（初めに）積分の公式を追記しました。
（本文スタート）e e e y = log e x y=\log_e x y = log e x y = e x y=e^x y = e x
まずは復習として、導関数の定義は次のようなものです（中学でも分かる①「微分法」）。
導関数の定義（復習） 関数 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 導関数 といい、f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h \begin{align*}
f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align*} f ′ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x )
＊＊＊
関数 f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) 微分する といいます。肩に付いている記号 ”′ ' ′ y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
d f ( x ) d x , n b s p ; n b s p ; d d x f ( x ) , n b s p ; n b s p ; y ′ , n b s p ; n b s p ; d y d x , n b s p ; n b s p ; d d x y \begin{align*}
\dfrac{df(x)}{dx}, \dfrac{d}{dx}f(x), y', \dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d}{dx}y
\end{align*} d x df ( x ) , nb s p ; nb s p ; d x d f ( x ) , nb s p ; nb s p ; y ′ , nb s p ; nb s p ; d x d y , nb s p ; nb s p ; d x d y
今後、当たり前のようにこの表記法は使われます。最もシンプルな y ′ y' y ′ x x x
対数の性質（復習） また、次のような対数の法則がありました（中学でも分かる④「対数関数」）。
＜対数の重要性質１＞ 0 < a < 1 0< a<1 0 < a < 1 1 < a 1< a 1 < a
1. log a 1 = 0 \log_a 1=0 log a 1 = 0 1 1 1 0 0 0 log a a = 1 \log_a a=1 log a a = 1 1 1 1
＜対数の重要性質２＞ a a a 0 < a < 1 0< a<1 0 < a < 1 1 < a 1< a 1 < a M M M M > 0 M>0 M > 0 N N N N > 0 N>0 N > 0 p p p
1. log a M N = log a M + log a N \log_a MN=\log_a M+\log_a N log a MN = log a M + log a N log a M N = log a M − log a N \log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N log a N M = log a M − log a N log a M p = p log a M \log_a M^p=p\log_a M log a M p = p log a M M = a M=a M = a log a a p = p log a a = p \log_a a^p=p\log_a a=p log a a p = p log a a = p
＜底の変換公式＞ a a a 0 < a < 1 0< a<1 0 < a < 1 1 < a 1< a 1 < a b b b 0 < b < 1 0< b<1 0 < b < 1 1 < b 1< b 1 < b u u u u > 0 u>0 u > 0
log a u = log b u log b a \begin{align*}
\log_a u=\dfrac{\log_b u}{\log_b a}
\end{align*} log a u = log b a log b u
＊＊＊
対数関数の微分 ここで、対数関数 f ( x ) = log a x f(x)=\log_a x f ( x ) = log a x f ( x + h ) = log a ( x + h ) f(x+h)=\log_a (x+h) f ( x + h ) = log a ( x + h )
f ′ ( x ) a m p ; = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h a m p ; = lim h → 0 log a ( x + h ) − log a x h \begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}
\end{align*} f ′ ( x ) am p ; = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x ) am p ; = h → 0 lim h log a ( x + h ) − log a x
ここで、＜対数の重要性質２＞ 2. より
log a ( x + h ) − log a x a m p ; = log a x + h x ⋯ ( ∗ 1 ) \begin{align*}
\log_a \left(x+h \right)-\log_a x&=\log_a\dfrac{x+h}{x} \cdots (*1)\\
\end{align*} log a ( x + h ) − log a x am p ; = log a x x + h ⋯ ( ∗ 1 )
なので
log a ( x + h ) − log a x h a m p ; = log a x + h x h ( ∗ 1 ) n b s p ; より a m p ; = 1 h log a x + h x a m p ; = 1 h log a ( x x + h x ) a m p ; = 1 h log a ( 1 + h x ) a m p ; = 1 x ⋅ x h log a ( 1 + h x ) \begin{align*}
\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}
&=\dfrac{\log_a\dfrac{x+h}{x}}{h} (*1) より\\
&=\dfrac{1}{h}\log_a\dfrac{x+h}{x}\\
&=\dfrac{1}{h}\log_a\left(\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}}+\dfrac{h}{x}\right)\\
&=\dfrac{1}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\
&=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)
\end{align*} h log a ( x + h ) − log a x am p ; = h log a x x + h ( ∗ 1 ) am p ; = h 1 log a x x + h am p ; = h 1 log a ( x x + x h ) am p ; = h 1 log a ( 1 + x h ) am p ; = x 1 ⋅ h x log a ( 1 + x h ) nb s p ; より
最後、1 h \dfrac{1}{h} h 1 x h \dfrac{x}{h} h x 1 x \dfrac{1}{x} x 1 x x x
さらに、＜対数の重要性質２＞ 3.（係数は肩に）より
\begin{align*}
\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}&=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{h}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)\\[8pt]
&=\dfrac{1}{x}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h} {\tiny\leftarrow係数は肩に}}
\end{align*}
すると、再び導関数の定義より
f ′ ( x ) a m p ; = lim h → 0 log a ( x + h ) − log a x h a m p ; = lim h → 0 1 x log a ( 1 + h x ) x h a m p ; = 1 x lim h → 0 log a ( 1 + h x ) x h \begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\log_a \left(x+h \right)-\log_a x}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{x}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\
&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\
\end{align*} f ′ ( x ) am p ; = h → 0 lim h log a ( x + h ) − log a x am p ; = h → 0 lim x 1 log a ( 1 + x h ) h x am p ; = x 1 h → 0 lim log a ( 1 + x h ) h x
最後、0 0 0 h h h x x x 1 x \dfrac{1}{x} x 1 lim \lim lim
ここで、h x = h ′ \dfrac{h}{x}=h' x h = h ′ f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) h ′ h' h ′
x h = x × 1 x h × 1 x = 1 h x = 1 h ′ \begin{align*}
\dfrac{x}{h}=\dfrac{\cancel{x}\times\frac{1}{\cancel{x}}}{h\times\frac{1}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{h}{x}}=\dfrac{1}{h'}
\end{align*} h x = h × x 1 x × x 1 = x h 1 = h ′ 1
であり、かつ
lim h → 0 h ′ = lim h → 0 h x = 0 x = 0 \begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}h'=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h}{x}=\dfrac{0}{x}=0
\end{align*} h → 0 lim h ′ = h → 0 lim x h = x 0 = 0
より
h h h 0 0 0 h ′ h' h ′ 0 0 0 ⋯ ( ∗ 2 ) \cdots (*2) ⋯ ( ∗ 2 )
ので
\begin{align*}
f'(x)&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{x}{h}}\\
&=\dfrac{1}{x}\underset{h' に書き換えた}{\lim_{h'\rightarrow0}\log_a\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}}
\end{align*}
よって
f ′ ( x ) = 1 x lim h ′ → 0 log a ( 1 + h ′ ) 1 h ′ \begin{align*}
f'(x)=\dfrac{1}{x}\lim_{h'\rightarrow0}\log_a\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}
\end{align*} f ′ ( x ) = x 1 h ′ → 0 lim log a ( 1 + h ′ ) h ′ 1
最後、h x \dfrac{h}{x} x h h ′ h' h ′ 0 0 0 h h h h ′ h' h ′ h h h 0 0 0 h ′ h' h ′ 0 0 0 ( ∗ 2 ) (*2) ( ∗ 2 )
ネイピア数 e すると、ここで問題になるのは次の極限です。
lim h ′ → 0 ( 1 + h ′ ) 1 h ′ \begin{align*}
\lim_{h'\rightarrow0}\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}
\end{align*} h ′ → 0 lim ( 1 + h ′ ) h ′ 1
つまり
これは h ′ h' h ′ 0 0 0 (case 1) プラスの方向から 0 0 0 (case 2) マイナスの方向から 0 0 0
すると
1 0.1 = 1 × 10 0.1 × 10 = 10 1 = 10 \dfrac{1}{0.1}=\dfrac{1\times10}{0.1\times10}=\dfrac{10}{1}=10 0.1 1 = 0.1 × 10 1 × 10 = 1 10 = 10 1 0.01 = 1 × 100 0.01 × 100 = 100 1 = 100 \dfrac{1}{0.01}=\dfrac{1\times100}{0.01\times100}=\dfrac{100}{1}=100\raisebox{4ex}{ } 0.01 1 = 0.01 × 100 1 × 100 = 1 100 = 100 1 0.001 = 1 × 1000 0.001 × 1000 = 1000 1 = 1000 \dfrac{1}{0.001}=\dfrac{1\times1000}{0.001\times1000}=\dfrac{1000}{1}=1000\raisebox{4ex}{ } 0.001 1 = 0.001 × 1000 1 × 1000 = 1 1000 = 1000 ⋮ \hspace{20pt}\vdots ⋮
に着目すると
(case 1) h ′ h' h ′ 0 0 0
h ′ = a m p ; 0.1 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = ( 1 + 0.1 ) 1 0.1 = 1.1 10 = 2.593742 ⋯ h ′ = a m p ; 0.01 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = ( 1 + 0.01 ) 1 0.01 = 1.01 100 = 2.704813 ⋯ h ′ = a m p ; 0.001 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = ( 1 + 0.001 ) 1 0.001 = 1.001 1000 = 2.716923 ⋯ h ′ = a m p ; 0.0001 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = ( 1 + 0.0001 ) 1 0.0001 = 1.0001 10000 = 2.718145 ⋯ h ′ = a m p ; 0.00001 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = ( 1 + 0.00001 ) 1 0.00001 = 1.00001 100000 = 2.7182 ‾ 68 ⋯ \begin{align*}
h'=&0.1 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.1\right)}^{\frac{1}{0.1}}={1.1}^{10}=2.593742\cdots\\[3pt]
h'=&0.01 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.01\right)}^{\frac{1}{0.01}}={1.01}^{100}=2.704813\cdots\\[3pt]
h'=&0.001 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.001\right)}^{\frac{1}{0.001}}={1.001}^{1000}=2.716923\cdots\\[3pt]
h'=&0.0001 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.0001\right)}^{\frac{1}{0.0001}}={1.0001}^{10000}=2.718145\cdots\\[3pt]
h'=&0.00001 のとき\\
&{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}={\left(1+0.00001\right)}^{\frac{1}{0.00001}}={1.00001}^{100000}=\underline{2.7182}68\cdots
\end{align*} h ′ = h ′ = h ′ = h ′ = h ′ = am p ; 0.1 am p ; ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = ( 1 + 0.1 ) 0.1 1 = 1.1 10 = 2.593742 ⋯ am p ; 0.01 am p ; ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = ( 1 + 0.01 ) 0.01 1 = 1.01 100 = 2.704813 ⋯ am p ; 0.001 am p ; ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = ( 1 + 0.001 ) 0.001 1 = 1.001 1000 = 2.716923 ⋯ am p ; 0.0001 am p ; ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = ( 1 + 0.0001 ) 0.0001 1 = 1.0001 10000 = 2.718145 ⋯ am p ; 0.00001 am p ; ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = ( 1 + 0.00001 ) 0.00001 1 = 1.00001 100000 = 2.7182 68 ⋯ nb s p ; のとき nb s p ; のとき nb s p ; のとき nb s p ; のとき nb s p ; のとき
(case 2) h ′ h' h ′ 0 0 0
h ′ = − 0.1 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = a m p ; ( 1 − 0.1 ) 1 − 0.1 = 0.9 − 1 0.1 = 0.9 − 10 = a m p ; 1 0.9 10 = 2.867971 ⋯ h ′ = − 0.01 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = a m p ; ( 1 − 0.01 ) 1 − 0.01 = 0.99 − 1 0.01 = 0.99 − 100 = a m p ; 1 0.99 100 = 2.731999 ⋯ h ′ = − 0.001 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = a m p ; ( 1 − 0.001 ) 1 − 0.001 = 0.999 − 1 0.001 = 0.999 − 1000 = a m p ; 1 0.999 1000 = 2.719642 ⋯ h ′ = − 0.0001 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = a m p ; ( 1 − 0.0001 ) 1 − 0.0001 = 0.9999 − 1 0.0001 = 0.9999 − 10000 = a m p ; 1 0.9999 10000 = 2.718417 ⋯ h ′ = − 0.00001 n b s p ; のとき a m p ; ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = a m p ; ( 1 − 0.00001 ) 1 − 0.00001 = 0.99999 − 1 0.00001 = 0.99999 − 100000 = a m p ; 1 0.99999 100000 = 2.7182 ‾ 95 ⋯ \begin{align*}
h'=-0.1 のとき\hspace{-10pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.1\right)}^{\frac{1}{-0.1}}={0.9}^{-\frac{1}{0.1}}={0.9}^{-10}\\
=&\dfrac{1}{{0.9}^{10}}=2.867971\cdots\\[9pt]
h'=-0.01 のとき\hspace{-15pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.01\right)}^{\frac{1}{-0.01}}={0.99}^{-\frac{1}{0.01}}={0.99}^{-100}\\
=&\dfrac{1}{{0.99}^{100}}=2.731999\cdots\\[9pt]
h'=-0.001 のとき\hspace{-20pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.001\right)}^{\frac{1}{-0.001}}={0.999}^{-\frac{1}{0.001}}={0.999}^{-1000}\\
=&\dfrac{1}{{0.999}^{1000}}=2.719642\cdots\\[9pt]
h'=-0.0001 のとき\hspace{-25pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.0001\right)}^{\frac{1}{-0.0001}}={0.9999}^{-\frac{1}{0.0001}}={0.9999}^{-10000}\\
=&\dfrac{1}{{0.9999}^{10000}}=2.718417\cdots\\[9pt]
h'=-0.00001 のとき\hspace{-30pt}&\\
{\left(1+h'\right)}^{\frac{1}{h'}}=&{\left(1-0.00001\right)}^{\frac{1}{-0.00001}}={0.99999}^{-\frac{1}{0.00001}}={0.99999}^{-100000}\\
=&\dfrac{1}{{0.99999}^{100000}}=\underline{2.7182}95\cdots
\end{align*} h ′ = − 0.1 ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = = h ′ = − 0.01 ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = = h ′ = − 0.001 ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = = h ′ = − 0.0001 ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = = h ′ = − 0.00001 ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = = nb s p ; のとき am p ; ( 1 − 0.1 ) − 0.1 1 = 0.9 − 0.1 1 = 0.9 − 10 am p ; 0.9 10 1 = 2.867971 ⋯ nb s p ; のとき am p ; ( 1 − 0.01 ) − 0.01 1 = 0.99 − 0.01 1 = 0.99 − 100 am p ; 0.99 100 1 = 2.731999 ⋯ nb s p ; のとき am p ; ( 1 − 0.001 ) − 0.001 1 = 0.999 − 0.001 1 = 0.999 − 1000 am p ; 0.999 1000 1 = 2.719642 ⋯ nb s p ; のとき am p ; ( 1 − 0.0001 ) − 0.0001 1 = 0.9999 − 0.0001 1 = 0.9999 − 10000 am p ; 0.9999 10000 1 = 2.718417 ⋯ nb s p ; のとき am p ; ( 1 − 0.00001 ) − 0.00001 1 = 0.99999 − 0.00001 1 = 0.99999 − 100000 am p ; 0.99999 100000 1 = 2.7182 95 ⋯ am p ; am p ; am p ; am p ; am p ;
この結果から予想されるように、h ′ h' h ′ 0 0 0 0 0 0 2.7182 ⋯ 2.7182\cdots 2.7182 ⋯ 極限値 ）を e e e
lim h ′ → 0 ( 1 + h ′ ) 1 h ′ = e \begin{align*}
\lim_{h'\rightarrow0}\left(1+h'\right)^{\frac{1}{h'}}=e
\end{align*} h ′ → 0 lim ( 1 + h ′ ) h ′ 1 = e
なお、動かす変数はどのような文字を用いてもよいので、一般には h ′ h' h ′ h h h e e e
＜e の定義＞ lim h → 0 ( 1 + h ) 1 h = e \begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e
\end{align*} h → 0 lim ( 1 + h ) h 1 = e
＊＊＊
この定数 e e e ネイピア数 とよばれます。ネイピア数は無理数（小数点以下循環しないで無限に続く数）で
e = 2.71828 ⋯ n b s p ; ( ふなひとはちふたはち ) \begin{align*}
e=2.71828\cdots (ふなひとはちふたはち)
\end{align*} e = 2.71828 ⋯ nb s p ; ( ふなひとはちふたはち )
であることが知られています。
ネイピア数 e をグラフで確認 ネイピア数 e をグラフを用いて視覚的に確認してみましょう。y = ( 1 + h ) 1 h y={\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}} y = ( 1 + h ) h 1 h = 0 h=0 h = 0
上図の破線部の領域を拡大したのが下図です。
h h h 0 0 0 0 0 0 e e e
以上より、対数関数 f ( x ) = log a x f(x)=\log_a x f ( x ) = log a x f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
f ′ ( x ) a m p ; = 1 x lim h → 0 log a ( 1 + h ) 1 h a m p ; = 1 x log a e \begin{align*}
f'(x)&=\dfrac{1}{x}\lim_{h\rightarrow0}\log_a\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\\
&=\dfrac{1}{x}\log_a e
\end{align*} f ′ ( x ) am p ; = x 1 h → 0 lim log a ( 1 + h ) h 1 am p ; = x 1 log a e
さらに＜底の変換公式＞ より、底を e e e
log a e = log e e log e a = 1 log e a \begin{align*}
\log_a e=\dfrac{\log_e e}{\log_e a}=\dfrac{1}{\log_e a}
\end{align*} log a e = log e a log e e = log e a 1
より
f ′ ( x ) = 1 x log a e = 1 x ⋅ 1 log e a = 1 x log e a \begin{align*}
f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_a e=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{\log_e a}=\dfrac{1}{x\log_e a}
\end{align*} f ′ ( x ) = x 1 log a e = x 1 ⋅ log e a 1 = x log e a 1
となります。重要なので、次のように公式としてまとめておきます。
＜対数関数の微分公式１＞ 対数関数 y = log a x y=\log_a x y = log a x
d y d x = 1 x log e a \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\log_e a}
\end{align*} d x d y = x log e a 1
＊＊＊
d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y y y y x x x y ′ y' y ′ d y d x \dfrac{dy}{dx} d x d y
ここで、上記の公式について a = e a=e a = e
y = log e x \begin{align*}
y=\log_e x
\end{align*} y = log e x
となりますが、その導関数は
d y d x = 1 x log e e = 1 x ⋅ 1 = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\log_e e}=\dfrac{1}{x\cdot1}=\dfrac{1}{x}
\end{align*} d x d y = x log e e 1 = x ⋅ 1 1 = x 1
と簡単に結果になることが分かります。重要なので公式としてまとめておきます。
＜対数関数の微分公式２＞ 対数関数 y = log e x y=\log_e x y = log e x
d y d x = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}
\end{align*} d x d y = x 1
＊＊＊
自然対数 前回の記事で、底が 10 10 10 log 10 x \log_{10}x log 10 x 常用対数 といいました（中学でも分かる④「対数関数」）。これに対し、底が e e e log e x \log_{e}x log e x 自然対数 といいます。
log 10 x \log_{10}x log 10 x 10 10 10 log e x \log_{e}x log e x e e e
先ほど勉強したように、常用対数の関数は微分すると
( log 10 x ) ′ = 1 x log e 10 \begin{align*}
(\log_{10}x)'=\dfrac{1}{x\log_e 10}
\end{align*} ( log 10 x ) ′ = x log e 10 1
ですが、自然対数の関数は
( log e x ) ′ = 1 x \begin{align*}
(\log_{e}x)'=\dfrac{1}{x}
\end{align*} ( log e x ) ′ = x 1
と簡単な結果になります。
ここで、対数に関するいくつかの微分公式を証明します。
＜対数関数の微分公式３＞ 対数関数 y = log e ∣ x ∣ y=\log_e |x| y = log e ∣ x ∣
d y d x a m p ; = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}
\end{align*} d x d y am p ; = x 1
＊＊＊
この場合、真数は ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ 1 x \dfrac{1}{x} x 1 （参考１） で復習します。
（注意）絶対値がつくときの真数条件 ここで、log e x \log_e x log e x log e ∣ x ∣ \log_e |x| log e ∣ x ∣ log e x \log_e x log e x x > 0 x>0 x > 0 x x x 0 0 0
log e x \log_e x log e x x > 0 x>0 x > 0
一方、log e ∣ x ∣ \log_e |x| log e ∣ x ∣ ∣ x ∣ > 0 |x|>0 ∣ x ∣ > 0 x x x x = 0 x=0 x = 0 ∣ x ∣ = ∣ 0 ∣ = 0 |x|=|0|=0 ∣ x ∣ = ∣0∣ = 0
log e x \log_e x log e x x < 0 x<0 x < 0 0 < x 0< x 0 < x x ≠ 0 x\ne0 x = 0
つまり、log e x \log_e x log e x log e ∣ x ∣ \log_e |x| log e ∣ x ∣ x x x log e ∣ x ∣ \log_e |x| log e ∣ x ∣ y = log e x y=\log_e x y = log e x y = log e ∣ x ∣ y=\log_e |x| y = log e ∣ x ∣ x x x
y = log e x y=\log_e x y = log e x
上図より、定義域は 0 < x 0< x 0 < x ( 1. 0 ) (1. 0) ( 1. 0 ) y y y 漸近線 といいます。
y = log e ∣ x ∣ y=\log_e |x| y = log e ∣ x ∣
上図より、定義域は x < 0 , 0 < x x<0, 0< x x < 0 , 0 < x x ≠ 0 x\ne0 x = 0 y y y ( 1. 0 ) , ( − 1. 0 ) (1. 0), (-1. 0) ( 1. 0 ) , ( − 1. 0 ) y y y 漸近線 となります。
では改めて先ほどの公式
＜対数関数の微分公式３＞
対数関数 y = log e ∣ x ∣ y=\log_e |x| y = log e ∣ x ∣
d y d x a m p ; = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}
\end{align*} d x d y am p ; = x 1
＊＊＊
を証明します。
（証明） (case1) x > 0 x>0 x > 0 ∣ x ∣ = x |x|=x ∣ x ∣ = x y = log e ∣ x ∣ = log e x y=\log_e |x|=\log_e x y = log e ∣ x ∣ = log e x ＜対数関数の微分公式２＞ より
d y d x = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}
\end{align*} d x d y = x 1
(case2) x < 0 x<0 x < 0 ∣ x ∣ = − x |x|=-x ∣ x ∣ = − x y = log e ∣ x ∣ = log e ( − x ) y=\log_e |x|=\log_e (-x) y = log e ∣ x ∣ = log e ( − x ) u = − x u=-x u = − x
y = log e u \begin{align*}
y=\log_e u
\end{align*} y = log e u
この (case2) の場合は、合成関数という考え方を用います。
合成関数について y = log e ( − x ) y=\log_e (-x) y = log e ( − x ) y = log e u y=\log_e u y = log e u u = − x u=-x u = − x
y = log e ( − x ) n b s p ; ⟺ n b s p ; { y = log e u ⋯ ( ∗ 3 ) u = − x ⋯ ( ∗ 4 ) \begin{align*}
y=\log_e (-x) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=\log_e u \cdots(*3)\\
u=-x \cdots(*4)
\end{cases}
\end{align*} y = log e ( − x ) nb s p ; ⟺ nb s p ; { y = log e u ⋯ ( ∗ 3 ) u = − x ⋯ ( ∗ 4 )
つまり、( ∗ 3 ) (*3) ( ∗ 3 ) ( ∗ 4 ) (*4) ( ∗ 4 ) y = log e ( − x ) y=\log_e (-x) y = log e ( − x ) 合成関数 といいます。
x x x u u u u u u y y y
改めて合成関数の定義を与えます。詳しくは（参考２） でも解説します。
＜合成関数の定義＞ y y y u u u
y = f ( u ) \begin{align*}
y=f(u)
\end{align*} y = f ( u )
で、u u u x x x
u = g ( x ) \begin{align*}
u=g(x)
\end{align*} u = g ( x )
であるとき、これら２つの関数から、x x x y y y
y = f ( g ( x ) ) \begin{align*}
y=f(g(x))
\end{align*} y = f ( g ( x ))
がつくられる。この関数を y = f ( u ) y=f(u) y = f ( u ) u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) 合成関数 という。
y = f ( g ( x ) ) n b s p ; ⟺ n b s p ; { y = f ( u ) u = g ( x ) \begin{align*}
y=f(g(x)) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=f(u)\\
u=g(x)
\end{cases}
\end{align*} y = f ( g ( x )) nb s p ; ⟺ nb s p ; { y = f ( u ) u = g ( x )
＊＊＊
つまり、x x x u u u u u u y y y
先ほどの関数 y = log e ( − x ) y=\log_e (-x) y = log e ( − x ) y = log e u f ( u ) y=\underset{f(u)}{\log_e u} y = f ( u ) log e u u = − x g ( x ) u=\underset{g(x)}{-x} u = g ( x ) − x
y = log e ( − x ) f ( g ( x ) ) n b s p ; ⟺ n b s p ; { y = log e u f ( u ) ⋯ ( ∗ 3 ) u = − x g ( x ) ⋯ ( ∗ 4 ) \begin{align*}
y=\underset{f(g(x))}{\log_e (-x)} \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=\underset{f(u)}{\log_e u} \cdots(*3)\\
u=\underset{g(x)}{-x} \cdots(*4)
\end{cases}
\end{align*} y = f ( g ( x )) log e ( − x ) nb s p ; ⟺ nb s p ; ⎩ ⎨ ⎧ y = f ( u ) log e u ⋯ ( ∗ 3 ) u = g ( x ) − x ⋯ ( ∗ 4 )
さて合成関数の微分は、次の合成関数の微分法 を用います。
＜合成関数の微分法＞ y = f ( u ) , u = g ( x ) y=f(u), u=g(x) y = f ( u ) , u = g ( x )
d y d x = d y d u ⋅ d u d x ⋯ ( ∗ 5 ) \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} \cdots(*5)
\end{align*} d x d y = d u d y ⋅ d x d u ⋯ ( ∗ 5 )
＊＊＊
「y y y x x x y y y u u u u u u x x x d u du d u d u du d u
d y d x = d y d u ⋅ d u d x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{dx}
\end{align*} d x d y = d u d y ⋅ d x d u
このような関係を連鎖律 （チェインルール ）とよぶことがあります（証明は高校の教科書にもあるので、ここでは割愛します）。
では合成関数の微分法 ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 ) y = log e ( − x ) y=\log_e (-x) y = log e ( − x ) y = log e u y=\log_e u y = log e u u u u u = − x u=-x u = − x x x x y = log e u y=\log_e u y = log e u u u u ＜対数関数の微分公式２＞ より
d y d u = ( log e u ) ′ = 1 u ⋯ ( ∗ 6 ) \begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=(\log_e u)'=\dfrac{1}{u} \cdots (*6)
\end{align*} d u d y = ( log e u ) ′ = u 1 ⋯ ( ∗ 6 )
また、u = − x u=-x u = − x x x x ( x ) ′ = 1 (x)'=1 ( x ) ′ = 1
d u d x = ( − x ) ′ = − 1 ⋯ ( ∗ 7 ) \begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=(-x)'=-1 \cdots (*7)
\end{align*} d x d u = ( − x ) ′ = − 1 ⋯ ( ∗ 7 )
( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 ) ( ∗ 6 ) (*6) ( ∗ 6 ) ( ∗ 7 ) (*7) ( ∗ 7 )
d y d x a m p ; = d y d u ⋅ d u d x = 1 u ⋅ ( − 1 ) = − 1 u \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=\dfrac{1}{u}\cdot(-1)
=-\dfrac{1}{u}
\end{align*} d x d y am p ; = d u d y ⋅ d x d u = u 1 ⋅ ( − 1 ) = − u 1
u = − x u=-x u = − x
d y d x a m p ; = − 1 − x = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{1}{-x}=\dfrac{1}{x}\\
\end{align*} d x d y am p ; = − − x 1 = x 1
よって (case1) 、(case2) より
d y d x a m p ; = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{1}{x}\\
\end{align*} d x d y am p ; = x 1
（証明終）
次の公式も重要です。一般の関数 f ( x ) f(x) f ( x ) ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 )
＜対数関数の微分公式４＞ y = log e f ( x ) y=\log_e f(x) y = log e f ( x )
d y d x a m p ; = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*} d x d y am p ; = f ( x ) f ′ ( x )
＊＊＊
（証明）u = f ( x ) u=f(x) u = f ( x )
y = log e u \begin{align*}
y=\log_e u
\end{align*} y = log e u
＜対数関数の微分公式２＞ より
d y d u = 1 u \begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u}
\end{align*} d u d y = u 1
また、u = f ( x ) u=f(x) u = f ( x )
d u d x = f ′ ( x ) \begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=f'(x)
\end{align*} d x d u = f ′ ( x )
合成関数の微分法 ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 )
d y d x a m p ; = d y d u ⋅ d u d x = 1 u ⋅ f ′ ( x ) = f ′ ( x ) u \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=\dfrac{1}{u}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{u}
\end{align*} d x d y am p ; = d u d y ⋅ d x d u = u 1 ⋅ f ′ ( x ) = u f ′ ( x )
u = f ( x ) u=f(x) u = f ( x )
d y d x = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*} d x d y = f ( x ) f ′ ( x )
（証明終）
（例１）y = log e ( 2 x + 3 ) y=\log_e (2x+3) y = log e ( 2 x + 3 ) x x x f ( x ) = 2 x + 3 f(x)=2x+3 f ( x ) = 2 x + 3
d y d x = ( 2 x + 3 ) ′ 2 x + 3 = 2 2 x + 3 \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}=\dfrac{2}{2x+3}
\end{align*} d x d y = 2 x + 3 ( 2 x + 3 ) ′ = 2 x + 3 2
（例２）y = log e ( x 3 − 2 x + 5 ) y=\log_e (x^3-2x+5) y = log e ( x 3 − 2 x + 5 ) x x x f ( x ) = x 3 − 2 x + 5 f(x)=x^3-2x+5 f ( x ) = x 3 − 2 x + 5
d y d x = ( x 3 − 2 x + 5 ) ′ x 3 − 2 x + 5 = 3 x 2 − 2 x 3 − 2 x + 5 \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x^3-2x+5)'}{x^3-2x+5}=\dfrac{3x^2-2}{x^3-2x+5}
\end{align*} d x d y = x 3 − 2 x + 5 ( x 3 − 2 x + 5 ) ′ = x 3 − 2 x + 5 3 x 2 − 2
（例３）y = log e x y=\log_e x y = log e x f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x
d y d x = x ′ x = 1 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x'}{x}=\dfrac{1}{x}
\end{align*} d x d y = x x ′ = x 1
となり、これは＜対数関数の微分公式２＞ と同じ結果になります。
次のように、絶対値がついた場合も同様に証明できます。
＜対数関数の微分公式５＞ y = log e ∣ f ( x ) ∣ y=\log_e |f(x)| y = log e ∣ f ( x ) ∣
d y d x a m p ; = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*} d x d y am p ; = f ( x ) f ′ ( x )
＊＊＊
（証明）u = f ( x ) u=f(x) u = f ( x )
y = log e ∣ u ∣ \begin{align*}
y=\log_e |u|
\end{align*} y = log e ∣ u ∣
＜対数関数の微分公式３＞ より
d y d u = 1 u \begin{align*}
\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u}
\end{align*} d u d y = u 1
また、u = f ( x ) u=f(x) u = f ( x )
d u d x = f ′ ( x ) \begin{align*}
\dfrac{du}{dx}=f'(x)
\end{align*} d x d u = f ′ ( x )
合成関数の微分法 ( ∗ 5 ) (*5) ( ∗ 5 )
d y d x a m p ; = d y d u ⋅ d u d x = 1 u ⋅ f ′ ( x ) = f ′ ( x ) u \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
=\dfrac{1}{u}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{u}
\end{align*} d x d y am p ; = d u d y ⋅ d x d u = u 1 ⋅ f ′ ( x ) = u f ′ ( x )
u = f ( x ) u=f(x) u = f ( x )
d y d x = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*} d x d y = f ( x ) f ′ ( x )
（証明終）
これまでやった対数関数の微分について、簡単にまとめてきおきます。これらは公式としてたびたび使われます。
対数関数の微分のまとめ ( ) ′ (\hspace{10pt})' ( ) ′
1. a m p ; a m p ; ( log a x ) ′ a m p ; = 1 x log e a 2. a m p ; a m p ; ( log e x ) ′ a m p ; = 1 x 3. a m p ; a m p ; ( log e ∣ x ∣ ) ′ a m p ; = 1 x 4. a m p ; a m p ; ( log e f ( x ) ) ′ a m p ; = f ′ ( x ) f ( x ) 5. a m p ; a m p ; ( log e ∣ f ( x ) ∣ ) ′ a m p ; = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{alignat*}{2}
1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log_e a}\\[8pt]
2.& & (\log_e x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
3.& & (\log_e |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
4.& & (\log_e f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt]
5.& & (\log_e |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{alignat*} 1. 2. 3. 4. 5. am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; ( log a x ) ′ am p ; ( log e x ) ′ am p ; ( log e ∣ x ∣ ) ′ am p ; ( log e f ( x ) ) ′ am p ; ( log e ∣ f ( x ) ∣ ) ′ am p ; = x log e a 1 am p ; = x 1 am p ; = x 1 am p ; = f ( x ) f ′ ( x ) am p ; = f ( x ) f ′ ( x )
なお、数学では下記のように log e x \log_e x log e x log x \log x log x e e e
1. a m p ; a m p ; ( log a x ) ′ a m p ; = 1 x log a 2. a m p ; a m p ; ( log x ) ′ a m p ; = 1 x 3. a m p ; a m p ; ( log ∣ x ∣ ) ′ a m p ; = 1 x 4. a m p ; a m p ; ( log f ( x ) ) ′ a m p ; = f ′ ( x ) f ( x ) 5. a m p ; a m p ; ( log ∣ f ( x ) ∣ ) ′ a m p ; = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{alignat*}{2}
1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log a}\\[8pt]
2.& & (\log x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
3.& & (\log |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt]
4.& & (\log f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt]
5.& & (\log |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{alignat*} 1. 2. 3. 4. 5. am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; ( log a x ) ′ am p ; ( log x ) ′ am p ; ( log ∣ x ∣ ) ′ am p ; ( log f ( x ) ) ′ am p ; ( log ∣ f ( x ) ∣ ) ′ am p ; = x log a 1 am p ; = x 1 am p ; = x 1 am p ; = f ( x ) f ′ ( x ) am p ; = f ( x ) f ′ ( x )
（追記）対数関数に関する積分公式 微分と積分は互いに逆の演算でした。上記の 3. と 5. を逆に用いることによって、次の積分公式が得られます。C C C
1. a m p ; n b s p ; n b s p ; ∫ 1 x n b s p ; d x = log ∣ x ∣ + C 2. a m p ; n b s p ; n b s p ; ∫ f ′ ( x ) f ( x ) n b s p ; d x = log ∣ f ( x ) ∣ + C \begin{align*}
1.& \int\dfrac{1}{x} dx=\log |x|+C\\[8pt]
2.& \int\dfrac{f'(x)}{f(x)} dx=\log |f(x)|+C
\end{align*} 1. 2. am p ; am p ; nb s p ; nb s p ; nb s p ; ∫ x 1 nb s p ; ∫ f ( x ) f ′ ( x ) nb s p ; d x = log ∣ x ∣ + C nb s p ; d x = log ∣ f ( x ) ∣ + C
1. 2.
定義域（x x x x ≠ 0 x\ne0 x = 0 0 0 0 f ( x ) ≠ 0 f(x)\ne0 f ( x ) = 0
特に、2. は非常に重要で、次のように用います。
（例１）
∫ 2 2 x + 3 d x a m p ; = ∫ ( 2 x + 3 ) ′ 2 x + 3 d x a m p ; = log ∣ 2 x + 3 ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{2}{2x+3}dx&=\int\dfrac{(2x+3)'}{2x+3}dx\\[8pt]
&=\log |2x+3|+C
\end{align*} ∫ 2 x + 3 2 d x am p ; = ∫ 2 x + 3 ( 2 x + 3 ) ′ d x am p ; = log ∣2 x + 3∣ + C
これは、f ( x ) f(x) f ( x ) 2 x + 3 2x+3 2 x + 3
∫ 2 2 x + 3 d x a m p ; = ∫ ( 2 x + 3 f ’ ( x ) ) ′ 2 x + 3 f ( x ) d x a m p ; = log ∣ 2 x + 3 f ( x ) ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{2}{2x+3}dx&=\int\dfrac{(\overset{f’(x)}{2x+3})'}{\underset{f(x)}{2x+3}}dx\\[8pt]
&=\log |\underset{f(x)}{2x+3}|+C
\end{align*} ∫ 2 x + 3 2 d x am p ; = ∫ f ( x ) 2 x + 3 ( 2 x + 3 f ’ ( x ) ) ′ d x am p ; = log ∣ f ( x ) 2 x + 3 ∣ + C
（例２）
∫ 6 x − 4 2 x 3 − 4 x + 1 d x a m p ; = ∫ ( 2 x 3 − 4 x + 1 ) ′ 2 x 3 − 4 x + 1 d x a m p ; = log ∣ 2 x 3 − 4 x + 1 ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{6x-4}{2x^3-4x+1}dx&=\int\dfrac{(2x^3-4x+1)'}{2x^3-4x+1}dx\\[8pt]
&=\log |2x^3-4x+1|+C
\end{align*} ∫ 2 x 3 − 4 x + 1 6 x − 4 d x am p ; = ∫ 2 x 3 − 4 x + 1 ( 2 x 3 − 4 x + 1 ) ′ d x am p ; = log ∣2 x 3 − 4 x + 1∣ + C
これは、f ( x ) f(x) f ( x ) 2 x 3 − 4 x + 1 2x^3-4x+1 2 x 3 − 4 x + 1
∫ 6 x − 4 2 x 3 − 4 x + 1 d x a m p ; = ∫ ( 2 x 3 − 4 x + 1 f ’ ( x ) ) ′ 2 x 3 − 4 x + 1 f ( x ) d x a m p ; = log ∣ 2 x 3 − 4 x + 1 f ( x ) ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{6x-4}{2x^3-4x+1}dx&=\int\dfrac{(\overset{f’(x)}{2x^3-4x+1})'}{\underset{f(x)}{2x^3-4x+1}}dx\\[8pt]
&=\log |\underset{f(x)}{2x^3-4x+1}|+C
\end{align*} ∫ 2 x 3 − 4 x + 1 6 x − 4 d x am p ; = ∫ f ( x ) 2 x 3 − 4 x + 1 ( 2 x 3 − 4 x + 1 f ’ ( x ) ) ′ d x am p ; = log ∣ f ( x ) 2 x 3 − 4 x + 1 ∣ + C
（例３）
∫ e x e x + 1 d x a m p ; = ∫ ( e x + 1 ) ′ e x + 1 d x a m p ; = log ∣ e x + 1 ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{e^x}{e^x+1}dx&=\int\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1}dx\\[8pt]
&=\log |e^x+1|+C
\end{align*} ∫ e x + 1 e x d x am p ; = ∫ e x + 1 ( e x + 1 ) ′ d x am p ; = log ∣ e x + 1∣ + C
これは、f ( x ) f(x) f ( x ) e x + 1 e^x+1 e x + 1
∫ e x e x + 1 d x a m p ; = ∫ ( e x + 1 f ′ ( x ) ) ′ e x + 1 f ( x ) d x a m p ; = log ∣ e x + 1 f ( x ) ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{e^x}{e^x+1}dx&=\int\dfrac{(\overset{f'(x)}{e^x+1})'}{\underset{f(x)}{e^x+1}}dx\\[8pt]
&=\log |\underset{f(x)}{e^x+1}|+C
\end{align*} ∫ e x + 1 e x d x am p ; = ∫ f ( x ) e x + 1 ( e x + 1 f ′ ( x ) ) ′ d x am p ; = log ∣ f ( x ) e x + 1 ∣ + C
（例４）f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x
∫ 1 x n b s p ; d x a m p ; = ∫ x ′ x n b s p ; d x a m p ; = log ∣ x ∣ + C \begin{align*}
\int\dfrac{1}{x} dx&=\int\dfrac{x'}{x} dx\\[8pt]
&=\log |x|+C
\end{align*} ∫ x 1 nb s p ; d x am p ; = log ∣ x ∣ + C am p ; = ∫ x x ′ nb s p ; d x
指数関数の微分 指数関数 y = a x y=a^x y = a x a a a 0 < a < 1 0< a<1 0 < a < 1 1 < a 1< a 1 < a y = a x y=a^x y = a x
log e y = log e a x \begin{align*}
\log_e y=\log_e a^x\\
\end{align*} log e y = log e a x
＜対数の重要性質２＞ の 3. よりlog e a x = x log e a \log_e a^x=x\log_e a log e a x = x log e a
log e y = x log e a \begin{align*}
\log_e y=x\log_e a\\
\end{align*} log e y = x log e a
この等式の両辺を x x x x x x y ( = a x ) y (=a^x) y ( = a x ) x x x y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) ＜対数関数の微分公式４＞
( log e f ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) f ( x ) \begin{align*}
(\log_e f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}
\end{align*} ( log e f ( x ) ) ′ = f ( x ) f ′ ( x )
について、f ( x ) f(x) f ( x ) y y y
( log e y ) ′ = y ′ y ⋯ ( ∗ 8 ) \begin{align*}
(\log_e y)'=\dfrac{y'}{y} \cdots (*8)\\
\end{align*} ( log e y ) ′ = y y ′ ⋯ ( ∗ 8 )
y y y x x x y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y ′ = f ′ ( x ) y'=f'(x) y ′ = f ′ ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) y y y f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) y ′ y' y ′
一方、右辺を x x x ( x ) ′ = 1 (x)'=1 ( x ) ′ = 1
( x log e a ) ′ = log e a ⋯ ( ∗ 9 ) \begin{align*}
(x\log_e a)'=\log_e a \cdots (*9)\\
\end{align*} ( x log e a ) ′ = log e a ⋯ ( ∗ 9 )
log e a \log_e a log e a x x x ( 2 x ) ′ = 2 (2x)'=2 ( 2 x ) ′ = 2
すると、( ∗ 8 ) = ( ∗ 9 ) (*8)=(*9) ( ∗ 8 ) = ( ∗ 9 )
y ′ y = log e a \begin{align*}
\dfrac{y'}{y}=\log_e a\\
\end{align*} y y ′ = log e a
両辺に y y y
y ′ = y log e a \begin{align*}
y'=y\log_e a\\
\end{align*} y ′ = y log e a
y = a x y=a^x y = a x
y ′ = a x log e a \begin{align*}
y'=a^x\log_e a\\
\end{align*} y ′ = a x log e a
これが y = a x y=a^x y = a x a = e a=e a = e log e e = 1 \log_e e=1 log e e = 1 y = e x y=e^x y = e x
y ′ = e x log e e = e x \begin{align*}
y'=e^x\log_e e=e^x\\
\end{align*} y ′ = e x log e e = e x
以上のことを公式としてまとめておきます。
＜指数関数の微分公式＞ 指数関数 y = a x y=a^x y = a x
y ′ = a x log e a \begin{align*}
y'=a^x\log_e a\\
\end{align*} y ′ = a x log e a
特に、a = e a=e a = e
y ′ = e x \begin{align*}
y'=e^x\\
\end{align*} y ′ = e x
＊＊＊
この公式は、簡単に次のように表記されます。
指数関数の微分のまとめ 1. n b s p ; n b s p ; n b s p ; ( a x ) ′ a m p ; = a x log e a 2. n b s p ; n b s p ; n b s p ; ( e x ) ′ a m p ; = e x \begin{align*}
1. (a^x)'&=a^x\log_e a\\
2. (e^x)'&=e^x
\end{align*} 1. 2. nb s p ; nb s p ; nb s p ; nb s p ; nb s p ; ( a x ) ′ nb s p ; ( e x ) ′ am p ; = a x log e a am p ; = e x
先に述べたように、底 e e e
1. n b s p ; n b s p ; n b s p ; ( a x ) ′ = a x log a \begin{align*}
1. (a^x)'=a^x\log a
\end{align*} 1. nb s p ; nb s p ; nb s p ; ( a x ) ′ = a x log a
これで、e x e^x e x e x e^x e x
（追記）指数関数に関する積分公式 微分と積分は互いに逆の演算でした。上記の 1. と 2. を逆に用いることによって、次の積分公式が得られます。C C C
1. a m p ; n b s p ; n b s p ; ∫ a x n b s p ; d x = a x log a + C 2. a m p ; n b s p ; n b s p ; ∫ e x n b s p ; d x = e x + C \begin{align*}
1.& \int a^x dx=\dfrac{a^x}{\log a}+C\\[8pt]
2.& \int e^x dx=e^x+C
\end{align*} 1. 2. am p ; am p ; nb s p ; nb s p ; nb s p ; ∫ a x nb s p ; ∫ e x nb s p ; d x = log a a x + C nb s p ; d x = e x + C
1. に関しては、( a x ) ′ = a x log a (a^x)'=a^x\log a ( a x ) ′ = a x log a log a \log a log a
1 log a ( a x ) ′ = a x \begin{align*}
\dfrac{1}{\log a}(a^x)'=a^x
\end{align*} log a 1 ( a x ) ′ = a x
log a \log a log a
( a x log a ) ′ = a x \begin{align*}
\left(\dfrac{a^x}{\log a}\right)'=a^x
\end{align*} ( log a a x ) ′ = a x
より得られます。
1. 2.
（例）∫ 5 x d x = 5 x log 5 + C \int 5^x dx=\dfrac{5^x}{\log 5}+C ∫ 5 x d x = log 5 5 x + C ∫ ( e x + x − 3 ) d x = e x + 1 2 x 2 − 3 x + C \int (e^x+x-3)dx=e^x+\dfrac{1}{2}x^2-3x+C ∫ ( e x + x − 3 ) d x = e x + 2 1 x 2 − 3 x + C
ネイピア数の歴史 最後にネイピア数の歴史を簡単に紹介します（Wikipedia「ネイピア数」から加筆修正して引用）。
ネイピア数の近似値（近い値）といえるものが記された最も古い文献は、1618年、対数の発見者であるスコットランドの数学者、ジョン・ネイピアによって発表された論文の、付録に収録されていた表です。
John Napier (1550年-1617年) なお、この表自体はイングランドの数学者であるウィリアム・オートレッドによって書かれたとされています。
William Oughtred (1574-1660) 厳密にネイピア数そのものを見い出したのは、スイスの数学者であるヤコブ・ベルヌーイといわれており、複利の計算（利子にもまた利子がつく金利の計算方法）で
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \begin{align*}
\lim_{n→∞} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n
\end{align*} n → ∞ lim ( 1 + n 1 ) n
を求めようとしました。これは e e e （参考３） を参照してください。
Jakob Bernoulli (1654年-1705年) この数に初めて定数記号を割り当てたのは、ドイツの数学者であるゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツだとされています。1690年と1691年に送ったクリスティアーン・ホイヘンス（ホイセンスの原理で有名）宛ての手紙の中で、記号 b b b
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646年-1716年) スイスの数学者であるレオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 e e e e e e
Leonhard Euler (1707年-1783年) その後しばらくは c c c e e e a x a^x a x
d a x d x = e x \begin{align*}
\dfrac{da^x}{dx}=e^x
\end{align*} d x d a x = e x
を満たすとき a = e a = e a = e
∫ 1 x 1 t n b s p ; d t \begin{align*}
\int_1^x\dfrac{1}{t} dt
\end{align*} ∫ 1 x t 1 nb s p ; d t
が対数としての性質を持ち、このときの底が e e e log e x \log_e x log e x
\begin{align*}
\\[-14pt]
&\hspace{48pt}\xrightarrow[]{ 微分する}\\[-16.5pt]
&\log_e x+C\hspace{48pt}\dfrac{1}{x}\\[-16.5pt]
&\hspace{48pt}\xleftarrow[ 積分する]{}\\[-6pt]
&\hspace{20pt}\uparrow\\[-4pt]
&\hspace{1pt}{\footnotesize \frac{1}{x} の不定積分}
\end{align*}
より
∫ 1 x 1 t n b s p ; d t a m p ; = [ log e t ] 1 x a m p ; = log e x − log e 1 a m p ; = log e x − 0 a m p ; = log e x \begin{align*}
\int_1^x\dfrac{1}{t} dt&=\left[\log_e t\right]_1^x\\
&=\log_e x-\log_e 1\\
&=\log_e x-0\\
&=\log_e x
\end{align*} ∫ 1 x t 1 nb s p ; d t am p ; = log e x − log e 1 am p ; = log e x − 0 am p ; = log e x am p ; = [ log e t ] 1 x
またネイピア数が無理性であることの証明も、1744年にオイラーが初めて行いました。
（参考１）絶対値について（復習） ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ x x x 絶対値 といい、∣ ∣ | | ∣ ∣ 絶対値記号 といいます。絶対値は次のように計算します。
a m p ; x ≧ 0 n b s p ; のとき ∣ x ∣ = x a m p ; x l t ; 0 n b s p ; のとき ∣ x ∣ = − x \begin{align*}
&x\geqq0 のとき |x|=x\\
&x<0 のとき |x|=-x
\end{align*} am p ; x ≧ 0 am p ; x nb s p ; のとき ∣ x ∣ = x lt ; 0 nb s p ; のとき ∣ x ∣ = − x
＊＊＊
絶対値 ∣ ∣ | | ∣ ∣ 0 0 0
\begin{align*}
&\left|2\right|=2 & &\small{（そのまま絶対値をはずす）}\\
&\left|\sqrt{5}\right|=\sqrt{5} & &\small{（そのまま絶対値をはずす）}\\
&\left|-2\right|=-(-2)=2 & &\small{（マイナスをかけて絶対値をはずす）}\\
&\left|-\sqrt{5}\right|=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5} & &\small{（マイナスをかけて絶対値をはずす）}\\
&\left|0\right|=0 & &\small{（0 のときはそのまま絶対値をはずす）}
\end{align*}
実数の絶対値は、数直線における原点 Oオー からの距離とみなすことができます。例えば2 2 2 ∣ 2 ∣ = 2 |2|=2 ∣2∣ = 2 − 2 -2 − 2 ∣ − 2 ∣ = 2 |-2|=2 ∣ − 2∣ = 2 − 5 -5 − 5 ∣ − 5 ∣ = 5 |-5|=5 ∣ − 5∣ = 5
（参考２）合成関数の微分法 ＜合成関数の定義＞ y y y u u u
y = f ( u ) \begin{align*}
y=f(u)
\end{align*} y = f ( u )
で、u u u x x x
u = g ( x ) \begin{align*}
u=g(x)
\end{align*} u = g ( x )
であるとき、これら２つの関数から、x x x y y y
y = f ( g ( x ) ) \begin{align*}
y=f(g(x))
\end{align*} y = f ( g ( x ))
がつくられる。この関数を y = f ( u ) y=f(u) y = f ( u ) u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) 合成関数 という。
y = f ( g ( x ) ) n b s p ; ⟺ n b s p ; { y = f ( u ) u = g ( x ) \begin{align*}
y=f(g(x)) \Longleftrightarrow
\begin{cases}
y=f(u)\\
u=g(x)
\end{cases}
\end{align*} y = f ( g ( x )) nb s p ; ⟺ nb s p ; { y = f ( u ) u = g ( x )
＊＊＊
つまり、x x x u u u u u u y y y
いくつか例を上げましょう。
（例１）y = ( 2 x + 3 ) 3 y=(2x+3)^3 y = ( 2 x + 3 ) 3 y = u 3 y=u^3 y = u 3 u = 2 x + 3 u=2x+3 u = 2 x + 3
（例２）y = 3 x − 5 y=\sqrt{3x-5} y = 3 x − 5 y = u y=\sqrt{u} y = u u = 3 x − 5 u=3x-5 u = 3 x − 5
（例３）y = e x 2 − 4 y=e^{x^2-4} y = e x 2 − 4 y = e u y=e^u y = e u u = x 2 − 4 u=x^2-4 u = x 2 − 4
（例４）y = log e ( − x ) y=\log_e (-x) y = log e ( − x ) y = log e u y=\log_e u y = log e u u = − x u=-x u = − x ＜対数関数の微分公式３＞ の (case2) の証明の中で現れた関数です。
これら（例１）～（例４）の関数を微分しましょう。すべて合成関数なので、次の＜合成関数の微分法＞を用いて微分します。
＜合成関数の微分法＞ y = f ( u ) , u = g ( x ) y=f(u), u=g(x) y = f ( u ) , u = g ( x )
d y d x = d y d u ⋅ d u d x \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}
\end{align*} d x d y = d u d y ⋅ d x d u
＊＊＊
このような関係を連鎖律 （チェインルール ）とよぶことがあります。
この方法を用いて、先ほどの（例１）～（例４）の関数を微分しましょう。＜対数関数の微分公式３＞ の (case2) の証明の中でも（もっと詳しく）行っているので、そちらも参照してください。
（例１）y = ( 2 x + 3 ) 3 y=(2x+3)^3 y = ( 2 x + 3 ) 3 x x x u = 2 x + 3 u=2x+3 u = 2 x + 3 y = u 3 y=u^3 y = u 3
d y d u a m p ; = ( u 3 ) ′ = 3 u 3 − 1 = 3 u 2 d u d x a m p ; = ( 2 x + 3 ) ′ = 2 \begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^3)'=3u^{3-1}=3u^2\\[6pt]
\dfrac{du}{dx}&=(2x+3)'=2
\end{align*} d u d y d x d u am p ; = ( u 3 ) ′ = 3 u 3 − 1 = 3 u 2 am p ; = ( 2 x + 3 ) ′ = 2
合成関数の微分法より
d y d x a m p ; = d y d u ⋅ d u d x a m p ; = 3 u 2 ⋅ 2 a m p ; = 6 u 2 a m p ; = 6 ( 3 x + 2 ) 2 （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=3u^2\cdot2\\
&=6u^2\\
&=6(3x+2)^2 \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = d u d y ⋅ d x d u am p ; = 3 u 2 ⋅ 2 am p ; = 6 u 2 am p ; = 6 ( 3 x + 2 ) 2 （答）
なお慣れて来たら
d y d x = d y d u 外の微分 ⋅ d u d x 中の微分 \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dy}{du}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 中の微分}{\dfrac{du}{dx}}
\end{align*} d x d y = 外の微分 d u d y ⋅ 中の微分 d x d u
と、「外の微分 × \times ×
d y d x a m p ; = 3 ( 2 x + 3 ) 2 外の微分 ⋅ ( 2 x + 3 ) ′ 中の微分 a m p ; = 3 ( 2 x + 3 ) 2 ⋅ 2 a m p ; = 6 ( 2 x + 3 ) 2 （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\scriptsize 外の微分}{3(2x+3)^2}\cdot\underset{\scriptsize 中の微分}{(2x+3)'}\\
&=3(2x+3)^2\cdot2\\
&=6(2x+3)^2 \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = 外の微分 3 ( 2 x + 3 ) 2 ⋅ 中の微分 ( 2 x + 3 ) ′ am p ; = 3 ( 2 x + 3 ) 2 ⋅ 2 am p ; = 6 ( 2 x + 3 ) 2 （答）
2 x + 3 2x+3 2 x + 3 u u u 2 x + 3 2x+3 2 x + 3 × \times ×
（例２）y = 3 x − 5 y=\sqrt{3x-5} y = 3 x − 5 x x x u = 3 x − 5 u=3x-5 u = 3 x − 5 y = u = u 1 2 y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}} y = u = u 2 1
d y d u a m p ; = ( u 1 2 ) ′ = 1 2 u 1 2 − 1 = 1 2 u − 1 2 = 1 2 ⋅ 1 u 1 2 = 1 2 u d u d x a m p ; = ( 3 x − 5 ) ′ = 3 \begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(u^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\\[6pt]
\dfrac{du}{dx}&=(3x-5)'=3
\end{align*} d u d y d x d u am p ; = ( u 2 1 ) ′ = 2 1 u 2 1 − 1 = 2 1 u − 2 1 = 2 1 ⋅ u 2 1 1 = 2 u 1 am p ; = ( 3 x − 5 ) ′ = 3
合成関数の微分法より
d y d x a m p ; = d y d u ⋅ d u d x a m p ; = 1 2 u ⋅ 3 a m p ; = 3 2 u a m p ; = 3 2 3 x − 5 （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot3\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{u}}\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}} \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = d u d y ⋅ d x d u am p ; = 2 u 1 ⋅ 3 am p ; = 2 u 3 am p ; = 2 3 x − 5 3 （答）
置き換えないで微分すると
d y d x a m p ; = 1 2 ( 3 x − 5 ) 1 2 ー１ 外の微分 ⋅ ( 3 x − 5 ) ′ 中の微分 a m p ; = 1 2 ( 3 x − 5 ) − 1 2 ⋅ 3 a m p ; = 1 2 ( 3 x − 5 ) 1 2 ⋅ 3 a m p ; = 3 2 3 x − 5 （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{外の微分}{\frac{1}{2}{(3x-5)}^{\frac{1}{2}ー１}}\cdot\underset{中の微分}{(3x-5)'}\\
&=\frac{1}{2}{(3x-5)}^{-\frac{1}{2}}\cdot3\\
&=\dfrac{1}{{2(3x-5)}^{\frac{1}{2}}}\cdot3\\
&=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}} \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = 外の微分 2 1 ( 3 x − 5 ) 2 1 ー１ ⋅ 中の微分 ( 3 x − 5 ) ′ am p ; = 2 1 ( 3 x − 5 ) − 2 1 ⋅ 3 am p ; = 2 ( 3 x − 5 ) 2 1 1 ⋅ 3 am p ; = 2 3 x − 5 3 （答）
（例３）y = e x 2 − 4 y=e^{x^2-4} y = e x 2 − 4 x x x u = x 2 − 4 u=x^2-4 u = x 2 − 4 y = e u y=e^u y = e u
d y d u a m p ; = ( e u ) ′ = e u d u d x a m p ; = ( x 2 − 4 ) ′ = 2 x \begin{align*}
\dfrac{dy}{du}&=(e^u)'=e^u\\
\dfrac{du}{dx}&=(x^2-4)'=2x
\end{align*} d u d y d x d u am p ; = ( e u ) ′ = e u am p ; = ( x 2 − 4 ) ′ = 2 x
合成関数の微分法より
d y d x a m p ; = d y d u ⋅ d u d x a m p ; = e u ⋅ 2 x a m p ; = 2 x e u a m p ; = 2 x e x 2 − 4 （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt]
&=e^u\cdot2x\\
&=2xe^u\\
&=2xe^{x^2-4} \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = d u d y ⋅ d x d u am p ; = e u ⋅ 2 x am p ; = 2 x e u am p ; = 2 x e x 2 − 4 （答）
置き換えないで微分すると
d y d x a m p ; = e x 2 − 4 外の微分 ⋅ ( x 2 − 4 ) ′ 中の微分 a m p ; = e x 2 − 4 ⋅ 2 x a m p ; = 2 x e x 2 − 4 （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{e^{x^2-4}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(x^2-4)'}\\
&=e^{x^2-4}\cdot2x\\
&=2xe^{x^2-4} \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = 外の微分 e x 2 − 4 ⋅ 中の微分 ( x 2 − 4 ) ′ am p ; = e x 2 − 4 ⋅ 2 x am p ; = 2 x e x 2 − 4 （答）
e u e^u e u u u u
（例４）y = log e ( − x ) y=\log_e (-x) y = log e ( − x ) ＜対数関数の微分公式３＞ の (case2) の証明の中で詳しく行っているので、置き換えない証明を与えます。
d y d x a m p ; = 1 − x 外の微分 ⋅ ( − x ) ′ 中の微分 a m p ; = − 1 x ⋅ ( − 1 ) a m p ; = 1 x （答） \begin{align*}
\dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{1}{-x}}\hspace{-3pt}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(-x)'}\\[6pt]
&=-\dfrac{1}{x}\cdot(-1)\\[6pt]
&=\dfrac{1}{x} \small{（答）}
\end{align*} d x d y am p ; = 外の微分 − x 1 ⋅ 中の微分 ( − x ) ′ am p ; = − x 1 ⋅ ( − 1 ) am p ; = x 1 （答）
（参考３）e の定義 ここでは
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e
\end{align*} n → ∞ lim ( 1 + n 1 ) n = e
を証明します。
まずは、n → ∞ n\to\infty n → ∞ ∞ \infty ∞ n n n
10 , n b s p ; 100 , n b s p ; 1000 , n b s p ; 10000 n b s p ; ⋯ \begin{align*}
10, 100, 1000, 10000 \cdots
\end{align*} 10 , nb s p ; 100 , nb s p ; 1000 , nb s p ; 10000 nb s p ; ⋯
と、限りなく大きくしていった先が ∞ \infty ∞ n n n ∞ \infty ∞ ( 1 + 1 n ) n {\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^n ( 1 + n 1 ) n e e e
まず、1 n = h \dfrac{1}{n}=h n 1 = h n n n n h = 1 nh=1 nh = 1 h h h n = 1 h n=\dfrac{1}{h} n = h 1
( 1 + 1 n ) n = ( 1 + h ) 1 h \begin{align*}
{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^n={\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}
\end{align*} ( 1 + n 1 ) n = ( 1 + h ) h 1
であり、さらに
lim n → ∞ h = lim n → ∞ n b s p ; 1 n = 0 \begin{align*}
\lim_{n\to\infty} h=\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0
\end{align*} n → ∞ lim h = n → ∞ lim nb s p ; n 1 = 0
が成り立ちます。この極限の式は
h ( = 1 n ) n b s p ; → n b s p ; 1 10 , n b s p ; n b s p ; 1 100 , n b s p ; n b s p ; 1 1000 , n b s p ; n b s p ; 1 1000 n b s p ; ⋯ \begin{align*}
h\left(=\dfrac{1}{n}\right) \rightarrow \dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dfrac{1}{1000} \cdots
\end{align*} h ( = n 1 ) nb s p ; → nb s p ; 10 1 , nb s p ; nb s p ; 100 1 , nb s p ; nb s p ; 1000 1 , nb s p ; nb s p ; 1000 1 nb s p ; ⋯
と、分子が 1 1 1 n n n
h ( = 1 n ) n b s p ; → n b s p ; 0.1 , n b s p ; 0.01 , n b s p ; 0.001 , n b s p ; 0.0001 n b s p ; ⋯ \begin{align*}
h\left(=\dfrac{1}{n}\right) \rightarrow 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 \cdots
\end{align*} h ( = n 1 ) nb s p ; → nb s p ; 0.1 , nb s p ; 0.01 , nb s p ; 0.001 , nb s p ; 0.0001 nb s p ; ⋯
とどんどん小さくなり、h h h 0 0 0 h h h 0 0 0 収束する 」といいます。n → ∞ n\to\infty n → ∞ h → 0 h\to0 h → 0
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim h → 0 ( 1 + h ) 1 h = e \begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\lim_{h\to0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e
\end{align*} n → ∞ lim ( 1 + n 1 ) n = h → 0 lim ( 1 + h ) h 1 = e
となり証明された。最後の = = = e e e
＜e の定義＞ lim h → 0 ( 1 + h ) 1 h = e \begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}{\left(1+h\right)}^{\frac{1}{h}}=e
\end{align*} h → 0 lim ( 1 + h ) h 1 = e
＊＊＊
を用いています。
なお、どちらも同じ e e e
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e
\end{align*} n → ∞ lim ( 1 + n 1 ) n = e
を定義にしても構いません。こちらの方を定義にしているテキストもあります。
最後に確認として、y = ( 1 + 1 n ) n y=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n y = ( 1 + n 1 ) n
y = ( 1 + 1 n ) n y=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n y = ( 1 + n 1 ) n
このグラフより、n n n y = e y=e y = e y = e y=e y = e 漸近線 であること）が見て取れます。n n n ∞ \infty ∞ ( 1 + 1 n ) n \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n ( 1 + n 1 ) n e e e n n n − ∞ -\infty − ∞ y = e y=e y = e
lim n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \begin{align*}
\lim_{n\to-\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e
\end{align*} n → − ∞ lim ( 1 + n 1 ) n = e
も成り立ちます。
