（初めに）本記事はやや分かりにくいかもしれません（時間があれば修正します）。より分かりやすくは、本シリーズ (22)、(23) で全面的に書き直していますので、そちらもご参照ください。
（本文スタート）解の置換 」です。よって今後は解の置換という立場で解の公式を眺めていきます。なお解の置換という立場に立つと議論が抽象化していきますが、それは今までやった具体的な計算をもとにしているので、必要に応じてその計算にも触れていきます。a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a a a x 2 x^2 x 2 1 1 1
a x 2 + b x + c = 0 ⇆ a x 2 + b x + c a = 0 a ⇆ a x 2 a + b x a + c a = 0 ⇆ x 2 + b a x + c a = 0 \begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
\leftrightarrows &\dfrac{ax^2+bx+c}{a}=\dfrac{0}{a}\\
\leftrightarrows &\dfrac{\bcancel{a}x^2}{\bcancel{a}}+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}=0\\
\leftrightarrows &x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0
\end{align*} ⇆ ⇆ ⇆ a x 2 + b x + c = 0 a a x 2 + b x + c = a 0 a a x 2 + a b x + a c = 0 x 2 + a b x + a c = 0
なお記号「⇆ \leftrightarrows ⇆ 同値 であることを意味します。例えばp ⇆ q p\leftrightarrows q p ⇆ q p → ならば q p\hspace{-2pt}\underset{\tiny ならば}{\rightarrow}\hspace{-2pt}q p ならば → q q → ならば p q\hspace{-2pt}\underset{\tiny ならば}{\rightarrow}\hspace{-2pt}p q ならば → p p p p q q q q q q p p p p p p q q q 同値 であるといいます。
＜同値＞ p 仮定 → q 結論 \underset{\tiny 仮定}{p}\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}\underset{\tiny 結論}{q} 仮定 p → 結論 q q 仮定 → p 結論 \underset{\tiny 仮定}{q}\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}\underset{\tiny 結論}{p} 仮定 q → 結論 p p ⇆ q p \leftrightarrows q p ⇆ q p p p q q q 同値 であるという。p → q p\rightarrow q p → q p p p q q q q → p q\rightarrow p q → p q q q p p p
すると、先ほどの変形
a x 2 + b x + c = 0 ⇆ a x 2 + b x + c a = 0 a ⇆ a x 2 a + b x a + c a = 0 ⇆ x 2 + b a x + c a = 0 \begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
\leftrightarrows &\dfrac{ax^2+bx+c}{a}=\dfrac{0}{a}\\
\leftrightarrows &\dfrac{\bcancel{a}x^2}{\bcancel{a}}+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}=0\\
\leftrightarrows &x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0
\end{align*} ⇆ ⇆ ⇆ a x 2 + b x + c = 0 a a x 2 + b x + c = a 0 a a x 2 + a b x + a c = 0 x 2 + a b x + a c = 0
はどのステップも同値 ⇆ \leftrightarrows ⇆ 同値変形 になっているので、下から上に変形していくことも可能です。ここで簡単にするために
b a = a 1 b a = a 2 \begin{align*}
\dfrac{b}{a}=a_1\\[7pt]
\dfrac{b}{a}=a_2
\end{align*} a b = a 1 a b = a 2
とおくと
x 2 + a 1 x + a 2 = 0 \begin{align*}
x^2+a_1x+a_2=0
\end{align*} x 2 + a 1 x + a 2 = 0
この２次方程式の解を α , β \alpha, \beta α , β a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
x 2 + a 1 x + a 2 = 0 ⇆ a x 2 + b x + c = 0 \begin{align*}
x^2+a_1x+a_2=0 \leftrightarrows ax^2+bx+c=0
\end{align*} x 2 + a 1 x + a 2 = 0 ⇆ a x 2 + b x + c = 0
x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 a 1 = b a a_1=\dfrac{b}{a} a 1 = a b a 2 = c a a_2=\dfrac{c}{a} a 2 = a c a a a a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a a a b a = a 1 \dfrac{b}{a}=a_1 a b = a 1 b a = a 2 \dfrac{b}{a}=a_2 a b = a 2 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β
a x 2 + b x + c = 0 ⇆ a x 2 + b x + c a = 0 a ⇆ a x 2 a + b x a + c a = 0 ⇆ x 2 + b a x + c a = 0 ⇆ x 2 + a 1 x + a 2 = 0 \begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
\leftrightarrows &\dfrac{ax^2+bx+c}{a}=\dfrac{0}{a}\\
\leftrightarrows &\dfrac{\bcancel{a}x^2}{\bcancel{a}}+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}=0\\
\leftrightarrows &x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\\
\leftrightarrows &x^2+a_1x+a_2=0
\end{align*} ⇆ ⇆ ⇆ ⇆ a x 2 + b x + c = 0 a a x 2 + b x + c = a 0 a a x 2 + a b x + a c = 0 x 2 + a b x + a c = 0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0
上の同値変形で、一番上の a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0
＜解と係数の関係（復習）＞ a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β
α + β = − b a α β = c a \begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*} α + β α β = − a b = a c
について、x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 α , β \alpha, \beta α , β x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 a = 1 , b = a 1 , c = a 2 a=1, b=a_1, c=a_2 a = 1 , b = a 1 , c = a 2
α + β = − a 1 1 = − a 1 α β = a 2 1 = a 2 \begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{a_1}{1}\\
&=-a_1\\
\alpha\beta&=\dfrac{a_2}{1}\\
&=a_2
\end{align*} α + β α β = − 1 a 1 = − a 1 = 1 a 2 = a 2
より
α + β = − a 1 α β = a 2 ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{align*}
\alpha+\beta&=-a_1\\
\alpha\beta&=a_2
\end{align*}
\hspace{5pt}\cdots (*1) α + β α β = − a 1 = a 2 ⋯ ( ∗ 1 )
よって、a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2
a 1 = − ( α + β ) a 2 = α β \begin{align*}
a_1&=-(\alpha+\beta)\\
a_2&=\alpha\beta
\end{align*} a 1 a 2 = − ( α + β ) = α β
するとここで注目したいのは、２次方程式 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 a 1 a_1 a 1 a 2 a_2 a 2
a 1 = − ( α + β ⏟ 基本対称式 ) a 2 = α β ⏟ 基本対称式 \begin{align*}
a_1&=-(\hspace{-5pt}\underbrace{\alpha+\beta}_{基本対称式}\hspace{-5pt})\\
a_2&=\underbrace{\alpha\beta}_{基本対称式}
\end{align*} a 1 a 2 = − ( 基本対称式 α + β ) = 基本対称式 α β
これが、あらかじめ a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 a a a x 2 x^2 x 2 1 1 1 b a = a 1 \dfrac{b}{a}=a_1 a b = a 1 c a = a 2 \dfrac{c}{a}=a_2 a c = a 2 a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 a 1 a_1 a 1 a 2 a_2 a 2 a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 α \alpha α β \beta β
2 a 1 + a 2 = 2 ( α + β ) + α β → 対称式 3 a 1 ⋅ a 2 = 3 ( α + β ) α β → 対称式 a 1 2 + 4 5 a 2 = ( α + β ) 2 + 4 5 α β → 対称式 \begin{align*}
2a_1+a_2&=2(\alpha+\beta)+\alpha\beta & &\rightarrow 対称式\\
3a_1\cdot a_2&=3(\alpha+\beta)\alpha\beta & &\rightarrow 対称式\\
\dfrac{{a_1}^2+4}{5a_2}
&=\dfrac{(\alpha+\beta)^2+4}{5\alpha\beta} & &\rightarrow 対称式
\end{align*} 2 a 1 + a 2 3 a 1 ⋅ a 2 5 a 2 a 1 2 + 4 = 2 ( α + β ) + α β = 3 ( α + β ) α β = 5 α β ( α + β ) 2 + 4 → 対称式 → 対称式 → 対称式
なお 2 2 2 4 4 4 α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β α \alpha α β \beta β α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β
対称式は基本対称式の加減乗除で表すことができる \begin{align*}\boldsymbol{対称式は基本対称式の加減乗除で表すことができる}\end{align*} 対称式は基本対称式の加減乗除で表すことができる
という対称式の基本定理 より、すべての対称式は基本対称式α + β \alpha+\beta α + β α β \alpha\beta α β ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 )
α + β = − a 1 α β = a 2 ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{align*}
\alpha+\beta&=-a_1\\
\alpha\beta&=a_2
\end{align*}
\hspace{5pt}\cdots (*1) α + β α β = − a 1 = a 2 ⋯ ( ∗ 1 )
より a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 集合 』という言葉を使うよ」a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2
森田君は話を進める。α − β \alpha-\beta α − β α \alpha α β \beta β a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 α \alpha α β \beta β
( α β α β ) と ( α β β α ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{10pt}と\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha\
\end{pmatrix} ( α α β β ) と ( α β β α )
を作用させてみます。なお、復習として２次置換とは次のようなものでした。
＜ α \boldsymbol{\alpha} α と β \boldsymbol{\beta} β の２次置換（復習）＞ ➀ α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β
α ⟶ α β ⟶ β を ( α β α β ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \alpha\\
\beta\longrightarrow \beta
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix} α ⟶ α β ⟶ β を ( α α β β )
と表す。何も変わらない場合も置換に含める。これは「恒に等しい置換」という意味で『恒等置換 』という。
② α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α
α ⟶ β β ⟶ α を ( α β β α ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \beta\\
\beta\longrightarrow \alpha
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha\
\end{pmatrix} α ⟶ β β ⟶ α を ( α β β α )
と表す。（ ）の中の文字は、上から下へ置換されると考えればよい。
すると α \alpha α β \beta β ( α β α β ) \dbinom{\alpha \beta}{\alpha \beta} ( α β α β ) ( α β β α ) \dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha} ( β α α β ) α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α α , β \alpha, \beta α , β
( α β α β ) では { α ⟶ α β ⟶ β ⇒ 変化しない ( α β β α ) では { α ⟶ β β ⟶ α ⇒ 変化する（入れ替わる） \begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{cases}
\alpha \longrightarrow \alpha\\
\beta \longrightarrow \beta
\end{cases}
\hspace{4pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small 変化しない}\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha
\end{pmatrix}
\hspace{8pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{cases}
\alpha \longrightarrow \beta\\
\beta \longrightarrow\alpha
\end{cases}
\hspace{4pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small 変化する（入れ替わる）}
\end{align*} ( α α β β ) では { α ⟶ α β ⟶ β ⇒ 変化しない ( α β β α ) では { α ⟶ β β ⟶ α ⇒ 変化する（入れ替わる）
式 α \alpha α β \beta β x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 α , β \alpha, \beta α , β
α = （係数 a 1 と a 2 で表す） β = （係数 a 1 と a 2 で表す） \begin{align*}
\alpha=（係数 a_1 と a_2 で表す）\\
\beta=（係数 a_1 と a_2 で表す）
\end{align*} α = （係数 a 1 と a 2 で表す） β = （係数 a 1 と a 2 で表す）
とすることですが、そもそも係数 a 1 a_1 a 1 a 2 a_2 a 2 α , β \alpha, \beta α , β
α ⏟ 対称式でない = （係数 a 1 と a 2 で表す） ⏟ 加減乗除では対称式 β ⏟ 対称式でない = （係数 a 1 と a 2 で表す） ⏟ 加減乗除では対称式 \begin{align*}
\underbrace{\alpha}_{対称式でない}\hspace{-14pt}
=\underbrace{（係数 a_1 と a_2 で表す）}_{加減乗除では対称式}\\
\underbrace{\beta}_{対称式でない}\hspace{-14pt}
=\underbrace{（係数 a_1 と a_2 で表す）}_{加減乗除では対称式}
\end{align*} 対称式でない α = 加減乗除では対称式 （係数 a 1 と a 2 で表す） 対称式でない β = 加減乗除では対称式 （係数 a 1 と a 2 で表す）
解の公式を導くには、基本対称式である a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 α , β \alpha, \beta α , β 累乗根の添加 」というアイデアです。具体的には、 a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 累乗根 」の添加です。累乗根とは平方根、３乗根、４乗恨 ⋯ \cdots ⋯ a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 \sqrt{\hspace{15pt}} \sqrt{\hspace{15pt}} ⋯ 3 \sqrt[3]{\cdots\sqrt{\hspace{15pt}}} 3 ⋯ α , β \alpha, \beta α , β
ではまず簡単に、２次方程式ではどう考えるのかを具体的に見ていきます。２次方程式では次のような条件を満たす「解の式」 X X X
条件 X X X X 2 X^2 X 2 X X X ( α β α β ) , ( α β β α ) \dbinom{\alpha \beta}{\alpha \beta}, \dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha} ( α β α β ) , ( β α α β ) X 2 X^2 X 2
２次方程式の場合、そういう X X X
X = α − β \begin{align*}
X=\alpha-\beta
\end{align*} X = α − β
でした。X = α − β X=\alpha-\beta X = α − β ( α β α β ) \dbinom{\alpha \beta}{\alpha \beta} ( α β α β ) ( α β β α ) \dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha} ( β α α β ) − 1 -1 − 1 X 2 = ( α − β ) 2 X^2=(\alpha-\beta)^2 X 2 = ( α − β ) 2 ( α β α β ) \dbinom{\alpha \beta}{\alpha \beta} ( α β α β ) ( α β β α ) \dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha} ( β α α β ) X 2 X^2 X 2
( α β β α ) では { α − β ⟶ β − α = − α + β = − ( α − β ) ⏟ − 1 倍に変化 ⇒ 対称性が壊れている ( α − β ) 2 ⟶ ( β − α ) 2 = ( − α + β ) 2 = { − ( α − β ) } 2 = ( α − β ) 2 ⏟ 変化しない ⇒ 対称性が保たれている \begin{align*}
\dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha}
\hspace{7pt}では\hspace{7pt}
\begin{cases}
\begin{align*}
\alpha-\beta \longrightarrow & \beta-\alpha\\
=&-\alpha+\beta\\
=&\underbrace{-(\alpha-\beta)}_{-1 倍に変化}\\[15pt]
\Rightarrow & {\small \boldsymbol{対称性が壊れている}}
\end{align*}\\[35pt]
\begin{align*}
{(\alpha-\beta)}^2 \longrightarrow & {(\beta-\alpha)}^2\\
=& (-\alpha+\beta)^2\\
=& \{-(\alpha-\beta)\}^2\\
=& \underbrace{{(\alpha-\beta)}^2}_{変化しない}\\[15pt]
\Rightarrow & {\small \boldsymbol{対称性が保たれている}}
\end{align*}
\end{cases}
\end{align*} ( β α α β ) では ⎩ ⎨ ⎧ α − β ⟶ = = ⇒ β − α − α + β − 1 倍に変化 − ( α − β ) 対称性が壊れている ( α − β ) 2 ⟶ = = = ⇒ ( β − α ) 2 ( − α + β ) 2 { − ( α − β ) } 2 変化しない ( α − β ) 2 対称性が保たれている
すると X 2 = ( α − β ) 2 X^2=(\alpha-\beta)^2 X 2 = ( α − β ) 2 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 α , β \alpha, \beta α , β ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 )
α + β = − a 1 α β = a 2 ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{align*}
\alpha+\beta&=-a_1\\
\alpha\beta&=a_2
\end{align*}
\hspace{5pt}\cdots (*1) α + β α β = − a 1 = a 2 ⋯ ( ∗ 1 )
から
X 2 = ( α − β ) 2 = α 2 − 2 α β + β 2 = α 2 + β 2 ‾ − 2 α β = ( α + β ) 2 − 2 α β ‾ − 2 α β = ( α + β ) 2 − 4 α β = ( − a 1 ) 2 − 4 a 2 = ( a 1 ) 2 − 4 a 2 \begin{align*}
X^2&={(\alpha-\beta)}^2\\
&=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2\\
&=\underline{\alpha^2+\beta^2}-2\alpha\beta\\
&=\underline{{(\alpha+\beta)}^2-2\alpha\beta}-2\alpha\beta\\
&={(\alpha+\beta)}^2-4\alpha\beta\\
&={(-a_1)}^2-4a_2\\
&={(a_1)}^2-4a_2
\end{align*} X 2 = ( α − β ) 2 = α 2 − 2 α β + β 2 = α 2 + β 2 − 2 α β = ( α + β ) 2 − 2 α β − 2 α β = ( α + β ) 2 − 4 α β = ( − a 1 ) 2 − 4 a 2 = ( a 1 ) 2 − 4 a 2
より
X 2 = ( a 1 ) 2 − 4 a 2 \begin{align*}
X^2={(a_1)}^2-4a_2
\end{align*} X 2 = ( a 1 ) 2 − 4 a 2
下線部のところはα 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β \alpha^2+\beta^2={(\alpha+\beta)}^2-2\alpha\beta α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β ( α + β ) 2 {(\alpha+\beta)}^2 ( α + β ) 2
( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β 2 ⇆ α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β ‾ \begin{align*}
{(\alpha+\beta)}^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2
\leftrightarrows \underline{\alpha^2+\beta^2={(\alpha+\beta)}^2-2\alpha\beta}
\end{align*} ( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β 2 ⇆ α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β
ここで簡単のため ( a 1 ) 2 − 4 a 2 = A {(a_1)}^2-4a_2=A ( a 1 ) 2 − 4 a 2 = A X 2 = A X^2=A X 2 = A
X = ± A \begin{align*}
X=\pm\sqrt{A}
\end{align*} X = ± A
A = ( a 1 ) 2 − 4 a 2 A={(a_1)}^2-4a_2 A = ( a 1 ) 2 − 4 a 2
X = ± ( a 1 ) 2 − 4 a 2 \begin{align*}
X=\pm\sqrt{{(a_1)}^2-4a_2}
\end{align*} X = ± ( a 1 ) 2 − 4 a 2
さらに X = α − β X=\alpha-\beta X = α − β
α − β = ± ( a 1 ) 2 − 4 a 2 \begin{align*}
\alpha-\beta=\pm\sqrt{{(a_1)}^2-4a_2}
\end{align*} α − β = ± ( a 1 ) 2 − 4 a 2
すると、解と係数の関係から得られる α + β = − a 1 \alpha+\beta=-a_1 α + β = − a 1 α − β \alpha-\beta α − β
{ α + β = − a 1 α − β = ± ( a 1 ) 2 − 4 a 2 \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-a_1\\[5pt]
\alpha-\beta=\pm\sqrt{{(a_1)}^2-4a_2}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a 1 α − β = ± ( a 1 ) 2 − 4 a 2
を解くことによって α , β \alpha, \beta α , β ( a 1 ) 2 − 4 a 2 {(a_1)}^2-4a_2 ( a 1 ) 2 − 4 a 2
( a 1 ) 2 − 4 a 2 \begin{align*}
\sqrt{{(a_1)}^2-4a_2}
\end{align*} ( a 1 ) 2 − 4 a 2
を加減乗除の対象として添加することによって解の公式が導出できるようになったのです。a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2
b a = a 1 c a = a 2 \begin{align*}
\dfrac{b}{a}=a_1\\[7pt]
\dfrac{c}{a}=a_2
\end{align*} a b = a 1 a c = a 2
と置き換えたものだったので、これを戻して
( a 1 ) 2 − 4 a 2 = ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\sqrt{{(a_1)}^2-4a_2}=\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{align*} ( a 1 ) 2 − 4 a 2 = ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
より、連立方程式は
{ α + β = − b a α − β = ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\[10pt]
\alpha-\beta=\pm\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a b α − β = ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
α , β \alpha, \beta α , β a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 α , β \alpha, \beta α , β
さて、この連立方程式を解くには、α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β α , β \alpha, \beta α , β
α = ( α + β ) + ( α − β ) 2 β = ( α + β ) − ( α − β ) 2 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}
\end{align*} α β = 2 ( α + β ) + ( α − β ) = 2 ( α + β ) − ( α − β )
に、先ほど求めた α + β \alpha+\beta α + β α − β \alpha-\beta α − β α − β \alpha-\beta α − β (case1) とマイナスのとき (case2) で場合分けをします。
(case1)
{ α + β = − b a α − β = ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\[10pt]
\alpha-\beta=\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a b α − β = ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
(case2)
{ α + β = − b a α − β = − ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\[10pt]
\alpha-\beta&=-\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β α − β = − a b = − ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
では、それぞれの場合について解いていきましょう。
(case1)
{ α + β = − b a α − β = ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\[10pt]
\alpha-\beta=\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a b α − β = ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
のとき
α = ( α + β ) + ( α − β ) 2 = − b a + ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 β = ( α + β ) − ( α − β ) 2 = − b a − ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}+\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}-\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}
\end{align*} α β = 2 ( α + β ) + ( α − β ) = 2 − a b + ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c = 2 ( α + β ) − ( α − β ) = 2 − a b − ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
より
α = − b a + ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 β = − b a − ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 \begin{align*}
\alpha=\dfrac{-\dfrac{b}{a}+\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}\\
\beta=\dfrac{-\dfrac{b}{a}-\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}
\end{align*} α = 2 − a b + ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c β = 2 − a b − ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
(case2)
{ α + β = − b a α − β = − ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\[10pt]
\alpha-\beta&=-\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β α − β = − a b = − ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
のとき
α = ( α + β ) + ( α − β ) 2 = − b a − ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 β = ( α + β ) − ( α − β ) 2 = − b a + ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}-\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}\\
\beta&=\dfrac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}+\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}
\end{align*} α β = 2 ( α + β ) + ( α − β ) = 2 − a b − ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c = 2 ( α + β ) − ( α − β ) = 2 − a b + ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
より
α = − b a − ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 β = − b a + ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 \begin{align*}
\alpha=\dfrac{-\dfrac{b}{a}-\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}\\
\beta=\dfrac{-\dfrac{b}{a}+\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}
\end{align*} α = 2 − a b − ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c β = 2 − a b + ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
(case1) 、(case2) の結果を見ると、α , β \alpha, \beta α , β α , β \alpha, \beta α , β x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0
x = − a 1 ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 \begin{align*}
x=\dfrac{-a_1\pm\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}
\end{align*} x = 2 − a 1 ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
が得られるという構想になっています。さらに、これを以下のように計算していけば、教科書でも見慣れた２次方程式 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0
x = − b a ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a 2 = − b a ± b 2 a 2 − 4 ⋅ c a 2 = − b a ± b 2 a 2 − 4 ⋅ a c a 2 2 = − b a ± b 2 a 2 − 4 a c a 2 2 = − b a ± b 2 − 4 a c a 2 2 = − b a ± b 2 − 4 a c a 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a \begin{align*}
x&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2}-4\cdot\dfrac{c}{a}}}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2}-4\cdot\dfrac{ac}{a^2}}}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{4ac}{a^2}}}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{a^2}}}{2}\\
&=\dfrac{-\dfrac{b}{a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}}{2}\\
&=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*} x = 2 − a b ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c = 2 − a b ± a 2 b 2 − 4 ⋅ a c = 2 − a b ± a 2 b 2 − 4 ⋅ a 2 a c = 2 − a b ± a 2 b 2 − a 2 4 a c = 2 − a b ± a 2 b 2 − 4 a c = 2 − a b ± a b 2 − 4 a c = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
「図式化してみましょう」と、森田君は巨大な”壁”ホワイトボードを大きく使って図を書き始めた。ホワイトボードをすでに自在に操っている。
（図解）
ここでプラスの方を α \alpha α β \beta β
α = − b + b 2 − 4 b c 2 a β = − b − b 2 − 4 b c 2 a \begin{align*}
\alpha&=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4bc}}{2a}\\
\beta&=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4bc}}{2a}
\end{align*} α β = 2 a − b + b 2 − 4 b c = 2 a − b − b 2 − 4 b c
となりますが、先に述べた α , β \alpha, \beta α , β
( α β α β ) と ( α β β α ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\hspace{10pt}と\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
\beta & \alpha\
\end{pmatrix} ( α α β β ) と ( α β β α )
において、恒等置換 ( α β α β ) \dbinom{\alpha \beta}{\alpha \beta} ( α β α β ) α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β ( α β β α ) \dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha} ( β α α β ) α \alpha α β \beta β
α = − b + b 2 − 4 b c 2 a 解の入れ替え ↕ ↕ ± の入れ替え β = − b − b 2 − 4 b c 2 a \begin{align*}
&\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4bc}}{2a}\\
\boldsymbol{\small 解の入れ替え}\hspace{2pt}&\hspace{-1pt}\updownarrow\hspace{30pt}\updownarrow\boldsymbol{\small \pm の入れ替え}\\
&\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4bc}}{2a}
\end{align*} 解の入れ替え α = 2 a − b + b 2 − 4 b c ↕ ↕ ± の入れ替え β = 2 a − b − b 2 − 4 b c
つまり、そもそも対称式ではない α \alpha α β \beta β ( α − β ) 2 (\alpha-\beta)^2 ( α − β ) 2 ± \pm ± α , β \alpha, \beta α , β α \alpha α β \beta β α , β \alpha, \beta α , β
条件 X X X ( α β α β ) , ( α β β α ) \dbinom{\alpha \beta}{\alpha \beta}, \dbinom{\alpha \beta}{\beta \alpha} ( α β α β ) , ( β α α β ) X 2 X^2 X 2
を満たす X X X X X X X X X X X X X = α − β X=\alpha-\beta X = α − β X 2 = ( α − β ) 2 X^2=(\alpha-\beta)^2 X 2 = ( α − β ) 2
X = α − β = ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
X&=\alpha-\beta\\
&=\pm\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{align*} X = α − β = ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
と α − β \alpha-\beta α − β α + β = − b a \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} α + β = − a b
（まとめ）
{ α + β = − b a ← （ こちらは既知 ） α − β = ⋯ ← （ こちらが問題 ） \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} &\leftarrow（\boldsymbol{\small こちらは既知}）\\
\alpha-\beta= \cdots &\leftarrow（\boldsymbol{\small こちらが問題}）
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a b α − β = ⋯ ← （ こちらは既知 ） ← （ こちらが問題 ）
⋯ \cdots ⋯ ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \pm\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}} ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
{ α + β = − b a α − β = ± ( b a ) 2 − 4 ⋅ c a \begin{align*}
\begin{cases}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha-\beta=\pm\sqrt{{\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2-4\cdot\dfrac{c}{a}}
\end{cases}
\end{align*} ⎩ ⎨ ⎧ α + β = − a b α − β = ± ( a b ) 2 − 4 ⋅ a c
という連立方程式を解くことによって２次方程式の解 α , β \alpha, \beta α , β α \alpha α β \beta β α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ X = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 X^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 X 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2
（了）
（コメント）「アーベルの証明」 （アーベル・ルフィニの定理）で、それを解説してから「群」という新しい概念を用いてより核心に迫った「ガロアの証明」 へと続きます。
（参考）1 1 1 ω \omega ω アーベルの証明 」の準備）
