中学でも分かる⑱『必要十分条件と対偶』

　「必要十分条件」と「対偶」について簡単に解説します。中学でも分かる⑰『固有値』の補足欄でも解説しましたが、数学を学ぶ上で非常に重要な考え方なので、いくつかの例題、および命題と論理の歴史を新たに加え、単独記事として再投稿します。詳しくは高校１年の数学で習います。

命題の真と偽、反例

　２つの条件 $p,  q$ に対して「$p$ ならば $q$」という命題を考えます。これは「ならば」を意味する記号 $\rightarrow$ や $\Rightarrow$ を用いて

$$\begin{align*} p \rightarrow q \end{align*}$$

または

$$\begin{align*} p \Rightarrow q \end{align*}$$

と表します。このとき、$p$ をこの命題の仮定、$q$ を結論といいます。

　例えば「$x=1$ ならば $x^2=1$」という命題は

$$\begin{align*} x=1 \rightarrow x^2=1 \end{align*}$$

と表せます。このとき $x=1$ は仮定で、$x^2=1$ は結論です。

　また、命題が正しいとき、その命題は真であるといい、正しくないとき、その命題は偽であるといいいます。
　例えば、
　$x=1$ ならば $x^2=1$
という命題は真です。$x=1$ を $x^2=1$ に代入すれば成り立ちます。
　一方、その命題の仮定と結論を入れ換えた
　$x^2=1$ ならば $x=1$
という命題は、正しくないので偽です。

　ある命題が偽であることを示すには、その命題が成り立たない例を一つあげます、そのような例を反例といいます。反例とは、仮定を満たすが結論を満たさない例のことです。
　すると、先ほどの「$x^2=1$ ならば $x=1$」の反例は $x=-1$ となります。$x=-1$ は、仮定 $x^2=1$ を満たしますが、結論 $x=1$ を満たしません。

必要条件と十分条件

　一般に、２つの条件 $p,  q$ に対して、命題 $p \rightarrow q$ が真であるとき、
　$p$ は $q$ であるための十分条件
　$q$ は $p$ であるための必要条件
という。

$$\begin{align*} \underset{\tiny 十分条件}{p}\hspace{-6pt}\rightarrow\hspace{-6pt}\underset{\tiny 必要条件}{q} \end{align*}$$

＊＊＊

　「必要」や「十分」という日常語の意味から理解しようとすると、多くの場合はかえって混乱するので、上記のように機械的に覚えればよいでしょう。

＜覚え方＞
　「～は」の主語だけに着目して、
・「～は」が矢印の根元にあれば十分条件
・「～は」が矢印の先端にあれば必要条件
と覚えます。下図のように、矢印の根元は「十」と書けるので十分条件、矢印の先端は「必」とかけるので必要条件、と覚えれば分かりやすいでしょう。

　例えば、先ほどの「$x=1$ ならば $x^2=1$」という命題を考えます。

$$\begin{align*} x=1 \rightarrow x^2=1 \end{align*}$$

この命題は真です。このとき、
　$x=1$ は $x^2=1$ であるための十分条件
であり
　$x^2=1$ は $x=1$ であるための必要条件
となります。

$$\begin{align*} \underset{\tiny 十分条件}{x=1} \rightarrow \underset{\tiny 必要条件}{x^2=1} \end{align*}$$

　十分条件や必要条件は、２つの条件の間の論理的な関係を表す言葉なので、なにかある１つの条件だけを取り出して「～は十分条件である」というような言い方は、論理的には適切ではありません。
　ただし、文脈から「何のための条件か」がはっきりしているときには、「p は十分条件である」「q は必要条件である」のように、「～であるための」を省略していうこともよくあります。

例　$x=1$ は十分条件、$x^2=1$ は必要条件である。

　次に、この命題の仮定と結論を入れ換えた「$x^2=1$ ならば $x=1$」という命題を考えます。

$$\begin{align*} x^2=1 \rightarrow x=1 \end{align*}$$

　この命題は偽でした（反例は $x=-1$）。
　なお、十分条件や必要条件といえるのは、その命題「$p \rightarrow q$」が真である場合だけです。命題が偽である場合には、必要条件や十分条件という枠組みは適用できません。

例題

　次の条件 $p,  q$ について、$p$ は $q$ であるための十分条件か、必要条件か、必要十分条件か、必要条件でも十分条件でもないか、最も適するものを１つ選びなさい。なお、文字はすべて実数を表すものとする。
(1)　$p : x=3$　　　　　　　$\!q : x^2=9$
(2)　$p : ac=bc$　　　　　　$q : a=b$
(3)　$p : x^2-3x+2=0$　　$\,q : x=1,  2$
(4)　$p : x>1$　　　　　　　$q : xy>1$

指針
　$p \rightarrow q$（$p$ ならば $q$）と $p \leftarrow q$（$q$ ならば $p$）のそれぞれの真偽を調べます。このとき、主語である $p$ を、つねに右側に置いた方が分かりやすいです。ならば（$\rightarrow$）の向きは逆（$\leftarrow$）になりますが、「$p$ は $q$ であるための〇〇条件」という文の主語である $p$ を右側に固定して考えることで、判断しやすくなります。
　$p \rightarrow q$ だけが真であれば、$p$ は $q$ であるための十分条件。
　$p \leftarrow q$ だけが真であれば、$p$ は $q$ であるための必要条件。
　$p \rightarrow q$ と $p \leftarrow q$ の両方が真であれば、$p$ は $q$ であるための必要十分条件。
　$p \rightarrow q$ と $p \leftarrow q$ の両方が偽であれば、$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。
となります。

解説
(1)　「$x=3 \rightarrow x^2=9$」について
　$x=3$ を $x^2=9$ に代入すると、$9=9$ となり成り立つので、この命題は真である。
　「$x=3 \leftarrow x^2=9$」について
　$x^2=9$ を解くと $x=\pm3$ となるが、$x=-3$ のときは、仮定 $x^2=9$ は成り立つが結論 $x=3$ は成り立たない（$-3\ne3$ なので）。
　よって、反例として $x=-3$ が存在するので、この命題は偽である。

$$\begin{align*} \\[-14pt] x=3  &\xrightleftarrows[\normalsize \hspace{1pt}\times]{〇}  x^2=9\\[-2pt] &{\scriptsize \hspace{-6pt}反例   x\!\!=\!\!-3} \end{align*}$$

　以上より、「$\overset{p}{x=3} \rightarrow \overset{q}{x^2=9}$」の方だけが真であるので、$p$ は $q$ であるための十分条件である。

（ポイント）
　以上のように、主語 $x=3$ の方を右側において、
　$x=3 \rightarrow x^2=9$
および、「ならば」の矢印の向きを変えた
　$x=3 \leftarrow x^2=9$
の真偽を調べます。

(2)　「$ac=bc \rightarrow a=b$」について
　例えば $a=1,  b=3,  c=0$ のとき、仮定 $ac=bc$ は成り立つが、結論 $a=b$ は成り立たない（$1\ne3$ なので）。
　よって、反例 $a=1,  b=3,  c=0$ が存在するので、この命題は偽である。
　「$ac=bc \leftarrow a=b$」について
　$a=b$ の両辺に $c$ を掛けると $ac=bc$ が得られるので、この命題は真である。

$$\begin{align*} &{\scriptsize \hspace{-26pt}反例  a\!=\!1, b\!=\!3, c\!=\!0}\\[-2pt] ac=bc  &\xrightleftarrows[\raisebox{-5pt}{\scriptsize 〇}]{\normalsize \times}  a=b \end{align*}$$

　以上より、「$\overset{p}{ac=bc} \leftarrow \overset{q}{a=b}$」の方だけが真であるので、$p$ は $q$ であるための必要条件である。

(3)　「$x^2-3x+2=0 \rightarrow x=1,  2$」について
　$x^2-3x+2=0$ を因数分解する。
　足して $-3$、掛けて $+2$ になる２つの数は $-1$ と $-2$なので
　$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
　よって $(x-1)(x-2)=0$ から
　$x-1=0$ または $x-2=0$
　すなわち $x=1$ または $x=2$ が得られるので、この命題は真である。
　「$x^2-3x+2=0 \leftarrow x=1, 2$」について
　$x=1$ を $x^2-3x+2=0$ に代入すると $0=0$ となり成り立つ。
　$x=2$ を $x^2-3x+2=0$ に代入すると $0=0$ となり成り立つ。
　よって、この命題は真である。

$$\begin{align*} \\[-14pt] x^2-3x+2=0  &\xrightleftarrows[\raisebox{-5pt}{\scriptsize 〇}]{〇}  x=1,  2 \end{align*}$$

　以上より、２つの命題はともに真であるので、$p$ は $q$ であるための必要十分条件である。

(4)　「$x>1 \rightarrow xy>1$」について
　仮定 $x>1$ を満たす $x$ として、例えば $x=5$ を考える。
　このとき、$y=-1$ とすると $xy=5\cdot(-1)=-5$ となり、結論 $xy>1$ は成り立たない（$-5<1$ なので）。
　よって、反例として $x=5,  y=-1$ が存在するので、この命題は偽である。
　「$x>1 \leftarrow xy>1$」について
　仮定 $xy>1$ を満たす $x, y$ として、例えば $x=-3,  y=-2$ を考える。
　このとき、結論 $x>1$ は成り立たない（$-3<1$ なので）。
　よって、反例として $x=-3,  y=-2$ が存在するので、この命題も偽である。

$$\begin{align*} &{\scriptsize \hspace{-18pt}反例   x\!=\!5,  y\!=\!-1}\\[-2pt] x>1  &\xrightleftarrows[\normalsize \times]{\normalsize \times}  xy>1\\[-2pt] &{\scriptsize \hspace{-18pt}反例   x\!\!=\!\!-3,  y\!\!=\!\!-2} \end{align*}$$

　以上より、２つの命題はともに偽であるので、$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

$\blacksquare$

必要十分条件

　「$p$ ならば $q$」と「$q$ ならば $p$」の両方の命題を、両向きの「ならば」を意味する記号 $\rightleftarrows$ や $\leftrightarrow$ や $\Leftrightarrow$ を用いて

$$\begin{align*} p \rightleftarrows q \end{align*}$$

または

$$\begin{align*} p \leftrightarrow q \end{align*}$$

または

$$\begin{align*} p \Leftrightarrow q \end{align*}$$

と表す。
「$p$ ならば $q$」と「$q$ ならば $p$」がともに真であるとき、すなわち $p \leftrightarrow q$ が成り立つとき、
　$p$ は $q$ であるための必要十分条件
という。この場合、
　$q$ は $p$ であるための必要十分条件
でもある。

$$\begin{align*} \underset{必要十分 \atop 条件}{p}\hspace{-7pt}\leftrightarrow\hspace{-7pt}\underset{必要十分 \atop 条件}{q} \end{align*}$$

　またこのとき、
　$p$ と $q$ は同値である
という。

＊＊＊

　例えば、「$x=0$ ならば $x^2=0$」という命題を考えます。

$$\begin{align*} x=0 \rightarrow x^2=0 \end{align*}$$

　この命題は真です。$x=0$ を $x^2=0$ に代入すると成り立ちます。
　次に、この命題の仮定を結論を入れ換えた「$x^2=0$ ならば $x=0$」という命題を考えます。

$$\begin{align*} x^2=0 \rightarrow x=0 \end{align*}$$

　すると、この命題も真です。$x^2=0$ を満たす $x$ は、$x=0$ のみだからです。よって、
　$x=0$ は $x^2=0$ であるための必要十分条件
であり、
　$x^2=0$ は $x=0$ であるための必要十分条件
です。

$$\begin{align*} \underset{必要十分 \atop 条件}{x=0} \leftrightarrow \underset{必要十分 \atop 条件}{x^2=0} \end{align*}$$

　つまり、
　$x^2=0$ と $x=0$ は同値
となります。

逆・裏・対偶

　$p \rightarrow q$  という命題について、仮定 $p$ と結論 $q$ を入れ換えた命題

$$\begin{align*} q \rightarrow p \end{align*}$$

を逆という。
　また、仮定 $p$ と結論 $q$ の両方を否定にした「$p$ でないならば $q$ でない」という命題

$$\begin{align*} \overline{p} \rightarrow \overline{q} \end{align*}$$

を裏という。条件 $p$ に対して、「$p$ でない」という条件を $p$ の否定といい、条件の記号の上に横棒をつけた $\overline{p}$ という記号で表す。

　さらに、この裏を逆にした

$$\begin{align*} \overline{p} \rightarrow \overline{q} \end{align*}$$

を対偶という。

＊＊＊

　以上のことを、まとめておきます。

＜逆・裏・対偶＞
　命題 $p \rightarrow q$ について、
　逆は「$q \rightarrow p$」
　裏は「$\overline{p} \rightarrow \overline{q}$」
　対偶は「$\overline{p} \rightarrow \overline{q}$」

＊＊＊

　逆と裏は互いに対偶の関係にあり、逆の対偶は裏、裏の対偶は逆です。また、対偶の対偶はもとの命題になります。
　以上を図式化すると次のようになります。

　例えば、先に述べた「$x=1$ ならば $x^2=1$」という命題について
　　逆は「$x^2=1$ ならば $x=1$」
　　裏は「$x\ne1$ ならば $x^2\ne1$」
　対偶は「$x^2=1$ ならば $x=1$」
となります。

　ここで、次のような重要な定理があります。

「命題とその対偶の真偽は一致する。」

　「$x=1$ ならば $x^2=1$」という命題について、この命題は真です。この命題の逆、裏、対偶の真偽は次のようになります。

　命題「$x=1$ ならば $x^2=1$」は真
　　逆「$x^2=1$ ならば $x=1$」は偽
　　裏「$x\ne1$ ならば $x^2\ne1$」は偽
　対偶「$x^2\ne1$ ならば $x\ne1$」は真

　すると、元の命題と対偶はどちらも真であり、同じく対偶の関係にある逆と裏はどちらも偽であり、「もとの命題とその対偶の真偽は一致する」ことが分かります。

対偶による証明

　ある命題を証明するとき、その命題を直接証明するよりも、その対偶を証明するほうが簡単な場合があります。そのようなときは、対偶を証明します。

例題

　ある整数 $n$ について、次の命題を証明しなさい。
　「$n^2$ が偶数であるとき、$n$ は偶数である。」
証明
　この命題の対偶をとると
　「$n$ は偶数でないとき、$n^2$ は偶数ではない。」
　偶数ではない数は奇数なので、さらに次のように表せる。
　「$n$ は奇数のとき、$n^2$ は奇数である。」

　まず、$n$ は奇数なので、$k$ を整数 ($\cdots, -2, -1,  0,  1,  2, \cdots$) として

$$n=2k+1　\cdots(*)$$

とおける。ここで展開公式
　$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
を用いると

$$\begin{align*} n^2&=(2k+1)^2\\ &=(2k)^2+2\cdot2k\cdot1+1^2\\ &=4k^2+4k+1\\ &=2(2k^2+2k)+1\\ &=2l+1 （ただし  l=2k^2+2k  とおいた） \end{align*}$$

　すると、$k$ は整数なので、$l(=2k^2+2k)$ も整数となり $2l+1$ は奇数。よって、$n^2$ は奇数となる。

$\blacksquare$

$(*)$　例えば、奇数 $-5, -3, -1,  1,  3,  5,  \cdots$  は
　$-5=2\times(-3)+1$
　$-3=2\times(-2)+1$
　$-1=2\times(-1)+1$
　    $1=2\times0+1$
　    $3=2\times1+1$
　    $5=2\times2+1$
$\hspace{30pt}\vdots$
より、$2k+1$（$k$ は整数）の形で書けます。

　なお、確認として、$2$ で割り切れる整数を偶数といいます。また、$2$ で割り切れない整数を奇数といいます。よって、偶数ではない数は奇数です。
　一般に、偶数と奇数は負の場合も含まれます。例えば $-4$ は偶数、$-3$ は奇数です。また $0$ は $2$ で割り切れるので偶数です。

命題と論理の歴史

　古代ギリシャの哲学者アリストテレスは、「三段論法」という形で、世界で初めて本格的に論理学をまとめました。
　たとえば「すべての人間は死ぬ」「ソクラテスは人間である」という二つの前提から、「だからソクラテスは死ぬ」という結論を引き出す推論のしかたを分析し、前提と結論の結びつきをはっきりさせたのです。

　その後、長いあいだ論理学は三段論法を中心に発展してきましたが、十九世紀になると、数学の発展のスピードに追いつかなくなっていきました。

　そこで、ドイツの数学者であり論理学者でもあったゴットロープ・フレーゲが、「記号論理学」という新しい学問を作り上げました。
　これは、日常の言葉で書かれた「〜なら〜である」「〜かつ〜である」「〜または〜である」といった条件の言い回しにくわえて、「すべての（任意の）〜について成り立つ」「〜であるものが少なくとも１つは存在する」といった言い回しを、特別な記号と式を使って厳密に表し、その正しさを機械的な手続きで調べようとする学問です。

　この記号論理のおかげで、「必要条件」「十分条件」「対偶」といった条件どうしの関係を、はっきりと形式的に扱えるようになりました。

　二十世紀のはじめには、イギリスの数学者であり論理学者であり哲学者でもあったバートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、『プリンキピア・マテマティカ』という大著によって、「すべての数学を論理から組み立てる」ことを目指しました。

　この本では、フレーゲの記号論理をさらに発展させて、数の定義や集合の扱い、数学の証明の仕組みなどを、論理の観点から徹底的に分析しました。
　こうした試みは、「数学を定義や、ごく基本的な前提である公理から演繹し、論理のルールによって厳密に組み立てていく」という、二十世紀以降広く受け入れられている数学の考え方に、大きな影響を与えたのです。
　高校で学ぶ「命題」「必要十分条件」「対偶」などは、こうした長い歴史の流れを、高校レベルに合わせて整理し直したものだと言えます。

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