前回の本シリーズ (36) で、２次方程式について「（累乗根の添加による）体の拡大」と「（巡回群をともなう）群の縮小」との対応、つまりガロア対応 を解説しました。ここでは３次方程式についてのガロア対応を解説し、３次方程式に解の公式が存在することを証明していきます。
（復習）可解群について ２次方程式についてのガロア対応は次のようになります（本シリーズ (36)）。
X 2 を添加 ↓ ＜体の拡大＞ Q 2 ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 ⊃ 縮小 I S 2 の正規部分群 ↑ { i d I , τ I } が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{-10pt}{\footnotesize X_2 を添加}\\[-3pt]
&\hspace{4pt}\downarrow\\
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{8pt}Q_2&\hspace{-1pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset} Q_2(X_2)\\
\Updownarrow{\scriptsize \bm{対応}}\hspace{-15pt}&\hspace{25pt}\Updownarrow {\scriptsize \bm{対応}}\\
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{8pt}S_2\hspace{0pt}&\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_2 の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{4pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-10pt}{\footnotesize \{idI, \tau I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ Q 2 ⇕ 対応 ＜群の縮小＞ S 2 X 2 を添加 ↓ ⊂ 拡大 Q 2 ( X 2 ) ⇕ 対応 ⊃ 縮小 S 2 の正規部分群 I ↑ が巡回群 { i d I , τ I }
解の差積X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β { i d I , τ I } \{id I, \tau I\} { i d I , τ I }
また、本章で詳しく解説しますが、３次方程式についてのガロア対応は次のようになります。
X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ ＜体の拡大＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ↑ ↑ { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } が巡回群 \begin{align*}
&\hspace{5pt}{\footnotesize X_3 を添加}\hspace{8pt}{\footnotesize A を添加}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\downarrow\hspace{37pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3)}\hspace{-4pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-4pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3, A)}\\[-3pt]
&\hspace{17pt}\Updownarrow\hspace{7pt}{\footnotesize 対応}\hspace{7pt}\Updownarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{4pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-8pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-4pt}{\footnotesize \{idN, \tau_1N\} \atop が巡回群}\hspace{2pt}{\footnotesize \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 3 を添加 A を添加 ↓ ↓ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ↑ ↑ が巡回群 { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) A = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A )
解の公式が存在するかどうかは、このガロア対応の「群の構造」を調べればよいことを前回の章で解説しました。
＜群の縮小＞ S 2 ⊃ 縮小 I S 2 の正規部分群 ⋯ ( ∗ 1 ) ↑ { i d I , τ I } が巡回群 \begin{align*}
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{8pt}S_2\hspace{0pt}&\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_2 の正規部分群}{I} \cdots (*1)\\[-4pt]
&\hspace{4pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-10pt}{\footnotesize \{idI, \tau I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ S 2 ⊃ 縮小 S 2 の正規部分群 I ⋯ ( ∗ 1 ) ↑ が巡回群 { i d I , τ I }
３次方程式については
＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ⋯ ( ∗ 2 ) ↑ ↑ { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } が巡回群 \begin{align*}
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{4pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-8pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I} \cdots (*2)\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-4pt}{\footnotesize \{idN, \tau_1N\} \atop が巡回群}\hspace{2pt}{\footnotesize \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ⋯ ( ∗ 2 ) ↑ ↑ が巡回群 { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
となる群の構造です。( ∗ 1 ) , ( ∗ 2 ) (*1), (*2) ( ∗ 1 ) , ( ∗ 2 ) I ＝ { i d } I＝\{id\} I ＝ { i d } 可解群 』といいます（本シリーズ (36)）。S 2 S_2 S 2 S 3 S_3 S 3
S 2 S_2 S 2 S 3 S_3 S 3
ということです。２次方程式については前回の章でやったので、ここでは３次方程式について解説していきます。
３次方程式の解の公式が存在する理由について、解の差積 X 3 X_3 X 3 A A A X 3 X_3 X 3 A A A → \rightarrow → → \rightarrow → S 3 S_3 S 3
中盤に「体」が出てくるところまでは、おもに本シリーズ (6)～(10) の復習です。３次置換を作用させる計算が長く続くので、分かっている場合は（復習） の部分を読み飛ばしてもかまいません。
（復習）３次置換について ３次置換とは、３つの文字 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
➀ ( α β γ α β γ ) = I ➁ ( α β γ γ α β ) = ( α γ β ) ➂ ( α β γ β γ α ) = ( α β γ ) } 偶置換 ➃ ( α β γ α γ β ) = ( β γ ) ➄ ( α β γ γ β α ) = ( α γ ) ➅ ( α β γ β α γ ) = ( α β ) } 奇置換 \begin{align*}
&\begin{rcases}
➀\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=I\\
\\
➁\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=(\alpha \gamma \beta)\\
\\
➂\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=(\alpha \beta \gamma)
\end{rcases}偶置換\\
\\
&\begin{rcases}
➃\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
➄\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix}\\
\\
➅\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}
\end{rcases}奇置換
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = I ➁ ( α γ β α γ β ) = ( α γ β ) ➂ ( α β β γ γ α ) = ( α β γ ) ⎭ ⎬ ⎫ 偶置換 ➃ ( α α β γ γ β ) = ( β γ ) ➄ ( α γ β β γ α ) = ( α γ ) ➅ ( α β β α γ γ ) = ( α β ) ⎭ ⎬ ⎫ 奇置換
置換は上から下へと置き換えると読みます。つまり
➁ ( α β γ γ α β ) ➁\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix} ➁ ( α γ β α γ β )
は、α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α α → γ → β → α → γ → β → α → ⋯ \alpha \rightarrow \gamma \rightarrow \beta \rightarrow \alpha \rightarrow \gamma \rightarrow \beta \rightarrow \alpha \rightarrow \cdots α → γ → β → α → γ → β → α → ⋯
( α β γ γ α β ) = ( α γ β ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=(\alpha \gamma \beta) ( α γ β α γ β ) = ( α γ β )
と表記します（本シリーズ (14)）。
➃ ( α β γ α γ β ) ➃\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix} ➃ ( α α β γ γ β )
は、α \alpha α β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β γ \gamma γ
( α β γ α γ β ) = ( β γ ) \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix} ( α α β γ γ β ) = ( β γ )
と表記します（本シリーズ (8)）。互換はβ → γ → β → γ → β → ⋯ \beta \rightarrow \gamma \rightarrow \beta \rightarrow \gamma \rightarrow \beta \rightarrow \cdots β → γ → β → γ → β → ⋯
ここで、便宜上３次置換を次のようにi d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3
➀ ( α β γ α β γ ) = i d ➁ ( α β γ γ α β ) = ( α γ β ) = ρ 2 ➂ ( α β γ β γ α ) = ( α β γ ) = ρ 3 } 偶置換 ➃ ( α β γ α γ β ) = ( β γ ) = τ 1 ➄ ( α β γ γ β α ) = ( α γ ) = τ 2 ➅ ( α β γ β α γ ) = ( α β ) = τ 3 } 奇置換 \begin{align*}
&\begin{rcases}
➀\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}
=id\\
\\
➁\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}
=(\alpha \gamma \beta)=\rho_2\\
\\
➂\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}
=(\alpha \beta \gamma)=\rho_3
\end{rcases}偶置換\\
\\
&\begin{rcases}
➃\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\beta & \gamma
\end{pmatrix}=\tau_1\\
\\
➄\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma
\end{pmatrix}=\tau_2\\
\\
➅\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\alpha & \beta
\end{pmatrix}=\tau_3
\end{rcases}奇置換
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = i d ➁ ( α γ β α γ β ) = ( α γ β ) = ρ 2 ➂ ( α β β γ γ α ) = ( α β γ ) = ρ 3 ⎭ ⎬ ⎫ 偶置換 ➃ ( α α β γ γ β ) = ( β γ ) = τ 1 ➄ ( α γ β β γ α ) = ( α γ ) = τ 2 ➅ ( α β β α γ γ ) = ( α β ) = τ 3 ⎭ ⎬ ⎫ 奇置換
（復習）３次置換の作用による差積の変化 ここで、３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ x 2 x_2 x 2
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ↓ ⇐ x = y − b 3 a とおく （チルンハウス変換） y 3 + p y + q = 0 \begin{align*}
ax^3+bx^2+cx+d&=0\\
&\hspace{-20pt}\downarrow \Leftarrow {\footnotesize x=y-\dfrac{b}{3a} とおく \atop（チルンハウス変換）}\\
y^3+py+q&=0
\end{align*} a x 3 + b x 2 + c x + d y 3 + p y + q = 0 ↓ ⇐ （チルンハウス変換） x = y − 3 a b とおく = 0
チルンハウス変換は、あくまでも３次方程式の解の公式を導出するための１つのテクニックなので、群の構造（解の置換の構造）を考察する上で本質的に必要なものではありません（注１） 。i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 x 3 + p x + q = 0 x^3+px+q=0 x 3 + p x + q = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
差積に３次置換を作用させる ここで、３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
➀ ➀ ➀ ( α β γ α β γ ) = i d \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\alpha \beta \gamma}=id ( α β γ α β γ ) = i d
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{15.5pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\hspace{8pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=X_3 \Rightarrow 変化しない
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない
➁ ➁ ➁ ( α β γ γ α β ) = ρ 2 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha \beta}=\rho_2 ( γ α β α β γ ) = ρ 2 α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( γ − α ) ( α − β ) ( β − γ ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{15.5pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)\\
&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=X_3 \Rightarrow 変化しない
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( γ − α ) ( α − β ) ( β − γ ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない
カッコ ( ) の順番が入れ替わるだけなので、もとの式と変わりません。
➂ ➂ ➂ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\beta \gamma \alpha}=\rho_3 ( β γ α α β γ ) = ρ 3 α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( β − γ ) ( γ − α ) ( α − β ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{15.5pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow \hspace{9pt}\downarrow\hspace{13pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)\\
&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=X_3 \Rightarrow 変化しない
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( β − γ ) ( γ − α ) ( α − β ) = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない
これも、カッコ ( ) の順番が入れ替わるだけなので、もとの式と変わりません。
➃ ➃ ➃ ( α β γ α γ β ) = τ 1 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\alpha \gamma \beta}=\tau_1 ( α γ β α β γ ) = τ 1 α \alpha α β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( α − γ ‾ ) ( γ − β ) ( β − α ‾ ‾ ) = ( β − α ‾ ‾ ) ( γ − β ) ( α − γ ‾ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β ) } { − ( β − γ ) } { − ( γ − α ) } = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍と変化する \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{33.5pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\hspace{9pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}(\underline{\alpha-\gamma})(\gamma-\beta)(\underline{\underline{\beta-\alpha}})\\
&=(\underline{\underline{\beta-\alpha}})(\gamma-\beta)(\underline{\alpha-\gamma}) \Leftarrow ( ) を入れ替えた\\
&=(-\alpha+\beta)(-\beta+\gamma)(-\gamma+\alpha)\\
&=\{-(\alpha-\beta)\}\{-(\beta-\gamma)\}\{-(\gamma-\alpha)\}\\
&=(-1)^3(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=-X_3 \Rightarrow -1 倍と変化する
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( α − γ ) ( γ − β ) ( β − α ) = ( β − α ) ( γ − β ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β )} { − ( β − γ )} { − ( γ − α )} = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍と変化する
この場合は − 1 -1 − 1
➄ ➄ ➄ ( α β γ γ β α ) = τ 2 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \beta \alpha}=\tau_2 ( γ β α α β γ ) = τ 2 β \beta β α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( γ − β ‾ ) ( β − α ‾ ‾ ) ( α − γ ) = ( β − α ‾ ‾ ) ( γ − β ‾ ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β ) } { − ( β − γ ) } { − ( γ − α ) } = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍と変化する \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{16pt}\downarrow\hspace{46pt}\downarrow\hspace{8pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\rightarrow(\underline{\gamma-\beta})(\underline{\underline{\beta-\alpha}})(\alpha-\gamma)\\
&=(\underline{\underline{\beta-\alpha}})(\underline{\gamma-\beta})(\alpha-\gamma) \Leftarrow ( ) を入れ替えた\\
&=(-\alpha+\beta)(-\beta+\gamma)(-\gamma+\alpha)\\
&=\{-(\alpha-\beta)\}\{-(\beta-\gamma)\}\{-(\gamma-\alpha)\}\\
&=(-1)^3(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=-X_3 \Rightarrow -1 倍と変化する
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( γ − β ) ( β − α ) ( α − γ ) = ( β − α ) ( γ − β ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β )} { − ( β − γ )} { − ( γ − α )} = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍と変化する
この場合も − 1 -1 − 1
➅ ➅ ➅ ( α β γ β α γ ) = τ 3 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\beta \alpha \gamma}=\tau_3 ( β α γ α β γ ) = τ 3 γ \gamma γ α \alpha α β \beta β β \beta β α \alpha α
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( β − α ) ( α − γ ‾ ) ( γ − β ‾ ‾ ) = ( β − α ) ( γ − β ‾ ‾ ) ( α − γ ‾ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β ) } { − ( β − γ ) } { − ( γ − α ) } = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍と変化する \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\hspace{15.5pt}\downarrow\hspace{14pt}\downarrow\hspace{8pt}\downarrow\hspace{46pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}(\beta-\alpha)(\underline{\alpha-\gamma})(\underline{\underline{\gamma-\beta}})\\
&=(\beta-\alpha)(\underline{\underline{\gamma-\beta}})(\underline{\alpha-\gamma}) \Leftarrow ( ) を入れ替えた\\
&=(-\alpha+\beta)(-\beta+\gamma)(-\gamma+\alpha)\\
&=\{-(\alpha-\beta)\}\{-(\beta-\gamma)\}\{-(\gamma-\alpha)\}\\
&=(-1)^3(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=-X_3 \Rightarrow -1 倍と変化する
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ ↓ ↓ ↓ 置き換え → ( β − α ) ( α − γ ) ( γ − β ) = ( β − α ) ( γ − β ) ( α − γ ) ⇐ ( ) を入れ替えた = ( − α + β ) ( − β + γ ) ( − γ + α ) = { − ( α − β )} { − ( β − γ )} { − ( γ − α )} = ( − 1 ) 3 ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍と変化する
この場合も − 1 -1 − 1
以上をまとめると、➀ ➀ ➀ ➂ ➂ ➂ X 3 X_3 X 3
➀ ( α β γ α β γ ) = i d ➁ ( α β γ γ α β ) = ρ 2 ➂ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 } では X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) → ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}=id\\
\\
➁\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}=\rho_2\\
\\
➂\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}=\rho_3
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\rightarrow (\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&=X_3\\
&\Rightarrow \boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = i d ➁ ( α γ β α γ β ) = ρ 2 ➂ ( α β β γ γ α ) = ρ 3 ⎭ ⎬ ⎫ では X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) → ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = X 3 ⇒ 変化しない
一方、➃ ➃ ➃ ➅ ➅ ➅ X 3 X_3 X 3 − 1 -1 − 1
➃ ( α β γ α γ β ) = τ 1 ➄ ( α β γ γ β α ) = τ 2 ➅ ( α β γ β α γ ) = τ 3 } では X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) → − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍に変化する \begin{rcases}
➃\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}=\tau_1\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}=\tau_2\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}=\tau_3
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\rightarrow -(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&=-X_3\\
&\Rightarrow \boldsymbol{\small -1 倍に変化する}
\end{align*} ➃ ( α α β γ γ β ) = τ 1 ➄ ( α γ β β γ α ) = τ 2 ➅ ( α β β α γ γ ) = τ 3 ⎭ ⎬ ⎫ では X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) → − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) = − X 3 ⇒ − 1 倍に変化する
この結果を対称性という観点でとらえると、X 3 X_3 X 3 偶置換シンメトリー という言葉で表します。X 3 X_3 X 3
X 3 ⇒ 変化しないのは偶置換のみ ⇒ 偶置換シンメトリー をもつ \begin{align*}
X_3 &\Rightarrow 変化しないのは偶置換のみ\\
&\Rightarrow \bm{偶置換シンメトリー}をもつ
\end{align*} X 3 ⇒ 変化しないのは偶置換のみ ⇒ 偶置換シンメトリー をもつ
差積の２乗に３次置換を作用させる では次に、差積の２乗( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 ➀ ➀ ➀ ➅ ➅ ➅ X 3 X_3 X 3 ➀ ➀ ➀ ➂ ➂ ➂
➀ ( α β γ α β γ ) = i d ➁ ( α β γ γ α β ) = ρ 2 ➂ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 } では ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 → { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( X 3 ) 2 ⇒ 変化しない \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}=id\\
\\
➁\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}=\rho_2\\
\\
➂\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}=\rho_3
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
(X_3)^2&=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\rightarrow\!\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&=(X_3)^2\\
&\Rightarrow\boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = i d ➁ ( α γ β α γ β ) = ρ 2 ➂ ( α β β γ γ α ) = ρ 3 ⎭ ⎬ ⎫ では ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 → {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( X 3 ) 2 ⇒ 変化しない
➃ ➃ ➃ ➅ ➅ ➅ − 1 -1 − 1 2 2 2 1 1 1
➃ ( α β γ α γ β ) = τ 1 ➄ ( α β γ γ β α ) = τ 2 ➅ ( α β γ β α γ ) = τ 3 } では ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 → { − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( − 1 ) 2 { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( X 3 ) 2 ⇒ 変化しない \begin{rcases}
➃\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}=\tau_1\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}=\tau_2\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}=\tau_3
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
(X_3)^2&=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&\rightarrow\!\{-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&=(-1)^2\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2\\
&=(X_3)^2\\
&\Rightarrow\boldsymbol{\small 変化しない}
\end{align*} ➃ ( α α β γ γ β ) = τ 1 ➄ ( α γ β β γ α ) = τ 2 ➅ ( α β β α γ γ ) = τ 3 ⎭ ⎬ ⎫ では ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 → { − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( − 1 ) 2 {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( X 3 ) 2 ⇒ 変化しない
すなわち、➀ ➀ ➀ ➅ ➅ ➅ ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2
➀ ( α β γ α β γ ) = i d ➁ ( α β γ γ α β ) = ρ 2 ➂ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 ➃ ( α β γ α γ β ) = τ 1 ➄ ( α β γ γ β α ) = τ 2 ➅ ( α β γ β α γ ) = τ 3 } では ( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 → { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 = ( X 3 ) 2 ⇒ 変化しない ⇒ 対称式 \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}=id\\
\\
➁\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}=\rho_2\\
\\
➂\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}=\rho_3\\
\\
➃\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \gamma & \beta
\end{pmatrix}=\tau_1\\
\\
➄\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \beta & \alpha
\end{pmatrix}=\tau_2\\
\\
➅\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \alpha & \gamma
\end{pmatrix}=\tau_3
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
(X_3)^2&={\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}}^2\\
&\rightarrow {\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}}^2\\
&=(X_3)^2\\
&\Rightarrow\boldsymbol{\small 変化しない}\\
&\Rightarrow\boldsymbol{\small 対称式}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = i d ➁ ( α γ β α γ β ) = ρ 2 ➂ ( α β β γ γ α ) = ρ 3 ➃ ( α α β γ γ β ) = τ 1 ➄ ( α γ β β γ α ) = τ 2 ➅ ( α β β α γ γ ) = τ 3 ⎭ ⎬ ⎫ では ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )} 2 → {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )} 2 = ( X 3 ) 2 ⇒ 変化しない ⇒ 対称式
対称性が偶置換シンメトリーに破壊されたこと これまでの結果を対称性という観点でとらえると( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2=\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ( X 3 ) 2 (X_3)^2 ( X 3 ) 2 X 3 X_3 X 3
( X 3 ) 2 平方根を取る ↓ X 3 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&(X_3)^2\\
{\small 平方根を取る}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}X_3\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[-5pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&３次置換 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
\end{align*}
\end{align*} 平方根を取る ↓ ( X 3 ) 2 X 3 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3
何次方程式でも解の差積をつくることはできるので、最初に差積を与えることは、初めに対称性を破壊する上での常套手段となります（本シリーズ (21)）。
（注） なお、本シリーズでは、式を変化させない置換が縮小されていく過程を「対称性が絞られる」、「対称性が崩れる」または「対称性が壊れる」と複数の表現を用いて書いてきました。
また、( X 3 ) 2 (X_3)^2 ( X 3 ) 2 X 3 , − X 3 X_3, -X_3 X 3 , − X 3 ( X 3 ) 2 (X_3)^2 ( X 3 ) 2 ( X 3 ) 2 (X_3)^2 ( X 3 ) 2 X 3 , − X 3 X_3, -X_3 X 3 , − X 3 X 3 X_3 X 3 ( X 3 ) 2 (X_3)^2 ( X 3 ) 2 − X 3 -X_3 − X 3 ( − X 3 ) 2 = ( X 3 ) 2 (-X_3)^2=(X_3)^2 ( − X 3 ) 2 = ( X 3 ) 2 X 3 X_3 X 3
（注）終わり
アーベルの証明でもやりましたが、次々と累乗根を添加することにより、式を変化させない置換を最終的に i d id i d i d id i d
( X 2 ) 2 平方根を取る ↓ X 2 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ２次置換 i d , τ ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 恒等置換 i d \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&(X_2)^2\\
{\small 平方根を取る}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}X_2\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[-5pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&２次置換 id, \tau\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&恒等置換 id\\
\end{align*}
\end{align*} 平方根を取る ↓ ( X 2 ) 2 X 2 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ２次置換 i d , τ ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 恒等置換 i d
式を変えない置換を i d id i d α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ i d id i d
３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ ⋮ 置換の縮小（対称性の破壊） ↓ 恒等置換 i d （目標） \begin{align*}
&３次置換 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow\\
&\hspace{14pt}\vdots {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&\hspace{10pt}\downarrow\\
&恒等置換 id（目標）
\end{align*} ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ ⋮ 置換の縮小（対称性の破壊） ↓ 恒等置換 i d （目標）
さて、３次対称群は偶置換まで破壊されました。ここからさらに、何か都合のよい式を与えることによって、さらに対称性を破壊していきます。その都合のよい式がラグランジュ・リゾルベント A = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ A 3 A^3 A 3 A A A i d id i d
A 3 ３乗根を取る ↓ A ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 恒等置換 i d \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&\hspace{6pt}A^3\\
{\small \bm{３乗根を取る}}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{6pt}A\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[-5pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&恒等置換 id\\
\end{align*}
\end{align*} ３乗根を取る ↓ A 3 A 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 恒等置換 i d
（注） A 3 A^3 A 3 A , ω A , ω 2 A A, \omega A, \omega^2A A , ω A , ω 2 A A 3 A^3 A 3 A 3 A^3 A 3 A , ω A , ω 2 A A, \omega A, \omega^2A A , ω A , ω 2 A A \hspace{11pt}A A A 3 A^3 A 3 ω A \hspace{4pt}\omega A ω A ( ω A ) 3 = ω 3 ‾ 1 A 3 = A 3 (\omega A)^3=\underset{1}{\underline{\omega^3}}A^3=A^3 ( ω A ) 3 = 1 ω 3 A 3 = A 3 ω 2 A \omega^2 A ω 2 A ( ω 2 A ) 3 = ( ω 2 ) 3 A 3 = ω 6 ‾ 1 A 3 = A 3 (\omega^2 A)^3={(\omega^2)}^3 A^3=\underset{1}{\underline{\omega^6}}A^3=A^3 ( ω 2 A ) 3 = ( ω 2 ) 3 A 3 = 1 ω 6 A 3 = A 3 1 1 1 A A A
なお、ω \omega ω 1 1 1 1 1 1 ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 ω 6 = ( ω 3 ‾ 1 ) 2 = 1 2 = 1 \omega^6=(\underset{1}{\underline{\omega^3}})^2=1^2=1 ω 6 = ( 1 ω 3 ) 2 = 1 2 = 1
（復習）偶置換の作用によるラグランジュ・リゾルベントの変化 ラグランジュ・リゾルベントA = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3 B = α + ω 2 β + ω γ B=\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma B = α + ω 2 β + ωγ β \beta β γ \gamma γ A A A B B B
A = α + ω β + ω 2 γ 入れ替わる ↕ ↕ 入れ替わる B = α + ω 2 β + ω γ \begin{alignat*}{2}
A=\alpha+&\omega\beta+& &\omega^2\gamma\\
{\small 入れ替わる}\hspace{3pt}&\hspace{-2pt}\updownarrow & &\hspace{-2pt}\updownarrow {\small入れ替わる}\\
B=\alpha+&\omega^2\beta+& &\omega\gamma
\end{alignat*} A = α + 入れ替わる B = α + ω β + ↕ ω 2 β + ω 2 γ ↕ 入れ替わる ωγ
A A A B B B B B B ω \omega ω
ω 3 = 1 \begin{align*}
\omega^3=1
\end{align*} ω 3 = 1
ω \omega ω 1 1 1 1 1 1
ラグランジュ・リゾルベント A, B に偶置換を作用させる ➀ ➀ ➀ ( α β γ α β γ ) = i d \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\alpha \beta \gamma}=id ( α β γ α β γ ) = i d α \alpha α α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え α + ω β + ω 2 γ = A ⇒ 変化しない B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ 置き換え α + ω 2 β + ω γ = B ⇒ 変化しない \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=A \Rightarrow {\small 変化しない}\\
\\
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma=B \Rightarrow {\small 変化しない}\\
\end{align*} A = B = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え α + ω β + ω 2 γ = A ⇒ 変化しない α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ 置き換え α + ω 2 β + ωγ = B ⇒ 変化しない
➀ ➀ ➀ A A A A A A B B B B B B
➁ ➁ ➁ ( α β γ γ α β ) = ρ 2 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha \beta}=\rho_2 ( γ α β α β γ ) = ρ 2 α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え γ + ω α + ω 2 β = ω 3 ‾ 1 γ + ω α + ω 2 β = ω ( ω 2 γ + α + ω β ) = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A ⇒ ω 倍に変化 B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ 置き換え γ + ω 2 α + ω β = ω 3 ‾ 1 γ + ω 2 α + ω 3 ‾ 1 ⋅ ω β = ω 3 γ + ω 2 α + ω 4 β = ω 2 ( ω γ + α + ω 2 β ) = ω 2 ( α + ω 2 β + ω γ ) = ω 2 B ⇒ ω 2 倍に変化 \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta\\
=\,&\omega(\omega^2\gamma+\alpha+\omega\beta)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega A \Rightarrow {\small \omega 倍に変化}\\
\\
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\gamma+\omega^2\alpha+\omega\beta\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\gamma+\omega^2\alpha+\underset{1}{\underline{\omega^3}}\cdot\omega\beta\\
=\,&\omega^3\gamma+\omega^2\alpha+\omega^4\beta\\
=\,&\omega^2(\omega\gamma+\alpha+\omega^2\beta)\\
=\,&\omega^2(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)=\omega^2B \Rightarrow {\small \omega^2 倍に変化}
\end{align*} A = = = = B = = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え γ + ω α + ω 2 β 1 ω 3 γ + ω α + ω 2 β ω ( ω 2 γ + α + ω β ) ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A ⇒ ω 倍に変化 α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ 置き換え γ + ω 2 α + ω β 1 ω 3 γ + ω 2 α + 1 ω 3 ⋅ ω β ω 3 γ + ω 2 α + ω 4 β ω 2 ( ωγ + α + ω 2 β ) ω 2 ( α + ω 2 β + ωγ ) = ω 2 B ⇒ ω 2 倍に変化
➁ ➁ ➁ A A A ω A \omega A ω A B B B ω 2 B \omega^2B ω 2 B ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A γ \gamma γ ω 3 ( = 1 ) \omega^3(=1) ω 3 ( = 1 ) B B B γ \gamma γ ω β \omega\beta ω β ω 3 ( = 1 ) \omega^3(=1) ω 3 ( = 1 ) ω 3 \omega^3 ω 3 1 1 1 A A A ω \omega ω ω A \omega A ω A B B B ω 2 \omega^2 ω 2 ω 2 B \omega^2B ω 2 B α \alpha α 1 1 1
➂ ➂ ➂ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\beta \gamma \alpha}=\rho_3 ( β γ α α β γ ) = ρ 3 α \alpha α β \beta β β \beta β γ \gamma γ γ \gamma γ α \alpha α
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え β + ω γ + ω 2 α = ω 3 ‾ 1 β + ω 3 ‾ 1 ⋅ ω γ + ω 2 α = ω 3 β + ω 4 γ + ω 2 α = ω 2 ( ω β + ω 2 γ + α ) = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω 2 A ⇒ ω 2 倍に変化 B = α + ω 2 β + ω γ ↓ ↓ ↓ 置き換え β + ω 2 γ + ω α = ω 3 ‾ 1 β + ω 2 γ + ω α = ω ( ω 2 β + ω γ + α ) = ω ( α + ω 2 β + ω γ ) = ω B ⇒ ω 倍に変化 \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\beta+\omega\gamma+\omega^2\alpha\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\beta+\underset{1}{\underline{\omega^3}}\cdot\omega\gamma+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^3\beta+\omega^4\gamma+\omega^2\alpha\\
=\,&\omega^2(\omega\beta+\omega^2\gamma+\alpha)\\
=\,&\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega^2A \Rightarrow {\small \omega^2 倍に変化}\\
\\
B=\,&\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\beta+\omega^2\gamma+\omega\alpha\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\beta+\omega^2\gamma+\omega\alpha\\
=\,&\omega(\omega^2\beta+\omega\gamma+\alpha)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma)=\omega B \Rightarrow {\small \omega 倍に変化}
\end{align*} A = = = = = B = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え β + ωγ + ω 2 α 1 ω 3 β + 1 ω 3 ⋅ ωγ + ω 2 α ω 3 β + ω 4 γ + ω 2 α ω 2 ( ω β + ω 2 γ + α ) ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω 2 A ⇒ ω 2 倍に変化 α + ω 2 β + ωγ ↓ ↓ ↓ 置き換え β + ω 2 γ + ω α 1 ω 3 β + ω 2 γ + ω α ω ( ω 2 β + ωγ + α ) ω ( α + ω 2 β + ωγ ) = ω B ⇒ ω 倍に変化
➂ ➂ ➂ A A A ω 2 A \omega^2 A ω 2 A B B B ω B \omega B ω B ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A ω 2 \omega^2 ω 2 ω 2 A \omega^2A ω 2 A B B B ω \omega ω ω B \omega B ω B α \alpha α 1 1 1
以上をまとめると
➀ ( α β γ α β γ ) = i d では A ⟶ A B ⟶ B ② ( α β γ γ α β ) = ρ 2 では A ⟶ ω A B ⟶ ω 2 B ③ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 では A ⟶ ω 2 A B ⟶ ω B \hspace{-10pt}
\begin{align*}
&➀
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}=id
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow A\\
B &\longrightarrow B
\end{align*}\\
&②
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}=\rho_2
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega A\\
B &\longrightarrow \omega^2 B
\end{align*}\\
&③
\hspace{6pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}=\rho_3
\hspace{7pt}
では
\hspace{12pt}
\begin{align*}
A &\longrightarrow \omega^2 A\\
B &\longrightarrow \omega B
\end{align*}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = i d では A B ⟶ A ⟶ B ② ( α γ β α γ β ) = ρ 2 では A B ⟶ ω A ⟶ ω 2 B ③ ( α β β γ γ α ) = ρ 3 では A B ⟶ ω 2 A ⟶ ω B
すると、ラグランジュ・リゾルベント A , B A, B A , B i d id i d
ラグランジュ・リゾルベントの３乗に偶置換を作用させる 次に、ラグランジュ・リゾルベントの３乗 A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3 A , B A, B A , B ω \omega ω ω \omega ω 1 1 1 1 1 1
ω 3 = 1 ω 6 = ( ω 3 ‾ 1 ) 2 = 1 2 = 1 \begin{align*}
\omega^3&=1\\
\omega^6&=(\underset{1}{\underline{\omega^3}})^2=1^2=1
\end{align*} ω 3 ω 6 = 1 = ( 1 ω 3 ) 2 = 1 2 = 1
すると、A 3 A^3 A 3 B 3 B^3 B 3
➀ ( α β γ α β γ ) = i d では A 3 → A 3 B 3 → B 3 ② ( α β γ γ α β ) = ρ 2 では A 3 → ( ω A ) 3 = ω 3 ‾ 1 A 3 = 1 ⋅ A 3 = A 3 B 3 → ( ω 2 B ) 3 = ( ω 2 ) 3 B 3 = ω 6 ‾ 1 B 3 = 1 ⋅ B 3 = B 3 ③ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 では A 3 → ( ω 2 A ) 3 = ( ω 2 ) 3 A 3 = ω 6 ‾ 1 A 3 = 1 ⋅ A 3 = A 3 B 3 → ( ω B ) 3 = ω 3 ‾ 1 B 3 = 1 ⋅ B 3 = B 3 \begin{align*}
&\begin{alignat*}{2}
&➀\hspace{5pt}\dbinom{\alpha \beta \gamma}{\alpha \beta \gamma}=id\hspace{5pt}では & A^3&\rightarrow A^3\\
& & B^3&\rightarrow B^3
\end{alignat*}\\
\\
&\begin{alignat*}{2}
&②\hspace{5pt}\dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha \beta}=\rho_2\hspace{5pt}では & A^3\rightarrow &\,(\omega A)^3\\[-4pt]
& & =&\,\,\underset{1}{\underline{\omega^3}}A^3\\
& & =&\,1\cdot A^3=A^3\\[5pt]
& & B^3\rightarrow&\,(\omega^2B)^3\\
& & =&\,\,(\omega^2)^3B^3\\
& & =&\,\,\underset{1}{\underline{\omega^6}}B^3\\
& & =&\,\,1\cdot B^3=B^3
\end{alignat*}\\
\\
&\begin{alignat*}{2}
&③\hspace{5pt}\dbinom{\alpha \beta \gamma}{\beta \gamma \alpha}=\rho_3\hspace{5pt}では & A^3\rightarrow&\,(\omega^2 A)^3\\[-4pt]
& & =&\,\,(\omega^2)^3A^3\\
& & =&\,\,\underset{1}{\underline{\omega^6}}A^3\\
& & =&\,\,1\cdot A^3=A^3\\[5pt]
& & B^3\rightarrow&\,(\omega B)^3\\
& & =&\,\,\underset{1}{\underline{\omega^3}}B^3\\
& & =&\,\,1\cdot B^3=B^3
\end{alignat*}
\end{align*} ➀ ( α β γ α β γ ) = i d では A 3 B 3 → A 3 → B 3 ② ( γ α β α β γ ) = ρ 2 では A 3 → = = B 3 → = = = ( ω A ) 3 1 ω 3 A 3 1 ⋅ A 3 = A 3 ( ω 2 B ) 3 ( ω 2 ) 3 B 3 1 ω 6 B 3 1 ⋅ B 3 = B 3 ③ ( β γ α α β γ ) = ρ 3 では A 3 → = = = B 3 → = = ( ω 2 A ) 3 ( ω 2 ) 3 A 3 1 ω 6 A 3 1 ⋅ A 3 = A 3 ( ω B ) 3 1 ω 3 B 3 1 ⋅ B 3 = B 3
まとめると、A 3 , B 3 A^3, B^3 A 3 , B 3 i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3
➀ ( α β γ α β γ ) = i d ② ( α β γ γ α β ) = ρ 2 ③ ( α β γ β γ α ) = ρ 3 } では A 3 ⟶ A 3 B 3 ⟶ B 3 変化しない \begin{rcases}
➀\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\alpha & \beta & \gamma
\end{pmatrix}=id\hspace{5pt}\\
\\
②\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\gamma & \alpha & \beta
\end{pmatrix}=\rho_2\hspace{5pt}\\
\\
③\hspace{5pt}
\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma\\
\beta & \gamma & \alpha
\end{pmatrix}=\rho_3\hspace{5pt}
\end{rcases}
\hspace{8pt}では\hspace{8pt}
\begin{align*}
&A^3 \longrightarrow A^3\\
&B^3 \longrightarrow B^3\\
&\boldsymbol{変化しない}
\end{align*} ➀ ( α α β β γ γ ) = i d ② ( α γ β α γ β ) = ρ 2 ③ ( α β β γ γ α ) = ρ 3 ⎭ ⎬ ⎫ では A 3 ⟶ A 3 B 3 ⟶ B 3 変化しない
対称性が恒等置換に破壊されたこと この結果を対称性という観点でとらえると、A 3 A^3 A 3 i d , ρ 1 , ρ 2 id, \rho_1, \rho_2 i d , ρ 1 , ρ 2 X 3 X_3 X 3
X 3 対称性は同じ ↕ A 3 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↕ 対称性は同じ ( ∗ 3 ) 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&\hspace{5pt}X_3\\
{\small \bm{対称性は同じ}}\updownarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}A^3
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\
\\[-5pt]
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\updownarrow {\small \bm{対称性は同じ}} (*3)\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3
\end{align*}
\end{align*} 対称性は同じ ↕ X 3 A 3 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↕ 対称性は同じ ( ∗ 3 ) 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3
しかし、A 3 A^3 A 3 A A A i d id i d ρ 1 , ρ 2 \rho_1, \rho_2 ρ 1 , ρ 2 A 3 A^3 A 3 A A A i d id i d
A 3 ３乗根を取る ↓ A ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） ( ∗ 4 ) 恒等置換 i d \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&\hspace{6pt}A^3\\
{\small \bm{３乗根を取る}}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{6pt}A\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[-5pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）} (*4)}\\
&恒等置換 id\\
\end{align*}
\end{align*} ３乗根を取る ↓ A 3 A 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） ( ∗ 4 ) 恒等置換 i d
以上の結果と、先に述べた差積 X 3 X_3 X 3
( X 3 ) 2 平方根を取る ↓ X 3 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） ( ∗ 5 ) 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&(X_3)^2\\
{\small \bm{平方根を取る}}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}X_3\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[-5pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&３次置換 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）} (*5)}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
\end{align*}
\end{align*} 平方根を取る ↓ ( X 3 ) 2 X 3 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） ( ∗ 5 ) 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3
を、( ∗ 5 ) → ( ∗ 3 ) → ( ∗ 4 ) (*5) \rightarrow (*3) \rightarrow (*4) ( ∗ 5 ) → ( ∗ 3 ) → ( ∗ 4 ) i d id i d
( X 3 ) 2 平方根を取る ↓ X 3 対称性は同じ ↕ A 3 ３乗根を取る ↓ A ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↕ 対称性は同じ 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 恒等置換 i d \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&(X_3)^2\\
{\small \bm{平方根を取る}}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}X_3\\
{\small 対称性は同じ}\updownarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}A^3\\
{\small \bm{３乗根を取る}}\downarrow\hspace{-13pt}&\\
&\hspace{5pt}A
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\
\\[-6pt]
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\
\\[-5pt]
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\
\\[-5pt]
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&３次置換 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\updownarrow {\small 対称性は同じ}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\small \bm{置換の縮小（対称性の破壊）}}\\
&恒等置換 id\\
\end{align*}
\end{align*} 平方根を取る ↓ 対称性は同じ ↕ ３乗根を取る ↓ ( X 3 ) 2 X 3 A 3 A 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↕ 対称性は同じ 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小（対称性の破壊） 恒等置換 i d
対称性の破壊を体の拡大と関連付ける 次に体の理論に入ります。対称性が i d id i d
差積の添加による体の拡大 ３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d Q 3 Q_3 Q 3
Q 3 = Q_3=\hspace{-4pt} Q 3 = a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d
それに、1 1 1 1 1 1 ω \omega ω Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) ω \omega ω ω \omega ω Q 3 Q_3 Q 3
Q 3 ( ω ) = Q_3(\omega)=\hspace{-4pt} Q 3 ( ω ) = a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d ω \omega ω
この Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) Q 2 Q_2 Q 2 ω \omega ω Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) （注２） 。
Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3
次に、３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ X 3 X_3 X 3
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) \begin{align*}
X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
すると、差積の２乗( X 3 ) 2 = { ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) } 2 (X_3)^2={\{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\}}^2 ( X 3 ) 2 = {( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )} 2 Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d ω \omega ω
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) \begin{align*}
X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)
\end{align*} X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α )
は対称式ではないので、Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω )
そこで、この差積 X 3 X_3 X 3 Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 )
Q 3 ( ω , X 3 ) = Q_3(\omega, X_3)=\hspace{-4pt} Q 3 ( ω , X 3 ) = a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d X 3 X_3 X 3 ω \omega ω
添加した X 3 X_3 X 3 Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 )
すると、体が拡大するにつれて、その対称性（式を変化させない置換）は対称式（３次置換）から偶置換シンメトリー（偶置換）に破壊されています。
Q 3 ( ω ) X 3 を添加 （体の拡大） ↓ Q 3 ( ω , X 3 ) ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小 （対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&Q_3(\omega)\\
{\footnotesize X_3 を添加 \atop（体の拡大）}\downarrow\hspace{-20pt}&\\
&Q_3(\omega, X_3)\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[5pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&３次置換 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\footnotesize 置換の縮小 \atop（対称性の破壊）}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
\end{align*}
\end{align*} （体の拡大） X 3 を添加 ↓ Q 3 ( ω ) Q 3 ( ω , X 3 ) 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ （対称性の破壊） 置換の縮小 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3
ここまでは、２次方程式と同様の議論です。２次方程式の場合は、差積の添加による体の拡大で、解の公式が実現できました（本シリーズ (36)）。
（復習）
差積 X 2 = α − β X_2=\alpha-\beta X 2 = α − β
Q 2 X 2 を添加 （体の拡大） ↓ Q 2 ( X 2 ) ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ２次置換 i d , ρ ↓ 置換の縮小 （対称性の破壊） 恒等置換 i d \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&Q_2\\
{\footnotesize X_2 を添加 \atop（体の拡大）}\downarrow\hspace{-8pt}&\\
&Q_2(X_2)\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[5pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&２次置換 id, \rho\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\footnotesize 置換の縮小 \atop（対称性の破壊）}\\
&恒等置換 id\\
\end{align*}
\end{align*} （体の拡大） X 2 を添加 ↓ Q 2 Q 2 ( X 2 ) 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ２次置換 i d , ρ ↓ （対称性の破壊） 置換の縮小 恒等置換 i d
３次方程式の場合はこれで終わりではなく、ラグランジュ・リゾルベントA = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ
ラグランジュ・リゾルベントの添加による体の拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) A 3 A^3 A 3 Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) A 3 A^3 A 3 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d X 3 X_3 X 3 ω \omega ω A A A Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) A A A i d id i d ρ 2 \rho_2 ρ 2 ρ 3 \rho_3 ρ 3 A A A
そこで、A A A Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A )
Q 3 ( ω , X 3 , A ) = Q_3(\omega, X_3, A)=\hspace{-4pt} Q 3 ( ω , X 3 , A ) = a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d ω \omega ω X 3 X_3 X 3 A A A
添加した A A A i d id i d Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A ) i d id i d
すると、体が拡大するにつれて、その対称性は→ \rightarrow → → \rightarrow → i d id i d Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A )
これまでの「累乗根の添加による体の拡大」と「対称性の破壊（式を変化させない置換の縮小）」についてまとめると、次のようになります。
Q 3 ( ω ) x 3 を添加 （体の拡大） ↓ Q 3 ( ω , X 3 ) A を添加 （体の拡大） ↓ Q 3 ( ω , X 3 , A ) ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ↔ 変化させない置換 対応 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ 置換の縮小 （対称性の破壊） 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ 置換の縮小 （対称性の破壊） 恒等置換 i d \begin{align*}
\\[-14pt]
\begin{align*}
&Q_3(\omega)\\
{\footnotesize x_3 を添加 \atop（体の拡大）}\downarrow\hspace{-22pt}&\\
&Q_3(\omega, X_3)\\
{\footnotesize A を添加 \atop（体の拡大）}\downarrow\hspace{-22pt}&\\
&Q_3(\omega, X_3, A)\\
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[1pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[3pt]
\\
\xleftrightarrow[{変化させない置換}]{対応}\\[5pt]
\end{align*}
\hspace{5pt}
\begin{align*}
&３次置換 id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\footnotesize 置換の縮小 \atop（対称性の破壊）}\\
&偶置換 id, \rho_2, \rho_3\\
&\hspace{10pt}\downarrow {\footnotesize 置換の縮小 \atop（対称性の破壊）}\\
&恒等置換 id
\end{align*}
\end{align*} （体の拡大） x 3 を添加 ↓ （体の拡大） A を添加 ↓ Q 3 ( ω ) Q 3 ( ω , X 3 ) Q 3 ( ω , X 3 , A ) 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 対応 変化させない置換 ３次置換 i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 ↓ （対称性の破壊） 置換の縮小 偶置換 i d , ρ 2 , ρ 3 ↓ （対称性の破壊） 置換の縮小 恒等置換 i d
次に、ガロアによる群の理論（ガロア対応や可解群）に入ります。これまでの体の拡大を群と結び付けます。
３次対称群のガロア対応 ここではガロアによる群の理論、つまり、３次置換を要素とする３次対称群（本シリーズ (28)）S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 }
差積と巡回群の同一構造 ここで、これまでの内容をまとめましょう。X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) τ 1 , τ 2 , τ 3 \tau_1, \tau_2, \tau_3 τ 1 , τ 2 , τ 3 − X 3 -X_3 − X 3 − 1 -1 − 1 τ 1 , τ 2 , τ 3 \tau_1, \tau_2, \tau_3 τ 1 , τ 2 , τ 3 − 1 -1 − 1 X 3 X_3 X 3 − X 3 -X_3 − X 3 τ 1 , τ 2 , τ 3 \tau_1, \tau_2, \tau_3 τ 1 , τ 2 , τ 3
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） − X 3 = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） − X 3 = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） ⋮ 巡回的に繰り返される \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small \tau_1, \tau_2, \tau_3 を作用（-1 倍）}\\
-X_3&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small \tau_1, \tau_2, \tau_3 を作用（-1 倍）}\\
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small \tau_1, \tau_2, \tau_3 を作用（-1 倍）}\\
-X_3&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small \tau_1, \tau_2, \tau_3 を作用（-1 倍）}\\
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small \tau_1, \tau_2, \tau_3 を作用（-1 倍）}\\
&\hspace{6pt}\vdots {\small 巡回的に繰り返される}
\end{align*} X 3 − X 3 X 3 − X 3 X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ τ 1 , τ 2 , τ 3 を作用（ − 1 倍） ⋮ 巡回的に繰り返される
また、X 3 X_3 X 3 − X 3 -X_3 − X 3 i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3
X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ i d , ρ 2 , ρ 3 を作用 X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) （変化しない） \begin{align*}
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small id, \rho_2, \rho_3 を作用}\\
X_3&=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) {\small（変化しない）}
\end{align*} X 3 X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ i d , ρ 2 , ρ 3 を作用 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) （変化しない）
− X 2 = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ i d , ρ 2 , ρ 3 を作用 − X 2 = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) （変化しない） \begin{align*}
-X_2&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)\\
&\,\downarrow {\small id, \rho_2, \rho_3 を作用}\\
-X_2&=-(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) {\small（変化しない）}
\end{align*} − X 2 − X 2 = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) ↓ i d , ρ 2 , ρ 3 を作用 = − ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) （変化しない）
以上の結果を図示すると、次のように表せます。
（図１）
これと、３次対称群S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } τ 1 N \tau_1N τ 1 N { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ \{idN, \tau_1N\}=\langle\tau_1N\rangle { i d N , τ 1 N } = ⟨ τ 1 N ⟩ N N N N N N N N N （注３） 。
この巡回群 { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N }
後 先 ∘ i d N τ 1 N ‾ ~ i d N ‾ i d N τ 1 N ‾ τ 1 N ~ τ 1 N i d N ~ \def\arraystretch{1.5}
\hspace{44pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
\circ & idN & \utilde{\underline{\tau_1N}}\\ \hline\hline
\underline{idN} & idN & \underline{\tau_1N}\\ \hline
\utilde{\tau_1N} & \tau_1N & \utilde{idN}
\end{array} 後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N
これよりi d N ∘ τ 1 N = τ 1 N id N \circ \tau_1N=\tau_1N i d N ∘ τ 1 N = τ 1 N τ 1 N ∘ τ 1 N = i d N \tau_1N \circ \tau_1N=id N τ 1 N ∘ τ 1 N = i d N i d N id N i d N τ 1 N \tau_1N τ 1 N τ 1 N \tau_1N τ 1 N τ 1 N \tau_1N τ 1 N { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } τ 1 N \tau_1N τ 1 N
i d N ↓ τ 1 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N を作用 i d N ↓ τ 1 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N を作用 i d N ↓ τ 1 N を作用 ⋮ 巡回的に繰り返される \begin{align*}
&idN\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N を作用}\\
&\tau_1N\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N を作用}\\
&idN\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N を作用}\\
&\tau_1N\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N を作用}\\
&idN\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N を作用}\\
&\hspace{6pt}\vdots {\small 巡回的に繰り返される}
\end{align*} i d N ↓ τ 1 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N を作用 i d N ↓ τ 1 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N を作用 i d N ↓ τ 1 N を作用 ⋮ 巡回的に繰り返される
ここでτ 1 N = τ 2 N = τ 3 N \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N τ 1 N \tau_1N τ 1 N τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N
i d N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 i d N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 i d N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 ⋮ 巡回的に繰り返される \begin{align*}
&idN\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N を作用}\\
&\tau_1N\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N を作用}\\
&idN\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N を作用}\\
&\tau_1N\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N を作用}\\
&idN\\
&\,\downarrow {\small \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N を作用}\\
&\hspace{6pt}\vdots {\small 巡回的に繰り返される}
\end{align*} i d N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 i d N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 τ 1 N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 i d N ↓ τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N を作用 ⋮ 巡回的に繰り返される
また
後 先 ∘ i d N ‾ ~ τ 1 N i d N ‾ i d N ‾ τ 1 N τ 1 N ~ τ 1 N ~ i d N \def\arraystretch{1.5}
\hspace{44pt}後\\
\raisebox{-10pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c}
\circ & \utilde{\underline{idN}} & \tau_1N\\ \hline\hline
\underline{idN} & \underline{idN} & \tau_1N\\ \hline
\utilde{\tau_1N} & \utilde{\tau_1 N} & idN
\end{array} 後 先 ∘ i d N τ 1 N i d N i d N τ 1 N τ 1 N τ 1 N i d N
よりi d N ∘ i d N = i d N idN \circ idN=idN i d N ∘ i d N = i d N τ 1 N ∘ i d N = τ 1 N \tau_1N \circ idN=\tau_1N τ 1 N ∘ i d N = τ 1 N i d N idN i d N τ 1 N \tau_1N τ 1 N i d N idN i d N i d N idN i d N
i d N ↓ i d N を作用 i d N （変化しない） τ 1 N ↓ i d N を作用 τ 1 N （変化しない） \begin{align*}
&\begin{align*}
&idN\\
&\,\downarrow {\small idN を作用}\\
&idN {\small（変化しない）}
\end{align*}
\hspace{10pt}
&\begin{align*}
&\tau_1N\\
&\,\downarrow {\small idN を作用}\\
&\tau_1N {\small（変化しない）}
\end{align*}
\end{align*} i d N ↓ i d N を作用 i d N （変化しない） τ 1 N ↓ i d N を作用 τ 1 N （変化しない）
ここでi d N = ρ 2 N = ρ 3 N idN=\rho_2N=\rho_3N i d N = ρ 2 N = ρ 3 N i d N idN i d N i d N , ρ 2 N , ρ 3 N idN, \rho_2N, \rho_3N i d N , ρ 2 N , ρ 3 N
i d N ↓ i d N , ρ 2 N , ρ 3 N を作用 i d N （変化しない） τ 1 N ↓ i d N , ρ 2 N , ρ 3 N を作用 τ 1 N （変化しない） \begin{align*}
&\begin{align*}
&idN\\
&\,\downarrow {\small idN, \rho_2N, \rho_3N を作用}\\
&idN {\small（変化しない）}
\end{align*}
\hspace{10pt}
&\begin{align*}
&\tau_1N\\
&\,\downarrow {\small idN, \rho_2N, \rho_3N を作用}\\
&\tau_1N {\small（変化しない）}
\end{align*}
\end{align*} i d N ↓ i d N , ρ 2 N , ρ 3 N を作用 i d N （変化しない） τ 1 N ↓ i d N , ρ 2 N , ρ 3 N を作用 τ 1 N （変化しない）
以上の結果を図示すると、次のように表せます。
（図２）
（図１） と（図２） を見比べると、２次方程式の解の差積X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N }
＜ X 3 \bm{X_3} X 3 について＞
（図１）
↕ \hspace{52pt}\updownarrow ↕ 同じ巡回構造
＜ { i d N , τ 1 N } \bm{\{idN, \tau_1N\}} { idN , τ 1 N } について＞
（図２）
さらに、等しい剰余類i d N = ρ 2 N = ρ 3 N idN=\rho_2N=\rho_3N i d N = ρ 2 N = ρ 3 N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3 i d id i d i d N idN i d N τ 1 , τ 2 , τ 3 \tau_1, \tau_2, \tau_3 τ 1 , τ 2 , τ 3 τ 1 \tau_1 τ 1 τ 1 N \tau_1N τ 1 N
＜ X 3 \bm{X_3} X 3 について＞
↕ \hspace{60pt}\updownarrow ↕ 同じ巡回構造
＜ { i d N , τ 1 N } \bm{\{idN, \tau_1N\}} { idN , τ 1 N } について＞
なお、代表元は等しい剰余類のうちのどれを選んでもかまいません。i d N idN i d N ρ 2 N \rho_2N ρ 2 N τ 2 N \tau_2N τ 2 N τ 3 N \tau_3N τ 3 N
数学は、同じ構造のものを同一視して考えることがよくあります。X 3 X_3 X 3 { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } i d id i d i d N idN i d N X 3 X_3 X 3 − X 3 -X_3 − X 3 { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } τ 1 \tau_1 τ 1 τ 1 N \tau_1N τ 1 N X 3 X_3 X 3 { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } ( ∗ ) (*) ( ∗ )
「差積 X 3 X_3 X 3 ↔ \leftrightarrow ↔ { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } ⋯ ( ∗ ) \cdots (*) ⋯ ( ∗ )
ここまで、差積と巡回群の同一構造をみてきました。
ラグランジュ・リゾルベントと巡回群の同一構造 次に、ラグランジュ・リゾルベント A A A i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3 A = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ ρ 2 \rho_2 ρ 2 ω A \omega A ω A ω \omega ω
（再掲）
➁ ➁ ➁ ( α β γ γ α β ) = ρ 2 \dbinom{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha \beta}=\rho_2 ( γ α β α β γ ) = ρ 2 α \alpha α γ \gamma γ γ \gamma γ β \beta β β \beta β α \alpha α
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え γ + ω α + ω 2 β = ω 3 ‾ 1 γ + ω α + ω 2 β = ω ( ω 2 γ + α + ω β ) = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A ⇒ ω 倍に変化 \begin{align*}
A=\,&\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\hspace{-2pt}\downarrow\hspace{20pt}\downarrow\hspace{24pt}\downarrow {\small 置き換え}\\
&\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta\\
=\,&\underset{1}{\underline{\omega^3}}\,\gamma+\omega\alpha+\omega^2\beta\\
=\,&\omega(\omega^2\gamma+\alpha+\omega\beta)\\
=\,&\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)=\omega A \Rightarrow {\small \omega 倍に変化}
\end{align*} A = = = = α + ω β + ω 2 γ ↓ ↓ ↓ 置き換え γ + ω α + ω 2 β 1 ω 3 γ + ω α + ω 2 β ω ( ω 2 γ + α + ω β ) ω ( α + ω β + ω 2 γ ) = ω A ⇒ ω 倍に変化
すると、もう一度 ρ 2 \rho_2 ρ 2 ω 2 A \omega^2 A ω 2 A ρ 2 \rho_2 ρ 2 A A A ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1 A A A ω A \omega A ω A ω 2 A \omega^2A ω 2 A ρ 2 \rho_2 ρ 2 ω \omega ω 1 1 1 ω 3 = 1 \omega^3=1 ω 3 = 1
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） ω A = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） ω 2 A = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） ω A = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） ω 2 A = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） ⋮ 巡回的に繰り返される \begin{align*}
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
\omega A&=\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
\omega^2A&=\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
\omega A&=\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
\omega^2A&=\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\,\downarrow {\small \rho_2 を作用（\omega 倍）}\\
&\hspace{6pt}\vdots {\small 巡回的に繰り返される}
\end{align*} A ω A ω 2 A A ω A ω 2 A A = α + ω β + ω 2 γ ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） = α + ω β + ω 2 γ ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） = α + ω β + ω 2 γ ↓ ρ 2 を作用（ ω 倍） ⋮ 巡回的に繰り返される
また、A A A ω A \omega A ω A ω 2 A \omega^2A ω 2 A i d id i d
A = α + ω β + ω 2 γ ↓ i d を作用 A = α + ω β + ω 2 γ （変化しない） ω A = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ i d を作用 ω A = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) （変化しない） ω 2 A = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ i d を作用 ω 2 A = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) （変化しない） \begin{align*}
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma\\
&\,\downarrow {\small id を作用}\\
A&=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma {\small（変化しない）}\\[18pt]
\omega A&=\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
&\,\downarrow {\small id を作用}\\
\omega A&=\omega(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma) {\small（変化しない）}\\[18pt]
\omega^2A&=\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma)\\
&\,\downarrow {\small id を作用}\\
\omega^2A&=\omega^2(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma) {\small（変化しない）}
\end{align*} A A ω A ω A ω 2 A ω 2 A = α + ω β + ω 2 γ ↓ i d を作用 = α + ω β + ω 2 γ （変化しない） = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ i d を作用 = ω ( α + ω β + ω 2 γ ) （変化しない） = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) ↓ i d を作用 = ω 2 ( α + ω β + ω 2 γ ) （変化しない）
以上の結果を図示すると、次のように表せます。
（図３）
これと、S 3 S_3 S 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } I = { i d } I=\{id\} I = { i d } { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } = ⟨ ρ 2 I ⟩ \{idI, \rho_2I, \rho_3I\}=\langle\rho_2I\rangle { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } = ⟨ ρ 2 I ⟩
この巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
後 先 ∘ i d I ρ 2 I ‾ ~ undefined ρ 3 I i d I ‾ i d I ρ 2 I ‾ ρ 3 I ρ 2 I ~ ρ 2 I ρ 3 I ~ i d I ρ 3 I undefined ρ 3 I i d I undefined ρ 2 I \def\arraystretch{1.5}
\hspace{41pt}後\\
\raisebox{-15pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
\circ & idI & \underlinesegment{\utilde{\underline{\rho_2I}}} & \rho_3I\\ \hline\hline
\underline{idI} & idI & \underline{\rho_2I} & \rho_3I\\ \hline
\utilde{\rho_2I} & \rho_2I & \utilde{\rho_3I} & idI\\ \hline
\underlinesegment{\rho_3I} & \rho_3I & \underlinesegment{idI} & \rho_2I
\end{array} 後 先 ∘ i d I ρ 2 I ρ 3 I i d I i d I ρ 2 I ρ 3 I ρ 2 I ρ 2 I ρ 3 I i d I ρ 3 I ρ 3 I i d I ρ 2 I
これよりi d I ∘ ρ 2 I = ρ 2 I id I \circ \rho_2I=\rho_2I i d I ∘ ρ 2 I = ρ 2 I ρ 2 I ∘ ρ 2 I = ρ 3 I \rho_2I \circ \rho_2I=\rho_3I ρ 2 I ∘ ρ 2 I = ρ 3 I ρ 3 I ∘ ρ 2 I = i d I \rho_3I \circ \rho_2I=id I ρ 3 I ∘ ρ 2 I = i d I undefined \underlinesegment{\hspace{5pt}} i d I id I i d I ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I ρ 3 I \rho_3I ρ 3 I ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I
i d I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 2 I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 3 I ↓ ρ 2 I を作用 i d I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 2 I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 3 I ↓ ρ 2 I を作用 i d I ↓ ρ 2 I を作用 ⋮ 巡回的に繰り返される \begin{align*}
&idI\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&\rho_2I\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&\rho_3I\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&idI\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&\rho_2I\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&\rho_3I\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&idI\\
&\,\downarrow {\small \rho_2I を作用}\\
&\hspace{6pt}\vdots {\small 巡回的に繰り返される}
\end{align*} i d I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 2 I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 3 I ↓ ρ 2 I を作用 i d I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 2 I ↓ ρ 2 I を作用 ρ 3 I ↓ ρ 2 I を作用 i d I ↓ ρ 2 I を作用 ⋮ 巡回的に繰り返される
また
後 先 ∘ i d I ‾ ~ undefined ρ 2 I ρ 3 I i d I ‾ i d I ‾ ρ 2 I ρ 3 I ρ 2 I ~ ρ 2 I ~ ρ 3 I i d I ρ 3 I undefined ρ 3 I undefined i d I ρ 2 I \def\arraystretch{1.5}
\hspace{41pt}後\\
\raisebox{-15pt}{先}\hspace{4pt}
\begin{array}{c||c|c|c}
\circ & \underlinesegment{\utilde{\underline{idI}}} & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline\hline
\underline{idI} & \underline{idI} & \rho_2I & \rho_3I\\ \hline
\utilde{\rho_2I} & \utilde{\rho_2I} & \rho_3I & idI\\ \hline
\underlinesegment{\rho_3I} & \underlinesegment{\rho_3I} & idI & \rho_2I
\end{array} 後 先 ∘ i d I ρ 2 I ρ 3 I i d I i d I ρ 2 I ρ 3 I ρ 2 I ρ 2 I ρ 3 I i d I ρ 3 I ρ 3 I i d I ρ 2 I
よりi d I ∘ i d I = i d I idI \circ idI=idI i d I ∘ i d I = i d I ρ 2 I ∘ i d I = ρ 2 I \rho_2I \circ idI=\rho_2I ρ 2 I ∘ i d I = ρ 2 I ρ 3 I ∘ i d I = ρ 3 I \rho_3I \circ idI=\rho_3I ρ 3 I ∘ i d I = ρ 3 I undefined \underlinesegment{\hspace{5pt}} i d I , ρ 2 I , ρ 3 I idI, \rho_2I, \rho_3I i d I , ρ 2 I , ρ 3 I i d I idI i d I i d I idI i d I
i d I ↓ i d I を作用 i d I （変化しない） ρ 2 I ↓ i d I を作用 ρ 2 I （変化しない） ρ 3 I ↓ i d I を作用 ρ 3 I （変化しない） \begin{align*}
&\begin{align*}
&idI\\
&\,\downarrow {\small idI を作用}\\
&idI {\small（変化しない）}
\end{align*}
\hspace{-4pt}
&\begin{align*}
&\rho_2I\\
&\,\downarrow {\small idI を作用}\\
&\rho_2I {\small（変化しない）}
\end{align*}
\hspace{3pt}
&\begin{align*}
&\rho_3I\\
&\,\downarrow {\small idI を作用}\\
&\rho_3I {\small（変化しない）}
\end{align*}
\end{align*} i d I ↓ i d I を作用 i d I （変化しない） ρ 2 I ↓ i d I を作用 ρ 2 I （変化しない） ρ 3 I ↓ i d I を作用 ρ 3 I （変化しない）
以上の結果を図示すると、次のように表せます。
（図４）
すると、ラグランジュ・リゾルベントA = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ { i d I , ρ 1 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_1I, \rho_3I\} { i d I , ρ 1 I , ρ 3 I }
＜ A \bm{A} A について＞
（図３）
↕ \hspace{59pt}\updownarrow ↕ 同じ巡回構造
＜ { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \bm{\{idI, \rho_2I, \rho_3I\}} { idI , ρ 2 I , ρ 3 I } について＞
（図４）
ここでも、同じ構造のものを同一視します。A A A ρ 2 \rho_2 ρ 2 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } ρ 2 I \rho_2I ρ 2 I A A A { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } ( ∗ ∗ ) (**) ( ∗ ∗ )
「差積 A A A ↔ \leftrightarrow ↔ { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } ⋯ ( ∗ ∗ ) \cdots (**) ⋯ ( ∗ ∗ )
次に、「体の拡大」と「群の縮小」の対応関係をみていきます。
「体の拡大」と「群の縮小」の対応 体 Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) （注２） 。よって、３次置換を作用させても Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω )
３次置換をすべて集めた集合は、３次対称群S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\} S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) S 3 S_3 S 3
体 Q 3 ( ω ) ↔ 対応 群 S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 } \begin{align*}
体 Q_3(\omega) \xleftrightarrow[対応]{} 群 S_3=\{id, \rho_2, \rho_3, \tau_1, \tau_2, \tau_3\}
\end{align*} 体 Q 3 ( ω ) 対応 群 S 3 = { i d , ρ 2 , ρ 3 , τ 1 , τ 2 , τ 3 }
さらに、Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) X 3 X_3 X 3 i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3 Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) i d , ρ 2 , ρ 3 id, \rho_2, \rho_3 i d , ρ 2 , ρ 3
偶置換のみを要素とする集合は、３次対称群 S 3 S_3 S 3 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) N N N
体 Q 3 ( ω , X 3 ) ↔ 対応 正規部分群 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } \begin{align*}
体 Q_3(\omega, X_3) \xleftrightarrow[対応]{} 正規部分群 N=\{id, \rho_2, \rho_3\}
\end{align*} 体 Q 3 ( ω , X 3 ) 対応 正規部分群 N = { i d , ρ 2 , ρ 3 }
さらに、Q 3 ( ω , X 3 ) Q_3(\omega, X_3) Q 3 ( ω , X 3 ) A = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A ) A A A i d id i d ρ 2 , ρ 3 \rho_2, \rho_3 ρ 2 , ρ 3 Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A ) i d id i d
恒等置換のみを要素とする集合は、N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } I = { i d } I=\{id\} I = { i d } Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A ) I = { i d } I=\{id\} I = { i d }
体 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ↔ 対応 正規部分群 I = { i d } \begin{align*}
体 Q_3(\omega, X_3, A) \xleftrightarrow[対応]{} 正規部分群 I=\{id\}
\end{align*} 体 Q 3 ( ω , X 3 , A ) 対応 正規部分群 I = { i d }
これにより、「体の拡大」と「群の縮小」という、次のような対応関係が得られます。
＜体の拡大＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 \begin{align*}
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3)}\hspace{-4pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-4pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3, A)}\\[-3pt]
&\hspace{17pt}\Updownarrow\hspace{7pt}{\footnotesize 対応}\hspace{7pt}\Updownarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{4pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-8pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I
体が拡大するのに対応して群は縮小します。「拡大」と「縮小」で逆の関係になります。( ∗ ) (*) ( ∗ ) ( ∗ ∗ ) (**) ( ∗ ∗ )
（再掲）
「差積 X 3 X_3 X 3 ↔ \leftrightarrow ↔ { i d N , τ 1 N } \{idN, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } ⋯ ( ∗ ) \cdots (*) ⋯ ( ∗ )
「ラグランジュ・リゾルベント A A A ↔ \leftrightarrow ↔ { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } ⋯ ( ∗ ∗ ) \cdots (**) ⋯ ( ∗ ∗ )
「添加」と「巡回群」の対応 この ( ∗ ) (*) ( ∗ ) ( ∗ ∗ ) (**) ( ∗ ∗ ) ガロア対応 といいます（下図）。
X 3 を添加 ( ∗ ) A を添加 ( ∗ ∗ ) ↓ ↓ ＜体の拡大＞ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ↑ ↑ { i d N , τ 1 N } が巡回群 ( ∗ ) { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } が巡回群 ( ∗ ∗ ) \begin{align*}
&\hspace{-2pt}{\footnotesize X_3 を添加 (*)}\hspace{2pt}{\footnotesize A を添加 (**)}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\downarrow\hspace{37pt}\downarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜体の拡大＞}}\hspace{10pt}&\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega)}\hspace{-2pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-5pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3)}\hspace{-4pt}\overset{\bm{拡大}}{\subset}\hspace{-4pt}{\scriptsize Q_3(\omega, X_3, A)}\\[-3pt]
&\hspace{17pt}\Updownarrow\hspace{7pt}{\footnotesize 対応}\hspace{7pt}\Updownarrow\\[-2pt]
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{4pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-8pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I}\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-4pt}{\footnotesize \{idN, \tau_1N\} \atop が巡回群 (*)}\hspace{2pt}{\footnotesize \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} \atop が巡回群 (**)}
\end{align*} ＜体の拡大＞ ＜群の縮小＞ X 3 を添加 ( ∗ ) A を添加 ( ∗∗ ) ↓ ↓ Q 3 ( ω ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 ) ⊂ 拡大 Q 3 ( ω , X 3 , A ) ⇕ 対応 ⇕ S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ↑ ↑ が巡回群 ( ∗ ) { i d N , τ 1 N } が巡回群 ( ∗ ∗ ) { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) X_3=(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) X 3 = ( α − β ) ( β − γ ) ( γ − α ) A = α + ω β + ω 2 γ A=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma A = α + ω β + ω 2 γ { i d N , τ 1 N } \{id N, \tau_1N\} { i d N , τ 1 N } { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } \{id I, \rho_2I, \rho_3I\} { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } Q 3 ( ω , X 3 , A ) Q_3(\omega, X_3, A) Q 3 ( ω , X 3 , A )
３次対称群が可解群となること すると、先ほどの３次対称群 S 3 S_3 S 3 ＜群の縮小＞ のみを抜き出しています。
＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 N S 3 の正規部分群 ⊃ 縮小 I N の正規部分群 ⋯ ( ∗ 4 ) ↑ ↑ { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I } が巡回群 \begin{align*}
{\small \bm{＜群の縮小＞}}\hspace{10pt}&S_3\hspace{4pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny S_3 の正規部分群}{N}\hspace{-8pt}\overset{\bm{縮小}}{\supset}\hspace{-8pt}\underset{\tiny N の正規部分群}{I} \cdots (*4)\\[-4pt]
&\hspace{17pt}\uparrow\hspace{37pt}\uparrow\\[-2pt]
&\hspace{-4pt}{\footnotesize \{idN, \tau_1N\} \atop が巡回群}\hspace{2pt}{\footnotesize \{idI, \rho_2I, \rho_3I\} \atop が巡回群}
\end{align*} ＜群の縮小＞ S 3 ⊃ 縮小 S 3 の正規部分群 N ⊃ 縮小 N の正規部分群 I ⋯ ( ∗ 4 ) ↑ ↑ が巡回群 { i d N , τ 1 N } が巡回群 { i d I , ρ 2 I , ρ 3 I }
このような、正規部分群による剰余類の集合（剰余群）が巡回群となるルールを保ちながらI = { i d } I=\{id\} I = { i d } 可解群 といいます。解の公式が存在するかどうかは可解群であるかどうかによります。すると S 3 S_3 S 3
S 3 S_3 S 3
となります。これが、３次方程式に解の公式が存在することの証明です。可解群かどうかという群の構造を考えれば、解の公式が存在するかどうかを判定できるのです。
４次方程式について ４次方程式については本シリーズでは解説していませんが、４次方程式の４つの解の置換を要素とする４次対称群 S 4 S_4 S 4
S 4 S_4 S 4
証明の方は専門書にゆずりたいと思います。３次方程式のときと同様の議論を辿っていきます。
５次方程式について いよいよ次の章で、５次以上の方程式に解の公式が存在しないことの証明を行います。証明すべき命題は「５次対称群 S 5 S_5 S 5
（続く）
（コメント） もう一度か二度推敲をしたかったですが、時間がいくらあっても終わらないので次の章に進みます。次は作成の一番難しい章になりそうです。
（注１）一般の３次方程式を考えること a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α 1 , β 1 , γ 1 \alpha_1, \beta_1, \gamma_1 α 1 , β 1 , γ 1 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 α 2 , β 2 , γ 2 \alpha_2, \beta_2, \gamma_2 α 2 , β 2 , γ 2
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ↓ ⇐ x = y − b 3 a と置く （チルンハウス変換） y 3 + p y + q = 0 \begin{align*}
ax^3+bx^2+cx+d&=0\\
&\hspace{-20pt}\downarrow \Leftarrow {\footnotesize x=y-\dfrac{b}{3a} と置く \atop（チルンハウス変換）}\\
y^3+py+q&=0
\end{align*} a x 3 + b x 2 + c x + d y 3 + p y + q = 0 ↓ ⇐ （チルンハウス変換） x = y − 3 a b と置く = 0
より、α 1 , β 1 , γ 1 \alpha_1, \beta_1, \gamma_1 α 1 , β 1 , γ 1 α 2 , β 2 , γ 2 \alpha_2, \beta_2, \gamma_2 α 2 , β 2 , γ 2 x = y − b 3 a x=y-\dfrac{b}{3a} x = y − 3 a b
α 1 = α 2 − b 3 a β 1 = β 2 − b 3 a γ 1 = γ 2 − b 3 a \begin{align*}
\alpha_1=\alpha_2-\dfrac{b}{3a}\\[8pt]
\beta_1=\beta_2-\dfrac{b}{3a}\\[8pt]
\gamma_1=\gamma_2-\dfrac{b}{3a}
\end{align*} α 1 = α 2 − 3 a b β 1 = β 2 − 3 a b γ 1 = γ 2 − 3 a b
という関係が成り立ちます。α 1 , β 1 , γ 1 \alpha_1, \beta_1, \gamma_1 α 1 , β 1 , γ 1 α 2 , β 2 , γ 2 \alpha_2, \beta_2, \gamma_2 α 2 , β 2 , γ 2 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y 3 + p y + q = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
（注２）Q(ω)とすべての対称式の集合が一致すること Q 3 ( ω ) = Q_3(\omega)=\hspace{-4pt} Q 3 ( ω ) = a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d ω \omega ω Q 3 Q_3 Q 3
体 Q 3 = すべての対称式の集合（定理 A ） \begin{align*}
体 Q_3= すべての対称式の集合（定理A）
\end{align*} 体 Q 3 = すべての対称式の集合（定理 A ）
厳密な証明ではなく、具体例をつかった形で簡単に述べます。イメージがつかめればよいと思います。なお、2 2 2 − 3 4 ω -\dfrac{3}{4}\omega − 4 3 ω ω \omega ω
この「定理A」の証明（集合が一致することの証明）には、以下の (case1) と (case2) の２つを証明する必要があります。
(case1) a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d ω \omega ω
「係数の式 → ならば \xrightarrow[ならば]{} ならば
および、その逆
(case2) ω \omega ω a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d ω \omega ω
「対称式 → ならば \xrightarrow[ならば]{} ならば
（証明のイメージ）
(case1) の簡単な証明 まずは、３変数の＜解と係数の関係＞ を復習します。
＜解と係数の関係＞
３次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ
α + β + γ = − b a α β γ = c a α β + β γ + γ α = − d a \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}\\
&\alpha\beta\gamma=\dfrac{c}{a}\\
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\dfrac{d}{a}
\end{align*} α + β + γ = − a b α β γ = a c α β + β γ + γ α = − a d
＊＊＊
文字を入れ替えても変化しない式を対称式といいますが、そのうち
α + β + γ α β γ α β + β γ + γ α \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha\beta\gamma\\
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha
\end{align*} α + β + γ α β γ α β + β γ + γ α
を３変数の基本対称式といいます。すると、この＜解と係数の関係＞ から、３変数の基本対称式は、すべて３次方程式の係数 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d
α + β + γ ‾ 基本対称式 = − b a α β γ ‾ 基本対称式 = c a α β + β γ + γ α ‾ 基本対称式 = − d a \begin{align*}
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha+\beta+\gamma}}=-\dfrac{b}{a}\\
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta\gamma}}=\dfrac{c}{a}\\
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}}=-\dfrac{d}{a}
\end{align*} 基本対称式 α + β + γ = − a b 基本対称式 α β γ = a c 基本対称式 α β + β γ + γ α = − a d
ここで、両辺を入れ替えて
− b a = α + β + γ c a = α β γ − d a = α β + β γ + γ α \begin{align*}
-\dfrac{b}{a}&=\alpha+\beta+\gamma\\[8pt]
\dfrac{c}{a}&=\alpha\beta\gamma\\[8pt]
-\dfrac{d}{a}&=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha
\end{align*} − a b a c − a d = α + β + γ = α β γ = α β + β γ + γ α
第１式と第３式の両辺にマイナスをかけて
b a = − ( α + β + γ ) c a = α β γ d a = − ( α β + β γ + γ α ) \begin{align*}
\dfrac{b}{a}&=-(\alpha+\beta+\gamma)\\[8pt]
\dfrac{c}{a}&=\alpha\beta\gamma\\[8pt]
\dfrac{d}{a}&=-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)
\end{align*} a b a c a d = − ( α + β + γ ) = α β γ = − ( α β + β γ + γ α )
さらに、両辺に a a a
b = − ( α + β + γ ) a ⋯ ➀ c = α β γ a ⋯ ➁ d = − ( α β + β γ + γ α ) a ⋯ ➂ \begin{alignat*}{2}
b&=-(\alpha+\beta+\gamma)a & &\cdots ➀\\
c&=\alpha\beta\gamma a & &\cdots ➁\\
d&=-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)a & &\cdots ➂
\end{alignat*} b c d = − ( α + β + γ ) a = α β γa = − ( α β + β γ + γ α ) a ⋯ ➀ ⋯ ➁ ⋯ ➂
すると、例えば a + b + c + d a+b+c+d a + b + c + d ➀ , ➁ , ➂ ➀, ➁, ➂ ➀ , ➁ , ➂
a + b + c + d = a − ( α + β + γ ) a + α β γ a − ( α β + β γ + γ α ) a = { 1 − ( α + β + γ ) + α β − ( α β + β γ + γ α ) } a \begin{align*}
&a+b+c+d\\
=&a-(\alpha+\beta+\gamma)a+\alpha\beta\gamma a-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)a\\
=&\{1-(\alpha+\beta+\gamma)+\alpha\beta-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\}a
\end{align*} = = a + b + c + d a − ( α + β + γ ) a + α β γa − ( α β + β γ + γ α ) a { 1 − ( α + β + γ ) + α β − ( α β + β γ + γ α )} a
と、基本対称式
α + β + γ α β γ α β + β γ + γ α \begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma\\
&\alpha\beta\gamma\\
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha
\end{align*} α + β + γ α β γ α β + β γ + γ α
と有理数 a a a a + b + c a+b+c a + b + c α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ a a a α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α , β , γ ω \omega ω Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω )
(case2) の簡単な証明
これには次の定理
＜対称式の基本定理＞
すべての対称式は、基本対称式の加減乗除で表すことができる
＊＊＊
を用います。＜対称式の基本定理＞ より、対称式はかならず基本対称式の加減乗除で表すことができます。すると、その基本対称式に＜解と係数の関係＞
α + β + γ ‾ 基本対称式 = − b a α β γ ‾ 基本対称式 = c a α β + β γ + γ α ‾ 基本対称式 = − d a \begin{align*}
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha+\beta+\gamma}}=-\dfrac{b}{a}\\
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta\gamma}}=\dfrac{c}{a}\\
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}}=-\dfrac{d}{a}
\end{align*} 基本対称式 α + β + γ = − a b 基本対称式 α β γ = a c 基本対称式 α β + β γ + γ α = − a d
を代入すれば、必ず３次方程式の係数 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d α 2 + β 2 + γ 2 \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 α 2 + β 2 + γ 2
( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α \begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha
\end{align*} ( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α
より、左右入れ替えて
α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α = ( α + β + γ ) 2 \begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)^2
\end{align*} α 2 + β 2 + γ 2 + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α = ( α + β + γ ) 2
2 α β + 2 β γ + 2 γ α 2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha 2 α β + 2 β γ + 2 γ α
α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − 2 α β − 2 β γ − 2 γ α = ( α + β + γ ‾ 基本対称式 ) 2 − 2 ( α β + β γ + γ α ‾ 基本対称式 ) \begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha\\
&=(\underset{基本対称式}{\underline{\alpha+\beta+\gamma}})^2-2(\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}})
\end{align*} α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − 2 α β − 2 β γ − 2 γ α = ( 基本対称式 α + β + γ ) 2 − 2 ( 基本対称式 α β + β γ + γ α )
と基本対称式の加減乗除で表されるので、これに先ほど導いた＜解と係数の関係＞
α + β + γ ‾ 基本対称式 = − b a α β γ ‾ 基本対称式 = c a α β + β γ + γ α ‾ 基本対称式 = − d a \begin{align*}
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha+\beta+\gamma}}=-\dfrac{b}{a}\\
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta\gamma}}=\dfrac{c}{a}\\
&\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}}=-\dfrac{d}{a}
\end{align*} 基本対称式 α + β + γ = − a b 基本対称式 α β γ = a c 基本対称式 α β + β γ + γ α = − a d
の第１式と第３式を代入すれば
α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − 2 α β − 2 β γ − 2 γ α = ( α + β + γ ‾ 基本対称式 ) 2 − 2 ( α β + β γ + γ α ‾ 基本対称式 ) = ( − b a ) 2 − 2 ( − d a ) = ( b a ) 2 + 2 ⋅ d a \begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2\alpha\beta-2\beta\gamma-2\gamma\alpha\\
&=(\underset{基本対称式}{\underline{\alpha+\beta+\gamma}})^2-2(\underset{基本対称式}{\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}})\\
&={\left(-\dfrac{b}{a}\right)}^2-2\left(-\dfrac{d}{a}\right)\\
&={\left(\dfrac{b}{a}\right)}^2+2\cdot\dfrac{d}{a}
\end{align*} α 2 + β 2 + γ 2 = ( α + β + γ ) 2 − 2 α β − 2 β γ − 2 γ α = ( 基本対称式 α + β + γ ) 2 − 2 ( 基本対称式 α β + β γ + γ α ) = ( − a b ) 2 − 2 ( − a d ) = ( a b ) 2 + 2 ⋅ a d
となり、これで３次方程式の係数 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d 2 2 2 対称式の基本定理 ）、さらにそれは３次方程式の係数 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d 解と係数の関係 ）、すべての対称式は集合 Q 3 ( ω ) Q_3(\omega) Q 3 ( ω ) (case1) と (case2) の両方が示されたので、これによって「定理A」が証明されました。
（注３）剰余類について若干の注意 確認のため、ここで正規部分群の定義を復習します（本シリーズ (30)）。
＜正規部分群の定義＞（復習） N N N G G G G G G g g g
g N = N g \begin{align*}
gN=Ng
\end{align*} g N = N g
を満たすとき、N N N G G G 正規部分群 』という。
＊＊＊
この定義により、正規部分群による左剰余類と右剰余類は等しくなります。
g N 左剰余類 = N g 右剰余類 ↑ 等しい \begin{gather*}
\underset{左剰余類}{gN}\hspace{-5pt}=\hspace{-5pt}\underset{右剰余類}{Ng}\\[-3pt]
\hspace{1pt}\uparrow\\[-5pt]
\hspace{1pt}{\footnotesize 等しい}
\end{gather*} 左剰余類 g N = 右剰余類 N g ↑ 等しい
N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } S 3 S_3 S 3 N N N N N N N N N N N N
また、N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } N=\{id, \rho_2, \rho_3\} N = { i d , ρ 2 , ρ 3 } i d N , ρ 2 N , ρ 3 N , τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N idN, \rho_2N, \rho_3N, \tau_1N, \tau_2N, \tau_3N i d N , ρ 2 N , ρ 3 N , τ 1 N , τ 2 N , τ 3 N i d N = ρ 2 N = ρ 3 N ( = { i d , ρ 2 , ρ 3 } ) idN=\rho_2N=\rho_3N(=\{id, \rho_2, \rho_3\}) i d N = ρ 2 N = ρ 3 N ( = { i d , ρ 2 , ρ 3 }) τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N ( = { τ 1 , τ 2 , τ 3 } ) \tau_1N=\tau_2N=\tau_3N(=\{\tau_1, \tau_2, \tau_3\}) τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N ( = { τ 1 , τ 2 , τ 3 }) i d id i d τ 1 \tau_1 τ 1 { i d N , τ 1 N } ⋯ ( ∗ 1 ) \{idN, \tau_1N\} \cdots (*1) { i d N , τ 1 N } ⋯ ( ∗ 1 ) i d ‾ N = ρ 2 N = ρ 3 N \underline{id}N=\rho_2N=\rho_3N i d N = ρ 2 N = ρ 3 N τ 1 ‾ N = τ 2 N = τ 3 N \underline{\tau_1}N=\tau_2N=\tau_3N τ 1 N = τ 2 N = τ 3 N { i d N , τ 2 N } ⋯ ( ∗ 2 ) \{idN, \tau_2N\} \cdots (*2) { i d N , τ 2 N } ⋯ ( ∗ 2 ) { ρ 2 N , τ 3 N } ⋯ ( ∗ 3 ) \{\rho_2N, \tau_3N\} \cdots (*3) { ρ 2 N , τ 3 N } ⋯ ( ∗ 3 ) ( ∗ 1 ) , ( ∗ 2 ) , ( ∗ 3 ) (*1), (*2), (*3) ( ∗ 1 ) , ( ∗ 2 ) , ( ∗ 3 )
（参考）各章の内容 （１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出1 1 1 ω \omega ω アーベルの証明 」の準備）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「偶置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。アーベルの証明 」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む（対称性の破壊）。⟶ \longrightarrow ⟶ アーベルの証明 」の解説①。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、構成可能な式の対称性が５次置換（対称式）から偶置換シンメトリーへと破壊されることを解説。アーベルの証明 」の解説②。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、偶置換と奇置換に分類する。アーベルの証明 」の解説➂。「すべての偶置換は３次巡回置換の積で表される」ことの解説。アーベルの証明 」の解説➃（最後）。「任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せる」ことによって、５次方程式には解の公式が存在しないことが証明されることの解説。累乗根の添加 」について重点解説。対称性の破壊 」について重点解説。対称性を恒等置換まで破壊 」することについて重点解説。最初に解の差積を添加して対称性を破壊すること 」は常套手段。「解の和と差の連立」 による２次方程式の解の公式の導出について。対称式ではない解の公式を基本対称式で表す 」ことのついて。定数 ω \bm{\omega} ω カルダノの方法 」を復習カルダノの方法 」と「対称性の破壊 」の関連について巡回置換 』から紐解く群 」について簡単に解説部分群 」について簡単に解説正規部分群 」について剰余群 ）になること{ 𝑖 𝑑 } \{𝑖𝑑\} { i d } 剰余群 ）になること巡回群 」について、および剰余群が巡回群になること体 」について解説可解群 」になることによって証明する
