（追記有り）中学でも分かる⑮「一次変換」

　ここでは「一次変換」について学んでいきましょう。この概念は、これまで学習した「行列」と密接な関係があり、数学の世界を広げる重要なステップです。

変換とは

　下図のような座標平面を考えます。中学で習う、$x$ 軸と $y$ 軸がそれぞれの原点 $\mathrm{O}$ で垂直に交わる「$x\!-\!y$ 座標平面」です。

　座標平面とは、数の組 $(x,  y)$ で位置が表される「無数の点の集まり」と考えることができます。
　この座標平面上の任意の点 $\mathrm{P}(x,  y)$ が、ある決まった規則によって同じ平面上の点 $\mathrm{Q}(x',  y')$ へと移されるとき、この対応を座標平面上の変換といいます。そして、点 $\mathrm{P}$ が移った先の点 $\mathrm{Q}$ を、この変換による点 $\mathrm{P}$ の像ぞうといいます。

　例えば、座標平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ を、下図のように、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ動かす平行移動は１つの変換です。

　この変換によって、点 $\mathrm{P}(x,  y)$ が 点 $\mathrm{Q}(x',  y')$ に移されるとすると、$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ の座標の間には

$$\begin{align*} x'&=x+p\\ y'&=y+q \end{align*}$$

という関係があります。この変換を、記号 $f$ などを用いて、次のように表すことができます。

$$\begin{align*} f：(x,  y) \longrightarrow (x+p,  y+g) \end{align*}$$

例題１

　次の変換による点 $\mathrm{P}(2,  3)$ の像を求めよ。
(1)　$f：(x,  y) \rightarrow (x+1,  y-4)$
(2)　$g：(x,  y) \rightarrow (2x-6,  -y+1)$

解答
(1)　$x=2,  y=3$ を $(x+1,  y-4)$ に代入して

$$(2+1,  3-4)=(3,  -1)　\cdots\small{(答)}$$

(2)　$x=2,  y=3$ を $(2x-6,  -y+1)$ に代入して

$$(2\cdot2-6,  -3+1)=(-2,  -2)　\cdots\small{(答)}$$

$\blacksquare$

２次正方行列の変換

　ここで、次のような変換 $f$ を考えます。

$$\begin{align*} x'&=2x+3y\\ y'&=3x-2y \end{align*}　\cdots (*1)$$

　この変換 $f$ によって、 座標平面上の任意の点 $\mathrm{P}(x, y)$ を点 $\mathrm{Q}(x', y')$ に変換します。
　この変換に関して、例題を与えます。

例題２

　変換 $f$

$$\begin{align*} x'&=2x+3y\\ y'&=3x-2y \end{align*}　\cdots (*1)$$

について、$\mathrm{P}(x,  y)$ が次の点であるとき、$f$ による点 $\mathrm{P}$ の像 $\mathrm{Q}(x',  y')$ を求めなさい。

(1)　$(1,  2)$
(2)　$(2,  -3)$
(3)　$(0,  0)$

解答
(1)　$(*1)$ に、$x=1,  y=2$ を代入して

$$\begin{align*} x'&=2x+3y\\ &=2\cdot1+3\cdot2\\ &=2+6\\ &=8\\ y'&=3x-2y\\ &=3\cdot1-2\cdot2\\ &=3-4\\ &=-1 \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} \text{Q}(8,  -1)　\cdots\small{(答)} \end{align*}$$

(2)　$(*1)$ に、$x=2,  y=-3$ を代入して

$$\begin{align*} x&'=2x+3y\\ &=2\cdot2+3\cdot(-3) \\&=4-9\\ &=-5\\ y'&=3x-2y\\ &=3\cdot2-2\cdot(-3)\\ &=6+6\\ &=12 \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} \text{Q}(-5,  12)　\cdots\small{(答)} \end{align*}$$

(3)　$(*1)$ に、$x=0,  y=0$ を代入して

$$\begin{align*} x'&=2x+3y\\ &=2\cdot0+3\cdot0\\ &=0\\ y&'=3x-2y\\ &=3\cdot0-2\cdot0\\ &=0 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathrm{Q}(0,  0)　\cdots\small{(答)} \end{align*}$$

$\blacksquare$

　この変換 $f$

$$\begin{align*} x'&=2x+3y\\ y'&=3x-2y \end{align*}　\cdots (*1)$$

は、次のように２次の正方行列で表すことができます。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] x'\\ y' \end{pmatrix*} =\begin{pmatrix*}[r] 2 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[r] x\\ y \end{pmatrix*}　\cdots (*2) \end{align*}$$

　実際、この $(*2)$ の行列計算を行うと

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] x'\\ y' \end{pmatrix*} &=\begin{pmatrix*}[r] 2 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[r] x\\ y \end{pmatrix*}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 2x+3y\\ 3x-2y \end{pmatrix*} \end{align*}$$

　対応する成分は等しいので

$$\begin{align*} x'&=2x+3y\\ y'&=3x-2y \end{align*}$$

となり、最初に与えた $(*1)$ と同じになることが確認できます。
　この $(*2)$ の関係式から、点 $\mathrm{P}(x,  y)$ は行列

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] 2 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

によって、点 $\mathrm{Q}(x,  y)$ に変換されると読み取ることができます。「点の座標を行列で変換する」という新しいものの見方です。
　この見方を、先ほどの例題２の (1) について用いると

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] x'\\ y' \end{pmatrix*} &=\begin{pmatrix*}[r] 2 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix*}[r] 1\\ 2 \end{pmatrix*}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 2\cdot1+3\cdot2\\ 3\cdot1-2\cdot2 \end{pmatrix*}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 2+6\\ 3-4 \end{pmatrix*}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 8\\ -1 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

より、点 $\mathrm{P}(1,  3)$ は、行列

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] 2 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

によって点 $\mathrm{Q}(8,  -1)$ に変換され、先ほどと同じ結果になります。

　この変換を一般化したのが、これから解説する１次変換です。

１次変換の定義

　一次変換の定義を与えます。

＜一次変換＞

　$a,  b,  c,  d$ を定数として

$$\begin{align*} x'&=ax+by\\ y'&=cx+dy \end{align*}$$

によって点 $\mathrm{P}(x,  y)$ と点 $\mathrm{Q}(x',  y')$ の関係を定めると、座標平面上の１つの変換が得られます。
　一般に、この形の式によって表される変換

$$f：(x,  y) \longrightarrow (x',  y')$$

を１次変換といいます。１次変換 $f$ は、行列を用いると

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

と表すことができます。つまり、変換 $f$ は行列

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{align*}$$

によって定まるので、この変換 $f$ を、行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ で表される１次変換といいます。
　また、この行列のことを変換行列とよびます。

＊＊＊

　端的にいうと、１次変換とは行列で表される変換です（詳説１）。

$$\begin{align*} \\[-14pt] f：(x,  y) \xrightarrow[\scriptsize \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}]{１次変換    } (ax+by,  cx+dy) \end{align*}$$

一次変換による原点 (0, 0) の像

　次の計算より、１次変換では、原点 $(0, 0)$ は原点に移されることが分かります（例題２(3) 参照）。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a\cdot0+b\cdot0 \\ c\cdot0+d\cdot0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \\[-14pt] f：(0,  0) \xrightarrow[\scriptsize \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}]{１次変換    } (0,  0) \end{align*}$$

　一次変換では、原点は他の点に移動せず、原点のままです。つまり１次変換では、原点は常に不動点となります。

１次変換の種

　代表的な１次変換の例として、以下のものがあります。

(1)　$x$ 軸に関する対称移動
(2)　$y$ 軸に関する対称移動
(3)　原点に関する対称移動
(4)　直線 $y=x$ に関する対称移動
(5)　原点を中心とする相似変換
(6)　原点を中心とする回転移動

　これらの一次変換をひとつひとつみていき、それぞれを変換行列で表すことを考えます。

(1)　x 軸に関する対称移動

　点 $(3,  2)$ を $x$ 軸に関して対称移動させると、点 $(3,  -2)$ になります。

　また、点 $(3,  -2)$ を $x$ 軸に関して対称移動させると、点 $(3,  2)$ になります。

　このことから分かるように、$x$ 軸に関する対称移動とは、点の $x$ 座標はそのままに、$y$ 座標の正負の符号を入れ替える操作と考えることができます。

$$\begin{align*} x  軸対称： (x,  y) \longrightarrow (x,  -y) \end{align*}$$

　一般に、点 $(x,  y)$ を $x$ 軸に関して対称移動させた点を $(x',  y')$ とすると、この変換は次のようになります。

$$\begin{align*} x'&=\hspace{7pt}x\\ y'&=-y \end{align*}$$

　この変換は

$$\begin{alignat*}{2} x'&=1\cdot x & &+\hspace{8pt}0\cdot y\\ y'&=0\cdot x & &+(-1)y \end{alignat*}$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

　以上により、$x$ 軸に関する対称移動を表す変換行列は

$$\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*}$$

となります。

(2)　y 軸に関する対称移動

　点 $(3,  2)$ を $y$ 軸に関して対称移動させると、点 $(-3,  2)$ になります。

　また、点 $(-3,  2)$ を $y$ 軸に関して対称移動させると、点 $(3,  2)$ になります。

　このことから分かるように、$y$ 軸に関する対称移動とは、点の $y$ 座標はそのままに、$x$ 座標の正負の符号を入れ替える操作と考えることができます。

$$\begin{align*} y  軸対称： (x,  y) \longrightarrow (-x,  y) \end{align*}$$

　一般に、点 $(x,  y)$ を $y$ 軸に関して対称移動させた点を $(x',  y')$ とすると、この変換は次のようになります。

$$\begin{align*} x'&=-x\\ y'&=\hspace{8pt}y \end{align*}$$

　この変換は

$$\begin{alignat*}{2} x'&=(-1)x & &+0\cdot y\\ y'&=\hspace{8pt}0\cdot x & &+1\cdot y \end{alignat*}$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

　以上により、$y$ 軸に関する対称移動を表す変換行列は

$$\begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}$$

となります。

(3)　原点に関する対称移動

　点 $(3,  2)$ を原点に関して対称移動させると、点 $(-3,  -2)$ になります。

　また、点 $(-3,  -2)$ を原点に関して対称移動させると、点 $(3,  2)$ になります。

　このことから分かるように、原点に関する対称移動とは、$x$ 座標と $y$ 座標の、両方の正負の符号を入れ替える操作と考えることができます。

$$\begin{align*} 原点対称： (x,  y) \longrightarrow (-x,  -y) \end{align*}$$

　一般に、点 $(x,  y)$ を原点に関して対称移動させた点を $(x',  y')$ とすると、この変換は次のようになります。

$$\begin{align*} x'&=-x\\ y'&=-y \end{align*}$$

　この変換は

$$\begin{alignat*}{2} x'&=(-1)x & &+\hspace{15pt}0\cdot y\\ y'&=\hspace{8pt}0\cdot x & &+(-1)\cdot y \end{alignat*}$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

　以上により、原点に関する対称移動を表す変換行列は

$$\begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*}$$

となります。

(4)　直線  y=x  に関する対称移動

　点 $(3,  2)$ を直線 $y=x$ に関して対称移動させると、点 $(2,  3)$ になります。

　また、点 $(2,  3)$ を直線 $y=x$ に関して対称移動させると、点 $(3,  2)$ に戻ります。

　このことから分かるように、直線 $y=x$ に関する対称移動とは、点の $x$ 座標と $y$ 座標を、入れ替える操作と考えることができます。

$$\begin{align*} y=x  対称： (x,  y) \longrightarrow (y,  x) \end{align*}$$

　一般に、点 $(x,  y)$ を直線 $y=x$ に関して対称移動させた点を $(x',  y')$ とすると、この変換は次のようになります。

$$\begin{align*} x'&=y\\ y'&=x \end{align*}$$

　この変換は

$$\begin{alignat*}{3} x'&=0\cdot x & &+1\cdot y\\ y'&=1\cdot x & &+0\cdot y \end{alignat*}$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

　以上により、直線 $y=x$ に関する対称移動を表す変換行列は

$$\begin{pmatrix*}[r] 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix*}$$

となります。

(5)　原点を中心とする相似変換

　原点から点 $(2,  3)$ までの距離を、原点を中心に $3$ 倍に拡大させると、その点の座標は
　$(2\times3,  3\times3)=(6,  9)$
になります。

　原点を中心とする拡大というのは、上図のように、原点を通る直線上での拡大です。$x$ 座標と $y$ 座標を同じ倍数だけ掛けます。
　また、原点から点 $(9,  6)$ までの距離を、原点を中心に $\dfrac{1}{3}$ 倍に縮小させと、その点の座標は
　$\left(9\times\dfrac{1}{3},  6\times\dfrac{1}{3}\right)=(3,  2)$
になります。

　このように、原点からの距離を拡大したり縮小したりする変換を、原点を中心とする相似変換といいます。相似変換は、$x$ 座標と $y$ 座標を、ともに $k$ 倍する操作とみることができます（ただし $k>0$）。

$$\begin{align*} 相似変換： (x,  y) \longrightarrow (kx,  ky) \end{align*}$$

　一般に、点 $\mathrm{P}(x,  y)$ を $k$ 倍に拡大、または縮小させた点を $\mathrm{Q}(x',  y')$ とすると、両者の関係は次のようになります。

$$\begin{align*} x'&=ky\\ y'&=kx \end{align*}$$

　この変換は

$$\begin{alignat*}{2} x'&=k\cdot x & &+0\cdot y\\ y'&=0\cdot x & &+k\cdot y \end{alignat*}$$

と表せるので、これを行列を用いて表すと次のようになります。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

　ただし
(a)　拡大のときは $1< k$
(b)　縮小のときは $0< k<1$
(c)　等倍で変化しないときは $k=1$
であり、(c) のときを、特に恒等変換といいます。恒等変換とは、変換しても座標が移動しない変換です。恒等変換も相似変換に含めます。

　以上により、相似変換を表す変換行列は、$k>0$ として

$$\begin{pmatrix*}[c] k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix*}$$

となります。特に $k=1$ のときは恒等変換となり、そのときの変換行列は

$$\begin{pmatrix*}[c] 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*}$$

と単位行列になります。

まとめ

　以上をまとめると

(1)　$x$ 軸に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

(2)　$y$ 軸に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

(3)　原点に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

(4)　$y=x$ に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

(5)　原点を中心とする $k$ 倍の相似変換は、$k>0$ として

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

となります。これらはすべて

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

の形で表される一次変換です。

例題３

　点 $(5,  3)$ を、次の (1) ～ (5) の変換行列で変換したときの像 $(x',  y')$ をそれぞれ求めなさい。
(1)　$x$ 軸に関する対称移動
(2)　$y$ 軸に関する対称移動
(3)　原点に関する対称移動
(4)　直線 $y=x$ に関する対称移動
(5)　原点を中心とする $5$ 倍の相似変換（原点からの距離を $5$ 倍にする変換）

指針
　それぞれの変換行列を確認しましょう。点 $(5,  3)$ に、それぞれの変換行列を掛けます。

解答
(1)　$x$ 軸に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix*}[r] 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+(-1)\cdot3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 5 \\ -3 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

より

$$(5,  -3)　\cdots\small{(答)}$$

(2)　$y$ 軸に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= &\begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+1\cdot3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] -5 \\ 3 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

より

$$(-5,  3)　\cdots\small{(答)}$$

(3)　原点に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix*}[r] -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+(-1)\cdot3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] -5 \\ -3 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

より

$$(-5,  -3)　\cdots\small{(答)}$$

(4)　$y=x$ に関する対称移動は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix*}[r] 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0\cdot5+1\cdot3 \\ 1\cdot5+0\cdot3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 3 \\ 5 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

より

$$(3,  5)　\cdots\small{(答)}$$

(5)　原点を中心とする $5$ 倍の相似変換は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix*}[r] 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 5\cdot5+0\cdot3 \\ 0\cdot5+5\cdot3 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix*}[r] 25 \\ 15 \end{pmatrix*} \end{align*}$$

より

$$(25,  15)　\cdots\small{(答)}$$

$\blacksquare$

(6)　原点を中心とする回転移動

　最後に、原点を中心とする回転移動です。解説にあたっては、三角関数の知識（三角関数を、原点を中心とする円周上の点と捉とらえる考え方）と、次の加法定理を使います（中学でも分かる➆「三角比」、➇「三角関数」）。

＜加法定理＞

$$\begin{alignat*}{2} &\sin(\alpha+\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ &\sin(\alpha-\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ &\cos(\alpha+\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ &\cos(\alpha-\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\ &\tan(\alpha+\beta) & &=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[8pt] &\tan(\alpha-\beta) & &=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{alignat*}$$

＊＊＊

　座標平面上の点 $\mathrm{P}(x,  y)$ を、原点の周りに一般角 $\theta$ だけ回転して、点 $\mathrm{Q}(x',  y')$ に移す変換を考えます。

　なお、$\theta$ は一般角で、$230\degree$ や $-50\degree$ など、$180\degree$ より大きい角度やマイナスの角度も含みます（詳説２）。

　下図のように、半径 $r$ の円周上の点 $\mathrm{P}(x,  y)$ を考えます。

　このとき、半径 $\mathrm{OP}$ と $x$ 軸の正の部分とのなす角を $\alpha$ とすると、 点 $\mathrm{P}(x,  y)$ の座標は、$r$ と $\alpha$ を用いて

$$(r\cos\alpha,  r\sin\alpha)$$

と表せるので

$$\begin{align*} x&=r\cos\alpha\\ y&=r\sin\alpha \end{align*}　\cdots(*3)$$

　この点を、原点を中心に反時計回りに $\theta$ だけ回転させた点を $\mathrm{Q}(x',  y')$ とします。原点を中心とする回転運動なので、点 $\mathrm{P}$ も点 $\mathrm{Q}$ も、半径 $r$ の円周上に存在することに注意してください。

　この点 $\mathrm{Q}(x',  y')$ の座標は、半径 $\mathrm{OQ}$ と $x$ 軸の正の部分とのなす角が $\theta+\alpha$ より

$$(r\cos(\theta+\alpha),  r\sin(\theta+\alpha))$$

と表せるので

$$\begin{align*} x'&=r\cos(\theta+\alpha)\\ y'&=r\sin(\theta+\alpha) \end{align*}$$

　ここで、加法定理

$$\begin{alignat*}{2} &\sin(\alpha+\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta　\cdots(*4)\\ &\sin(\alpha-\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ &\cos(\alpha+\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta　\cdots(*5)\\ &\cos(\alpha-\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{alignat*}$$

の $(*4),  (*5)$ を用いて

$$\begin{align*} x'&=r\cos(\theta+\alpha)\\ &=r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)　{\small \cdots(*5) より}\\ &=r\cos\theta\cos\alpha-r\sin\theta\sin\alpha\\ &=\cos\theta\cdot\underline{r\cos\alpha}-\sin\theta\cdot\underline{r\sin\alpha}\\ y'&=r\sin(\theta+\alpha)\\ &=r(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)　{\small \cdots(*4) より}\\ &=r\sin\theta\cos\alpha+r\cos\theta\sin\alpha\\ &=\sin\theta\cdot\underline{r\cos\alpha}+\cos\theta\cdot\underline{r\sin\alpha} \end{align*}$$

　下線部に、$(*3)$ 式

$$\begin{align*} x&=r\cos\alpha\\ y&=r\sin\alpha \end{align*}　\cdots(*3)$$

を代入して

$$\begin{align*} x'&=\cos\theta\cdot x-\sin\theta\cdot y\\ y'&=\sin\theta\cdot x+\cos\theta\cdot y \end{align*}$$

　これを行列を用いて表すと

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

となるので、原点を中心とする回転移動を表す変換行列は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix*} \end{align*}$$

となります。この行列を回転行列といいます。あらためて定義を与えます。

＜回転行列＞

　座標平面上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ を、原点の周りに一般角 $\theta$ だけ回転して点 $\mathrm{Q}(x', y')$ に移す変換は、次のように表せる。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix*}[r] \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$$

　このときの変換行列

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix*} \end{align*}$$

を回転行列という。

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例題４

　座標平面上の点 $\mathrm{P}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{1}{2}\right)$ を、原点の周りに $\theta\degree$ だけ回転して、点 $\mathrm{Q}(x', y')$ に移す変換を考えます。このとき、次の場合について、点 $\mathrm{Q}(x', y')$ の座標を回転行列を用いて求めなさい。
(1)　$\theta=60\degree$ のとき
(2)　$\theta=120\degree$ のとき

指針
　$\mathrm{P}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{1}{2}\right)$ に、それぞれの角度の回転行列を掛けます。

解答
(1)　$60\degree$ だけ回転させるときの回転行列は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] \cos60\degree & -\sin60\degree \\ \sin60\degree & \cos60\degree \end{pmatrix*} \end{align*}$$

　すると

$$\begin{align*} \sin60\degree&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \cos60\degree&=\dfrac{1}{2} \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] \cos60\degree & -\sin60\degree \\ \sin60\degree & \cos60\degree \end{pmatrix*} =\begin{pmatrix*}[c] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix*} \end{align*}$$

　よって

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix*}[r] \cos60\degree & -\sin60\degree \\ \sin60\degree & \cos60\degree \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\\[18pt] &=\begin{pmatrix*}[c] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix*} \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[8pt] \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\\[22pt] &=\begin{pmatrix*}[c] \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} \\[8pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\ \end{pmatrix*}\\[22pt] &=\begin{pmatrix*}[c] \dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4} \\[8pt] \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\\ \end{pmatrix*}\\[22pt] &=\begin{pmatrix*}[c] 0 \\[4pt] \dfrac{4}{4}\\ \end{pmatrix*}\\[16pt] &=\begin{pmatrix*}[c] 0 \\ 1\\ \end{pmatrix*} \end{align*}$$

　したがって

$$\mathrm{Q}(0,  1)　\cdots{\small（答）}$$

確認
　回転行列を用いないで、三角関数の知識のみで解いてみましょう。
　下図から分かるように、点 $\mathrm{P}$ は単位円（原点を中心とする半径が $1$ の円）の円周上にあり、半径 $\mathrm{OP}$ と $x$ 軸の正の部分とのなす角は $30\degree$ です（中学でも分かる➆「三角比」）。 

　すると、点 $\mathrm{P}$ は単位円周上で、$x$ 軸の正の部分とのなす角が
　$30\degree+60\degree=90\degree$
の位置に移動するので

$$\mathrm{Q}(\cos90\degree,  \sin90\degree)=\mathrm{Q}(0,  1)$$

となり、同じ結果になります。

(2)　$120\degree$ だけ回転させるときの回転行列は

$$\begin{align*} \begin{pmatrix*}[r] \cos120\degree & -\sin120\degree \\ \sin120\degree & \cos120\degree \end{pmatrix*} \end{align*}$$