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『巡回群』について、および剰余群が巡回群になること

    中学でもわかる浪漫数学

    巡回群について

    　ここでは、重要な巡回群について解説します。巡回群とは「すべての要素が、あるひとつの要素だけを用いて表すことのできる群」です。具体的には、これまで何度も現れた、３次対称群
    　S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3}S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}
    の正規部分群である３次交代群
    　N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}
    が巡回群になります。S3S_3 の偶置換だけをすべて集めた群です（本シリーズ (30)）。このことを今から解説します。
    　なお、一般に３次交代群は A3A_3 と表しますが、ここでは S3S_3 の正規部分群ということで、NN という記号で表記しています。normal subgroup（正規部分群）の頭文字です。

    ３次交代群が巡回群になること

    　まず、N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} の要素同士について、その置換の合成（積）の演算表

    後先  idρ2‾~ρ3ididρ2ρ3ρ2‾ρ2ρ3‾idρ3~ρ3id~ρ2\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-11pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c}     & id & \utilde{\underline{\rho_2}} & \rho_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \underline{\rho_2} & \rho_2 & \underline{\rho_3} & id\\ \hline \utilde{\rho_3} & \rho_3 & \utilde{id} & \rho_2 \end{array}

    より
    　ρ2ρ2=ρ3‾　⋯(∗1)\rho_2\rho_2=\underline{\rho_3}　\cdots (*1)（下線部）
    　ρ3ρ2=id~　⋯(∗2)\rho_3\rho_2=\utilde{id}　\cdots (*2)（波線部）

    　ここで、同じものの置換の積を
    　ρ2ρ2=(ρ2)2　⋯(∗3)\rho_2\rho_2={(\rho_2)}^2　\cdots (*3)
    　ρ2ρ2ρ2=(ρ2)3　⋯(∗4)\rho_2\rho_2\rho_2={(\rho_2)}^3　\cdots (*4)
    ⋮  以下同様\hspace{45pt}\vdots   {\small 以下同様}
    と定義します。

    　なお、(∗4)(*4) に関して、NN は群であるため、交換法則
    　(ρ2ρ2)ρ2=ρ2(ρ2ρ2)(\rho_2\rho_2)\rho_2=\rho_2(\rho_2\rho_2)
    が成り立ちます。交換法則よりどこから演算をしても結果は変わらないので、これを単に
    　(ρ2ρ2)ρ2=ρ2(ρ2ρ2)=ρ2ρ2ρ2(\rho_2\rho_2)\rho_2=\rho_2(\rho_2\rho_2)=\rho_2\rho_2\rho_2
    と表し、それを
    　ρ2ρ2ρ2=(ρ2)3\rho_2\rho_2\rho_2={(\rho_2)}^3
    と表記しています。一般に、群の要素について、同じものの２つの積は２乗、同じものの３つの積は３乗、⋯\cdots、と累乗で表記します。
    　すると

    id=ρ3ρ2　(∗2)より=(ρ2ρ2)ρ2　(∗1)より=ρ2ρ2ρ2　結合法則より=(ρ2)3　(∗4)よりρ3=ρ2ρ2　(∗1)より=(ρ2)2　(∗3)より\begin{alignat*}{2} id&=\rho_3\rho_2 &　&{\small (*2) より}\\ &=(\rho_2\rho_2)\rho_2 &　&{\small (*1) より}\\ &=\rho_2\rho_2\rho_2 &　&{\small 結合法則より}\\ &={(\rho_2)}^3 &　&{\small (*4) より}\\[10pt] \rho_3&=\rho_2\rho_2 &　&{\small (*1) より}\\ &={(\rho_2)}^2 &　&{\small (*3) より} \end{alignat*}

    より

    id=(ρ2)3ρ3=(ρ2)2\begin{align*} id&={(\rho_2)}^3\\ \rho_3&={(\rho_2)}^2 \end{align*}

    よって

    N={id, ρ2, ρ3}={(ρ2)3, ρ2, (ρ2)2}={ρ2, (ρ2)2, (ρ2)3}\begin{align*} N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}\\ &=\{{(\rho_2)}^3,  \rho_2,  {(\rho_2)}^2\}\\ &=\{\rho_2,  {(\rho_2)}^2,  {(\rho_2)}^3\} \end{align*}

    　これで、NN の要素のすべてを、ひとつの要素 ρ2\rho_2 だけを用いて表すことができました。この NN のように「すべての要素が、あるひとつの要素だけを用いて表せる群」を巡回群といいます。このとき、この ρ2\rho_2 を NN の生成元といいます。
    　また、ρ2\rho_2 が生成元となる巡回群を ⟨ρ2⟩\langle\rho_2\rangle と表します。つまり

    N={id, ρ2, ρ3}={ρ2, (ρ2)2, (ρ2)3}=⟨ρ2⟩\begin{align*} N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}\\ &=\{\rho_2,  {(\rho_2)}^2,  {(\rho_2)}^3\}\\ &=\langle\rho_2\rangle \end{align*}

    　一般に、生成元を aa とする巡回群を ⟨a⟩\langle a\rangle と表します。
    　この N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} は、ρ2\rho_2 に次々と ρ2\rho_2 を作用させていけば、その要素は巡回的にすべて現れます。

    ρ2↓ ρ2 を作用ρ2ρ2=  ρ3↓ ρ2 を作用ρ3ρ2=  id↓ ρ2 を作用idρ2=  ρ2↓ ρ2 を作用ρ2ρ2=  ρ3↓ ρ2 を作用ρ3ρ2=  id↓ ρ2 を作用idρ2=  ρ2↓ 以下繰り返し⋮ \begin{align*} &\rho_2\\ &\downarrow  {\small \rho_2  を作用}\\ \rho_2\rho_2=\;&\rho_3\\ &\downarrow  {\small \rho_2  を作用}\\ \rho_3\rho_2=\;&id\\ &\downarrow  {\small \rho_2  を作用}\\ id\rho_2=\;&\rho_2\\ &\downarrow  {\small \rho_2  を作用}\\ \rho_2\rho_2=\;&\rho_3\\ &\downarrow  {\small \rho_2  を作用}\\ \rho_3\rho_2=\;&id\\ &\downarrow  {\small \rho_2  を作用}\\ id\rho_2=\;&\rho_2\\ &\downarrow  {\small 以下繰り返し}\\ &\hspace{4pt}\vdots  \end{align*}

    　つまり

    画像

    　円で描くと

    画像

    　ちなみに、NN の要素同士の置換の合成（積）の演算表

    後先  idρ2‾~ρ3ididρ2ρ3ρ2‾ρ2ρ3‾idρ3~ρ3id~ρ2\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-11pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c}     & id & \utilde{\underline{\rho_2}} & \rho_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \underline{\rho_2} & \rho_2 & \underline{\rho_3} & id\\ \hline \utilde{\rho_3} & \rho_3 & \utilde{id} & \rho_2 \end{array}

    を、生成元 ρ2\rho_2 だけで表すと次のようになります。

    後先  idρ2ρ3id(ρ2)3ρ2(ρ2)2ρ2ρ2(ρ2)2(ρ2)3ρ3(ρ2)2(ρ2)3ρ2\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-11pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline\hline id & {(\rho_2)}^3 & \rho_2 & {(\rho_2)}^2\\ \hline \rho_2 & \rho_2 & {(\rho_2)}^2 & {(\rho_2)}^3\\ \hline \rho_3 & {(\rho_2)}^2 & {(\rho_2)}^3 & \rho_2 \end{array}

    　3×3=93\times3=9 通りのすべての結果は ρ2\rho_2 のみで表されます。

    巡回群を図形的にイメージ

    　ここで、巡回群を図形的にイメージしましょう。
    　３次対称群 N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} の要素は、三角形の回転でイメージすることができます（本シリーズ (14), (28)）。

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    　idid は何も回転しない、つまり 0°0\degree 回転とみなします（➀）（➀）。
    　ρ2\rho_2 は 120°120\degree 回転とみなします（➁）（➁）。
    　ρ3\rho_3 は 240°240\degree 回転とみなします（➂）（➂）。
    　すると、120°120\degree 回転 (ρ2)(\rho_2) を３回繰り返すと 360°360\degree、つまり何も回転しない 0°0\degree 回転 (id)(id) と同じなので
    　id=(ρ2)3id={(\rho_2)}^3
    　また、120°120\degree 回転 (ρ2)(\rho_2) を２回繰り返すと 240°240\degree 回転 (ρ3)(\rho_3) と同じなので
    　ρ3=(ρ2)2\rho_3={(\rho_2)}^2
    　つまり、0°0\degree 回転 (id)(id) と 240°240\degree 回転 (ρ3)(\rho_3) は、120°120\degree 回転 (ρ2)(\rho_2) １つだけで表すことができます。

    ３次対称群は巡回群ではないこと

    　なお、３次対称群 S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3}S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\} は巡回群ではありません。先ほどみたように、S3S_3 の要素のうち idid と ρ3\rho_3 は
    　id=(ρ2)3id=(\rho_2)^3
    　ρ3=(ρ2)2\rho_3=(\rho_2)^2
    と、ひとつの要素 ρ2\rho_2 だけを用いて表すことができますが、τ1, τ2, τ3\tau_1,  \tau_2,  \tau_3 は ρ2\rho_2 だけを用いて表すことはできません。
    　その理由を図形的に解説すると、τ1, τ2, τ3\tau_1,  \tau_2,  \tau_3 は反転を意味することはすでにやりました（本シリーズ (28)）。

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    　この反転は、180°180\degree 回転ととらえることができます。

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    　すると、これらの 180°180\degree 回転 (τ1, τ2, τ3)(\tau_1,  \tau_2,  \tau_3) は、120°120\degree 回転 (ρ2)(\rho_2) だけで表すことはできません。120°120\degree 単位で何度回しても、180°180\degree ちょうどにはならないからです。それが τ1, τ2, τ3\tau_1,  \tau_2,  \tau_3 を ρ2\rho_2 だけを用いて表すことのできない図形的イメージです。

    N による左剰余類の集合が巡回群になること

    　ここで、S3S_3 の正規部分群 N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} による左剰余類の集合
    　{idN, τ1N}\{idN,  \tau_1N\}
    を考えてみましょう。本シリーズ (32) でやった「正規部分群の縮小」の流れ図

    S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3} は群縮小 ↓ 正規部分群 N={id, ρ2, ρ3} による剰余群 {idN, τ1N}‾ が構成可能N={id, ρ2, ρ3}縮小 ↓ 正規部分群 I={id} による剰余群 {idI, ρ2I, ρ3I} が構成可能I={id}\begin{align*} S_3&=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}  は群\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small 正規部分群  N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}  による \atop \hspace{-19pt}剰余群  \underline{\{idN,  \tau_1N\}}  が構成可能}\\[12pt] N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small \hspace{-26pt}正規部分群  I=\{id\}  による \atop 剰余群  \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}  が構成可能}\\[12pt] I&=\{id\} \end{align*}

    の下線部の集合です。
    　この集合が群（剰余群）になることは、本シリーズ (31)ですでに解説しましたが、実は巡回群にもなっています。

    画像

    　その理由は、{idN, τ1N}\{idN,  \tau_1N\} の要素同士について、その積の演算表（本シリーズ (31)）

    後先∘idNτ1N‾idNidNτ1Nτ1N‾τ1NidN‾\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c} \circ & idN & \underline{\tau_1N}\\ \hline\hline idN & idN & \tau_1N\\ \hline \underline{\tau_1N} & \tau_1N & \underline{idN} \end{array}

    より
    　τ1Nτ1N=idN\tau_1N\tau_1N=idN（下線部）
    つまり
    　(τ1N)2=idN(\tau_1N)^2=idN
    なので

    {idN, τ1N}={(τ1N)2, τ1N}={τ1N, (τ1N)2}\begin{align*} \{idN,  \tau_1N\}&=\{(\tau_1N)^2,  \tau_1N\}\\ &=\{\tau_1N,  (\tau_1N)^2\} \end{align*}

    　これで、ひとつの要素 τ1N\tau_1N だけを用いて表すことができたので、この剰余群は巡回群です。生成元は τ1N\tau_1N なので、次のように表せます。

    {idN, τ1N}={τ1N, (τ1N)2}=⟨τ1N⟩\begin{align*} \{idN,  \tau_1N\}&=\{\tau_1N,  (\tau_1N)^2\}\\ &=\langle\tau_1N\rangle \end{align*}

    　この巡回群 {idN, τ1N}\{idN,  \tau_1N\} は、τ1N\tau_1N に次々と τ1N\tau_1N を作用させていけば、その要素は巡回的にすべて現れます。

    τ1N↓ τ1Nを作用τ1Nτ1N=  idN↓ τ1Nを作用idNτ1N=  τ1N↓ τ1Nを作用τ1Nτ1N=  idN↓  以下繰り返し⋮\begin{align*} &\tau_1N\\ &\downarrow  {\small \tau_1N を作用}\\ \tau_1N\tau_1N=\;&idN\\ &\downarrow  {\small \tau_1N を作用}\\ idN\tau_1N=\;&\tau_1N\\ &\downarrow  {\small \tau_1N を作用}\\ \tau_1N\tau_1N=\;&idN\\ &\downarrow    {\small 以下繰り返し}\\ &\hspace{4pt}\vdots \end{align*}

    　つまり

    画像

    　円で描くと

    画像

    　ちなみに、{idN, τ1N}\{idN,  \tau_1N\} の要素同士の積の演算表

    後先∘idNτ1NidNidNτ1Nτ1Nτ1NidN\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c} \circ & idN & \tau_1N\\ \hline\hline idN & idN & \tau_1N\\ \hline \tau_1N & \tau_1N & idN \end{array}

    を、生成元 τ1N\tau_1N だけで表すと次のようになります。

    後先∘idNτ1NidN(τ1N)2τ1Nτ1Nτ1N(τ1N)2\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c} \circ & idN & \tau_1N\\ \hline\hline idN & (\tau_1N)^2 & \tau_1N\\ \hline \tau_1N & \tau_1N & (\tau_1N)^2 \end{array}

    　2×2=42\times2=4 通りのすべての結果は τ1N\tau_1N のみで表されます。
    　なお、同様の議論によって、S3S_3 の正規部分群 NN による右剰余類の集合
    　{Nid, Nτ1}\{Nid,  N\tau_1\}
    も巡回群になります。

    I による左剰余類の集合が巡回群になること

    　次に、３次交代群 N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} の正規部分群
    　I={id}I=\{id\}
    による左剰余類の集合
    　{idI, ρ2I, ρ3I}\{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}
    を考えてみましょう。本シリーズ (32) でやった「正規部分群の縮小」の流れ図

    S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3} は群縮小 ↓ 正規部分群 N={id, ρ2, ρ3} による剰余群 {idN, τ1N} が構成可能N={id, ρ2, ρ3}縮小 ↓ 正規部分群 I={id} による剰余群 {idI, ρ2I, ρ3I}‾ が構成可能I={id}\begin{align*} S_3&=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}  は群\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small 正規部分群  N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}  による \atop \hspace{-19pt}剰余群  \{idN,  \tau_1N\}  が構成可能}\\[12pt] N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small \hspace{-26pt}正規部分群  I=\{id\}  による \atop 剰余群  \underline{\{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}}  が構成可能}\\[12pt] I&=\{id\} \end{align*}

    の下線部の集合です。
    　この集合が群（剰余群）になることは、すでに本シリーズ (32) で解説しましたが、実は巡回群にもなっています。

    画像

    　その理由は、{idI, ρ2I, ρ3I}\{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\} の要素同士について、その積の演算表

    後先∘idIρ2I‾~ρ3IidIidIρ2Iρ3Iρ2I‾ρ2Iρ3I‾idIρ3I~ρ3IidI~ρ2I\def\arraystretch{1.5} \hspace{41pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idI & \utilde{\underline{\rho_2I}} & \rho_3I\\ \hline\hline idI & idI & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline \underline{\rho_2I} & \rho_2I & \underline{\rho_3I} & idI\\ \hline \utilde{\rho_3I} & \rho_3I & \utilde{idI} & \rho_2I \end{array}

    より

    　ρ2Iρ2I=ρ3I‾　⋯(∗1)\rho_2I\rho_2I=\underline{\rho_3I}　\cdots (*1)（下線部）
    　ρ3Iρ2I=idI~　⋯(∗2)\rho_3I\rho_2I=\utilde{idI}　\cdots (*2)（斜線部）

    　同じものの置換の積を
    　ρ2Iρ2I=(ρ2I)2　⋯(∗3)\rho_2I\rho_2I={(\rho_2I)}^2　\cdots (*3)
    　ρ2Iρ2Iρ2I=(ρ2I)3　⋯(∗4)\rho_2I\rho_2I\rho_2I={(\rho_2I)}^3　\cdots (*4)
    ⋮\hspace{45pt}\vdots
    と表せるので

    idI=ρ3Iρ2I　(∗2)より=(ρ2Iρ2I)ρ2I　(∗1)より=ρ2Iρ2Iρ2I　結合法則より=(ρ2I)3　(∗4)よりρ3I=ρ2Iρ2I　(∗1)より=(ρ2I)2　(∗3)より\begin{alignat*}{2} idI&=\rho_3I\rho_2I &　&{\small (*2) より}\\ &=(\rho_2I\rho_2I)\rho_2I &　&{\small (*1) より}\\ &=\rho_2I\rho_2I\rho_2I &　&{\small 結合法則より}\\ &={(\rho_2I)}^3 &　&{\small (*4) より}\\[10pt] \rho_3I&=\rho_2I\rho_2I &　&{\small (*1) より}\\ &={(\rho_2I)}^2 &　&{\small (*3) より} \end{alignat*}

    より

    idI=(ρ2I)3ρ3I=(ρ2I)2\begin{align*} idI&={(\rho_2I)}^3\\ \rho_3I&={(\rho_2I)}^2 \end{align*}

    よって

    {idI, ρ2I, ρ3I}={(ρ2I)3, ρ2I, (ρ2I)2}={ρ2I, (ρ2I)2, (ρ2I)3}\begin{align*} \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}&=\{{(\rho_2I)}^3,  \rho_2I,  {(\rho_2I)}^2\}\\ &=\{\rho_2I,  {(\rho_2I)}^2,  {(\rho_2I)}^3\} \end{align*}

    　これで、ひとつの要素 ρ2I\rho_2I だけを用いて表すことができたので、この剰余群は巡回群です。生成元は ρ2I\rho_2I なので、次のように表せます。

    {idI, ρ2I, ρ3I}={ρ2I, (ρ2I)2, (ρ2I)3}=⟨ρ2I⟩\begin{align*} \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}&=\{\rho_2I,  {(\rho_2I)}^2,  {(\rho_2I)}^3\}\\ &=\langle\rho_2I\rangle \end{align*}

    　この巡回群 {idI, ρ2I, ρ3I}\{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\} は、ρ2I\rho_2I に次々と ρ2I\rho_2I を作用させていけば、その要素は巡回的にすべて現れます。

    ρ2I↓ ρ2Iを作用ρ2Iρ2I=ρ3I↓ ρ2Iを作用ρ3Iρ2I=idI↓ ρ2Iを作用idρ2I=ρ2I↓ 以下繰り返し⋮\begin{align*} &\rho_2I\\ &\downarrow  {\small \rho_2I を作用}\\ \rho_2I\rho_2I=&\rho_3I\\ &\downarrow  {\small \rho_2I を作用}\\ \rho_3I\rho_2I=&idI\\ &\downarrow  {\small \rho_2I を作用}\\ id\rho_2I=&\rho_2I\\ &\downarrow  {\small 以下繰り返し}\\ &\hspace{4pt}\vdots \end{align*}

    　つまり

    画像

    　円で描くと

    画像

    　ちなみに、{idI, ρ2I, ρ3I}\{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\} の要素同士の積の演算表

    後先∘idIρ2Iρ3IidIidIρ2Iρ3Iρ2Iρ2Iρ3IidIρ3Iρ3IidIρ2I\def\arraystretch{1.5} \hspace{41pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idI & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline\hline idI & idI & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline \rho_2I & \rho_2I & \rho_3I & idI\\ \hline \rho_3I & \rho_3I & idI & \rho_2I \end{array}

    を、生成元 ρ2I\rho_2I だけで表すと次のようになります。

    後先∘idIρ2Iρ3IidI(ρ2I)3ρ2I(ρ2I)2ρ2Iρ2I(ρ2I)2(ρ2I)3ρ3I(ρ2I)2(ρ2I)3ρ2I\def\arraystretch{1.5} \hspace{41pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idI & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline\hline idI & {(\rho_2I)}^3 & \rho_2I & {(\rho_2I)}^2\\ \hline \rho_2I & \rho_2I & {(\rho_2I)}^2 & {(\rho_2I)}^3\\ \hline \rho_3I & {(\rho_2I)}^2 & {(\rho_2I)}^3 & \rho_2I \end{array}

    　3×3=93\times3=9 通りのすべての結果は ρ2I\rho_2I のみで表されます。
    　なお、同様の議論によって、NN の正規部分群 I={id}I=\{id\} による右剰余類の集合
    　{Iid, Iρ2, Iρ3}\{Iid,  I\rho_2,  I\rho_3\}
    も巡回群になります。

    まとめ

    ➀➀　巡回群とは「すべての要素が、あるひとつの要素だけを用いて表すことのできる群」です。

    ➁➁　３次対称群 S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3}S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\} は巡回群ではありません。

    ➂➂　３次対称群 S3S_3 の正規部分群である３次交代群 N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} は巡回群です。つまり

    N={id, ρ2, ρ3}={ρ2, (ρ2)2, (ρ2)3}=⟨ρ2⟩\begin{align*} N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}\\ &=\{\rho_2,  {(\rho_2)}^2,  {(\rho_2)}^3\}\\ &=\langle\rho_2\rangle \end{align*}

    ➃➃　NN による左剰余類の集合 {idN, τ1N}\{idN,  \tau_1N\} は巡回群です。つまり

    {idN, τ1N}={τ1N, (τ1N)2}=⟨τ1N⟩\begin{align*} \{idN,  \tau_1N\}&=\{\tau_1N,  (\tau_1N)^2\}\\ &=\langle\tau_1N\rangle \end{align*}

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    ➄➄　３次交代群 N={id, ρ2, ρ3}N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} の正規部分群 I={id}I=\{id\} について、II による左剰余類の集合 {idI, ρ2I, ρ3I}\{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\} は巡回群です。つまり

    {idI, ρ2I, ρ3I}={ρ2I, (ρ2I)2, (ρ2I)3}=⟨ρ2I⟩\begin{align*} \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}&=\{\rho_2I,  {(\rho_2I)}^2,  {(\rho_2I)}^3\}\\ &=\langle\rho_2I\rangle \end{align*}

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    　復習として、本シリーズ (32) でやった「正規部分群の縮小」の流れ図

    S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3} は群縮小 ↓ 正規部分群 N={id, ρ2, ρ3} による剰余群 {idN, τ1N} が構成可能N={id, ρ2, ρ3}縮小 ↓ 正規部分群 I={id} による剰余群 {idI, ρ2I, ρ3I} が構成可能I={id}\begin{align*} S_3&=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}  は群\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small 正規部分群  N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}  による \atop \hspace{-19pt}剰余群  \{idN,  \tau_1N\}  が構成可能}\\[12pt] N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small \hspace{-26pt}正規部分群  I=\{id\}  による \atop 剰余群  \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}  が構成可能}\\[12pt] I&=\{id\} \end{align*}

    を用いて整理すると、本記事で述べたことは次の黒字部分です。

    S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3} は巡回群ではない縮小 ↓ 正規部分群 N={id, ρ2, ρ3} による巡回群 {idN, τ1N}=⟨τ1N⟩ が構成可能N={id, ρ2, ρ3}=⟨ρ2⟩ は巡回群縮小 ↓ 正規部分群 I={id} による巡回群 {idI, ρ2I, ρ3I}=⟨ρ2I⟩ が構成可能I={id}\begin{align*} S_3&=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}  は\bm{巡回群ではない}\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small \hspace{-15pt}正規部分群 N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\} による \atop \hspace{0pt}\bm{巡回群}  \{idN,  \tau_1N\}=\langle\tau_1N\rangle  が構成可能}\\[12pt] N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}=\langle\rho_2\rangle  は\bm{巡回群}\\[10pt] 縮小  &\downarrow  {\small \hspace{-58pt}正規部分群  I=\{id\}  による \atop \bm{巡回群}  \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}=\langle\rho_2I\rangle  が構成可能}\\[12pt] I&=\{id\} \end{align*}

    　なお、NN が巡回群であることは本質的ではなく、S3S_3 の正規部分群であることが重要です。II も NN の正規部分群であり、群の縮小の列は、「その前の群の正規部分群」になっていることが、解の公式が存在するかどうかを判定する上で重要になります。

    S3⊃縮小NS3の正規部分群⊃縮小INの正規部分群\begin{align*} S_3\hspace{4pt}\overset{縮小}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-8pt}\overset{縮小}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I} \end{align*}

    　つまり、次の黒字部分が重要になります。

    S3={id, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3} は群縮小 ↓ 正規部分群 N={id, ρ2, ρ3} による巡回群 {idN, τ1N}=⟨τ1N⟩ が構成可能N={id, ρ2, ρ3} は S3 の正規部分群縮小 ↓ 正規部分群 I={id} による巡回群 {idI, ρ2I, ρ3I}=⟨ρ2I⟩ が構成可能I={id} は N の正規部分群\begin{align*} S_3&=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}  は\bm{群}\\[10pt] \bm{縮小}  &\downarrow  {\small \hspace{-15pt}正規部分群  N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}  による \atop \hspace{0pt}\bm{巡回群}  \{idN,  \tau_1N\}=\langle\tau_1N\rangle  が構成可能}\\[12pt] N&=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}  は  S_3  の\bm{正規部分群}\\[10pt] \bm{縮小}  &\downarrow  {\small \hspace{-58pt}正規部分群  I=\{id\}  による \atop \bm{巡回群}  \{idI,  \rho_2I,  \rho_3I\}=\langle\rho_2I\rangle  が構成可能}\\[12pt] I&=\{id\}  は  N  の\bm{正規部分群} \end{align*}

    　まとめると、
    　➀➀ 正規部分群を取りながら群が縮小すること
    　➁➁ その正規部分群による剰余類の集合が巡回群になること
    の２つの関係を保持しながら、単位元のみからなる正規部分群 {id}\{id\} にうまくたどり着くことができれば、その方程式には解の公式が存在する。逆に {id}\{id\} にたどり着かなければ、解の公式は存在しない、というのがガロアのアイデアです。

    （参考）各章の内容

    （１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出
    　　　・平方完成
    （２）「３次方程式の解の公式」を導出するための準備
    　　　・11 の３乗根 ω\omega
    （３）「３次方程式の解の公式」を式変形で導出
    　　　・チルンハウス変換
    （４）「解と係数の関係」と「対称式」の解説
    （５）「対称式」を用いた「２次方程式の解の公式」の導出
    （６）「解の置換」と「ラグランジュ・リゾルベント」の解説
    （７）「ラグランジュ・リゾルベント」による「３次方程式の解の公式」の導出
    （８）「偶置換」と「奇置換」の解説（ここから「アーベルの証明」の準備）
    （９）「差積の２乗」が対称式となること、及び「差積」と平方根を結ぶ等式の証明。
    （10）「平方根」「３乗根」と次々と累乗根を加えていくアイデア
    （11）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）
    （12）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。
    （13）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。⟶\longrightarrow ３次方程式の解の公式の完成
    （14）「アーベルの証明」の解説①。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、構成可能な式の対称性が５次置換（対称式）から偶置換シンメトリーへと破壊されることを解説。
    （15）「アーベルの証明」の解説②。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、偶置換と奇置換に分類する。
    （16）「アーベルの証明」の解説➂。「すべての偶置換は３次巡回置換の積で表される」ことの解説。
    （17）「アーベルの証明」の解説➃（最後）。「任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せる」ことによって、５次方程式には解の公式が存在しないことが証明されることの解説。
    （18）もっと分かりやすくシリーズ①「累乗根の添加」について重点解説。
    （19）もっと分かりやすくシリーズ②「対称性の破壊」について重点解説。
    （20）もっと分かりやすくシリーズ③「対称性を恒等置換まで破壊」することについて重点解説。
    （21）もっと分かりやすくシリーズ➃　何次方程式でも「最初に解の差積を添加して対称性を破壊すること」は常套手段。
    （22）もっと分かりやすくシリーズ➄「解の和と差の連立」による２次方程式の解の公式の導出について。
    （23）もっと分かりやすくシリーズ➅「対称式ではない解の公式を基本対称式で表す」ことのついて。
    （24）もっと分かりやすくシリーズ➆「定数 ω\bm{\omega}」について復習
    （25）もっと分かりやすくシリーズ➇　３次方程式の解の公式の導出方法「カルダノの方法」を復習
    （26）もっと分かりやすくシリーズ➈「カルダノの方法」と「対称性の破壊」の関連について
    （27）もっと分かりやすくシリーズ⑩　そもそもなぜ解の公式が存在しないかを『巡回置換』から紐解く
    （28）中学でも分かるガロアの証明①　ガロアの発見した「群」について
    （29）中学でも分かるガロアの証明②　ガロアの発見した「部分群」について
    （30）中学でも分かるガロアの証明③　ガロアの発見した「正規部分群」について
    （31）中学でも分かるガロアの証明④　正規部分群による剰余類の集合が群（剰余群）になること
    （32）中学でも分かるガロアの証明④　単位元のみの正規部分群 {id}\{id\} による剰余類の集合が群（剰余群）になること

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