（追記有り）中学でも分かるガロアの証明➃『剰余群』について

　ここでは、剰余類どうしに新たに演算を定義して、その演算に関して剰余類の集合は群（これを剰余群という）になることを証明していきます。ガロアによる偉大な発見です。

　ますは、本シリーズ (28) ～ (30) でやった定義、重要事項を記していきます。

（復習）群の定義

　空でない集合 $G$ の任意の要素 $a,  b,  c$ の間に１つの演算 $*$ が規定されているとする。
　この集合 $G$ の任意の要素 $a,  b,  c$ が、その演算 $*$ に関して次の条件を満たすとき、$G$ は演算 $*$ に関して群であるという。
(1)　$a*b$ は $G$ の要素である。
(2)　交換法則 $(a*b)*c=a*(b*c)$ が成り立つ。
(3)　$a*e=e*a=a$ となる単位元 $e$ が $G$ に存在する。
(4)　$a*x=x*a=e$ となる逆元 $x$ が $G$ に存在する。

＊＊＊

(1) を満たすことを、集合 $\bm G$ は演算 $\bm *$ について閉じているといいます。演算の結果、集合 $G$ からはみ出さないことを意味します。
(2) は、カッコを気にしないで、どこから演算を施してもよいことを保証します。
(3) は、左右どちらから演算を施しても変化しない要素の存在です。その要素を単位元といいます。
(4) は、左右両方から演算を施すと単位元となる要素の存在です。その要素を逆元といいます。

　要するに群とは、イメージとして
(1)　全部そろっている
(2)　つなげることができる
(3)　変えないことができる
(4)　元に戻すことができる
の４つの条件が成り立つ要素の集まり（集合）です（本シリーズ (28)）。

　３次置換の集合は群であり、それを３次対称群 $S_3$ と表します。
　$S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
$S_3$ の置換の積（合成）の対応表は、次のようになります（本シリーズ (28)）。

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline \rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline \rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline \tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline \tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id \end{array}$$

（復習）部分群の定義

　ある群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が同じ演算で群になるとき、その部分集合 $H$ を、 $G$ の『部分群』といいます。
　ここで重要なのは、あくまでも「同じ演算で」ということです。もとの群がたし算に関して群となる場合、その部分群もたし算に関して群となります（本シリーズ (29)）。

　なお、自分自身や、要素が単位元だけからなる集合は、すべての群の部分群となるため『自明な部分群』といいます。
　３次対称群 $S_3$ の部分群には、全部で以下の６通りがありますが、$S_3$ と $\{id\}$ が自明な部分群となります。また、自明な部分群以外の部分群を『真部分群』といいます。
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$（自明な部分群）
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$（真部分群）
　$\{id,  \tau_1\}$（真部分群）
　$\{id,  \tau_2\}$（真部分群）
　$\{id,  \tau_3\}$（真部分群）
　$\{id\}$（自明な部分群）

　部分群について、次の正規部分群は重要です。

（復習）正規部分群の定義

　$N$ を群 $G$ の部分群とする。$G$ のすべての要素 $g$ について

$$\begin{align*} gN=Ng \end{align*}$$

を満たすとき、$N$ を $G$ の正規部分群という。

＊＊＊

　$gN=Ng$ とは、あくまでも集合として等しいことを意味します。つまり、$G$ のすべての要素 $g$ について、左剰余類 $gN$（という集合）の要素と、右剰余類 $Ng$（という集合）の要素が、同じになるということです（本シリーズ (30)）。

$$\begin{gather*} \underset{左剰余類}{gN}\hspace{-5pt}=\hspace{-5pt}\underset{右剰余類}{Ng}\\[-3pt] \hspace{1pt}\uparrow\\[-5pt] \hspace{1pt}{\footnotesize 集合の要素が同じ}\\[-5pt] \hspace{0pt}{\footnotesize（集合として等しい）} \end{gather*}$$

　$S_3$ の部分群のうち、正規部分群となるのは、自分自身 $S_3$、単位元のみからなる集合 $\{id\}$、及び偶置換のみからなる３次交代群
　$A_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$
の３つのみです。そのうち、自明な部分群である $S_3$ と $\{id\}$ を『自明な正規部分群』といいます。
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$ （自明な）正規部分群である
　$\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$　正規部分群である
　$\{id,  \tau_1\}$　正規部分群ではない
　$\{id,  \tau_2\}$　正規部分群ではない
　$\{id,  \tau_3\}$　正規部分群ではない
　$\{id\}$ （自明な）正規部分群である

　正規部分群によって、ある法則をもって群をいくつかのグループに分けることができます。それが剰余類による類別です。正規部分群による剰余類を考えた場合、その剰余類による類別の方法は、左剰余類と右剰余類で同じ類別となる、というのがガロアの発見した重要な定理です。

（復習）正規部分群による類別

　一般に、正規部分群によって類別する場合は、左剰余類で類別する場合と、右剰余類で類別する場合とでは、必ず同じ類別になります（本シリーズ (30)）。

（図説）

　$S_3$ の正規部分群 $N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$ について

＜左剰余類による類別＞

$\hspace{80pt}\Updownarrow$  類別の方法は同じ

＜右剰余類による類別＞

　一方、正規部分群ではない部分群によって類別する場合は、左剰余類で類別する場合と、右剰余類で類別する場合とでは、必ず異なる類別になります。

（図説）

　$S_3$ の正規部分群ではない部分群 $M=\{id,  \tau_1\}$ について

＜左剰余類による類別＞

$\hspace{98pt}\Updownarrow$  類別の方法は異なる

＜右剰余類による類別＞

　$\rho_2M\ne M\rho_2$、$\rho_3M\ne M\rho_3$ であることから、$M=\{id,  \tau_1\}$ は正規部分群ではありません。それにより、上図の様に左剰余類による類別と、右剰余類による類別は異なることが見てとれます。

　復習はここで終わり、次からいよいよ剰余類どうしに新たに演算を定義していきます。

剰余類どうしに演算を定義

　ここで、正規部分群についての左剰余類どうし、および右剰余類どうしについて、次のように新たに演算を定義します。まずは左剰余類について考えます。本記事最後の方で、右剰余類についても言及します。

左剰余類どうしの演算の定義

　$N$ を群 $G$ の正規部分群とする。$a,  b$ を $G$ の任意の要素とするとき、左剰余類 $aN ,  bN$ による演算 $\circ$ を次のように定義する。

$$\begin{align*} aN \circ bN\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}abN \end{align*}$$

これを簡単に、『左剰余類の積』という場合があります。
　なお「$def$」とは定義 (definition) の意味です。

＊＊＊

　この式について簡単に説明すると
　$a$ を代表元とする左剰余類 $aN$
　$b$ を代表元とする左剰余類 $bN$
があったとき、$aN$ と $bN$ の演算
　$aN \circ bN$
の結果を、「置換の積 $ab$ を代表元とする左剰余類 $abN$ と定義する」ということです（代表元については本シリーズ (30)）。

$$\begin{align*} &aN \circ bN\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}abN\\[-10pt] &\hspace{-5pt}{\footnotesize \uparrow \atop {a を \atop 代表元}}{\footnotesize \uparrow \atop {b を \atop 代表元}}\hspace{9pt} {\footnotesize \uparrow \atop {ab を \atop 代表元}} \end{align*}$$

　やや抽象的なので、具体的に解説します。

　３次対称群
　$S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
と、その正規部分群
　$N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$
について、演算 $\circ$ の定義より

$$\begin{align*} idN\circ\tau_1N\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}id\tau_1N\\ \rho_2N\circ\tau_3N\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}\rho_2\tau_3N \end{align*}$$

となります。つまり
　$idN\circ\tau_1N$
は、置換の積 $id\tau_1$ を代表元とする左剰余類 $id\tau_1N$ と定義し、
　$\rho_2N\circ\tau_3N$
は、置換の積 $\rho_2\tau_3$ を代表元とする左剰余類 $\rho_2\tau_3N$ と定義します。

$$\begin{align*} &idN\circ\tau_1N\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}id\tau_1N\\[-8pt] &\hspace{-2pt}{\footnotesize \uparrow \atop {id  を \atop 代表元}}\hspace{4pt}{\footnotesize \uparrow \atop {\tau_1 を \atop 代表元}}\hspace{12pt} {\footnotesize \uparrow \atop {id\tau_1 を \atop 代表元}}\\[10pt] &\rho_2N\circ\tau_3N\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}\rho_2\tau_3N\\[-8pt] &\hspace{-2pt}{\footnotesize \uparrow \atop {\rho_2 を \atop 代表元}}\hspace{4pt}{\footnotesize \uparrow \atop {\tau_3 を \atop 代表元}}\hspace{12pt} {\footnotesize \uparrow \atop {\rho_2\tau_3 を \atop 代表元}} \end{align*}$$

　すると、３次対称群 $S_3$ の置換の積の演算表

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3 & \underline{\tau_1} & \tau_2 & \utilde{\tau_3}\\ \hline\hline \underline{id} & id & \rho_2 & \rho_3 & \underline{\tau_1} & \tau_2 & \tau_3\\ \hline \utilde{\rho_2} & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \utilde{\tau_2}\\ \hline \rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline \tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline \tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id \end{array}$$

より、置換の積は
　$id\tau_1=\tau_1　\cdots (*1)$（下線部）
　$\rho_2\tau_3=\tau_2　\cdots (*2)$（波線部）
と定まるので、左剰余類の演算 $\circ$ は

$$\begin{align*} idN\circ\tau_1N&\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}id\tau_1N\\ &=\tau_1N　\because  (*1) より\\ \\ \rho_2N\circ\tau_3N&\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}\rho_2\tau_3N\\ &=\tau_2N　\because  (*2) より\\ &=\tau_1N　\because  \tau_2N=\tau_1N より \end{align*}$$

と定まります（「$\because$」は ”なぜなら” を表す記号）。$\tau_2N=\tau_1N$ は、左剰余類による類別によります（図１）。

（図１）

　代表元どうしの積を求め、その新たな代表元の左剰余類をその演算の結果とします。
　なお、この左剰余類の類別（図１）
　$idN=\rho_2N=\rho_3N$
かつ
　$\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N$
は、今後頻繁に出てくるので押さえておいてください。覚えてしまった方がよいかもしれません。

well-defined な定義について

　なお、先ほどの左剰余類の演算 $\circ$ の定義
　$aN\circ bN=abN$
について注意事項があります。
　それは、この定義が well-defined（ウェル・ディファインド）になっているかどうかです。well-defined とは、平たくいえば、「矛盾がおきることなく、ちゃんと定義されている」ことを意味します。演算を定義する場合、その定義は well-defined でなければなりません。
　具体例を上げて解説します。

well-defined な定義の例

　例えば、分数の足し算は次のように定義されます。

$$\begin{align*} \dfrac{b}{a}+\dfrac{d}{c}=\dfrac{bc+ad}{ac} \end{align*}$$

いわゆる通分です。この定義より、例えば  $\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}$  は

$$\begin{align*} \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}&=\dfrac{1\cdot3+2\cdot2}{2\cdot3}\\ &=\dfrac{7}{6} \end{align*}$$

となりますが、$\dfrac{1}{2}$ と同じ値  $\dfrac{2}{4}\left(=\dfrac{1\times2}{2\times2}\right)$、$\dfrac{2}{3}$ と同じ値  $\dfrac{6}{9}\left(=\dfrac{2\times3}{3\times3}\right)$  でこのたし算を行っても

$$\begin{align*} \dfrac{2}{4}+\dfrac{6}{9}&=\dfrac{2\cdot9+4\cdot6}{4\cdot9}\\ &=\dfrac{18+24}{36}\\ &=\dfrac{\cancel{42}}{\cancel{36}}\\ &=\dfrac{7}{6}\\ \end{align*}$$

と、どちらも同じ値となります。これが well-defined な定義です。

$$\begin{align*} \\[-14pt] \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}&=\dfrac{7}{6}\\ &\hspace{-40pt}{\scriptsize 同じ}\hspace{-3pt}\updownarrow\hspace{-1pt}{\scriptsize 同じ}\hspace{-3pt}\updownarrow\hspace{15pt}\updownarrow {\footnotesize 同じになる (\textsf{well-defined})}\\ \dfrac{2}{4}+\dfrac{6}{9}&=\dfrac{7}{6} \end{align*}$$

well-defined ではない定義の例

　しかし、仮に分数どうしに次のような演算 $\oplus$ を定義したとしましょう。

$$\begin{align*} \dfrac{b}{a}\oplus\dfrac{d}{c}=\dfrac{b+d}{a+c} \end{align*}$$

あくまでも仮定の計算として、分母は分母どうし、分子は分子どうしで足すと定義します。
　これに従うと、例えば

$$\begin{align*} \dfrac{1}{2}\oplus\dfrac{2}{3}=\dfrac{1+2}{2+3}=\dfrac{3}{5} \end{align*}$$

となりますが、$\dfrac{1}{2}$ と同じ値 $\dfrac{2}{4}$、$\dfrac{2}{3}$ と同じ値 $\dfrac{6}{9}$ でこの演算 $\oplus$ を行うと

$$\begin{align*} \dfrac{2}{4}\oplus\dfrac{6}{9}=\dfrac{2+6}{4+9}=\dfrac{8}{13} \end{align*}$$

と、異なる結果となります。同じ値を用いて同じ演算をしたにも関わらず異なる結果となるので、これは well-defined ではありません。

$$\begin{align*} \\[-14pt] \dfrac{1}{2}\oplus\dfrac{2}{3}&=\dfrac{1+2}{2+3}=\dfrac{3}{5}\\ &\hspace{-40pt}{\scriptsize 同じ}\hspace{-3pt}\updownarrow\hspace{-1pt}{\scriptsize 同じ}\hspace{-3pt}\updownarrow\hspace{54pt}\updownarrow {\footnotesize 同じにならない (\textsf{well-defined}  ではない)}\\ \dfrac{2}{4}\oplus\dfrac{6}{9}&=\dfrac{2+6}{4+9}=\dfrac{8}{13} \end{align*}$$

正規部分群による左剰余類の演算は well-defined か？

　では、正規部分群による左剰余類の演算 $\circ$ の定義

$$\begin{align*} aN \circ bN\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}abH \end{align*}$$

は well-defined になるでしょうか？
　この定義は代表元の取り方に依存しています。これで「左剰余類の演算が定義できる」というためには、同じ左剰余類となる別の代表元を使って演算しても、その結果は同じにならなければなりません。
　やや抽象的なので、具体例を示して解説します。

具体例で解説

　先ほどやった、置換の積の例

$$\begin{align*} idN\circ\tau_1N&\hspace{-2pt}\underset{def}{=}\hspace{-1pt}id\tau_1N\\ &=\tau_1N　\because  (*1) より\\ &\hspace{12pt}\cdots (*3) \end{align*}$$

を考えると、左剰余類による類別

（図１を再掲）

より
　$idN=\rho_2N(=\rho_3N)$
かつ
　$\tau_1N(=\tau_2N)=\tau_3N$
なので、代表元 $id$ を $\rho_2$ にかえた左剰余類 $\rho_2N$ と、代表元 $\tau_1$ を $\tau_3$ にかえた左剰余類 $\tau_3N$ とで同じ演算

$$\begin{align*} \rho_2N\circ\tau_3N \end{align*}$$

を行っても、$(*3)$ と同じ結果になる必要があります。

（図説）

　実際に演算してみると

$$\begin{align*} \rho_2N\circ\tau_3N&=\rho_2\tau_3N\\ &=\tau_2N　\because  (*2) より\\ &=\tau_1N　\because  \tau_2N=\tau_1N（図１）より \end{align*}$$

となり、確かに結果は $(*3)$ と同じになります。

$$\begin{align*} &idH\circ\rho_1H=\tau_1H\\ &\hspace{-12pt}{\small 同じ}\hspace{-2pt}\updownarrow\hspace{2pt}{\small 同じ}\hspace{-2pt}\updownarrow\hspace{25pt}\updownarrow{\small 同じになる}\\ &\rho_2H\circ\tau_3H=\tau_1H \end{align*}$$

（図説）

　仮にこの結果が異なれば、上で述べた $\oplus$ のように不完全な定義、つまり well-defined ではない定義です。

　一般に、正規部分群による左剰余類どうしの演算
　$aN\circ bN=abN$
は、必ず well-defined な定義になります。
　逆に、正規部分群ではないただの部分群では、この定義は well-defined ではありません（これについては後半の方で解説します）。

　$aN\circ bN=abN$ という演算の定義は、
　$N$ が正規部分群ならば well-defined である
　$N$ が正規部分群でなければ well-defined ではない

　これが、ただの部分群ではだめで、正規部分群でなけらばならない理由です。

　ではここで、３次対称群 $S_3$ のすべての要素 $a,  b$ に対して
　$aN\circ bN$
の演算表を完成させることによって、正規部分群 $N$ による左剰余類の演算 $\circ$ の定義が、well-defined であることを具体的に示していきます。

左剰余類の演算が well-defined であることを示す

　３次対称群
　$S_3=\{id,  \rho_2,  \rho_3,  \tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
その正規部分群
　$N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$
について、$S_3$ のすべての要素に対して
　$aN\circ bN$
の演算表を完成させていきます。
　そのために、$idN$ のグループ
　$idN=\rho_2N=\rho_3N=\{id,  \rho_2,  \rho_3\}$
と、$\tau_1N$ のグループ
　$\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N=\{\tau_1,  \tau_2,  \tau_3\}$
とで、２つのグループに分けて考えます。ひとつひとつの左剰余類を個別に考えるのではなく、グループでまとめて考えると分かりやすいです。

(1)  idN グループどうしの演算表

　$idN=\rho_2N=\rho_3N$ グループどうしで演算 $\circ$ を行います。
　左剰余類の演算 $\circ$ の定義より

　$idN\circ idN=ididN$
　$idN\circ\rho_2N=id\rho_2N$
　$idN\circ \rho_3N=id\rho_3N$

　$\rho_2N\circ idN=\rho_2idN$
　$\rho_2N\circ\rho_2N=\rho_2\rho_2N$
　$\rho_2N\circ\rho_3N=\rho_2\rho_3N$

　$\rho_3N\circ idN=\rho_3idN$
　$\rho_3N\circ\rho_2N=\rho_3\rho_2N$
　$\rho_3N\circ\rho_3N=\rho_3\rho_3N$

これらを表にすると

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{46pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|} \circ & idN& \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline idN & ididN & id\rho_2N & id\rho_3N\\ \hline \rho_2N & \rho_2idN & \rho_2\rho_2N & \rho_2\rho_3N\\ \hline \rho_3N & \rho_3idN & \rho_3\rho_2N & \rho_3\rho_3N \end{array}$$

ここで、$S_3$ の置換の積の演算表

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline \rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline \rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline \tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline \tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id \end{array}$$

により

　$idid=id$
　$id\rho_2=\rho_2$
　$id\rho_3=\rho_3$

　$\rho_2id=\rho_2$
　$\rho_2\rho_2=\rho_3$
　$\rho_2\rho_3=id$

　$\rho_3id=\rho_3$
　$\rho_3\rho_2=id$
　$\rho_3\rho_3=\rho_2$

なので

　$idN\circ idN=ididN=idN$
　$idN\circ\rho_2N=id\rho_2N=\rho_2N$
　$idN\circ\rho_3N=id\rho_3N=\rho_3N$

　$\rho_2N\circ idN=\rho_2idN=\rho_2N$
　$\rho_2N\circ\rho_2N=\rho_2\rho_2N=\rho_3N$
　$\rho_2N\circ\rho_3N=\rho_2\rho_3N=idN$

　$\rho_3N\circ idN=\rho_3idN=\rho_3N$
　$\rho_3N\circ\rho_2N=\rho_3\rho_2N=idN$
　$\rho_3N\circ\rho_3N=\rho_3\rho_3N=\rho_2N$

これらを表にすると

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline idN & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline \rho_2N & \rho_2N & \rho_3N & idN\\ \hline \rho_3N & \rho_3N & idN & \rho_2N \end{array}$$

さらに、左剰余類による類別（図１）
　$idN=\rho_2N=\rho_3N$
より結果はすべて同じになるので、次のように結果を $idN$ に選んで

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline & & \rho_2N & \rho_3N\\[-7pt] idN & idN & \downarrow & \downarrow\\[-6pt] & & idN & idN\\ \hline & \rho_2N & \rho_3N & \\[-7pt] \rho_2N & \downarrow & \downarrow & idN\\[-6pt] & idN & idN & \\ \hline & \rho_3N & & \rho_2N\\[-7pt] \rho_3N & \downarrow & idN & \downarrow\\[-6pt] & idN & & idN \end{array}$$

よって

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & \tau_1N & \tau_2N & \tau_3N\\ \hline\hline idN & idN & idN & idN\\ \hline \rho_2N & idN & idN & idN\\ \hline \rho_3N & idN & idN & idN \end{array}$$

　$3\times3=9$ 通りのすべての結果は、どれも同じ $idN$ になりました。左剰余類の代表元として $id,  \rho_2,  \rho_3$ のどの組み合わせで演算しても、すべて同じ結果となります。

(2)  idN グループと τN グループとの演算表

　(1) と同様に演算表を作っていきます。
　$idN=\rho_2N=\rho_3N$
グループを先に、
　$\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N$
グループを後にして演算 $\circ$ を行います。
　左剰余類の演算 $\circ$ の定義より

　$\overset{先}{idN}\circ\overset{後}{\tau_1N}=id\tau_1N$
　$idN\circ\tau_2N=id\tau_2N$
　$idN\circ\tau_3N=id\tau_3N$

　$\rho_2N\circ\tau_1N=\rho_2\tau_1N$
　$\rho_2N\circ\tau_2N=\rho_2\tau_2N$
　$\rho_2N\circ\tau_3N=\rho_2\tau_3N$

　$\rho_3N\circ\tau_1N=\rho_2\tau_1N$
　$\rho_3N\circ\tau_2N=\rho_3\tau_2N$
　$\rho_3N\circ\tau_3N=\rho_3\tau_3N$

これらを表にすると

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{46pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|} \circ & \tau_1N& \tau_2N & \tau_3N\\ \hline\hline idN & id\tau_1N & id\tau_2N & id\tau_3N\\ \hline \rho_2N & \rho_2\tau_1N & \rho_2\tau_2N & \rho_2\tau_3N\\ \hline \rho_3N & \rho_3\tau_1N & \rho_3\tau_2N & \rho_3\tau_3N \end{array}$$

ここで、$S_3$ の置換の積の演算表

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{36pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}     & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline\hline id & id & \rho_2 & \rho_3 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3\\ \hline \rho_2 & \rho_2 & \rho_3 & id & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2\\ \hline \rho_3 & \rho_3 & id & \rho_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1\\ \hline \tau_1 & \tau_1 & \tau_2 & \tau_3 & id & \rho_2 & \rho_3\\ \hline \tau_2 & \tau_2 & \tau_3 & \tau_1 & \rho_3 & id & \rho_2\\ \hline \tau_3 & \tau_3 & \tau_1 & \tau_2 & \rho_2 & \rho_3 & id \end{array}$$

より

　$id\tau_1=\tau_1$
　$id\tau_2=\tau_2$
　$id\tau_3=\tau_3$

　$\rho_2\tau_1=\tau_3$
　$\rho_2\tau_2=\tau_1$
　$\rho_2\tau_3=\tau_2$

　$\rho_3\tau_1=\tau_2$
　$\rho_3\tau_2=\tau_3$
　$\rho_3\tau_3=\tau_1$

なので

　$idN\circ\tau_1N=id\tau_1N=\tau_1N$
　$idN\circ \tau_2N=id\tau_2N=\tau_2N$
　$idN\circ \tau_3N=id\tau_3N=\tau_3N$

　$\rho_2N\circ \tau_1N=\rho_2\tau_1N=\tau_3N$
　$\rho_2N\circ \tau_2N=\rho_2\tau_2N=\tau_1N$
　$\rho_2N\circ \tau_3N=\rho_2\tau_3N=\tau_2N$

　$\rho_3N\circ \tau_1N=\rho_3\tau_1N=\tau_2N$
　$\rho_3N\circ \tau_2N=\rho_3\tau_2N=\tau_3N$
　$\rho_3N\circ \tau_3N=\rho_3\tau_3N=\tau_1N$

これらを表にすると

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & \tau_1N & \tau_2N & \tau_3N\\ \hline\hline idN & \tau_1N & \tau_2N & \tau_3N\\ \hline \rho_2N & \tau_3N & \tau_1N & \tau_2N\\ \hline \rho_3N & \tau_2N & \tau_3N & \tau_1N \end{array}$$

さらに、左剰余類による類別（図１）
　$\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N$
より結果はすべて同じになるので、次のように結果を $\tau_1N$ に選んで

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & \tau_1N & \tau_2N & \tau_3N\\ \hline\hline & & \tau_2N & \tau_3N\\[-7pt] idN & \tau_1N & \downarrow & \downarrow\\[-7pt] & & \tau_1N & \tau_1N\\ \hline & \tau_3N & & \tau_2N\\[-7pt] \rho_2N & \downarrow & \tau_1N & \downarrow\\[-7pt] & \tau_1N & & \tau_1N\\ \hline & \tau_2N & \tau_3N &\\[-7pt] \rho_3N & \downarrow & \downarrow & \tau_1N\\[-7pt] & \tau_1N & \tau_1N & \end{array}$$

よって

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & \tau_1N & \tau_2N & \tau_3N\\ \hline\hline idN & \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N\\ \hline \rho_2N & \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N\\ \hline \rho_3N & \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N \end{array}$$

　$3\times3=9$ 通りのすべての結果は、どれも同じ $\tau_1N$ となりました。先の左剰余類の代表元として $id,  \rho_2,  \rho_3$、後の左剰余類の代表元として $\tau_1,  \tau_2,  \tau_3$ のどの組み合わせで演算しても、すべて同じ結果となります。

(3)  tN グループと idN グループとの演算表

　(1),  (2) と同様なので、ここからは結果のみを演算表を用いて記していきます。
　(2) の演算の順序を逆にします。つまり
　$\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N$
グループを先に、
　$idN=\rho_2N=\rho_3N$
グループを後にして演算 $\circ$ を行います。
　左剰余類の演算 $\circ$ の定義より

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{46pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline \tau_1N & \tau_1idN & \tau_1\rho_2N & \tau_1\rho_3N\\ \hline \tau_2N & \tau_2idN & \tau_2\rho_2N & \tau_2\rho_3N\\ \hline \tau_3N & \tau_3idN & \tau_3\rho_2N & \tau_3\rho_3N \end{array}$$

$S_3$ の置換の積の演算表より

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline \tau_1N & \tau_1N & \tau_2N & \tau_3N\\ \hline \tau_2N & \tau_2N & \tau_3N & \tau_1N\\ \hline \tau_3N & \tau_3N & \tau_1N & \tau_2N \end{array}$$

左剰余類による類別（図１）
　$\tau_1N=\tau_2N=\tau_3N$
より結果はすべて同じになるので、次のように結果を $\tau_1N$ に選んで

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline & & \tau_2N & \tau_3N\\[-7pt] \tau_1N & \tau_1N & \downarrow & \downarrow\\[-7pt] & & \tau_1N & \tau_1N\\\hline & \tau_2N & \tau_3N & \\[-7pt] \tau_2N & \downarrow & \downarrow & \tau_1N\\[-7pt] & \tau_1N & \tau_1N & \\ \hline & \tau_3N & & \tau_2N\\[-7pt] \tau_3N & \downarrow & \tau_1N & \downarrow\\[-7pt] & \tau_1N & & \tau_1N \end{array}$$

よって

$$\def\arraystretch{1.5} \hspace{45pt}後\\ \raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt} \begin{array}{c||c|c|c} \circ & idN & \rho_2N & \rho_3N\\ \hline\hline \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N\\ \hline \tau_2N & \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N\\ \hline \tau_3N & \tau_1N & \tau_1N & \tau_1N \end{array}$$