
