中学でも分かる①「微分法」

　ここでは微分法の基本である
・極限
・微分係数
・導関数
を解説し、その応用として
・高次導関数
・偏微分
と内容を進めていきます。

目標は「接線の傾き」を求める

　下図のように、グラフ上の点Ａと接する直線ＡＴを点Ａにおける接線といい、その接する点Ａを接点といいます。

　ここでの目標は、この接線ＡＴの傾きを求めることです。イングランドの数学者・物理学者、アイザック・ニュートンの発明した微分法です。高校の微分積分で習います。

　そのために、グラフ上に別の点Ｂを用意し、２点Ａ、Ｂを通る直線ＡＢの傾きを求めます。こちらは中学数学の知識で求めることができます。

　この直線ＡＢの傾きから、微分法によって接線ＡＴの傾きを求めます。
　その前に、$y=f(x)$ という関数の表記に慣れておきましょう。

y=f(x) という表記法

　一般の関数 $y=f(x)$ を考えます。なお、$x$ の範囲は実数（つまり数直線上のすべての数）とします（参考１で数の分類）。

　$x$ の値が決まると、$y=f(x)$ という関数によって $y$ の値がただ１つに決まります。これが関数の定義です。

\begin{align*} x  が決まる \xrightarrow[]{  y=f(x)  }  y  の値がただ１つに決まる \end{align*}

　例えは、関数 $f$ として $f(x)=x^2$ という関数を考えると
　$y=f(x)=x^2$
より
　$x=1$ のとき　$y=f(1)=1^2=1$
　$x=2$ のとき　$y=f(2)=2^2=4$
　$x=-3$ のとき　$y=f(-3)=(-3)^2=9$
　$x=\dfrac{9}{2}$ のとき　$y=f\left(\dfrac{9}{2}\right)={\left(\dfrac{9}{2}\right)}^2=\dfrac{81}{4}$
　$x=\sqrt{3}$ のとき　$y=f(\sqrt{3})={(\sqrt{3})}^2=3$
$\hspace{23pt}\vdots$
と、実数 $x$ を与えれば、関数 $f(x)$ によって $y$ の値がただ一つに決まります。$x$ の範囲は実数なので、整数
　$\cdots, -2, -1,  0,  1,  2,  \cdots$
の他に、有理数 $\dfrac{9}{2}$ や無理数 $\sqrt{3}$ でも上のように計算可能です。

y=f(x) のグラフ

　関数 $y=f(x)$ の $x$ と $y$ の関係を座標で表すことによって、$y=f(x)$ のグラフを描くことができます。
　例えば $f(x)=2x$ とすると、それは
　$y=2x$
という１次関数になり、そのグラフは次のような直線になります。

　下のようないくつかの点を $xy$ 座標で結ぶことによって、原点Ｏオーを通る傾き $2$ の直線になることが確認できます。
　$x=2$ のとき
　　$y=f(2)=2\cdot2=4$ より　Ｐ$\hspace{-3pt}(2,  4)$
　$x=1$ のとき
　　$y=f(1)=2\cdot1=2$ より　Ｑ$\hspace{-3pt}(1,  2)$
　$x=0$ のとき
　　$y=f(0)=2\cdot0=0$ より　Ｒ$\hspace{-3pt}(0,  0)$
　$x=-1$ のとき
　　$y=f(-1)=2\cdot(-1)=-2$ より　Ｓ$\hspace{-3pt}(-1,  -2)$
　$x=-2$ のとき
　　$y=f(-2)=2\cdot(-2)=-4$ より　Ｔ$\hspace{-3pt}(-2,  -4)$
　なお、"$\cdot$" はかけ算 "$\times$" の意味です。今後この表記を頻繁に使います。

　また、$f(x)=x^2$ とすると、それは
　$y=x^2$
という２次関数になり、そのグラフは次のような放物線になります。

　下のようないくつかの点を $xy$ 座標でなめらかに結ぶことによって、原点Ｏオーを頂点とする放物線になることが確認できます。
　$x=2$ のとき
　　$y=f(2)=2^2=4$ より　Ｐ$\hspace{-3pt}(2,  4)$
　$x=1$ のとき
　　$y=f(1)=1^2=1$ より　Ｑ$\hspace{-3pt}(1,  1)$
　$x=0$ のとき
　　$y=f(0)=0^2=0$ より　Ｒ$\hspace{-3pt}(0,  0)$
　$x=-1$ のとき
　　$y=f(-1)={(-1)}^2=1$ より　Ｓ$\hspace{-3pt}(-1,  1)$
　$x=-2$ のとき
　　$y=f(-2)={(-2)}^2=4$ より　Ｔ$\hspace{-3pt}(-2,  4)$

　ここからは具体的な $f(x)$ は考えず、一般の関数 $f(x)$ で話を進めていきます。後に、一般の場合で得た結論を、具体的な場合に適用していきます。

　それでは、$y=f(x)$ のグラフと、そのグラフ上の点ＡとＢが下図のよう描かれたとして、直線ＡＢの傾きを求めましょう。

直線ＡＢの傾きを求める

　上図の点Ａの $x$ 座標を $a$ としたとき、点Ａの $y$ 座標は $f(a)$ と表せるので、点Ａの座標は Ａ$\hspace{-3pt}(a,  f(a))$ となります。

\begin{align*} x=a  \xrightarrow[]{  y=f(x)  }  y=f(a)   \Rightarrow Ａ\hspace{-1pt}(a,  f(a)) \end{align*}

　同様に、上図の点Ｂの $x$ 座標を $b$ としたとき、点Ｂの $y$ 座標は $f(b)$ と表せるので、点Ｂの座標は Ｂ$\hspace{-3pt}(b,  f(b))$ となります。

\begin{align*} x=b  \xrightarrow[]{  y=f(x)  }  y=f(b)   \Rightarrow Ｂ\hspace{-1pt}(b,  f(b)) \end{align*}

　図にすると下図のようになります。

　すると、下図のように点Ｃを打つことによって

　直線ＡＢの傾きは

\begin{align*} \\[-12pt] 直線ＡＢの傾き&=\dfrac{y  の増加量}{x  の増加量}\\[10pt] &=\dfrac{線分ＢＣの長さ}{線分ＡＣの長さ} \end{align*}

で計算できます。この図より
　線分ＡＣの長さ $=b-a$
　線分ＢＣの長さ $=f(b)-f(a)$
なので、直線ＡＢの傾きは

$$\begin{align*} \\[-12pt] 直線 ＡＢ の傾き&=\dfrac{線分ＢＣの長さ}{線分ＡＣの長さ}\\[10pt] &=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}　\cdots (*1) \end{align*}$$

　この $(*1)$ は、中学では変化の割合、高校では平均変化率という用語で習います。
　ここで、この式を変形していきます。まず

$$\begin{align*} b-a=h\\ \end{align*}$$

と置きます。つまり、線分ＡＣの長さを $h$ とします。

　$a$ を移項すると

$$\begin{align*} b=a+h\\ \end{align*}$$

　これを、$(*1)$ の $a$ に代入（$a$ を消去）すると

$$\begin{align*} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*2) \end{align*}$$

　この $b=a+h$ により、点Ｂの座標は
　Ｂ$\hspace{-3pt}(b,  f(b))=$Ｂ$\hspace{-3pt}(a+h,  f(a+b))$
となり、２点 Ａ$\hspace{-3pt}(a,  f(a))$、Ｂ$\hspace{-3pt}(a+h,  f(a+b))$ を通る直線ＡＢの傾きは $(*2)$ 式

$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*2) \end{align*}$$

と表せます。$h$ を用いて直線ＡＢの傾きを表すことができました。

　次に、この $(*2)$ を用いて、点Ａにおける接線ＡＴ（赤線）の傾きを求めます。

　そのためには、新たに「極限」という概念を用います。　

極限について

　例えば、関数 $f(x)=x^2$ において、$x$ が $2$ と異なる値をとりながら $2$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ の値は
　$f(2)=2^2=4$
という値に限りなく近づきます。

　一般に、関数 $f(x)$ において、$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、それに応じて $f(x)$ のとる値が一定の値 $A$ に限りなく近づくならば、この $A$ を極限値といい、記号 $\lim$ を用いて次のように表します。

$$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A \end{align*}$$

＊＊＊

　$\lim$ は ”リミット” と読み、$x\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}a$ は $x$ を $a$ に近づけることを意味しています。

（例）
　$\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\,x^2=2^2=4$
　$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\,x^2=0^2=0$
　$\underset{x\rightarrow 3}{\lim}(x^3-1)=3^3-1=27-1=26$
$a$ を定数とするとき
　$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(x+a)=0+a=a$

　簡単な場合は、上記の（例）のように、近づける $x$ の値をそのまま $x$ に代入すれば極限値は求まります。本記事ではこのような簡単なケースのみを扱います（分母が $0$ になるなど、そのまま代入できないケースは、高校３年の数学Ⅲの微分積分で習います）。

　さて、接線の傾きを求めるには、直線ＡＢの傾き

$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*2) \end{align*}$$

に、この極限の考えを適用させます。

接線の傾きを求める方法

　$(*2)$ 式

$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*2) \end{align*}$$

は直線ＡＢの傾きです。今から求めるのは、点Ａにおける接線ＡＴ（赤線）の傾きです。

　それには、先ほどの $(*2)$ について、「$h$ を $0$ に限りなく近づけていく」という方法をとります。先ほど解説した極限の考えです。
　まずは準備として、点Ａを定点（動かない点）、点Ｂを動点（動く点）とします。点Ａはグラフ上に固定された点、点Ｂはグラフ上を動く点です。

　ここで、$h$ を $0$ に限りなく近づけていくと、$a+h  (=b)$ は $a$ に限りなく近づいていきます。つまり

$$\begin{align*} \lim_{h\rightarrow 0}(a+h)&=a+0（h=0  を代入）\\ &=a \end{align*}$$

　すると、それに対応して、動点Ｂは定点Ａに限りなく近づいていきます。

　点Ａは定点で、点Ｂが動く点なので、ＢがＡに近づいていくことに注意します。
　さらに、動点Ｂが定点Ａに限りなく近づいていくと、直線ＡＢは接線ＡＴ（赤線）に限りになく近づいていくことが見て取れます。

　つまり、先ほどの直線ＡＢの傾き

$$\begin{align*} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*2) \end{align*}$$

について、$h$ を $0$ に限りなく近づけることによって、$(*2)$ が限りなく一定の値に近づくならば、その近づく値（極限値）が点Ａにおける接戦の傾きとなります。
　それを、極限の記号 $\lim$ を用いると、接線 ＡＴの傾きは

$$\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*3) \end{align*}$$

となります。$h\hspace{-1pt}\rightarrow\hspace{-1pt}0$ のときの極限値が点Ａにおける接戦の傾きです。
　この $(*3)$ について、改めてきちんとした定義を与えます。

微分係数の定義

　関数 $f(x)$ が定義されている（つまり $f(x)$ が計算できる）区間の $x$ の値 $a$ に対して

$$\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}　\cdots (*3) \end{align*}$$

の極限値が存在するならば、これを $f(x)$ の $x=a$ における微分係数といい、$f'(a)$ と表します。つまり

$$\begin{align*} f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}$$

　このとき、$f(x)$ は $x=a$ において微分可能であるといいます。

＊＊＊

　この $f'(a)$ は、”$f$ ダッシュ $a$” や ”$f$ プライム $a$” と読みます。高校ではダッシュ、大学ではプライムが多く使われるようです。

微分係数の図形的意味

　一般に、曲線上に定点Ａと動点Ｂがあって、Ｂが曲線上を移動しながらＡに限りなく近づくとき、直線ＡＢが一定の直線ＡＴに限りなく近づくならば、直線ＡＴを点Ａにおける曲線の接線といい、Ａをこの接線の接点といいます。
　したがって、$x=a$ における関数 $f(x)$ の微分係数

$$\begin{align*} f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}$$

は、$y=f(x)$ のグラフ上の点 Ａ$\hspace{-3pt}(a,  f(a))$ における接線の傾きを表します。

＊＊＊

微分係数の具体例

　例えば、$f(x)=x^2$ として、そのときの $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を計算してみます。
　中学で習う展開公式
　$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
を用いて

$$\begin{align*} f(2+h)&=(2+h)^2\\ &=2^2+2\cdot2\cdot h+h^2\\ &=4+4h+h^2\\ f(2)&=2^2\\ &=4 \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} f'(2)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cancel{4}+4h+h^2-\cancel{4}}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{4h+h^2}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{(4+h)\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}(4+h)\\ &=4+0（h=0  を代入）\\ &=4 \end{align*}$$

　よって、$f(x)=x^2$ の $x=2$ における微分係数は

$$\begin{align*} f'(2)=4 \end{align*}$$

となります。そしてそれが、グラフ $y=x^2$ 上の点 $(2,  f(2))=(2,  4)$ における接線の傾きになります。

導関数の定義

　先ほどの微分係数

$$\begin{align*} f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{align*}$$

について、次のように、すべての $a$ を $x$ に置き換えた関数 $f'(x)$ を導関数といいます。

$$\begin{align*} f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$$

＊＊＊

　関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めることを、$f(x)$ を微分するといいます。肩に付いている記号 ”$'$” は微分するという記号です。
　この $f'(x)$ は、”$f$ ダッシュ $x$” や ”$f$ プライム $x$” と読みます。$f'(a)$ のときと同様に、高校ではダッシュ、大学ではプライムが多く使われるようです。
　微分係数 $f'(a)$ は具体的な値ですが、$f'(x)$ は $x$ の関数となります。$x$ を決めることで $f'(x)$ の具体的な値が決まります。

\begin{align*} x=a  \xrightarrow[]{  f'(x)  }  f'(a)  と決まる \end{align*}

　そして $f'(x)$ は、グラフ $y=f(x)$ 上の点 $(x,  f(x))$ における接線の傾きを表します。

導関数の具体例

　それでは、いくつかの簡単な関数について、その導関数を求めてみます。

（例１）$f(x)=x$ の導関数を求める。

$$\begin{align*} f(x+h)=x+h \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cancel{x}+h-\cancel{x}}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}1 \end{align*}$$

　この場合、$h$ に関係なく定数 $1$ と定まっているので

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}1\\ &=1 \end{align*}$$

　よって、$f(x)=x$ の導関数は

$$\begin{align*} f'(x)=1 \end{align*}$$

　これを

$$\begin{align*} (x)'=1 \end{align*}$$

と表すこともあります。これは、直線 $y=x$ の傾きと同じになります。

（例２）$f(x)=x^2$ の導関数を求める。

　中学で習う２乗の展開公式
　$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
を用いて

$$\begin{align*} f(x+h)&=(x+h)^2\\ &=x^2+2xh+h^2\\ \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cancel{x^2}+2xh+h^2-\cancel{x^2}}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{2xh+h^2}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{(2x+h)\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}(2x+h)\\ &=2x+0（h=0  を代入）\\ &=2x \end{align*}$$

　よって、$f(x)=x^2$ の導関数は

$$\begin{align*} f'(x)=2x \end{align*}$$

　これを

$$\begin{align*} (x^2)'=2x \end{align*}$$

と表すこともあります。
　この $f'(x)=2x$ に $x=1,  2,  3$ を代入してみると
　$f'(1)=2\cdot1=2$
　$f'(2)=2\cdot2=4$
　$f'(3)=2\cdot3=6$
と、順に大きくなることが分かります。
　このことから、$x$ が大きくなるにつれて、放物線 $y=x^2$ に接する接線の傾きは大きくなることが見て取れます。

　このように、導関数を調べることによって、接線の傾きの動向、ひいては曲線の曲がり具合（どんな感じでグラフが増減しているか）を知ることができます。

（例３）$f(x)=x^3$ の導関数を求める。

　高校で習う３乗の展開公式
　$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
を用いて

$$\begin{align*} f(x+h)&=(x+h)^3\\ &=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\cancel{x^3}+3x^2h+3xh^2+h^3-\cancel{x^3}}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{(3x^2+3xh+h^2)\cancel{h}}{\cancel{h}}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}(3x^2+3xh+h^2)\\ &=3x^2+3x\cdot0+0^2（h=0  を代入）\\ &=3x^2 \end{align*}$$

　よって、$f(x)=x^3$ の導関数は

$$\begin{align*} f'(x)=3x^2 \end{align*}$$

　これを

$$\begin{align*} (x^3)'=3x^2 \end{align*}$$

と表すこともあります。

微分の公式

　ここまでの結果をまとめてみましょう。

 $f(x)=x$ を微分すると　$f'(x)=1$
 $f(x)=x^2$ を微分すると　$f'(x)=2x$
 $f(x)=x^3$ を微分すると　$f'(x)=3x^2$

　以上のことを一般化して、次のように公式化することができます。

＜微分の公式１＞

　$n$ は自然数（$n=1,  2,  3,  \cdots$）のとき、
　$f(x)=x^n$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=nx^{n-1} \end{align*}$$

　これを、次にように表すこともあります。

$$\begin{align*} (x^n)'=nx^{n-1} \end{align*}$$

　ただし、$n$ は自然数（$n=1,  2,  3,  \cdots$）。

＊＊＊

　$f(x)=x^n$ を微分すると、指数（肩にある数）$n$ が係数になり、微分後の指数は $1$ だけ減って $n-1$ になります。

　この公式をそのまま適用すれば

　$f(x)=x^4$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=4x^{4-1}=4x^3 \end{align*}$$

　$f(x)=x^5$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=5x^{5-1}=5x^4 \end{align*}$$

$\hspace{37pt}\vdots$
　$f(x)=x^{10}$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=10x^{10-1}=10x^9 \end{align*}$$

　以下同様と、形式的に微分できます。導関数の定義

$$\begin{align*} f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$$

に従って計算することも可能ですが、この微分の公式を使えば簡単に計算することができます。わざわざ導関数の定義に戻る必要はありません。

　この公式の延長として、いろいろな関数の微分が次のように計算可能です。

　$f(x)=4x^3$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=&4\cdot(x^3)'\\ =&4\cdot3x^2\\ =&12x^2 \end{align*}$$

　係数 $4$ は微分 $(       )'$ の外に出し、$x^3$ の部分を微分します。

　$f(x)=2x^3+5x^2-4x$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)&=2\cdot(x^3)'+5\cdot(x^2)'-4\cdot(x)'\\ &=2\cdot3x^2+5\cdot2x-4\cdot1\\ &=6x^2+10x-4 \end{align*}$$

　いくつかの関数のたし算ひき算で表されている場合は、それぞれの関数を別々に微分します。
　これらは次のように公式化されます。微分するときは、これらの公式を用います。

＜微分の公式２＞

1.   $k$ を定数（実数）とするとき
　$y=kf(x)$  ならば   $y'=kf'(x)$
2.   $y=f(x)+g(x)$  ならば   $y'=f'(x)+g'(x)$
3.   $y=f(x)-g(x)$  ならば   $y'=f'(x)-g'(x)$
4.   $k,  l$ を定数（実数）とするとき
　$y=kf(x)+lg(x)$  ならば   $y'=kf'(x)+lg'(x)$

＊＊＊

　1.  2.  3. を一般化したのが 4. です。
　直感的に理解しやすいので割愛しますが、これらも導関数の定義に従って証明されます。

　なお、上記では指数部分 $n$ は自然数としていますが、次のように実数まで拡張することが可能です（高校の数学Ⅲの微分積分で習います）。

＜微分の公式３＞

　$\alpha$ を任意の実数とするとき、$f(x)=x^{\alpha}$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=\alpha x^{\alpha-1} \end{align*}$$

＊＊＊

（例１）$f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\dfrac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}}=\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \end{align*}$$

（例２）$f(x)=x^{\sqrt{2}}$ を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1} \end{align*}$$

定数関数の微分

　例えば $f(x)=3$ という関数を考えます。これは
　$f(1)=3$
　$f(2)=3$
　$f(3)=3$
$\hspace{18pt}\vdots$
と、$x$ に何を代入しても定数 $3$ となる関数です。このような関数を定数関数といいます。定数関数は、微分すると常に $0$ になります。
　例えば、先ほどの定数関数 $f(x)=3$ を微分すると
　$f'(x)=0$
です。確認のため、定数関数の微分が $0$ になることを、導関数の定義に従って証明します。

（証明）
　$f(x)=C\hspace{-5pt}$（定数）とすると
　$f(x+h)=C$（定数関数なので $C$ のまま）
より

$$\begin{align*} f'(x)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\,\rightarrow\,0}\dfrac{C-C}{h}\\ &=\lim_{h\,\rightarrow\,0}\dfrac{0}{h}\\ &=\lim_{h\,\rightarrow\,0}0\\ &=0 \end{align*}$$

よって、$f(x)=C\hspace{-5pt}$（定数）を微分すると

$$\begin{align*} f'(x)=0 \end{align*}$$

　これを

$$\begin{align*} (c)'=0 \end{align*}$$

と表すこともあります。

（例）$f(x)=7$ を微分すると　$f'(x)=0$
　これを、$(7)'=0$ と表すこともあります。

　確認として、練習問題とその解答を与えます。

練習問題

　次の式を微分しなさい。
(1)　$f(x)=6x^5$
(2)　$f(x)=-3x^4+2x^3-4x+5$

（解答）
(1)　

$$\begin{align*} f'(x)&=6\cdot(x^5)'\\ &=6\cdot5x^4\\ &=30x^4 \end{align*}$$

(2)

$$\begin{align*} f'(x)&=-3\cdot(x^4)'+2\cdot(x^3)'-4\cdot(x)'+(5)'\\ &=-3\cdot4x^3+2\cdot3x^2-4\cdot1+0\\ &=-12x^3+6x^2-4 \end{align*}$$

導関数のいろいろな表記方法

　関数 $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は、次のように表すこともあります。

$$\begin{align*} \dfrac{df(x)}{dx},    \dfrac{d}{dx}f(x),    y',    \dfrac{dy}{dx},    \dfrac{d}{dx}y \end{align*}$$

　例えば、$f(x)=x^3$ の導関数は次のように表せます。

$$\begin{align*} \dfrac{df(x)}{dx}&=3x^2\\ \dfrac{d}{dx}f(x)&=3x^2 \end{align*}$$

　$\dfrac{df(x)}{dx}$ は ”ディー $f(x)$  ディー $x$” と読みます。
　また、$\dfrac{d}{dx}f(x)$ は ”ディー  ディー $x$  $f(x)$” と読みます。
　分数の形をしていますが、分数ではないので上から読み上げます。

　さらに、$y=x^3$ と与えられた場合は、その微分は $y$ を用いて次のように表せます。

$$\begin{align*} y'&=3x^2\\ \dfrac{dy}{dx}&=3x^2\\ \dfrac{d}{dx}y&=3x^2 \end{align*}$$

　この $\dfrac{d}{dx}$ という分数表記のメリットは、$\dfrac{d}{dx}$ の分母の $x$ を見ることによって、「$x$ で微分する」ということがはっきりと分かることです。今の時点では必要性を感じませんが、最後に述べる偏微分でその必要性が分かります。

いろいろな関数の微分

　ここでは、いろいろな関数の微分を紹介します。これらは公式として用いられます。いずれも導関数の定義に従えば証明できますが、ここでは結果だけを列挙します（高校の数学Ⅲの微分積分で習います）。

＜三角関数の微分＞

　$(\sin x)'=\cos x$
　$(\cos x)'=-\sin x$
　$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$

＜対数関数の微分＞

　$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\log a}$（$a$ は $1$ でない正の定数）
　$(\log x)'=\dfrac{1}{x}$
 
　なお、$\log x$ は $e$ を底とする対数で
　$\log_e x=\log x$
と $e$ を省略して書くのが普通です。この $e$ は $e=2.71828 \cdots$ となる無理数の定数で、ネイピア数（Napier's constant）とよばれています。
　この $e$ を低とする対数 $\log x$ を、$x$ の自然対数といいます。
　また、$10$ を低とする対数 $\log_{10} x$ を、$x$ の常用対数といいます。

＜指数関数の微分＞

　$(a^x)'=a^x\log a$（$a$ は $1$ でない正の定数）
　$(e^x)'=e^x$

　最後の $e^x$ は、微分しても変化しない関数です。先に書いたように、$e$ は無理数の定数（ネイピア数）です。
　数学、物理、工学など、勉強が進めばこの $e^x$ が重要な役割を演じることになるので、最後の

$$\begin{align*} (e^x)'=e^x（微分しても変わらない） \end{align*}$$

は特に押さえておきましょう。

高次導関数

　関数 $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ のさらに導関数を、$f(x)$ の第２次導関数といい、次のように表します。

$$\begin{align*} y'',   \dfrac{d^2y}{dx^2},   \dfrac{d^2}{dx^2}y,   f''(x),   \dfrac{d^2f(x)}{dx^2},   \dfrac{d^2}{dx^2}f(x) \end{align*}$$

　つまり、関数 $f(x)$ を２回連続して微分すると第２次導関数 $f''(x)$ が得られます。

$$\begin{align*} \\[-14pt] f(x) \xrightarrow[]{\hspace{-3pt}１回目の微分} f'(x) \xrightarrow[]{\hspace{-3pt}２回目の微分} f''(x) \end{align*}$$

　「$''$」は ”ダブルプライム” や ”ツーダッシュ” と読みます。
　これに対して、$f'(x)$ を $f(x)$ の第１次導関数といいます。
　関数 $f(x)$ から第２次導関数 $f''(x)$ を求めることを、$f(x)$ を２階微分するといいます。
　例えば、$f(x)=2x^5+4x^3$ の第１次導関数は

$$\begin{align*} f'(x)&=2(x^5)'+4(x^3)'\\ &=2\cdot5x^4+4\cdot3x^2\\ &=10x^4+12x^2 \end{align*}$$

なので、$f(x)=2x^5+4x^3$ の第２次導関数は、この $f'(x)$ をもう一度微分して

$$\begin{align*} f''(x)&=10(x^4)'+12(x^2)'\\ &=10\cdot4x^3+12\cdot2x\\ &=40x^3+24x \end{align*}$$