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もっと分かりやすく③「対称性を恒等置換まで破壊」する理由

    中学でもわかる浪漫数学

    （初めに）コンテストの応募期間は過ぎましたが、説明が不十分な所や重要な部分について、主に２次方程式を使って解説していきます。２次方程式で分かれば、３次方程式 ～ ５次方程式はそのアイデアの拡張なので、本文が分かりやすくなるかと思います。

    （本文スタート）
    　解の公式を得るためには、前回 (19) でやったように
    　「累乗根の添加によって、構成可能なすべての式の対称性（構成可能なすべての式を変化させない置換）を恒等置換にまで破壊する必要がある」
    　ここでは、その理由を解説していきます。

    （復習）対称式について

    　まず初めに、対称式について復習します。対称式とは「文字を入れ替えても変化しない式」です（本シリーズ (4)、(19)）。例えば２変数 α,  β\alpha,   \beta の対称式には以下のようなものがあります。いずれも α,  β\alpha,   \beta を入れ替えても式は変化しません。
    　α+β\alpha+\beta
    　αβ\alpha\beta
    　α2+β2\alpha^2+\beta^2
    　(α−β)2(\alpha-\beta)^2
    ２次置換で考えると、対称式は２次置換 II と (α    β)(\alpha       \beta) の両方で変化しません（本シリーズ (4)、(19)）（注１）。
    　一方、対称式でないのは以下のようなものがあります。
    　α−β\alpha-\beta
    　αβ2\alpha\beta^2
    　α2−β2\alpha^2-\beta^2
    　α\alpha
    　β\beta
    これらは、２次置換 II と (α    β)(\alpha       \beta) のうち、α\alpha と β\beta を入れ替える互換 (α    β)(\alpha       \beta) で変化します。
    　なお、α\alpha や β\beta のような１文字で表される式も対称式ではありません。これらは互換 (α    β)(\alpha       \beta) で、α\alpha は β\beta に、β\beta は α\alpha にと変化します。

     α↓　⇐(α    β)を作用 β（変化する）\begin{align*} &\,\alpha\\ &\downarrow　\Leftarrow {(\alpha       \beta)} を作用\\ &\,\beta（変化する） \end{align*}

     β↓　⇐(α    β)を作用 α（変化する）\begin{align*} &\,\beta\\ &\downarrow　\Leftarrow {(\alpha       \beta)} を作用\\ &\,\alpha（変化する） \end{align*}

    つまり、１つの文字 α, β\alpha,  \beta の対称性（式を変化させない置換）は恒等置換となります。
    　表現として、α+β\alpha+\beta、αβ\alpha\beta のよう対称式は「完全な対称性をもつ」 、解を表す式 α, β\alpha,  \beta は「完全に対称性が壊れている」と表現することができます。

    α+β, αβ のような対称式⟶ 完全な対称性をもつα, β のような解を表す式⟶ 完全に対称性が壊れている\begin{alignat*}{2} &\alpha+\beta,  \alpha\beta  のような対称式& &\longrightarrow 完全な対称性をもつ\\ &\alpha,  \beta  のような解を表す式& &\longrightarrow 完全に対称性が壊れている \end{alignat*}

    （復習）２次方程式の解の公式

    　２次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の解の公式とは次のようなものでした。

    x=−b±b2−4ac2a\begin{align*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

    これは、２次方程式には

    −b+b2−4ac2a　と　−b−b2−4ac2a\begin{align*} \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}　と　\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

    の２つの解があるということです。
    　ここで２次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の２つの解を α, β\alpha,  \beta とし、それぞれを次のように定義します。

    α=−b+b2−4ac2aβ=−b−b2−4ac2a\begin{align*} \alpha&=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \beta&=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

    プラスの方を  α\alpha、マイナスの方を β\beta とします。α, β\alpha,  \beta は解そのものなので、このように置くことは可能です。なお、α, β\alpha,  \beta には区別がない（こちらがプラス、こちらがマイナスになるという必然性がない）ので、逆にしても構いません。

    対称性を恒等置換まで破壊する理由

    　先ほど、２次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の２つの解を α, β\alpha,  \beta とし、次のように α, β\alpha,  \beta を定義しました。

    α=−b+b2−4ac2aβ=−b−b2−4ac2a\begin{align*} \alpha&=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \beta&=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

    α, β\alpha,  \beta は対称式ではないので、それとイコールの関係をもつ２次方程式の解の公式

    x=−b+b2−4ac2ax=−b−b2−4ac2a\begin{align*} x&=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x&=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

    これらをまとめた

    x=−b±b2−4ac2a\begin{align*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

    も、対称式ではありません。よって解の公式の対称性は、解の式 α, β\alpha,  \beta と同等の対称性、つまり「完全に対称性が壊れた」恒等置換にまで破壊される必要があります（本シリーズ (11)、(19)）。

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    　以上が、解の公式を得るためには
    　「累乗根の添加によって、構成可能なすべての式の対称性（構成可能なすべての式を変化させない置換）を恒等置換まで破壊する必要がある」
    ことの理由です。対称性が恒等置換にまで破壊された集合の中で、２次方程式の解の公式が構成できる（解の公式が存在する）わけです。

    （本シリーズ (19) から再掲）

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    　このことは、３次方程式、４次方程式、５次方程式、⋯\cdots と、次数が高くなっても同じです。何次方程式でも、その解の公式の対称性は恒等置換にまで破壊される必要があります。そして、５次以上の方程式ではそれが不可能であること（偶置換シンメトリーまでしか破壊することができないこと）によって、５次以上の方程式には解の公式が存在しないことが帰結されます（アーベル・ルフィニの定理）（本シリーズ (14)～(17)）。

    （注）２次置換について（復習）

    　２次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の２つの解 α, β\alpha,  \beta の置換（置き換え）を考えます。この２つの文字の置換を２次置換といいます。２つの解 α, β\alpha,  \beta の２次置換は、次の (case1) と (case2) の２通りがあります。

    (case1)　(α    βα    β)=I\dbinom{\alpha       \beta}{\alpha       \beta}=I

    (case2)　(α    ββ    α)=(α    β)\dbinom{\alpha       \beta}{\beta       \alpha}=(\alpha       \beta)

    (case1) は α\alpha を α\alpha に、β\beta を β\beta に置き換える、つまり何も変化しない恒等置換 II です。なにも変化しない置き換えも置換として考えます。

    (case2) は α\alpha を β\beta に、β\beta を α\alpha に置き換える互換 (α    β)(\alpha       \beta) です。
    　α\alpha と β\beta を置き替える２次置換はこの II と (α    β)(\alpha       \beta) の２つのみで、他にはありません。

    （参考）各章の内容

    （１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出
    　　　・平方完成
    （２）「３次方程式の解の公式」を導出するための準備
    　　　・11 の３乗根 ω\omega
    （３）「３次方程式の解の公式」を式変形で導出
    　　　・チルンハウス変換
    （４）「解と係数の関係」と「対称式」の解説
    （５）「対称式」を用いた「２次方程式の解の公式」の導出
    （６）「解の置換」と「ラグランジュ・リゾルベント」の解説
    （７）「ラグランジュ・リゾルベント」による「３次方程式の解の公式」の導出
    （８）「偶置換」と「奇置換」の解説（ここから「アーベルの証明」の準備）
    （９）「差積の２乗」が対称式となることを解説
    （10）「平方根」「３乗根」と次々と累乗根を加えていくアイデア
    （11）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）
    （12）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。
    （13）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。⟶\longrightarrow ３次方程式の解の公式の完成
    （14）「アーベルの証明」の解説①。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、構成可能な式の対称性が５次置換（対称式）から偶置換シンメトリーへと破壊されることを解説。
    （15）「アーベルの証明」の解説②。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、偶置換と奇置換に分類する。
    （16）「アーベルの証明」の解説➂。「すべての偶置換は３次巡回置換の積で表される」ことの解説。
    （17）「アーベルの証明」の解説➃（最後）。「任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せる」ことによって、５次方程式には解の公式が存在しないことが証明されることの解説。
    （18）もっと分かりやすくシリーズ①「累乗根の添加」について重点解説。
    （19）もっと分かりやすくシリーズ②「対称性の破壊」について重点解説。
    （20）もっと分かりやすくシリーズ③「対称性を恒等置換まで破壊」することについて重点解説。


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