3. Die philosophischen Grundlagen der Mathematik
So sehen wir denn auch, wie er in seinen ersten Schriften gerade diese als Musterbild aller Gewiheit verehrt, und zwar zunchst die Arithmetik. Die Zahl ist gewissermaen eine metaphysische Grundgestalt und die Arithmetik eine Art Statik des Universums, in der sich die Krfte der Dinge enthllen. Die Algebra ist daher auch nur eine Unterart jener allgemeinen kombinatorischen Kunst (s. oben unter Nr. 1), von deren Regeln sie darum auch fortwhrend Gebrauch macht. Allein je tiefer Leibniz, namentlich whrend seines vierjhrigen Pariser Aufenthaltes im Verkehr mit Huyghens, auch in andere Zweige der mathematischen Wissenschaft, z.B. die Geometrie, eindrang, desto mehr sah er ein, dass er gegen seinen eigenen Grundsatz der Zurckfhrung aller Begriffe auf ihre eigensten Elemente handle, wenn er die Geometrie der Arithmetik, die Figur der Zahl unterordne. So legt er ihr jetzt nicht mehr den arithmetischen Begriff der Gre, sondern einen neuen von der algebraischen Berechnungsart gnzlich verschiedenen Kalkul zugrunde: die Analysis der Lage, in der die Lageverhltnisse geradeswegs und unmittelbar zur Darstellung gebracht, die Figuren, auch ohne wirklich gezeichnet zu werden, symbolisch ausgedrckt werden. Das einfachste geometrische Element aber ist der Punkt. Und so stellt sich uns jedes geometrische Gebilde zunchst als ein Beisammen von Punkten dar, die durch eine gemeinsame Regel vereint und zusammengehalten sind. Den Entwurf einer solchen neuen geometrischen Charakteristik bersandte er Huyghens im September 1679. - Auch ohne dass wir uns weiter (wozu hier nicht der Platz) auf mathematische Einzelanwendungen einlassen, lt sich Leibniz' allgemeine Methode der Zurckfhrung alles Mathematischen auf letzte gemeinsame philosophische Grundlagen gut verstehen aus der seinen letzten Lebensjahren entstammenden und trotz ihres Titels allgemeinverstndlichen Schrift Metaphysische Anfangsgrnde der Mathematik. Hier werden alle wichtigeren mathematischen Grundbegriffe in einer Reihe klarer und knapper Definitionen bestimmt, von denen wir die philosophisch interessantesten hervorheben. Die Zeit wird erklrt als die Ordnung des Nicht-zugleich-Existierenden, folglich aller Vernderungen; ihre Gre heit Dauer. Der Raum ist die Ordnung des Koexistierenden, seine Gre heit Ausdehnung. Die Quantitt oder Gre lt sich nur bei gleichzeitigem Beisammensein bezw. gleichzeitiger Wahrnehmung verschiedener Dinge erkennen, die Qualitt dagegen auch an einzelnen Dingen, die man fr sich genommen betrachtet. Was dieselbe Quantitt besitzt, ist gleich; was dieselbe Qualitt, hnlich. In derselben Weise werden weiter die Begriffe der Bewegung, des Weges, der Stelle, der Linie, der Flche, der Dimension, des Punktes, der Ebene, des absoluten Raumes u.a.m. erklrt. Durch kontinuierliche Vernderung knnen Augenblick und Zeit, Punkt und Raum ineinander bergehen.
Damit ist ein neues wichtiges, von Leibniz, wie er sich rhmt, zuerst aufgestelltes Prinzip genannt: das schon in einer Sonderabhandlung von 1687 von ihm behandelte Prinzip der Kontinuitt oder Stetigkeit. Nichts in der Natur vollzieht sich sprungweise, sondern alles nur in unmerklichen bergngen, und dieser fest geregelten Ordnung des Gegebenen (Bedingten) entspricht auch eine ebenso fest geregelte Ordnung des Gesuchten (der Bedingungen). Vermge des Kontinuittsgesetzes ist die Ruhe nur ein besonderer Fall der Bewegung, die Gleichheit ein solcher der Ungleichheit, das Krumme des Geraden usw. Und wie dies Gesetz in der Geometrie von unbedingter Notwendigkeit ist, so bewhrt es sich auch als allgemeines Ordnungsprinzip der Physik, ja der gttlichen Weltharmonie berhaupt. In engster Verbindung mit dem Stetigkeitsgesetz und der daraus folgenden Auffassung des Unendlich-Kleinen steht Leibniz' groe Entdeckung der Infinitesimalrechnung, die indes hier nicht nher verfolgt werden kann (ber ihre erkenntniskritische Bedeutung vgl. H. Cohen, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte, 1883, ber Leibniz speziell s. S. 42 ff.). Auch sie ist nur eine neue, fruchtbare Durchfhrung jener universellen Analysis, mit deren Forderung wir unseren Philosophen beginnen sahen; sie entspringt deshalb in Wahrheit dem Innersten Quell seiner Philosophie.
