５分間の休憩が終わり、森田君はホワイトボードに向かった。a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a ( ≠ 0 ) a(\ne0) a ( = 0 ) x 3 + b a x 2 + c a x + c a = 0 x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 x 3 + a b x 2 + a c x + a c = 0 x = y − b 3 a x=y-\dfrac{b}{3a} x = y − 3 a b y 3 + p x + q = 0 y^3+px+q=0 y 3 + p x + q = 0 p = − 1 3 ( b a ) 2 + c a p=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2}+\dfrac{c}{a} p = − 3 1 ( a b ) 2 + a c q = 2 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a q=\dfrac{2}{27}\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{c}{a}\right)+\dfrac{d}{a} q = 27 2 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d y y y チルンハウス変換 』といいました。この y 3 + p x + q = 0 y^3+px+q=0 y 3 + p x + q = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ ３次置換 』、『偶置換 』、『奇置換 』、あとそれらを『互換 』で表したり、また「三角形の回転 」として視覚化できることは大丈夫かな？」
＜ ３次置換について（復習）＞ 置換 』という。２つの文字 α , β \alpha, \beta α , β ２次置換 』、３つの文字 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ ３次置換 』、一般に n n n n \boldsymbol{n} n 次置換 』という。先ほどやった２次方程式の２つの解 α , β \alpha, \beta α , β α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
➀ α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ
α ⟶ α β ⟶ β γ ⟶ γ を ( α β γ α β γ ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \alpha\\
\beta\longrightarrow \beta\\
\gamma\longrightarrow \gamma
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix} α ⟶ α β ⟶ β γ ⟶ γ を ( α α β β γ γ )
と表す。このように何も変化しない置換を『恒等置換 』という。この置換は下図のように、回転しない三角形とみることができる。
② α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α
α ⟶ γ β ⟶ α γ ⟶ β を ( α β γ γ α β ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\gamma\\
\beta\longrightarrow\alpha\\
\gamma\longrightarrow\beta
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix} α ⟶ γ β ⟶ α γ ⟶ β を ( α γ β α γ β )
と表す。α → γ → β → α \alpha → \gamma → \beta → \alpha α → γ → β → α 巡回置換 』という。この置換は下図のように、三角形の反時計回り１２０°の回転とみることができる。
この回転によって α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α α → γ → β → α \alpha → \gamma → \beta → \alpha α → γ → β → α
③ α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
α ⟶ β β ⟶ γ γ ⟶ α を ( α β γ β γ α ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow \beta\\
\beta\longrightarrow \gamma\\
\gamma\longrightarrow \alpha
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix} α ⟶ β β ⟶ γ γ ⟶ α を ( α β β γ γ α )
と表す。α → β → γ → α \alpha → \beta → \gamma → \alpha α → β → γ → α 巡回置換 』となる。この置換は下図のように、三角形の反時計回り２４０°の回転とみることができる。
この回転によって α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α α → β → γ → α \alpha → \beta → \gamma → \alpha α → β → γ → α
④ α \alpha α β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β
α ⟶ α β ⟶ γ γ ⟶ β を ( α β γ α γ β ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\alpha\\
\beta\longrightarrow\gamma\\
\gamma\longrightarrow\beta
\end{align*}
\hspace{14pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix} α ⟶ α β ⟶ γ γ ⟶ β を ( α α β γ γ β )
と表す。この置換は α \alpha α β \beta β γ \gamma γ
( α β γ α γ β ) = ( β γ ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix} ( α α β γ γ β ) = ( β γ )
と簡単に表すことがある。この ( β γ ) (\beta \gamma) ( β γ ) 互換 』という。なお、互換は「２つの解の巡回置換」とみることもできる。この置換は下図のように、α \alpha α l l l
➄ α \alpha α γ \gamma γ β \beta β γ \gamma γ α \alpha α
α ⟶ γ β ⟶ β γ ⟶ α を ( α β γ γ β α ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\gamma\\
\beta\longrightarrow\beta\\
\gamma\longrightarrow\alpha
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix} α ⟶ γ β ⟶ β γ ⟶ α を ( α γ β β γ α )
この置換は β \beta β α \alpha α γ \gamma γ
( α β γ γ β α ) = ( α γ ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix} ( α γ β β γ α ) = ( α γ )
と『互換 』で表すことがある。この置換は下図のように、β \beta β m m m
⑥ α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α γ \gamma γ
α ⟶ β β ⟶ α γ ⟶ γ を ( α β γ β α γ ) \begin{align*}
\alpha\longrightarrow\beta\\
\beta\longrightarrow\alpha\\
\gamma\longrightarrow\gamma
\end{align*}
\hspace{12pt}を\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix} α ⟶ β β ⟶ α γ ⟶ γ を ( α β β α γ γ )
この置換は γ \gamma γ α \alpha α β \beta β
( α β γ β α γ ) = ( α β ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix} ( α β β α γ γ ) = ( α β )
と『互換 』で表すことがある。この置換は下図のように、γ \gamma γ n n n
なお恒等置換➀と、巡回置換②、③についても互換で表すこと、正確に言うと「互角の積」で表すことができる。以下まとめして、すべての３次置換①～➅について、互換（または互換の積）で表すと次のようになる。
＜３次置換のすべての互換表示（復習）＞
➀について
( α β γ α β γ ) = ( α β ) ( α β ) ( α β γ α β γ ) = ( β γ ) ( β γ ) ( α β γ α β γ ) = ( γ α ) ( γ α ) \begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{align*} ( α α β β γ γ ) = ( α β ) ( α β ) ( α α β β γ γ ) = ( β γ ) ( β γ ) ( α α β β γ γ ) = ( γ α ) ( γ α )
同じ入れ換えを２回連続で行っているので、もとに戻るのは当たり前だが、こういうケースも考える。互換の表記は必ずしも１通りとは限らず、上記のように複数の表し方がありうる。( α β ) (\alpha \beta) ( α β ) ( α β ) (\alpha \beta) ( α β )
②について
( α β γ γ α β ) = ( β γ ) ( γ α ) ( α β γ γ α β ) = ( γ α ) ( α β ) ( α β γ γ α β ) = ( α β ) ( β γ ) \begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\end{align*} ( α γ β α γ β ) = ( β γ ) ( γ α ) ( α γ β α γ β ) = ( γ α ) ( α β ) ( α γ β α γ β ) = ( α β ) ( β γ )
なお互換の順番は、左から順に作用させていくと定義する。一番上の例でいうと ( β γ ) (\beta \gamma) ( β γ ) ( γ α ) (\gamma \alpha) ( γ α )
( α β γ γ α β ) = ( β γ ) ( γ α ) → \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=
\underrightarrow{\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}} ( α γ β α γ β ) = ( β γ ) ( γ α )
と矢印の順に、前の方から作用させる。テキストによっては後ろからと逆に定義している場合もあるが、そのテキストにおいて一貫していれば問題ない。やはりここでも互換の表記は必ずしも１通りとは限らず、上記のように複数の表し方がありうる。( β γ ) (\beta \gamma) ( β γ ) ( γ α ) (\gamma \alpha) ( γ α )
③について
( α β γ β γ α ) = ( β γ ) ( α β ) ( α β γ β γ α ) = ( γ α ) ( β γ ) ( α β γ β γ α ) = ( α β ) ( γ α ) \begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
&\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{align*} ( α β β γ γ α ) = ( β γ ) ( α β ) ( α β β γ γ α ) = ( γ α ) ( β γ ) ( α β β γ γ α ) = ( α β ) ( γ α )
やはりここでも互換の表記は必ずしも１通りとは限らず、上記のように複数の表し方がありうる。( β γ ) (\beta \gamma) ( β γ ) ( α β ) (\alpha \beta) ( α β )
④について
( α β γ α γ β ) = ( β γ ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix} ( α α β γ γ β ) = ( β γ )
これは、α \alpha α l l l
⑤について
( α β γ γ β α ) = ( α γ ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix} ( α γ β β γ α ) = ( α γ )
これは、β \beta β m m m
⑥について
( α β γ β α γ ) = ( α β ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix} ( α β β α γ γ ) = ( α β )
これは、γ \gamma γ n n n
ここで用語の定義をする。２つ、４つなど、偶数個の互換で表せる置換を『偶置換 』、１つ、３つなど、奇数個の互換の積で表せる置換を『奇置換 』という。何も変化しない恒等置換は２つの互換の積で表されるので偶置換である。n n n
＜『 n \boldsymbol{n} n 次置換』についての定理（復習）＞
（定理Ⅰ） すべての n n n
（定理Ⅱ） ある n n n n n n
➀ ( α β γ α β γ ) = ( α β ) ( α β ) ② ( α β γ γ α β ) = ( β γ ) ( γ α ) ③ ( α β γ β γ α ) = ( β γ ) ( α β ) } 偶置換 ④ ( α β γ α γ β ) = ( β γ ) ⑤ ( α β γ γ β α ) = ( α γ ) ⑥ ( α β γ β α γ ) = ( α β ) } 奇置換 \begin{align*}
&\begin{rcases}
➀\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\end{rcases}偶置換\\
\\
&\begin{rcases}
④\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
⑤\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
⑥\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\end{rcases}奇置換
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = ( α β ) ( α β ) ② ( α γ β α γ β ) = ( β γ ) ( γ α ) ③ ( α β β γ γ α ) = ( β γ ) ( α β ) ⎭ ⎬ ⎫ 偶置換 ④ ( α α β γ γ β ) = ( β γ ) ⑤ ( α γ β β γ α ) = ( α γ ) ⑥ ( α β β α γ γ ) = ( α β ) ⎭ ⎬ ⎫ 奇置換
（定理Ⅲ） n n n
➀ ( α β γ α β γ ) = ( α β ) ( α β ) ② ( α β γ γ α β ) = ( β γ ) ( γ α ) ③ ( α β γ β γ α ) = ( β γ ) ( α β ) } ３通り ④ ( α β γ α γ β ) = ( β γ ) ⑤ ( α β γ γ β α ) = ( α γ ) ⑥ ( α β γ β α γ ) = ( α β ) } ３通り \begin{align*}
&\begin{rcases}
➀\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\end{rcases}３通り\\
\\
&\begin{rcases}
④\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
⑤\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
⑥\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\end{rcases}３通り
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = ( α β ) ( α β ) ② ( α γ β α γ β ) = ( β γ ) ( γ α ) ③ ( α β β γ γ α ) = ( β γ ) ( α β ) ⎭ ⎬ ⎫ ３通り ④ ( α α β γ γ β ) = ( β γ ) ⑤ ( α γ β β γ α ) = ( α γ ) ⑥ ( α β β α γ γ ) = ( α β ) ⎭ ⎬ ⎫ ３通り
しっかりと基本を確認をした森田君は、すくっと立ち上がりホワイトボードに向かった。X X X
X \boldsymbol{X} X の条件Ⅰ X X X X 2 X^2 X 2 X X X X 2 X^2 X 2 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
さて２次方程式では、この条件Ⅰを満たす「解の式 X X X X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X X X X 2 X_2 X 2 X 3 X_3 X 3 X 4 X_4 X 4 X 5 X_5 X 5 ⋯ \cdots ⋯ X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X 3 X_3 X 3 ( X 3 ) 2 (X_3)^2 ( X 3 ) 2
＜ X 3 \boldsymbol{X_3} X 3 は３次置換で対称性がこわれていること（復習）＞
① ( α β γ α β γ ) \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\alpha \beta \gamma} ( α β γ α β γ )
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ 変化しない \begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{2pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow \hspace{8pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\\
\longrightarrow\,&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \Leftarrow 変化しない
\end{align*} ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ 変化しない
② ( α β γ γ α β ) \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha \beta} ( γ α β α β γ ) α \alpha α γ \gamma γ β \beta β α \alpha α γ \gamma γ β \beta β
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⟶ ( γ − α ) ( α − β ) ( β − γ ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ 変化しない \begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{2pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow \hspace{9pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\\
\longrightarrow\,&(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)\\
=\,&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \Leftarrow 変化しない
\end{align*} ⟶ = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ( γ − α ) ( α − β ) ( β − γ ) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ 変化しない
これは、カッコ ( ) の順番が入れ替わるだけなので、もとの式と変わらない。
③ ( α β γ β γ α ) \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\beta \gamma \alpha} ( β γ α α β γ ) α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⟶ ( β − γ ) ( γ − α ) ( α − β ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ 変化しない \begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{2pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow \hspace{9pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\\
\longrightarrow\,&(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)\\
=\,&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \Leftarrow 変化しない
\end{align*} ⟶ = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ( β − γ ) ( γ − α ) ( α − β ) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ 変化しない
これも、カッコ ( ) の順番が入れ替わるだけなので、もとの式と変わらない。
④ ( α β γ α γ β ) \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\alpha \gamma \beta} ( α γ β α β γ ) α \alpha α β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ⟶ ( α − γ ‾ ) ( γ − β ) ( β − α ‾ ‾ ) = ( β − α ‾ ‾ ) ( γ − β ) ( α − γ ‾ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β ) } { − ( β − γ ) } { − ( γ − α ) } = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ − 1 倍と変化する \begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{20pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\\
\longrightarrow\,&(\underline{\alpha-\gamma})(\gamma-\beta)(\underline{\underline{\beta-\alpha}})\\
=\,&(\underline{\underline{\beta-\alpha}})(\gamma-\beta)(\underline{\alpha-\gamma}) \Leftarrow ( ) を入れ替えた\\
=\,&(-\alpha+\beta)(-\beta+\gamma)(-\gamma+\alpha)\\
=\,&\{-(\alpha-\beta)\}\{-(\beta-\gamma)\}\{-(\gamma-\alpha)\}\\
=\,&(-1)^3(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
=\,&-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \Leftarrow -1 倍と変化する
\end{align*} ⟶ = = = = = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ( α − γ ) ( γ − β ) ( β − α ) ( β − α ) ( γ − β ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) { − ( α − β )} { − ( β − γ )} { − ( γ − α )} ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ − 1 倍と変化する
この場合は − 1 -1 − 1
⑤ ( α β γ γ β α ) \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \beta \alpha} ( γ β α α β γ ) β \beta β α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ⟶ ( γ − β ‾ ) ( β − α ‾ ‾ ) ( α − γ ) = ( β − α ‾ ‾ ) ( γ − β ‾ ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β ) } { − ( β − γ ) } { − ( γ − α ) } = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ − 1 倍と変化する \begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{2pt}\downarrow\hspace{46pt}\downarrow\hspace{8pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\\
\longrightarrow\,&(\underline{\gamma-\beta})(\underline{\underline{\beta-\alpha}})(\alpha-\gamma)\\
=\,&(\underline{\underline{\beta-\alpha}})(\underline{\gamma-\beta})(\alpha-\gamma) \Leftarrow ( ) を入れ替えた\\
=\,&(-\alpha+\beta)(-\beta+\gamma)(-\gamma+\alpha)\\
=\,&\{-(\alpha-\beta)\}\{-(\beta-\gamma)\}\{-(\gamma-\alpha)\}\\
=\,&(-1)^3(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
=\,&-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \Leftarrow -1 倍と変化する
\end{align*} ⟶ = = = = = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ( γ − β ) ( β − α ) ( α − γ ) ( β − α ) ( γ − β ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) { − ( α − β )} { − ( β − γ )} { − ( γ − α )} ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ − 1 倍と変化する
この場合も − 1 -1 − 1
⑥ ( α β γ β α γ ) \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\beta \alpha \gamma} ( β α γ α β γ ) γ \gamma γ α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ⟶ ( β − α ) ( α − γ ‾ ) ( γ − β ‾ ‾ ) = ( β − α ) ( γ − β ‾ ‾ ) ( α − γ ‾ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β ) } { − ( β − γ ) } { − ( γ − α ) } = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ − 1 倍と変化する \begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{2pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\hspace{8pt}\downarrow\hspace{46pt}\downarrow\\
\longrightarrow\,&(\beta-\alpha)(\underline{\alpha-\gamma})(\underline{\underline{\gamma-\beta}})\\
=\,&(\beta-\alpha)(\underline{\underline{\gamma-\beta}})(\underline{\alpha-\gamma}) \Leftarrow ( ) を入れ替えた\\
=\,&(-\alpha+\beta)(-\beta+\gamma)(-\gamma+\alpha)\\
=\,&\{-(\alpha-\beta)\}\{-(\beta-\gamma)\}\{-(\gamma-\alpha)\}\\
=\,&(-1)^3(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
=\,&-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \Leftarrow -1 倍と変化する
\end{align*} ⟶ = = = = = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ( β − α ) ( α − γ ) ( γ − β ) ( β − α ) ( γ − β ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) { − ( α − β )} { − ( β − γ )} { − ( γ − α )} ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇐ − 1 倍と変化する
この場合も − 1 -1 − 1 − 1 -1 − 1 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ 変化しない \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ 変化しない
一方④～➅の奇置換では、( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) − 1 -1 − 1
④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ − 1 倍と変化する \begin{rcases}
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow -(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small -1 倍と変化する}
\end{align*} ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ − 1 倍と変化する
つまり X 3 X_3 X 3
では次に、差積の２乗( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2
＜ ( X 3 ) 2 \boldsymbol{(X_3)^2} ( X 3 ) 2 は３次置換で対称性を保つこと（復習）＞
①～③はもともと変化しないので、２乗しても変化しない。
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) } では { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⟶ { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⇒ 変化しない \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\longrightarrow\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow\boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ⎭ ⎬ ⎫ では {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⟶ {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⇒ 変化しない
④～➅は、− 1 -1 − 1 2 2 2 1 1 1
④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⟶ { − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( − 1 ) 2 { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⇒ 変化しない \begin{rcases}
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\longrightarrow \{-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\hspace{10pt}=(-1)^2\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\hspace{10pt}=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\hspace{9pt}\Rightarrow\boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⟶ { − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( − 1 ) 2 {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⇒ 変化しない
すなわち、①～➅のすべての３次置換を作用させても変化しないので( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) ④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⟶ { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⇒ 変化しない \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}}^2\\
&\longrightarrow {\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}}^2\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow\boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )} 2 ⟶ {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )} 2 ⇒ 変化しない
「以上より、解の差積X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X X X
『X X X X 2 X^2 X 2
を満たしています。２次方程式ではこの「差積」を考えることによって解の公式を導き出すことができましたが、３次方程式はここで終わりではありません。X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ 変化しない（対称性は保たれている） \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small 変化しない（対称性は保たれている）}\hspace{5pt}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ 変化しない（対称性は保たれている）
④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ − 1 倍と変化（対称性はこわれている） \begin{rcases}
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow -(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small -1 倍と変化（対称性はこわれている）}
\end{align*} ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ − 1 倍と変化（対称性はこわれている）
先ほどやったように２次方程式では、差積の２乗( X 2 ) 2 = ( α − β ) 2 (X_2)^2={(\alpha-\beta)}^2 ( X 2 ) 2 = ( α − β ) 2 X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β α , β \alpha, \beta α , β X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X 3 X_3 X 3 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
＜３次方程式の解と係数の関係（復習）＞ a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 3 3 3 α , β \alpha, \beta α , β γ \gamma γ
α + β + γ = − b a α β + β γ + γ α = c a α β γ = − d a \begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{c}{a}\\
\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{d}{a}
\end{align*} α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ = − a b = a c = − a d
これを、チルンハウス変換を施した y y y y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 a = 1 , b = 0 , c = p , d = q a=1, b=0, c=p, d=q a = 1 , b = 0 , c = p , d = q
α + β + γ = − 0 1 α β + β γ + γ α = p 1 α β γ = − q 1 \begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{0}{1}\\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{p}{1}\\
\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{q}{1}
\end{align*} α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ = − 1 0 = 1 p = − 1 q
より
α + β + γ = 0 α β + β γ + γ α = p α β γ = − q \begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma&=0\\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=p\\
\alpha\beta\gamma&=-q
\end{align*} α + β + γ α β + β γ + γ α α β γ = 0 = p = − q
よって
p = α β + β γ + γ α q = − α β γ \begin{align*}
p&=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\\
q&=-\alpha\beta\gamma
\end{align*} p q = α β + β γ + γ α = − α β γ
すると、ここで注目したいのは、３次方程式 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 p p p q q q
p = α β + β γ + γ α ⏟ 基本対称式 q = − α β γ ⏟ 基本対称式 ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{align*}
p&=\underbrace{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}_{基本対称式}\\
q&=-\hspace{-7pt}\underbrace{\alpha\beta\gamma}_{基本対称式}
\end{align*}
\hspace{5pt}\cdots (*1) p q = 基本対称式 α β + β γ + γ α = − 基本対称式 α β γ ⋯ ( ∗ 1 )
３変数の基本対称式はα + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ α β + β γ + γ α \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha α β + β γ + γ α α β γ \alpha\beta\gamma α β γ p , q p, q p , q ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 ) x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0
a 1 = − ( α + β ⏟ 基本対称式 ) a 2 = α β ⏟ 基本対称式 \begin{align*}
a_1&=-(\hspace{-5pt}\underbrace{\alpha+\beta}_{基本対称式}\hspace{-5pt})\\
a_2&=\underbrace{\alpha\beta}_{基本対称式}
\end{align*} a 1 a 2 = − ( 基本対称式 α + β ) = 基本対称式 α β
と、基本対称式で表せたことと同様です。２次方程式の係数 a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 p , q p, q p , q y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 p , q p, q p , q p , q p, q p , q α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
2 p + q = 2 ( α β + β γ + γ α ) + α β γ → 対称式 3 p ⋅ q = 3 ( α β + β γ + γ α ) α β γ → 対称式 p 2 + 4 5 q = ( α β + β γ + γ α ) 2 + 4 5 α β γ → 対称式 \begin{align*}
2p+q&=2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+\alpha\beta\gamma & &\rightarrow 対称式\\
3p\cdot q&=3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\alpha\beta\gamma & &\rightarrow 対称式\\
\dfrac{{p}^2+4}{5q}
&=\dfrac{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2+4}{5\alpha\beta\gamma} & &\rightarrow 対称式
\end{align*} 2 p + q 3 p ⋅ q 5 q p 2 + 4 = 2 ( α β + β γ + γ α ) + α β γ = 3 ( α β + β γ + γ α ) α β γ = 5 α β γ ( α β + β γ + γ α ) 2 + 4 → 対称式 → 対称式 → 対称式
２次方程式のときと同じように、2 2 2 4 4 4 α β + β γ + γ α \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha α β + β γ + γ α α β γ \alpha\beta\gamma α β γ α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ α β + β γ + γ α \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha α β + β γ + γ α α β γ \alpha\beta\gamma α β γ
対称式は基本対称式の加減乗除で表すことができる \begin{align*}\boldsymbol{\small 対称式は基本対称式の加減乗除で表すことができる}\end{align*} 対称式は基本対称式の加減乗除で表すことができる
という『対称式の基本定理 』より、すべての対称式は３変数の基本対称式α + β + γ \alpha+\beta+\gamma α + β + γ α β + β γ + γ α \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha α β + β γ + γ α α β γ \alpha\beta\gamma α β γ α + β + γ = 0 \alpha+\beta+\gamma=0 α + β + γ = 0 ( ∗ 1 ) (*1) ( ∗ 1 )
α β + β γ + γ α = p α β γ = − q ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{align*}
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=p\\
\alpha\beta\gamma&=-q
\end{align*}
\hspace{5pt}\cdots (*1) α β + β γ + γ α α β γ = p = − q ⋯ ( ∗ 1 )
より、すべての対称式は p , q p, q p , q p , q p, q p , q
「これはさっきやった２次方程式 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 x^2+a_1x+a_2=0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0 ⇒ \Rightarrow ⇒
「はい、同じ考え方です。２次方程式の解 α , β \alpha, \beta α , β a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 α , β \alpha, \beta α , β a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ p , q p, q p , q ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ⇒ \Rightarrow ⇒
{ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } ⋯ ( ∗ 2 ) \begin{align*}
\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2=-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}
\end{align*}
\cdots (*2) {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ⋯ ( ∗ 2 )
３次方程式 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ p , q p, q p , q a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0
x = { − b 3 a + − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a + ω − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω 2 − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 − b 3 a + ω 2 − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 {\begin{align*}
x= \begin{cases}
-\dfrac{b}{3a}+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}\\
-\dfrac{b}{3 a}+\omega\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\omega^2\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}\\
-\dfrac{b}{3a}+\omega^2\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\omega\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
\end{cases}
\end{align*}} x = ⎩ ⎨ ⎧ − 3 a b + 3 − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 + 3 − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 − 3 a b + ω 3 − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 + ω 2 3 − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 − 3 a b + ω 2 3 − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 + ω 3 − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3
ただし
p = − 1 3 ( b a ) 2 + c a q = 2 27 ( b a ) 3 − 1 3 ( b a ) ( c a ) + d a {\begin{align*}
p&=-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\\
q&=\frac{2}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{c}{a}\right)+\frac{d}{a}
\end{align*}} p q = − 3 1 ( a b ) 2 + a c = 27 2 ( a b ) 3 − 3 1 ( a b ) ( a c ) + a d
について、その平方根 \sqrt{\hspace{15pt}} ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 ) − 4 ⋅ 27 -4\cdot27 − 4 ⋅ 27
( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 = 1 − 4 ⋅ 27 { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \begin{align*}
\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3=\dfrac{1}{-4\cdot27}\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2
\end{align*} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 = − 4 ⋅ 27 1 {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2
となります。（⇒ \Rightarrow ⇒ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
一方④～➅の奇置換では、( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) − 1 -1 − 1
④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) \begin{rcases}
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow -(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)
\end{align*} ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
つまり差積( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 )
{ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } ⋯ ( ∗ 2 ) \begin{align*}
\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2=-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}
\end{align*}
\cdots (*2) {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ⋯ ( ∗ 2 )
簡単のため、左辺を Z Z Z
{ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = Z \begin{align*}
\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2=Z
\end{align*} {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = Z
ここで両辺の平方根をとると
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± Z \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=\pm\sqrt{Z}
\end{align*} ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± Z
Z = − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } Z=-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\} Z = − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } ⋯ ( ∗ 3 ) \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=\pm\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}
\end{align*}
\cdots (*3) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ⋯ ( ∗ 3 )
平方根を取ると、平方根 \sqrt{\hspace{15pt}} ± \pm ± ( ∗ 3 ) (*3) ( ∗ 3 ) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) \sqrt{\hspace{15pt}}
− 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}
\end{align*} − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
のプラスマイナスの変換に対応していることがわかります。例えばプラスの方を ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=+\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}
\end{align*} ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
この両辺に奇置換を作用させると、左辺は − 1 -1 − 1 \sqrt{\hspace{15pt}}
− ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=+\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}\\
\end{align*} − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
両辺に − 1 -1 − 1
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=-\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}\\
\end{align*} ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
と平方根にマイナスが付きます。さらに両辺にもう一度奇置換を作用させると、再び左辺は − 1 -1 − 1
− ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=-\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}\\
\end{align*} − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
両辺に − 1 -1 − 1
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=+\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}\\
\end{align*} ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
と、今度は平方根の符号がプラスになり、奇置換によって + +\sqrt{\hspace{15pt}} + − -\sqrt{\hspace{15pt}} −
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } ↕ 奇置換によりプラスマイナスが入れ替わる ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=&+\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}\\
&\hspace{1pt}\updownarrow \boldsymbol{\small 奇置換によりプラスマイナスが入れ替わる}\\
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=&-\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}
\end{align*} ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = + − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ↕ 奇置換によりプラスマイナスが入れ替わる − − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
ここから抽象的な解説に入っていきますが、ここで以前計算したラグランジュ・リゾルベント
A = α + ω β + ω 2 γ B = α + ω 2 β + ω γ \begin{align*}
A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
B=\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma
\end{align*} A = α + ω β + ω 2 γ B = α + ω 2 β + ωγ
の３乗
A 3 = 27 { − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 ‾ } B 3 = 27 { − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 ‾ } \begin{align*}
A^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}+\underline{\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}}\right\}\\
B^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}-\underline{\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}}\right\}
\end{align*} A 3 B 3 = 27 { − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } = 27 { − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
を観察してみます。（⇒ \Rightarrow ⇒ A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( ∗ 3 ) (*3) ( ∗ 3 )
( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } ‾ ⋯ ( ∗ 3 ) \begin{align*}
(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=\pm\sqrt{-4\cdot27\underline{\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}}
\end{align*}
\cdots (*3) ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ⋯ ( ∗ 3 )
にも − 4 ⋅ 27 -4\cdot27 − 4 ⋅ 27 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 − 4 ⋅ 27 -4\cdot27 − 4 ⋅ 27 − 4 ⋅ 27 -4\cdot27 − 4 ⋅ 27 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 \sqrt{\hspace{15pt}} A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3 \sqrt{\hspace{15pt}}
A 3 = 27 { − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } A 3 と B 3 の入れ替え ↕ ↕ ± の入れ替え B 3 = 27 { − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
A^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}\\
\boldsymbol{\small A^3 と B^3 の入れ替え}\hspace{1pt}\updownarrow\hspace{5pt}&\hspace{50pt}\updownarrow\boldsymbol{\small \pm の入れ替え}\\
B^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}
\end{align*} A 3 A 3 と B 3 の入れ替え ↕ B 3 = 27 { − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ↕ ± の入れ替え = 27 { − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
これは２次方程式の解の公式で、α \alpha α β \beta β
α = − b + b 2 − 4 b c 2 a 解の入れ替え ↕ ↕ ± の入れ替え β = − b − b 2 − 4 b c 2 a \begin{align*}
&\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4bc}}{2a}\\
\boldsymbol{\small 解の入れ替え}\hspace{2pt}&\hspace{-1pt}\updownarrow\hspace{30pt}\updownarrow\boldsymbol{\small \pm の入れ替え}\\
&\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4bc}}{2a}
\end{align*} 解の入れ替え α = 2 a − b + b 2 − 4 b c ↕ ↕ ± の入れ替え β = 2 a − b − b 2 − 4 b c
同じ構造が現れる理由は、３次方程式の解の公式を導くにあたって最初に２次方程式の解の公式を用いているからです。つまり２次方程式ではX 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − β ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\beta) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − β ) α , β \alpha, \beta α , β A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3
さて、次に説明するのは『添加 』です。２次方程式では、係数で表される式の集合に、係数の加減乗除では表せない平方根を添加しましたが、３次方程式でも平方根を添加します。ラグランジュ・リゾルベントの３乗
A 3 = 27 { − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } B 3 = 27 { − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
A^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}\\
B^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}
\end{align*} A 3 B 3 = 27 { − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } = 27 { − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
を求めるためには、その式の中にある( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 p , q p, q p , q 2 2 2 3 3 3 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 p , q p, q p , q p , q p, q p , q X X X X 3 X_3 X 3 ( X 3 ) 2 \sqrt{(X_3)^2} ( X 3 ) 2
( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \begin{align*}
\sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2}
\end{align*} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2
を添加します。この式を添加することによって、( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 )
{ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } ⋯ ( ∗ 2 ) \begin{align*}
\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2=-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}
\end{align*}
\cdots (*2) {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } ⋯ ( ∗ 2 )
の両辺を、平方根でそのまま被せた次の等式
{ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2}=\sqrt{-4\cdot27\left\{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3\right\}}
\end{align*} {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = − 4 ⋅ 27 { ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
により、− 4 ⋅ 27 -4\cdot27 − 4 ⋅ 27 ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 p , q p, q p , q ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3
「平方根を使えるようになったことがポイントです。なお下図のように ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3
「これでラグランジュリゾルベントの３乗 A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 p , q p, q p , q ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3
A 3 = 27 { − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } B 3 = 27 { − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
A^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}\\
B^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}
\end{align*} A 3 B 3 = 27 { − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } = 27 { − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
「ところで森田君」竹村はゼミらしく確認してみることにした。p , q p, q p , q ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ( X 3 ) 2 \sqrt{(X_3)^2} ( X 3 ) 2
( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ± ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± X 3 \begin{align*}
\sqrt{(X_3)^2}&=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2}\\
&=\pm(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&=\pm X_3
\end{align*} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ± ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = ± X 3
つまり
( X 3 ) 2 = { X 3 − X 3 \begin{align*}
\sqrt{(X_3)^2}=
\begin{cases}
X_3 & \\
-X_3 &
\end{cases}
\end{align*} ( X 3 ) 2 = { X 3 − X 3
と、X 3 X_3 X 3 − X 3 -X_3 − X 3 ( X 3 ) 2 \sqrt{(X_3)^2} ( X 3 ) 2 X 3 X_3 X 3 X 3 X_3 X 3 X 3 X_3 X 3 − 1 -1 − 1 − X 3 -X_3 − X 3 X 3 X_3 X 3 − X 3 -X_3 − X 3 ( X 3 ) 2 \sqrt{(X_3)^2} ( X 3 ) 2 ⟶ \longrightarrow ⟶ X 3 X_3 X 3 X 3 X_3 X 3 ⟶ \longrightarrow ⟶ − X 3 -X_3 − X 3 ⟶ \longrightarrow ⟶ ( X 3 ) 2 \sqrt{(X_3)^2} ( X 3 ) 2 ( X 3 ) 2 \sqrt{(X_3)^2} ( X 3 ) 2 X 3 X_3 X 3
以上のように、添加する式は１つではなく自由度があります。要は解の公式の導出に必要な平方根、ここでは( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
➀ ( α β γ α β γ ) ② ( α β γ γ α β ) ③ ( α β γ β γ α ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ 変化しない（対称性は保たれている） \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small 変化しない（対称性は保たれている）}\hspace{5pt}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) ② ( α γ β α γ β ) ③ ( α β β γ γ α ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ 変化しない（対称性は保たれている）
④ ( α β γ α γ β ) ➄ ( α β γ γ β α ) ➅ ( α β γ β α γ ) } では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ − 1 倍と変化（対称性はこわれている） \begin{rcases}
④\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\longrightarrow -(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{7pt}\Rightarrow \boldsymbol{\small -1 倍と変化（対称性はこわれている）}
\end{align*} ④ ( α α β γ γ β ) ➄ ( α γ β β γ α ) ➅ ( α β β α γ γ ) ⎭ ⎬ ⎫ では ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⟶ − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ⇒ − 1 倍と変化（対称性はこわれている）
先ほどの解説の繰り返しになりますが、２次方程式では、差積の２乗( X 2 ) 2 = ( α − β ) 2 (X_2)^2={(\alpha-\beta)}^2 ( X 2 ) 2 = ( α − β ) 2 X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β α , β \alpha, \beta α , β X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X 3 X_3 X 3 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
A 3 = 27 { − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } B 3 = 27 { − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 } \begin{align*}
A^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}\\
B^3&=27\left\{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3}\right\}
\end{align*} A 3 B 3 = 27 { − 2 q + ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 } = 27 { − 2 q − ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 }
の３乗根を取って、ラグランジュ・リゾルベント A , B A, B A , B
（了）
（注１）− 4 ⋅ 27 -4\cdot27 − 4 ⋅ 27 A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3
（注２）の追記 具体的に書くと長くなるので概略だけ。( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 \sqrt{(X_3)^2}=\sqrt{\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2} ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 \sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p}{3}\right)^3} ( 2 q ) 2 + ( 3 p ) 3 ω \omega ω i i i i i i 「アーベルの証明」 （アーベル・ルフィニの定理）で、それを解説してから「群」という新しい概念を用いてより核心に迫った「ガロアの証明」 へと続きます。
（参考）1 1 1 ω \omega ω アーベルの証明 」の準備）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む。アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む。⟶ \longrightarrow ⟶
