数式小説『シュレーディンガーの φ』➂シュレーディンガー方程式

作品テーマ（３００文字程度）

　東京帝都大学の藤沢教授が行方不明となった。
　藤沢研究室の修士課程１年の清水は、藤沢研究室の雪村講師から、藤沢の教え子であった量子力学の天才、三枚堂教授を紹介され、彼と会う約束をする。
　三枚堂から量子力学を学ぶにつれて、「観測して初めて事象は１つに決定し、観測しなければ事象は『重ね合わせの状態』である」という量子論の原理が、藤沢の足取りと交差し、清水は彷徨うことになる。
　一方、ゲーデルの不完全性定理を専門とする雪村のもとで、その学問を学ぶにつれて、清水はその「不完全性」へと迷い込む。
　三枚堂の「量子力学」と雪村の「不完全性定理」をテーマに、同じ事件が表層を変えてパラレルに進む理数系ミステリー。

前回までのあらすじ

　１月２０日、東京帝都大学、藤沢研究室の准教授就任祝いを兼ねた、雪村講師の研究発表会で、藤沢教授が行方不明になった。
　藤沢研究室の修士課程の清水は、藤沢教授の控室のホワイトボードに書かれていた

$$\begin{align*} i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}=\hat{H}\ket{\psi(t)} \\[8pt] \hspace{35pt}{\small １月２７日} \end{align*}$$

という数式を写真に収める。他にも、なぜか泥に汚れた赤いレーサーバイクの写真。それ以上に不思議なことに、清水のスマホのマイクロSDカードの中に、見覚えのない富士山の写真と、足音のような謎の音声ファイルが含まれていた。
　そんな中、発表会当日に、藤沢教授と自主ゼミをしていたと思われる、東京理工科大学の三枚堂教授を雪村から紹介される。
　藤沢教授について何か知っているかもしれない……
　清水は彼と会う約束をし、東京理工科大学へ向かった。

本文スタート

　僕は学食で早めの昼食をすませ、電車で２時間くらいの、三枚堂教授のいる東京理工科大学へ向かった。
　電車の中で状況を整理した。

　藤沢先生の安否。
　シュレーディンガー方程式とその下の日付「１月２７日」
　泥に汚れた赤いレーサーバイク。
　マイクロSDカードの富士山の写真。
　足音のような音声ファイル。
　そもそもなぜ、それらのファイルが自分のスマホのマイクロSDカードに入っていたのか。
　そして発表会当日、藤沢先生は三枚堂教授と研究会をしていたと思われること。

　いろいろ考えているうちに、最寄り駅に着いた。
　駅から直線道路を１０分ほど歩き、大学の門に着いた。
　自分の通う東京帝都大学は郊外にあり、広大でゆったりとしているが、東京理工科大学は都心にありながらも緑が多く、洗練された佇たたずまいが印象的だ。
　僕の大学に比べると、学生たちの歩くスピードが速い気がする。
　大学の施設も整理された配置で、目的地まで歩きやすい。
　ぴんと背筋が伸びるような、研ぎ澄まされた空気を感じながら、物理研究棟６階の三枚堂研究室に向かった。
　トントン、「初めまして、先ほど電話でお話をした清水です」
「はい」という声のあと、少したってドアが開いた。
「初めまして、清水です」
「三枚堂です。藤沢先生から何か連絡あった？」
「いや、まだ……、事務の方でも連絡が取れないようです」
「そうか……」と三枚堂教授は心配そうな表情で、「こちらへどうぞ」と僕を白いテーブルに案内した。６人掛けのテーブルで、上には数式の書かれた紙や筆記用語がまとまって置かれている。
　三枚堂教授は写真のイメージ通り金髪にカラフルな服装。しかし写真よりはもっとカジュアルな印象で、若々しい雰囲気がある。
　研究室は白を基調とした明るい印象で、部屋の中に光が差し込んでいる。大きな白い本棚が１つあり、そこには物理や数学、数理論理学の書籍がたくさん並んでいるが、下の方には気象関係の本も並んでいる。
「コーヒーか紅茶どっちにする？」
　若々しいトーンの声色が耳に響く。
「コーヒーをお願いします」
「ちょっと待ってね」と言って、観葉植物の隣にある小さな食器棚から２つの皿とカップを取り出し、シンク横のテーブルの上にそれを並べた。そしてコーヒーメーカーからガラス容器を取り出し、手際よくカップに注いだ。ほろ苦く甘い香りがこちらに届いた。
「クリームも入れる？」
「はい」
　普段は缶コーヒーばかりで、クリーム入りのコーヒーは飲んだことがない。
「どうぞ」と目の前にカップが置かれた。湯気が立ち、黒く艶のある表面に真っ白なクリームが渦を巻いている。軽くすすると、苦めのコーヒに甘いクリームが程よく絡んでくる。
「大変なことになったね、僕も当日みんなと探したんだけど。警察の捜査は昨日から始まったんだよね」
　三枚堂教授はコーヒーを口にしながら、右斜め前の椅子を引いてゆったりと座った。
「はい、昨日の早朝から始まりました。今は捜査中で、大学で連絡を待っているところです」
「早く見つかるといいね」
「はい」と僕はコーヒーをすすった。
「そうだ、ちょうどいいおやつがあった」と、三枚堂教授は冷蔵庫から何かを取り出した。
「カヌレというお菓子。友人からもらったものだけど食べる」
「あっ、はい」
　大学教授という堅いイメージはまったく無く、少し年上の先輩といった感じで、僕の緊張もほぐれていった。
　少し雑談を交えながらケーキを半分ほど食べ、僕はさっそく気になっていることを切り出した。
「先生、あの……、藤沢先生が量子論理の研究をしていたのご存じですか？」
「あー量子論理、新しく始めたようだね」
「それで研究発表会の当日、控室で研究会をしていたかもしれないと伺ったんですが」
　一瞬、三枚堂教授の表情が変わった気がした。
「あー量子力学の研究会ね、藤沢先生に頼まれて。で、なんで？」と僕の目を見る。射抜くような視線を感じたが、すぐに柔和な表情に変わった。
「当日、藤沢先生が『１０時までには戻る』と仰っていたので、どこに外出したのかご存じかと思いまして……」
「１０時まで？」
「はい、１０時まで」
　三枚堂教授は何かを思い出す仕草で斜め上を見上げたあと、すぐに話し出した。
「当日の藤沢先生のことは分からない、僕が会ったのは前日だから」
「前日？」
「当日ではなく前日ね、前日の夕方、セミナーハウスに前乗りして研究会をしたあと、少し食事したり」
「藤沢先生と前日にセミナーハウスに来たということですか？」
「そうだよ」
　僕は、藤沢先生は当日の早朝に来たのかと思っていた。
「では、当日に先生とは……」
「会ってないよ、当日はバイクで走りに」
「えっ、もしかして赤いバイ、あっいや……」
　一瞬、三枚堂教授の目元が険しくなった。先ほども感じた鋭い眼光だ。三枚堂教授は「赤いバイク」とは言っていない。まずいことを言ったかもしれないと言葉を詰まらせていると、「そう赤いバイク、僕の愛車ね。前日、僕はバイクでセミナーハウスに行って、当日は朝早く山にツーリングに行ったので、藤沢先生がどこに行ったのか分からない。道は悪路で大変だったよ、数日前は雨だったでしょ？だから泥がたくさん付いちゃってね」と早い口調で話した。
　確かに当日こそ快晴だったが、その数日前は大雨だった。それによって荒れた山道を走ったために、バイクに泥が付いたのだろう。気になっていた写真の赤いバイク。タイヤ付近の泥の件と一致する。あの写真のバイクは、三枚堂教授のものに違いない。
　しかしなぜ泥の話を切り出したのだろうか。僕は写真でそれを知っている。赤いバイクと言ってしまったために、何か先手を打ったのかとも一瞬思ったが考えすぎだろう。
　ふと左のホワイトボードに顔を向けると、沢山の数式の中に、１つの数式が目に飛び込んだ。

$$\begin{align*} i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}=\hat{H}\ket{\psi(t)} \end{align*}$$

「あっこの式、シュレーディンガー方程式ですね」
「よく知ってるね、清水君は数学専攻だよね」
「ええ、量子力学は大学の教養課程で少しだけ習いました」
「ブラケットもやったの？」
「あっ、それは習ってなくて……」と僕は唾を飲み込んだ。また口を滑らしたかと思った。少し沈黙が続いた。すると、三枚堂教授は立ち上がり、勢いよくホワイトボードの数式を消し始めた。
「この式で習ったんじゃない？」と１つの式を書き上げた。

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=\left(-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi(x, t) \end{align*}$$

「最初に勉強するのはこの波動関数によるシュレーディンガー方程式だね」
　雪村先生も書いた数式だ。
「ええ、大学２年の教養物理で習いましたが、少し触れただけなので、まったく……」
「そうだよね、数学科なら詳しくやらないはず。清水君、量子力学に興味ある？」
「はい、ブラケット表示や、藤沢先生の量子論理も」
「じゃあ、シュレーディンガー方程式を解説してみる？いきなりブラケットは難しいので、まずは普通の波動関数の方ね。最初なので学部生向けの感じていく？」と言い、三枚堂教授は試し書きしてインクの出ないマーカーを端に置き、インクの出るものだけを手元にそろえた。
「ところで、原子や電子は知ってるよね」
「はい、高校で勉強しました」
「原子は原子核と電子でできていて、その原子核は陽子と中性子でできている、例えば水素は」と言いながら、三枚堂教授はホワイトボードに図を書き入れた。
「水素原子の原子核は１個の陽子だけで構成されて、その周りを１個の電子が回っている。これが水素の原子モデル」

「じゃあ、ヘリウム原子は？」
　いきなり聞かれて少しとまどう。
「えーっと、原子核は２個の陽子と２個の中性子で構成されて、その回りを２個の電子が回っている、違ったかな……」
「そうだね、それがヘリウムの原子モデル」

「さて、そこでシュレーディンガー方程式。

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=\left(-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi(x, t) \end{align*}$$

この式の両辺に現れる $\psi(x,  t)$ は波動関数といわれるもので、電子や陽子のような、ミクロな世界の粒子の状態を表す関数だね。位置 $x$ と時間 $t$ による２変数の関数で、この方程式を解いて $\psi(x,  t)$ を求めれば、その量子の状態が分かるということ。よって、このシュレーディンガー方程式の $\psi(x,  t)$ を求めることが我々の課題となる。
　ところで清水君、数学科なので偏微分は分かるよね？」
「はい」
「シュレーディンガー方程式は偏微分方程式といわれるもので、まずは左辺をみてみよう」と言って、三枚堂教授は左辺に下線部を引いた。

\begin{align*} \underset{左辺}{\underline{i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)}}=\left(-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi(x, t) \end{align*}

　この左辺の

$$\begin{align*} \dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t) \end{align*}$$

は、波動関数 $\psi(x,  t)$ の偏微分だね。$\psi(x,  t)$ は $x$ と $t$ の２変数関数なので、どちらの変数で微分するかが重要になる。
　どちらかを固定して、どちらかの変数で微分するのが偏微分。今は $\dfrac{\partial}{\partial t}$ と分母に $t$ があるので、$x$ を固定して $t$ で偏微分している。つまり

$$\begin{align*} \dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t) \end{align*}$$

は、$\psi(x,  t)$ の $t$ での偏微分を表しているんだね。清水君簡単すぎた？」
「いえいえ、今は数理論理学が専門なので、ちょうど復習になります」と、持参していたノートにシュレーディンガー方程式を書き込んだ。
「じゃあこのまま進めるよ。さらに、その係数にある $i$ は虚数単位とよび、２乗して $-1$ になる定数。つまり $i^2=-1$ を満たしている。
　さらに、$\hbar$ は ”エイチバー” とよび、プランク定数 $h$ を $2\pi$ で割った定数。ディラック定数ともいうよ。

$$\begin{align*} \hbar=\dfrac{h}{2\pi} \end{align*}$$

　頻繁に出てくるので、このように置き換えるのが通例。この $i$ と $\hbar$ を偏微分 $\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)$ に掛けたのが左辺。
　次に右辺をみてみよう。

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=\underset{右辺}{\underline{\left(-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi(x, t)}} \end{align*}$$

　右辺を展開すると

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}\psi(x, t)+V(x)\psi(x, t) \end{align*}$$

　まずは、第１項を見てみよう。

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=\underset{第１項}{\underline{-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}\psi(x, t)}}+V(x)\psi(x, t) \end{align*}$$

　第１項の

$$\begin{align*} \frac{{\partial}^2}{\partial x^2}\psi(x, t) \end{align*}$$

は２階の偏微分。$\dfrac{{\partial}^2}{\partial x^2}$ と分母に $x$ があるので、$t$ を固定して $x$ で偏微分したものを、もう一度 $x$ で偏微分する。「２」がついてるので２回偏微分するんだね。それに係数

$$\begin{align*} -\dfrac{{\hbar}^2}{2m} \end{align*}$$

が付く。$\hbar$ は右辺にも出てきたディラック定数。$m$ は粒子の質量。電子なら電子の質量、陽子なら陽子の質量を表す。これが第１項。
　ちなみに左辺の

$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t) \end{align*}$$

は、$x$ を固定して $t$ で微分する１階の偏微分なので、似ているようで違うね。何で偏微分しているかを間違えないようにね、念のため。
　次に右辺の第２項。

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}\psi(x, t)+\underset{第２項}{\underline{V(x)\psi(x, t)}} \end{align*}$$

　$V(x)$ はポテンシャルエネルギーで、$\psi(x, t)$ は波動関数だね」
「ポテンシャル・・・」
　僕は少し首を傾げた。
「あっ、分からないところがあれば何でも質問して」
「ポテンシャルエネルギーとは位置エネルギーのことでしょうか？」
　よく出てくる用語だが、位置エネルギーとの違いが曖昧だった。
「同じだよ。位置エネルギーのことを英語でポテンシャルエネルギー（potential energy）とよぶ。
　物体が、ある位置にあることで物体に蓄えられるエネルギーのことだね。高校ではどんな風に習ったっけ？」
「重力による位置エネルギーと……」
「ばねでも出てきたね」
「あっ、弾性力による位置エネルギー」
「そうそう、高い位置にある物体は重力による位置エネルギーを持ち、ばねにつながれた物体は伸びたり縮んだりするばねの力、つまり弾性力による位置エネルギーをもつ。ほら、$V(x)$ は位置 $x$ の関数で与えられているでしょ。ポテンシャルエネルギーは位置 $x$ によって決まる。
　そして、どういうケースを考えるかによって、この $V(x)$ の形は具体的に決まってくる。今は一般に $V(x)$ と書いてあるんだね。
　そのポテンシャルエネルギーと波動関数をかけた $V(x)\psi(x, t)$ を足すことで、次の式

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}\psi(x, t)+V(x)\psi(x, t) \end{align*}$$

を得る。そして、この右辺を $\psi(x, t)$ でくくることによって、最初に書いたシュレーディンガー方程式

$$\begin{align*} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,  t)=\left(-\dfrac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi(x, t) \end{align*}$$

が得られる。右辺はカッコでくくられているけど、このように書くことによって、$x$ での２階偏微分、およびポンシャルエネルギー $V(x)$ との積を、$\psi(x,  t)$ に作用させるとみることができるんだね」
　トントン
「はい」
　ガチャ
「先生、自主ゼミに来てもらっていいですか」
「いいよ、先にやってて、すぐに行くから」
　自主ゼミって学生のゼミ？しかも若いので今のは学部生？
「先生は学部生の自主ゼミも指導してるんですか？」
「指導というか、付き合ってるだけだね。まだゼミに配属されてない２年生だから、基本の基本だね。まだまだひよこ。今日はもう授業がないので、彼らが納得いくまでやるよ。あっ、まだこの式の導出も、ブラケットの話もしてないので、興味あればまた連絡して」
「はい、ありがとうございます」

　とても分かりやすかった。そして、気さくで話しかけやすい。専門ではない僕に合わせたのだろうか、説明も丁寧で、「教えるの好きな奴だから」という雪村先生の言葉がぴったり当てはまる。普通は学生だけで行う自主ゼミも指導するなんて、学生に人気があるのだろう。
　お薦めの教科書を尋ねると２冊の本を薦めてくれた。一つはブラケット表示まで解説されている量子力学の初学者向けの教科書。そしてもう一つは量子論理の専門書。量子論理の教科書はあまりないらしく専門性が高いようだ。
　どちらも大学の購買部に置いてあるそうなので、そこで購入して帰ることにした。

　歩きながら僕は考えた。とりあえず分かったことは、三枚堂教授は当日ではなく前日にセミナーハウスに来て、藤沢先生と研究会をしたこと。そして、発表会当日は藤沢先生と会ってはおらず、早朝に赤いバイクで山にツーリングに行ったこと。そして、数日前の雨によって山道は荒れていたので、バイクにたくさんの泥が付いてしまったこと。
　しかし、自分の知る限りセミナーハウス周辺の道路はどこも舗装されているので、あんなに泥の付くような山道はあっただろうか。仮にあったとしても、オフロードタイプではなく、サーキットを走るようなレーサータイプのバイクで、わざわざ荒れた道を走るだろうかと不思議に思う。
「あっ」
　ふと駐車場を見ると、何台か止まっているバイクの中に赤いバイクが見えた。鮮やかな色彩は遠くからでも目立つ。僕は怪しまれないよう少し近づいて、スマホを取り出し、発表会当日の写真と比較した。
「やはり同じバイクだ」
　写真のナンバーまでは確認できないが、形やデザインが一緒なので三枚堂教授のバイクだろう。しかし写真の様に泥はついてない。それどころか他のバイクと比べると、その赤いバイクだけ鮮やかに光を反射し、店に展示されている新車のようで少し違和感もある。
「洗車したのかな？」
　プルルル……
　坂井からの電話だ。
「先輩、坂井です！崖下で先生の車が見つかったようです！」

（続く）

（コメント）
　ストーリーが決まっていないまま書き進めているので、今書いていることが（観測した折々で？）変わるかもしれません。

 数式解説編