中学でも分かる➆「三角比」

　ここでは、三角比の導入を解説します。
　まずは、１次関数のグラフと三平方の定理を簡潔に復習します。どちらも中学で習います。
　その後、直角三角形による三角比の定義を解説し、さらに単位円を用いることによって、角度の範囲を９０度より大きな角度まで拡張していきます。三角比は高校で習います。

一次関数のグラフ

　１次関数は、傾きを $a$、$y$ 切片を $b$ として

$$\begin{align*} y=ax+b \end{align*}$$

と表せます。傾き $a$ は、変化の割合

$$\begin{align*} \\[-12pt] a=\dfrac{y  の増加量}{x  の増加量} \end{align*}$$

で求まります。$y$ 切片 $b$ は、$y$ 軸と交わる交点の $y$ 座標です。

$$\begin{align*} y=\underset{\tiny 傾き}{a}\hspace{-2pt}x+\hspace{-5pt}\underset{\tiny y  切片}{b} \end{align*}$$

　下図の直線のグラフを考えましょう。

　上図において、$y=2x$ のグラフは

$$\begin{alignat*}{2} \\[-12pt] &傾きは  & &a=\dfrac{y  の増加量}{x  の増加量}=\dfrac{+2}{+1}=2{\small （赤矢印）}\\[8pt] &y  切片は   & &b=0{\small （赤点）} \end{alignat*}$$

　$y=2x+2$ のグラフは

$$\begin{alignat*}{2} \\[-12pt] &傾きは  & &a=\dfrac{y  の増加量}{x  の増加量}=\dfrac{+2}{+1}=2\\[8pt] &y  切片は   & &b=2 \end{alignat*}$$

　傾きが同じなので、$y=2x$ と $y=2x+2$ は平行な直線になります。
　$y=-\dfrac{1}{2}x-1$  のグラフは

$$\begin{alignat*}{2} \\[-12pt] &傾きは & &a=\dfrac{y  の増加量}{x  の増加量}=\dfrac{-1}{+2}=-\dfrac{1}{2}{\small （青矢印）}\\[8pt] &y  切片は &   &b=-1{\small （青点）} \end{alignat*}$$

となります。２つ右に行って１つ下がっているので、$y$ の増加量は $-1$ とマイナスになります。

　また、下図のように $x$ 軸と平行な直線を考えることができます。

　$y=3$ のグラフは

$$\begin{alignat*}{2} \\[-12pt] &傾きは  & &a=\dfrac{y  の増加量}{x  の増加量}=\dfrac{0}{+1}=0\\[8pt] &y  切片は   & &b=3 \end{alignat*}$$

のグラフです。$y$ 軸方向には移動していないので、$y$ の増加量は $0$ です。
　$a=0,  b=3$ より

$$\begin{align*} y=ax+b=0\cdot x+3=3 \end{align*}$$

として、$y=3$ が得られます。$y=-2$ のグラフも同様です。
　なお、$x$ 軸と重なる直線は、原点 $(0,  0)$ を通るので $y=0$ となります。

　さらに、下図のように $y$ 軸に平行な直線も考えることができます。

　このときは、傾きは存在せず
　　$(3,  0)$ を通り、$y$ 軸に平行な直線は $x=3$
　　$(-4,  0)$ を通り、$y$ 軸に平行な直線は $x=-4$
となります。傾きは存在しないので、$y=a$ の形では表せないことに注意しましょう。
　なお、$y$ 軸と重なる直線は、原点 $(0,  0)$ を通るので $x=0$ となります。

三平方の定理

　下図のように、直角三角形の直角をはさむ２辺の長さを $a ,   b$、斜辺の長さを $c$ とする。

　このとき、次の関係式が成り立つ。

$$\begin{align*} a^2+b^2=c^2 \end{align*}$$

＊＊＊

　この定理を、三平方の定理（さんへいほうのていり）といいます。この定理は古バビロニアの時代（紀元前２千年頃）から知られていますが、古代ギリシャの数学者ピタゴラスにちなんで、ピタゴラスの定理ともよばれます。
　なお、ピタゴラスはこの定理の発見者ではなく、真の発見者は分かっていません。

例題
　次の直角三角形について、$x$ を求めなさい。

解説
(1)　三平方の定理より

$$\begin{align*} x^2&=1^2+1^2\\ &=1+1\\ &=2 \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} x=\sqrt{2}　\cdots{\small (答)} \end{align*}$$

(2)　三平方の定理より

$$\begin{align*} &x^2+1^2=2^2\\ &x^2+1=4\\ &x^2=4-1=3 \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} x=\sqrt{3}　\cdots{\small (答)} \end{align*}$$

(3)　三平方の定理より

$$\begin{align*} &x^2+3^2=5^2\\ &x^2+9=25\\ &x^2=25-9=16 \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} x=\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4　\cdots{\small (答)} \end{align*}$$

　この結果は、下図のように決まった比として覚えておけばよいでしょう。

　特に、三角比において、(1) と (2) は重要なのでまとめておきます。角度もきれいな値で決まるのでセットで覚えましょう。

特別な直角三角形の３辺の比

　３つの角が $45\degree,  45\degree,  90\degree$ である直角二等辺三角形と、$30\degree,  60\degree,  90\degree$ である直角三角形の３辺の長さの比は次のようになる。

　左は正方形を対角線で分けた下半分の直角二等辺三角形で、辺の比は
　　$1:1:\sqrt{2}$
　右は正三角形を真ん中で分けた左半分の直角三角形で、辺の比は
　　$1:2:\sqrt{3}$
である。

＊＊＊

　これはいわゆる三角定規の形で、この直角三角形に現れる角度 $30\degree,  45\degree,  60\degree,  90\degree$ を有名角といいます。

三角比について

　ここから三角比について勉強します。まずは、最も基本となる三角比の定義を与えましょう。

＜三角比の定義（直角三角形）＞

　下図のような直角三角形がある。

　このとき、三角比を次のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} &\sin A & &=\dfrac{a}{c}\\[6pt] &\cos A & &=\dfrac{b}{c}\\[6pt] &\tan A & &=\dfrac{a}{b} \end{alignat*}$$

＊＊＊

　三角比は直角三角形を用いて定義され、上から順に、”サイン”、”コサイン”、”タンジェント”と読みます。下図のように、頭文字の筆記体の書き順で覚えればよいでしょう。

　斜辺から角度 $A$ をま●た●が●な●い●のが $\sin A$、斜辺から角度 $A$ をま●た●ぐ●のが $\cos A$、底辺から高さへとせり上がるのが $\tan A$ と覚えます。

　なお、相似な直角三角形だと、この三角比の値はつねに等しくなります。
　相似とは、簡単にいえば、形は同じだけど大きさが違う図形です。
　例えば、下図の $\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{ADE}$ は相似で、その相似比は $1:2$ です。

　すると、$\triangle\text{ABC}$ について

$$\begin{align*} \sin A=\dfrac{3}{5}\hspace{10pt} \cos A=\dfrac{4}{5}\hspace{10pt} \tan A=\dfrac{3}{4} \end{align*}$$

　$\triangle\text{ADE}$ について

$$\begin{align*} \sin A=\dfrac{\cancel{6}}{\cancel{10}}=\dfrac{3}{5}\hspace{10pt} \cos A=\dfrac{\cancel{8}}{\cancel{10}}=\dfrac{4}{5}\hspace{10pt} \tan A=\dfrac{\cancel{6}}{\cancel{8}}=\dfrac{3}{4} \end{align*}$$

と、それぞれの三角比は同じ値になります。

有名角の三角比

　$30\degree,  45\degree,  60\degree$ の有名角について、三角比の値を求めてみます。
　下図は、先ほどやった特別な直角三角形の３辺の比です。

　上図より、$30\degree$ のときは

$$\begin{align*} \sin 30\degree=\dfrac{1}{2}\hspace{10pt} \cos 30\degree=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{10pt} \tan 30\degree=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}$$

　$45\degree$ のときは

$$\begin{align*} \sin 45\degree=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{10pt} \cos 45\degree=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{10pt} \tan 45\degree=\dfrac{1}{1}=1 \end{align*}$$

　$60\degree$ のときは

$$\begin{align*} \sin 60\degree=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{10pt} \cos 60\degree=\dfrac{1}{2}\hspace{10pt} \tan 60\degree=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \end{align*}$$

　なお、$\sin45\degree$（および $\cos45\degree$）に関しては

$$\begin{align*} \sin 45\degree=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\underset{分母の有利化}{\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{10pt} \end{align*}$$

と、分母の有利化（ルートを外して有理数にする）をしています。

　まとめると次のようになります。この値は頻繁に出てくるので、暗記しておきましょう。

三角比の表

$$\begin{alignat*}{3} &\sin 30\degree=\dfrac{1}{2}\hspace{24pt} & &\cos 30\degree=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{15pt} & &\tan 30\degree=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt] &\sin 45\degree=\dfrac{\sqrt{2}}{2} & &\cos 45\degree=\dfrac{\sqrt{2}}{2} & &\tan 45\degree=1\\[6pt] &\sin 60\degree=\dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\cos 60\degree=\dfrac{1}{2} & &\tan 60\degree=\sqrt{3} \end{alignat*}$$

　この値でまとめられることが多いです。
　$\sin$ と$\cos$ では、値の増減が逆になります。分子だけを見ると、$\sin$ は上から $1,  \sqrt{2},  \sqrt{3}$、$\cos$ は上から $\sqrt{3},  \sqrt{2},   1$ です。
　また $\tan$ は、$30\degree$ と $60\degree$ で互いに逆数の関係になります。

　ここまでは、三角比を直角三角形の内角で定義したので、角度の範囲は $0< A<90\degree$ でした。この角度を鋭角といいます。
　この範囲を鈍角、つまり $90\degree< A<180\degree$ でも使えるように三角比の定義を拡張しましょう。

三角比の拡張

　最初にやった直角三角形による三角比の定義を再掲します。

＜三角比の定義（直角三角形）＞（再掲）

　下図のような直角三角形がある。

　このとき、三角比を次のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} &\sin A & &=\dfrac{a}{c}\\[6pt] &\cos A & &=\dfrac{b}{c}\\[6pt] &\tan A & &=\dfrac{a}{b} \end{alignat*}$$

＊＊＊

　これは直角三角形で定義しているので、角度の範囲は鋭角 $0< A<90\degree$ で定義されます。$A=120\degree$ や $A=150\degree$ などの鈍角では三角比は使えません。
　よって、この範囲を鈍角、つまり $90\degree< A<180\degree$ の範囲でも使えるように三角比の定義を拡張します。
　ではどのように拡張すればいいか？
　新たに三角比を次のように定義します。

＜三角比の定義（半径 r の円）＞

　下図のように、原点を中心とする半径 $r$ の半円上に点 $\text{P}(x,  y)$ をとり、$x$ 軸の正の部分と半径 $\text{OP}$ とのなす角を $\theta$ とする。ただし、$0\degree\leqq\theta\leqq180\degree$。

　このとき、三角比を次のように定義する。

$$\begin{alignat*}{2} &\sin\theta & &=\dfrac{y}{r}\\[6pt] &\cos\theta & &=\dfrac{x}{r}\\[6pt] &\tan\theta & &=\dfrac{y}{x} \end{alignat*}$$

＊＊＊

　角度を計るスタート地点を始線といいますが、始線は $x$ 軸の正の部分です。
　また、$\text{P}$ は円周上を動く点なので動点、$\text{P}$ が動くと半径 $\text{OP}$ も動く（回転する）ので、半径 $\text{OP}$ は動径といいます。角度 $\theta$ は始線から動径まで測った角度です。

　これが新しい三角比の定義です。なぜこのように定義するのか、抽象的なので具体的に考えましょう。
　下図の直角三角形 $\text{OPQ}$ に着目します。$\theta$ は鋭角 $0\degree<\theta<90\degree$ なので、直角三角形の三角比の定義が使えます。

　すると、上図より
　　$\text{OP}=r,   \text{OQ}=x,   \text{PQ}=y$
となるので、直角三角形による三角比の定義より

$$\begin{alignat*}{2} &\sin\theta & &=\dfrac{y}{r}\\[6pt] &\cos\theta & &=\dfrac{x}{r}\\[6pt] &\tan\theta & &=\dfrac{y}{x} \end{alignat*}$$

　これは、拡張された＜三角比の定義（半径 $\bm{r}$ の円）＞と同じになります（要確認）。

　この角度 $\theta$ を鈍角まで拡張します。鋭角はもとより、鈍角においても、このように計算してしまおうということです。
　$\theta$ が鈍角でも点 $\text{P}(x,  y)$ の座標は決定するので、下図（再掲）において

$$\begin{alignat*}{3} \\[-12pt] &\sin\theta & &=\dfrac{点  \text{P}  の  y  座標}{半径}=\dfrac{y}{r}\\[6pt] &\cos\theta & &=\dfrac{点  \text{P}  の  x  座標}{半径}=\dfrac{x}{r}\\[6pt] &\tan\theta & &=\dfrac{点  \text{P}  の  y  座標}{点  \text{P}  の  x  座標}=\dfrac{y}{x} \end{alignat*}$$

という要領で計算します。
　この定義を用いれば、もはや直角三角形を持ち出す必要はなく、鈍角でも（もちろん鋭角でも）、半径と動点 $\text{P}$ の座標によって三角比を定義することができるので、鋭角から鈍角への自然な拡張となっています。

　抽象的なので具体例をあげて考えましょう。

三角比の定義の拡張の具体例

　有名角のすべての具体例をあげていきます。いずれも、半径と動径 $\text{P}$ の座標で三角比が決まることに着目してください。

例１　$\theta=30\degree$ のとき

　上図のように半径 $2$ の半円を考えます。半径 $r$ は自由に決めてもかまいません。$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形に着目すると
　動点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $\sqrt{3}$  $\rightarrow$  $x=\sqrt{3}$
　動点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $1$  $\rightarrow$  $y=1$
　$r=2$
なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin30\degree & &=\dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{2}\\[6pt] &\cos30\degree & &=\dfrac{x}{r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] &\tan30\degree & &=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{alignat*}$$

　直角三角形の斜辺の比が $2$ なので、半径も同じ $2$ にすれば、点 $\text{P}$ の座標が比と同じ値になり、分かりやすく決まります。半径 $r$ は自由に決めてもよいので、都合のよい半径を選びます。

例２　$\theta=45\degree$ のとき

　上図のように半径 $\sqrt{2}$ の半円を考えます。$1:1:\sqrt{2}$ の直角三角形に着目すると
　動点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $1$  $\rightarrow$  $x=1$
　動点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $1$  $\rightarrow$  $y=1$
　$r=\sqrt{2}$
なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin45\degree & &=\dfrac{y}{r}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] &\cos45\degree & &=\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] &\tan45\degree & &=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{1}=1 \end{alignat*}$$

　直角三角形の斜辺の比が $\sqrt{2}$ なので、半径も同じ $\sqrt{2}$ にすれば、点 $\text{P}$ の座標がが比と同じ値になり、分かりやすく決まります。

例３　$\theta=60\degree$ のとき

　上図のように半径 $2$ の半円を考えます。$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形に着目すると
　動点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $1$  $\rightarrow$  $x=1$
　動点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $\sqrt{3}$  $\rightarrow$  $y=\sqrt{3}$
　$r=2$
なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin60\degree & &=\dfrac{y}{r}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] &\cos60\degree & &=\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{2}\\[6pt] &\tan60\degree & &=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \end{alignat*}$$

　直角三角形の斜辺の比が $2$ なので、半径も同じ $2$ にすれば、点 $\text{P}$ の座標が比と同じ値になり、分かりやすく決まります。

　以上は鋭角のときでした。この定義を鈍角でも採用します。

例４　$\theta=120\degree$ のとき

　上図のように半径 $2$ の半円を考えます。$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形に着目すると
　動点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $-1$  $\rightarrow$  $x=-1$
　動点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $\sqrt{3}$  $\rightarrow$  $y=\sqrt{3}$
　$r=2$
なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin120\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] &\cos120\degree & &=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}\\[6pt] &\tan120\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3} \end{alignat*}$$

　鈍角の場合は、左側の $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形に着目します。
　また、三角比の符号に注意しましょう。点 $\text{P}$ の $x$ 座標はマイナスなので、$\cos120\degree$ と $\tan120\degree$ の値はマイナスになります。 三角比の定義を拡張したことの効果で、鈍角のときでもマイナスの値として $\cos$ と $\tan$ は導かれます。

例５　$\theta=135\degree$ のとき

　上図のように半径 $\sqrt{2}$ の半円を考えます。$1:1:\sqrt{2}$ の直角三角形に着目すると
　動点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $-1$  $\rightarrow$  $x=-1$
　動点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $1$  $\rightarrow$  $y=1$
　$r=\sqrt{2}$
なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin45\degree & &=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] &\cos45\degree & &=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] &\tan45\degree & &=\dfrac{1}{-1}=-1 \end{alignat*}$$

　これも鈍角なので、左側の $1:1:\sqrt{2}$ の直角三角形に着目します。
　また、点 $\text{P}$ の $x$ 座標はマイナスなので、$\cos135\degree$ と $\tan135\degree$ の値はマイナスになります。 

例６　$\theta=150\degree$ のとき

　上図のように半径 $2$ の半円を考えます。$1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形に着目すると
　動点 $\text{P}$ の $x$ 座標は $-\sqrt{3}$  $\rightarrow$  $x=-\sqrt{3}$
　動点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $1$  $\rightarrow$  $y=1$
　$r=\sqrt{2}$
なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin30\degree & &=\dfrac{1}{2}\\[8pt] &\cos30\degree & &=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] &\tan30\degree & &=\dfrac{1}{-\sqrt{3}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{alignat*}$$

　これも鈍角なので、左側の $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形に着目します。
　また、点 $\text{P}$ の $x$ 座標はマイナスなので、$\cos150\degree$ と $\tan150\degree$ の値はマイナスになります。 

単位円

　先にやった、拡張された＜三角比の定義＞を復習しましょう。

＜三角比の定義（半径 $\bm{r}$）の円＞（再掲）

　下図のように、原点を中心とする半径 $r$ の半円上に点 $\text{P}(x,  y)$ をとり、$x$ 軸の正の部分と半径 $\text{OP}$ とのなす角を $\theta$ とする。ただし、$0\degree\leqq\theta\leqq180\degree$。

　このとき、三角比を次のように定義する。

$$\begin{alignat*}{3} &\sin\theta & &=\dfrac{y}{r}\\[6pt] &\cos\theta & &=\dfrac{x}{r}\\[6pt] &\tan\theta & &=\dfrac{y}{x} \end{alignat*}$$

＊＊＊

　この定義では、円の半径 $r$ は任意に選んでも構いません。先ほどの例では $2$ と $\sqrt{2}$ を採用しましたが、ここからは、半径 $r$ を $1$ に統一しましょう。この原点を中心とする半径 $1$ の円を単位円といいます。
　すると、$r=1$ より

$$\begin{alignat*}{3} &\sin\theta & &=\dfrac{y}{1}=y\\[6pt] &\cos\theta & &=\dfrac{x}{1}=x\\[6pt] &\tan\theta & &=\dfrac{y}{x}（変化なし） \end{alignat*}$$

なので

$$\begin{align*} x&=\cos\theta\\[6pt] y&=\sin\theta\\ \end{align*}$$

となり、動点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} \text{P}(x,  y)=\text{P}(\cos\theta,  \sin\theta) \end{align*}$$

と三角比そのもので表されます（下図）。

　上図のように、単位円周上の点の座標を、鋭角でも鈍角でも三角比そのもので表すことが可能になります。
　これにより、三角比を「単位円周上の点の座標」として、新しい意味を与えることができました。
　今後、三角比といったら、つねにこの単位円を用いて考えていきます。ビジュアル的に三角比をとらえることができ、非常に便利です。
　なお、$x$ 座標が $\cos\theta$、$y$ 座標が $\sin\theta$ なので、逆にしないように注意しましょう。$\sin\theta$ の方を先に習うので、逆にするミスが起こりがちです。

単位円の具体例（sin, cos）

　単位円を用いて三角比をどのように扱っていくのか、具体的にみていきましょう。ここでは $\sin\theta$ と $\cos\theta$ について考え、$\tan\theta$ は後でみていきます。

　準備として、次の有名角の三角比について、斜辺の長さを $1$ に統一しましょう。すると、$30\degree$ と $60\degree$ のときは縮尺が $\dfrac{1}{2}$ 倍、$45\degree$ のときは縮尺が $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になり、辺の長さは次のようになります。

　左から (a)、(b)、(c) としましょう。
　斜辺を $1$ にする理由は、単位円の半径 $1$ と合わせるためです。そうすると、点 $\text{P}$ の座標が分かりやすく決まります。

　それでは単位円を用いて、有名角すべてのパターンの具体例をあげていきます。具体的に図を描いてビジュアル的に考えます。単位円周上の点 $\text{P}$ の座標が、そのまま三角比の値になることに着目してください。

例１　$\theta=30\degree$ のとき
　一番左の (a) の直角三角形を当てはめると

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},  \dfrac{1}{2}\right)\\ &\hspace{12pt}{\scriptsize \cos30\degree \sin30\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin30\degree & &=\dfrac{1}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos30\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　$x$ 座標が $\cos$、$y$ 座標が $\sin$ です。逆にしないように注意しましょう。

例２　$\theta=45\degree$ のとき
　真ん中の (b) の直角三角形を当てはまると

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},  \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &\hspace{15pt}{\scriptsize \cos45\degree \sin45\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin45\degree & &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos45\degree & &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　このときは、$\sin$ と $\cos$ は同じ値となります。

例３　$\theta=60\degree$ のとき
　一番右の (c) の直角三角形を当てはまると、

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}\left(\dfrac{1}{2},  \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &\hspace{10pt}{\scriptsize \cos60\degree \sin60\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin60\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos60\degree & &=\dfrac{1}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　ここから鈍角です。

例４　$\theta=120\degree$ のとき
　一番右の (c) の直角三角形を（裏返して）当てはまると

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}\left(-\dfrac{1}{2},  \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &\hspace{12pt}{\scriptsize \cos120\degree \sin120\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin120\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos120\degree & &=-\dfrac{1}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　$\cos120\degree$ は点 $\text{P}$ の $x$ 座標なのでマイナスとなります。鈍角のときの $\cos$ はマイナスです。

例５　$\theta=135\degree$ のとき
　真ん中の (b) の直角三角形を（裏返して）当てはまると

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},  \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &\hspace{18pt}{\scriptsize \cos135\degree \sin135\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin135\degree & &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos135\degree & &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　$\cos135\degree$ は点 $\text{P}$ の $x$ 座標なので、先ほどと同様にマイナスとなります。

例６　$\theta=150\degree$ のとき
　一番右の (b) の直角三角形を（裏返して）当てはまると

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},  \dfrac{1}{2}\right)\\ &\hspace{16pt}{\scriptsize \cos150\degree \sin150\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin150\degree & &=\dfrac{1}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos150\degree & &=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　$\cos150\degree$ は点 $\text{P}$ の $x$ 座標なので、先ほどと同様にマイナスとなります。

0°,  90°,  180° のとき

　同様にして、$0\degree,  90\degree,  180\degree$ のときの三角比も考えることができます。

例７　$\theta=0\degree$ のとき

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}(1,  0)\\ &\hspace{2pt}{\scriptsize \cos0\degree \sin0\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin0\degree & &=0 &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos0\degree & &=1 &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　動径 $\text{OP}$ は $x$ 軸の正の部分と重なっています。

例８　$\theta=90\degree$ のとき

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}(0,  1)\\ &\hspace{-1pt}{\scriptsize \cos90\degree \sin90\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin90\degree & &=1 &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos90\degree & &=0 &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　動径 $\text{OP}$ は $y$ 軸の正の部分と重なっています。

例９　$\theta=180\degree$ のとき

　点 $\text{P}$ の座標は

$$\begin{align*} &\text{P}(-1,  0)\\ &\hspace{2pt}{\scriptsize \cos180\degree \sin180\degree} \end{align*}$$

なので

$$\begin{alignat*}{3} &\sin180\degree & &=0 &  &\small{ （\text{P}  の  y  座標）}\\[6pt] &\cos180\degree & &=-1 &  &\small{ （\text{P}  の  x  座標）} \end{alignat*}$$

　動径 $\text{OP}$ は $x$ 軸の負の部分と重なっています。

　以上のように、三角比を単位円周上の点の座標ととらえることによって、直角三角形から解放され、$0\degree\leqq\theta\leqq180\degree$ の範囲で三角比は定義されます。

三角比の表（sin と cos）

　ここで、主要な角度について、$\sin$ と $\cos$ の値をまとめておきます。

$$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}   & 0\degree & 30\degree & 45\degree & 60\degree & 90\degree & 120\degree & 135\degree & 150\degree & 180\degree\\ \hline \sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \end{array}$$

三角比の値を覚えるコツ

　$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は、$\theta$ が有名角のときの値としては
　　$0,   \dfrac{\sqrt{1}}{2},   \dfrac{\sqrt{2}}{2},   \dfrac{\sqrt{3}}{2},   1$
および、（$0$ を除いて）そのマイナスの値を覚えることになります。その上で、$\theta$ を $0\degree$ から大きくしていきましょう。

(case1)　$\sin\theta$ は $y$ 軸の動きをみます。
　$\sin\theta$ は、$\theta=0\degree$ のときは $0$ で、$\theta$ が鋭角のときは
　　$\dfrac{1}{2},   \dfrac{\sqrt{2}}{2},   \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
と増加していき（赤矢印）、$\theta=90\degree$ で最大値 $1$ をとります。そして、鈍角になってからは今度は
　　$\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{\sqrt{2}}{2},   \dfrac{1}{2}$
と減少していき（青矢印）、$\theta=180\degree$ のときに再び $0$ になります。

(case2)　$\cos\theta$ は $x$ 軸の動きをみます。
　$\cos\theta$ は、$\theta=0\degree$ のときは最大値 $1$ で、$\theta$ が鋭角のときは
　　$\dfrac{\sqrt{3}}{2},   \dfrac{\sqrt{2}}{2},   \dfrac{1}{2}$
と減少していき（赤矢印）、$\theta=0\degree$ で $0$ をとります。
　そして、鈍角になってからはマイナスの値をとりながら、さらに
　　$-\dfrac{1}{2},  -\dfrac{\sqrt{2}}{2},  -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
と減少していき（青矢印）、$\theta=180\degree$ のとき最小値 $-1$ になります。

　このように三角比を動的にとらえることによって、次に習う三角関数や、波や単振動など物理への応用が分かりやすくなります。

三角比の方程式（sin）

　三角比のもっとも基本的な方程式を解いてみましょう。その方程式を満たす $\theta$ を求めます。すべて単位円を用いて解いていきます。
　なお、以下の例題はすべて $0\degree\leqq\theta\leqq180\degree$ とします。つまり、考えるのは単位円の上半分のみです（後に三角関数として単位円全体に拡張します）。

例題１
　$\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

解答　図より、$\theta=30\degree,  150\degree$

解説　$\sin\theta$ は単位円周上の点の $y$ 座標なので、$y=\dfrac{1}{2}$ の直線を引きます。点 $\left(0,  \dfrac{1}{2}\right)$ を通り、$x$ 軸に平行な直線です（下図）。 

　そして、その直線と単位円との交点が $\text{P}$ になるので、原点 $\text{O}$ から $\text{P}$ に線分を引くことによって動径 $\text{OP}$ が決まります（２つあることに着目）。

　そして、$x$ 軸の正の部分と $\text{OP}$ とのなす角が求める $\theta$ なので、上図（再掲）のように、求める $\theta$ は $30\degree,  150\degree$ の２つあることが分かります。
　求める $\theta$ は、鋭角と鈍角で２つあることに注意しましょう。　

例題２
　$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

解答　図より、$\theta=45\degree,  135\degree$

　$y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の直線を引きます。$\sqrt{2}=1.414\cdots$ なので
　　$y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1.414}{2}=0.707$
あたりに直線を引きます。
　単位円と異なる２点で交わるので、このときも求める $\theta$ は $45\degree,  135\degree$ の２つあります。　

例題３
　$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

解答　図より、$\theta=60\degree,  120\degree$

　$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の直線を引きます。$\sqrt{3}=1.732\cdots$ なので
　　$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1.732}{2}=0.866$
あたりに直線を引きます。
　単位円と異なる２点で交わるので、このときも求める $\theta$ は $60\degree,  120\degree$ の２つあります。

例題４
　$\sin\theta=1$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

解答　図より、$\theta=90\degree$

　$y=1$ の直線を引きます。直線 $y=1$ は１点 $(0,  1)$ のみで単位円と交わります。動径 $\text{OP}$ は $y$ 軸の正の部分と重なるので、このときの求める $\theta$ は $90\degree$ の１つだけです。

例題５
　$\sin\theta=0$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

解答　図より、$\theta=0\degree,  180\degree$

　$y=0$ の直線を引きます。直線 $y=0$ は、単位円と２点 $(1,  0),  (-1,  0)$ で交わります。動径 $\text{OP}$ は、$x$ 軸の正の部分で重なるものと、負の部分で重なるものの２つあるので、求める $\theta$ は $0\degree,  180\degree$ の２つあります。

三角比の方程式（cos）

　次は、$\cos$ の方程式をみていきましょう。

例題６
　$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求めなさい。

 解答　図より、$\theta=30\degree$

解説　$\cos\theta$ は単位円周上の点の $x$ 座標なので、$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の直線を引きます。点 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},  0\right)$ を通り、$y$ 軸に平行な直線です（下図）。

　そして、その直線と単位円との交点が $\text{P}$ となるので、原点 $\text{O}$ から $\text{P}$ に線分を引くことによって動径 $\text{OP}$ が決まります。
　そして、$x$ 軸の正の部分と $\text{OP}$ とのなす角が求める $\theta$ なので、上図（再掲）のように、求める $\theta$ は $30\degree$ の１つのみになります。