前回までの三角比では、角度の範囲は 0 ° ≦ θ ≦ 180 ° 0\degree\leqq\theta\leqq180\degree 0° ≦ θ ≦ 180°
前回の復習 前回の、中学でも分かる➆「三角比」では、sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ sin θ , cos θ \sin\theta, \cos\theta sin θ , cos θ tan θ \tan\theta tan θ OP \text{OP} OP x = 1 x=1 x = 1 y y y
(case1) 鋭角、つまり 0 ° < θ < 90 ° 0\degree<\theta<90\degree 0° < θ < 90°
取り得る値の範囲は
\begin{alignat*}{2}
&\sin\theta & &>0\\
&\cos\theta & &>0\\
&\tan\theta & &>0
\end{alignat*}
となり、すべてプラスの値となります。tan θ \tan\theta tan θ Q \text{Q} Q y y y y y y sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ
例 60 ° 60\degree 60°
点 P \text{P} P ( 1 2 , 3 2 ) cos 60 ° sin 60 ° \underset{\hspace{1pt}\cos60\degree\hspace{0pt}\sin60\degree}{\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} c o s 60° s i n 60° ( 2 1 , 2 3 ) Q \text{Q} Q ( 1 , 3 ) tan 60 ° \underset{\hspace{18pt}\tan60\degree}{(1, \sqrt{3}\,)} t a n 60° ( 1 , 3 )
a m p ; sin 60 ° a m p ; a m p ; = 3 2 a m p ; cos 60 ° a m p ; a m p ; = 1 2 a m p ; tan 60 ° a m p ; a m p ; = 3 \begin{alignat*}{2}
&\sin60\degree & &=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]
&\cos60\degree & &=\frac{1}{2}\\[10pt]
&\tan60\degree & &=\sqrt{3}
\end{alignat*} am p ; sin 60° am p ; cos 60° am p ; tan 60° am p ; am p ; am p ; am p ; = 2 3 am p ; = 2 1 am p ; = 3
(case2) 鈍角、つまり 90 ° < θ < 180 ° 90\degree<\theta<180\degree 90° < θ < 180°
取り得る値の範囲は
\begin{alignat*}{2}
&\sin\theta & &>0\\
&\cos\theta & &<0\\
&\tan\theta & &<0
\end{alignat*}
となり、cos θ \cos\theta cos θ tan θ \tan\theta tan θ sin θ \sin\theta sin θ
例 150 ° 150\degree 150°
点 P \text{P} P ( − 3 2 , 1 2 ) cos 150 ° sin 150 ° \underset{\hspace{12pt}\cos150\degree\hspace{1pt}\sin150\degree}{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)} c o s 150° s i n 150° ( − 2 3 , 2 1 ) Q \text{Q} Q ( 1 , − 1 3 ) tan 150 ° \underset{\hspace{18pt}\tan150\degree}{\left(1, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)} t a n 150° ( 1 , − 3 1 )
a m p ; sin 150 ° a m p ; a m p ; = 1 2 a m p ; cos 150 ° a m p ; a m p ; = − 3 2 a m p ; tan 150 ° a m p ; a m p ; = − 1 3 \begin{alignat*}{2}
&\sin150\degree & &=\frac{1}{2}\\[6pt]
&\cos150\degree & &=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]
&\tan150\degree & &=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
\end{alignat*} am p ; sin 150° am p ; cos 150° am p ; tan 150° am p ; am p ; am p ; am p ; = 2 1 am p ; = − 2 3 am p ; = − 3 1
ここまでは、前回の「三角比」でやりました。
三角比を一般角に拡張 ここから、角度の範囲を 0 ° ≦ θ ≦ 180 ° 0\degree\leqq\theta\leqq180\degree 0° ≦ θ ≦ 180°
一般角 動径 OP \text{OP} OP O \text{O} O x x x 正の方向 ）に測った角を正の角 、時計回り（負の方向 ）に測った角を負の角 とする。角度は x x x 始線 という。120 ° 120\degree 120° − 60 ° -60\degree − 60°
動径 OP \text{OP} OP O \text{O} O 360 ° 360\degree 360° 一般角 という。360 ° 360\degree 360° 1 1 1 OP \text{OP} OP a ° a\degree a ° OP \text{OP} OP θ \theta θ
\begin{align*}
\theta=a\degree+360\degree\times n\small{（n は整数）}
\end{align*}
＊＊＊
例１ 420 ° 420\degree 420° 420 ° = 60 ° + 360 ° × 1 420\degree=60\degree+360\degree\times1 420° = 60° + 360° × 1
半時計周りに１周回って 60 ° 60\degree 60°
例２ 780 ° 780\degree 780° 780 ° = 60 ° + 360 ° × 2 780\degree=60\degree+360\degree\times2 780° = 60° + 360° × 2
半時周りに２周回って 60 ° 60\degree 60°
例３ − 300 ° -300\degree − 300° − 300 ° = 60 ° + 360 ° × ( − 1 ) -300\degree=60\degree+360\degree\times(-1) − 300° = 60° + 360° × ( − 1 )
負の角なので、時計回りに 300 ° 300\degree 300° 例１ 、例２、例３ はすべて同じ動径を表し、60 ° 60\degree 60° OP \text{OP} OP θ \theta θ
\begin{align*}
\theta=60\degree+360\degree\times n\small{（n は整数）}
\end{align*}
となります。
三角関数 三角比 sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ θ \theta θ θ \theta θ θ \theta θ sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ 三角関数 といいます。
あらためて、教科書的に三角関数の定義を与えます。＜三角比の定義＞ を一般角に対しても成り立つように拡張し、角度を入力とする新しい関数としてとらえ直したものです。
＜三角関数の定義＞ 座標平面において、中心が原点 O \text{O} O r r r x x x 始線 ）と動径 OP \text{OP} OP 一般角 ）を θ \theta θ
このとき、点 P ( x , y ) \text{P}(x, y) P ( x , y ) sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ
sin θ a m p ; = y r cos θ a m p ; = x r tan θ a m p ; = y x \begin{align*}
\sin\theta&=\dfrac{y}{r}\\[8pt]
\cos\theta&=\dfrac{x}{r}\\[8pt]
\tan\theta&=\dfrac{y}{x}
\end{align*} sin θ cos θ tan θ am p ; = r y am p ; = r x am p ; = x y
＊＊＊
定義式自体は＜三角比の定義＞ と同じですが、扱える角度が三角比の 0 ° ≦ θ ≦ 180 ° 0\degree\leqq\theta\leqq180\degree 0° ≦ θ ≦ 180° sin θ , cos θ \sin\theta, \cos\theta sin θ , cos θ r r r
y a m p ; = r sin θ x a m p ; = r cos θ \begin{align*}
y&=r\sin\theta\\
x&=r\cos\theta
\end{align*} y x am p ; = r sin θ am p ; = r cos θ
したがって、点 P ( x , y ) \text{P}(x, y) P ( x , y ) r r r sin θ , cos θ \sin\theta, \cos\theta sin θ , cos θ
P ( r cos θ , n b s p ; r sin θ ) \begin{align*}
\text{P}(r\cos\theta, r\sin\theta)
\end{align*} P ( r cos θ , nb s p ; r sin θ )
と表せます。
ここで、半径を r = 1 r=1 r = 1 1 1 1 単位円 といいます。このとき、単位円周上の点 P \text{P} P
P ( cos θ , n b s p ; sin θ ) \begin{align*}
\text{P}(\cos\theta, \sin\theta)
\end{align*} P ( cos θ , nb s p ; sin θ )
tan θ \tan\theta tan θ sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ
(ⅰ) 点 P ( x , y ) \text{P}(x, y) P ( x , y ) 0 ° < θ < 90 ° 0\degree<\theta<90\degree 0° < θ < 90° 180 ° < θ < 270 ° 180\degree<\theta<270\degree 180° < θ < 270°
三角関数 sin θ , cos θ \sin\theta, \cos\theta sin θ , cos θ tan θ \tan\theta tan θ OP \text{OP} OP x = 1 x=1 x = 1 y y y
(ⅱ) 点 P ( x , y ) \text{P}(x, y) P ( x , y ) 90 ° < θ < 180 ∘ 90\degree<\theta<180^{\circ} 90° < θ < 18 0 ∘ 270 ° < θ < 360 ° 270\degree<\theta<360\degree 270° < θ < 360°
このときも tan θ \tan\theta tan θ OP \text{OP} OP x = 1 x=1 x = 1 y y y y y y x x x
0 ° ≦ θ ≦ 180 ° 0\degree\leqq\theta\leqq180\degree 0° ≦ θ ≦ 180° 180 ° 180\degree 180°
例えば、240 ° 240\degree 240°
点 P \text{P} P ( − 1 2 , − 3 2 ) cos 240 ° sin 240 ° \underset{\hspace{1pt}\cos240\degree\hspace{5pt}\sin240\degree}{\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} c o s 240° s i n 240° ( − 2 1 , − 2 3 ) Q \text{Q} Q ( 1 , 3 ) tan 240 ° \underset{\hspace{18pt}\tan240\degree}{(1, \sqrt{3}\,)} t a n 240° ( 1 , 3 )
a m p ; sin 240 ° a m p ; a m p ; = − 3 2 a m p ; cos 240 ° a m p ; a m p ; = − 1 2 a m p ; tan 240 ° a m p ; a m p ; = 3 \begin{alignat*}{2}
&\sin240\degree & &=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]
&\cos240\degree & &=-\frac{1}{2}\\[10pt]
&\tan240\degree & &=\sqrt{3}
\end{alignat*} am p ; sin 240° am p ; cos 240° am p ; tan 240° am p ; am p ; am p ; am p ; = − 2 3 am p ; = − 2 1 am p ; = 3
300 ° 300\degree 300°
点 P \text{P} P ( 1 2 , − 3 2 ) cos 300 ° sin 300 ° \underset{\hspace{-2pt}\cos300\degree\hspace{3pt}\sin300\degree}{\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} c o s 300° s i n 300° ( 2 1 , − 2 3 ) Q \text{Q} Q ( 1 , − 3 ) tan 300 ° \underset{\hspace{18pt}\tan300\degree}{(1, -\sqrt{3}\,)} t a n 300° ( 1 , − 3 )
a m p ; sin 300 ° a m p ; a m p ; = − 3 2 a m p ; cos 300 ° a m p ; a m p ; = 1 2 a m p ; tan 300 ° a m p ; a m p ; = − 3 \begin{alignat*}{2}
&\sin300\degree & &=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]
&\cos300\degree & &=\frac{1}{2}\\[10pt]
&\tan300\degree & &=-\sqrt{3}
\end{alignat*} am p ; sin 300° am p ; cos 300° am p ; tan 300° am p ; am p ; am p ; am p ; = − 2 3 am p ; = 2 1 am p ; = − 3
と決定されます。
(case3) 180 ° < θ < 270 ° 180\degree<\theta<270\degree 180° < θ < 270°
取り得る値の範囲は
\begin{alignat*}{2}
&\sin\theta & &<0\\
&\cos\theta & &<0\\
&\tan\theta & &>0
\end{alignat*}
となり、sin θ \sin\theta sin θ cos θ \cos\theta cos θ tan θ \tan\theta tan θ
(case4) 270 ° < θ < 360 ° 270\degree<\theta<360\degree 270° < θ < 360°
取り得る値の範囲は
\begin{alignat*}{2}
&\sin\theta & &<0\\
&\cos\theta & &>0\\
&\tan\theta & &<0
\end{alignat*}
となり、sin θ \sin\theta sin θ tan θ \tan\theta tan θ cos θ \cos\theta cos θ
sinθ、cosθ のグラフ ここから、三角関数のグラフを考えましょう。0 ° ≦ θ ≦ 180 ° 0\degree\leqq\theta\leqq180\degree 0° ≦ θ ≦ 180° sin θ \sin\theta sin θ cos θ \cos\theta cos θ
n b s p ; a m p ; 0 ° a m p ; 30 ° a m p ; 45 ° a m p ; 60 ° a m p ; 90 ° a m p ; 120 ° a m p ; 135 ° a m p ; 150 ° a m p ; 180 ° sin a m p ; 0 a m p ; 1 2 a m p ; 2 2 a m p ; 3 2 a m p ; 1 a m p ; 3 2 a m p ; 2 2 a m p ; 1 2 a m p ; 0 cos a m p ; 1 a m p ; 3 2 a m p ; 2 2 a m p ; 1 2 a m p ; 0 a m p ; − 1 2 n b s p ; a m p ; − 2 2 n b s p ; a m p ; − 3 2 a m p ; − 1 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
& 0\degree & 30\degree & 45\degree & 60\degree & 90\degree
& 120\degree & 135\degree & 150\degree & 180\degree\\ \hline
\sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1
& \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ \hline
\cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0
& -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1
\end{array} sin cos nb s p ; am p ; 0 am p ; 1 am p ; 0° am p ; 2 1 am p ; 2 3 am p ; 30° am p ; 2 2 am p ; 2 2 am p ; 45° am p ; 2 3 am p ; 2 1 am p ; 60° am p ; 1 am p ; 0 am p ; 90° am p ; 2 3 am p ; − 2 1 am p ; 120° am p ; 2 2 nb s p ; am p ; 135° am p ; 2 1 am p ; − 2 2 am p ; 150° am p ; 0 nb s p ; am p ; 180° am p ; − 2 3 am p ; − 1
関数 y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ 30 ° 30\degree 30° y − θ y-\theta y − θ
y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ
sin θ \sin\theta sin θ y y y θ \theta θ y y y y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ θ = 90 ° \theta=90\degree θ = 90° 1 1 1
y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ
cos θ \cos\theta cos θ x x x x x x 90 ° 90\degree 90° x x x θ \theta θ x x x y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ
これを、すべての角度 θ \theta θ 180 ° ≦ θ ≦ 360 ° 180\degree\leqq\theta\leqq360\degree 180° ≦ θ ≦ 360° sin θ \sin\theta sin θ cos θ \cos\theta cos θ (case3) 、(case4) でやったように、単位円を用いることによって下の表が得られます（各自確認）。
n b s p ; a m p ; 180 ° a m p ; 210 ° a m p ; 225 ° a m p ; 240 ° a m p ; 270 ° a m p ; 300 ° a m p ; 315 ° a m p ; 330 ° a m p ; 360 ° sin a m p ; 0 a m p ; − 1 2 a m p ; − 2 2 a m p ; − 3 2 a m p ; − 1 a m p ; − 3 2 a m p ; 2 2 a m p ; − 1 2 a m p ; 0 cos a m p ; − 1 a m p ; − 3 2 a m p ; − 2 2 a m p ; − 1 2 a m p ; 0 a m p ; 1 2 n b s p ; a m p ; 2 2 n b s p ; a m p ; 3 2 a m p ; 1 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
& 180\degree & 210\degree & 225\degree & 240\degree & 270\degree
& 300\degree & 315\degree & 330\degree & 360\degree\\ \hline
\sin & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1
& -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ \hline
\cos & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0
& \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1
\end{array} sin cos nb s p ; am p ; 0 am p ; − 1 am p ; 180° am p ; − 2 1 am p ; − 2 3 am p ; 210° am p ; − 2 2 am p ; − 2 2 am p ; 225° am p ; − 2 3 am p ; − 2 1 am p ; 240° am p ; − 1 am p ; 0 am p ; 270° am p ; − 2 3 am p ; 2 1 am p ; 300° am p ; 2 2 nb s p ; am p ; 315° am p ; − 2 1 am p ; 2 2 am p ; 330° am p ; 0 nb s p ; am p ; 360° am p ; 2 3 am p ; 1
θ \theta θ 180 ° 180\degree 180° sin θ \sin\theta sin θ y y y 180 ° 180\degree 180° sin θ \sin\theta sin θ − 1 2 , − 2 2 , − 3 2 -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2} − 2 1 , − 2 2 , − 2 3 − 1 -1 − 1 − 3 2 , − 2 2 , − 1 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{1}{2} − 2 3 , − 2 2 , − 2 1 0 0 0
cos θ \cos\theta cos θ x x x cos θ \cos\theta cos θ − 3 2 , − 2 2 , − 1 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{1}{2} − 2 3 , − 2 2 , − 2 1 0 0 0 1 2 , 2 2 , 3 2 \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 1 , 2 2 , 2 3 1 1 1
円の回転と、その三角比の値がきちんと対応していることを是非とも確認ください。y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ
一般角のところで、反時計回りを正の角、時計回りを負の角と定義しました。つまり − 30 ° -30\degree − 30° 30 ° 30\degree 30° OP \text{OP} OP 330 ° 330\degree 330°
a m p ; sin ( − 30 ° ) a m p ; a m p ; = sin 330 ° a m p ; a m p ; = − 1 2 a m p ; cos ( − 30 ° ) a m p ; a m p ; = cos 330 ° a m p ; a m p ; = 3 2 \begin{alignat*}{3}
&\sin(-30\degree) & &=\sin330\degree & &=-\dfrac{1}{2}\\[6pt]
&\cos(-30\degree) & &=\cos330\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignat*} am p ; sin ( − 30° ) am p ; cos ( − 30° ) am p ; am p ; am p ; = sin 330° am p ; = cos 330° am p ; am p ; am p ; = − 2 1 am p ; = 2 3
となります（下図の赤字）。sin θ \sin\theta sin θ 210 ° 210\degree 210° cos θ \cos\theta cos θ 30 ° 30\degree 30°
a m p ; sin ( − 30 ° ) a m p ; a m p ; = sin 225 ° a m p ; a m p ; = sin 330 ° a m p ; a m p ; = − 1 2 a m p ; cos ( − 30 ° ) a m p ; a m p ; = cos 30 ° a m p ; a m p ; = cos 330 ° a m p ; a m p ; = 3 2 \begin{alignat*}{4}
&\sin(-30\degree) & &=\sin225\degree & &=\sin330\degree & &=-\dfrac{1}{2}\\[6pt]
&\cos(-30\degree) & &=\cos30\degree & &=\cos330\degree & &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{alignat*} am p ; sin ( − 30° ) am p ; cos ( − 30° ) am p ; am p ; am p ; = sin 225° am p ; = cos 30° am p ; am p ; am p ; = sin 330° am p ; = cos 330° am p ; am p ; am p ; = − 2 1 am p ; = 2 3
以上より、y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ
y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ
y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ
どちらも 0 ° ≦ θ ≦ 360 ° 0\degree\leqq\theta\leqq360\degree 0° ≦ θ ≦ 360° 360 ° 360\degree 360° y y y − 1 ≦ y ≦ 1 -1\leqq y \leqq1 − 1 ≦ y ≦ 1 y = sin θ y=\sin\theta y = sin θ 90 ° 90\degree 90° y = cos θ y=\cos\theta y = cos θ
tanθ のグラフ つぎは y = tan θ y=\tan\theta y = tan θ tan θ \tan\theta tan θ OP \text{OP} OP x = 1 x=1 x = 1 y y y 0 ° ≦ θ ≦ 180 ° 0\degree\leqq\theta\leqq180\degree 0° ≦ θ ≦ 180° tan θ \tan\theta tan θ
n b s p ; a m p ; 0 ° a m p ; 30 ° a m p ; 45 ° a m p ; 60 ° a m p ; 90 ° a m p ; 120 ° a m p ; 135 ° a m p ; 150 ° a m p ; 180 ° tan a m p ; 0 a m p ; 1 3 a m p ; 1 a m p ; 3 a m p ; なし a m p ; − 3 a m p ; − 1 a m p ; − 1 3 a m p ; 0 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
& 0\degree & 30\degree & 45\degree & 60\degree & 90\degree
& 120\degree & 135\degree & 150\degree & 180\degree\\ \hline
\tan & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & {\small なし} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0
\end{array} tan nb s p ; am p ; 0 am p ; 0° am p ; 3 1 am p ; 30° am p ; 1 am p ; 45° am p ; 3 am p ; 60° am p ; なし am p ; 90° am p ; − 3 am p ; 120° am p ; − 1 am p ; 135° am p ; − 3 1 am p ; 150° am p ; 0 am p ; 180°
関数 y = tan θ y=\tan\theta y = tan θ y − θ y-\theta y − θ
θ \theta θ 90 ° 90\degree 90° y = 90 ° y=90\degree y = 90° θ \theta θ 90 ° 90\degree 90° θ = 90 ° \theta=90\degree θ = 90° 漸近線 といいます。
これを、すべての角度 θ \theta θ 180 ° ≦ θ ≦ 360 ° 180\degree\leqq\theta\leqq360\degree 180° ≦ θ ≦ 360° tan θ \tan\theta tan θ (case3) 、(case4) でやったように、単位円を用いることによって下の表が得られます（各自確認）。
n b s p ; a m p ; 180 ° a m p ; 210 ° a m p ; 225 ° a m p ; 240 ° a m p ; 270 ° a m p ; 300 ° a m p ; 315 ° a m p ; 330 ° a m p ; 360 ° tan a m p ; 0 a m p ; 1 3 a m p ; 1 a m p ; 3 a m p ; なし a m p ; − 3 a m p ; − 1 a m p ; − 1 3 a m p ; 0 \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
& 180\degree & 210\degree & 225\degree & 240\degree & 270\degree
& 300\degree & 315\degree & 330\degree & 360\degree\\ \hline
\tan & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & {\small なし} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0
\end{array} tan nb s p ; am p ; 0 am p ; 180° am p ; 3 1 am p ; 210° am p ; 1 am p ; 225° am p ; 3 am p ; 240° am p ; なし am p ; 270° am p ; − 3 am p ; 300° am p ; − 1 am p ; 315° am p ; − 3 1 am p ; 330° am p ; 0 am p ; 360°
θ \theta θ 180 ° 180\degree 180° tan θ \tan\theta tan θ y y y tan θ \tan\theta tan θ θ = 180 ° \theta=180\degree θ = 180° 0 0 0 1 3 , 1 , 3 \dfrac{1}{\sqrt{3}}, 1, \sqrt{3} 3 1 , 1 , 3 θ \theta θ tan θ \tan\theta tan θ θ = 270 ° \theta=270\degree θ = 270° tan θ \tan\theta tan θ θ = 270 ° \theta=270\degree θ = 270° − 3 , − 1 , − 1 3 -\sqrt{3}, -1, -\dfrac{1}{\sqrt{3}} − 3 , − 1 , − 3 1 θ = 360 ° \theta=360\degree θ = 360° 0 0 0
これを書き足し、一般角で y = tan θ y=\tan\theta y = tan θ
以上より、y = tan θ y=\tan\theta y = tan θ
y = tan θ y=\tan\theta y = tan θ
− 90 ° < θ < 90 ° -90\degree<\theta<90\degree − 90° < θ < 90° 180 ° 180\degree 180° y y y θ = − 270 ° , − 90 ° , 90 ° , 270 ° \theta=-270\degree, -90\degree, 90\degree, 270\degree θ = − 270° , − 90° , 90° , 270°
θ = 90 ° + 180 ° × n （ n は整数） \begin{align*}
\theta=90\degree+180\degree\times n{\small（n は整数）}
\end{align*} θ = 90° + 180° × n （ n は整数）
となります。n = − 2 n=-2 n = − 2 θ = 90 ° + 180 ° × ( − 2 ) = − 270 ° \theta=90\degree+180\degree\times (-2)=-270\degree θ = 90° + 180° × ( − 2 ) = − 270° n = − 1 n=-1 n = − 1 θ = 90 ° + 180 ° × ( − 1 ) = − 90 ° \theta=90\degree+180\degree\times (-1)=-90\degree θ = 90° + 180° × ( − 1 ) = − 90° n = 0 n=0 n = 0 θ = 90 ° + 180 ° × 0 = 90 ° \theta=90\degree+180\degree\times 0=90\degree θ = 90° + 180° × 0 = 90° n = 1 n=1 n = 1 θ = 90 ° + 180 ° × 1 = 270 ° \theta=90\degree+180\degree\times 1=270\degree θ = 90° + 180° × 1 = 270° ⋮ \hspace{23pt}\vdots ⋮
三角比・三角関数の重要公式 高校で習う三角比・三角関数の公式です。主要なものを並べていきます。証明は教科書などを参照してください。前回やった三角比、およびその拡張としての三角関数の定義は非常にシンプルですが、ひとたびそのように定義すると、美しい公式が数多く現れることが驚きです。
次の △ ABC \triangle\text{ABC} △ ABC
＜正弦定理＞ △ ABC \triangle\text{ABC} △ ABC R R R
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R \begin{align*}
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
\end{align*} sin A a = sin B b = sin C c = 2 R
＜余弦定理＞ a 2 a m p ; = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 a m p ; = c 2 + a 2 − 2 c a cos B c 2 a m p ; = a 2 + b 2 − 2 a b cos C \begin{align*}
a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\
b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B\\
c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C
\end{align*} a 2 b 2 c 2 am p ; = b 2 + c 2 − 2 b c cos A am p ; = c 2 + a 2 − 2 c a cos B am p ; = a 2 + b 2 − 2 ab cos C
＜三角形の面積＞ △ ABC \triangle\text{ABC} △ ABC S S S
S = 1 2 b c sin A = 1 2 c a sin B = 1 2 a b sin C \begin{align*}
S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C
\end{align*} S = 2 1 b c sin A = 2 1 c a sin B = 2 1 ab sin C
ここまでは、三角形の内角で定義された公式です。θ , α , β \theta, \alpha, \beta θ , α , β
＜三角関数の相互関係＞ a m p ; sin 2 θ + cos 2 θ = 1 a m p ; tan θ = tan θ cos θ a m p ; 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ \begin{align*}
&\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\[6pt]
&\tan\theta=\dfrac{\tan\theta}{\cos\theta}\\[6pt]
&1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
\end{align*} am p ; sin 2 θ + cos 2 θ = 1 am p ; tan θ = cos θ tan θ am p ; 1 + tan 2 θ = cos 2 θ 1
＜加法定理＞ a m p ; sin ( α + β ) a m p ; a m p ; = sin α cos β + cos α sin β a m p ; sin ( α − β ) a m p ; a m p ; = sin α cos β − cos α sin β a m p ; cos ( α + β ) a m p ; a m p ; = cos α cos β − sin α sin β a m p ; cos ( α − β ) a m p ; a m p ; = cos α cos β + sin α sin β a m p ; tan ( α + β ) a m p ; a m p ; = tan α + tan β 1 − tan α tan β a m p ; tan ( α − β ) a m p ; a m p ; = tan α − tan β 1 + tan α tan β \begin{alignat*}{2}
&\sin(\alpha+\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
&\sin(\alpha-\beta) & &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
&\cos(\alpha+\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
&\cos(\alpha-\beta) & &=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\
&\tan(\alpha+\beta) & &=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[8pt]
&\tan(\alpha-\beta) & &=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{alignat*} am p ; sin ( α + β ) am p ; sin ( α − β ) am p ; cos ( α + β ) am p ; cos ( α − β ) am p ; tan ( α + β ) am p ; tan ( α − β ) am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; = sin α cos β + cos α sin β am p ; = sin α cos β − cos α sin β am p ; = cos α cos β − sin α sin β am p ; = cos α cos β + sin α sin β am p ; = 1 − tan α tan β tan α + tan β am p ; = 1 + tan α tan β tan α − tan β
＜２倍角の公式＞ a m p ; sin 2 α a m p ; a m p ; = 2 sin α cos β a m p ; cos 2 α a m p ; a m p ; = cos 2 α − sin 2 α a m p ; a m p ; a m p ; = 1 − 2 sin 2 α a m p ; a m p ; a m p ; = 2 cos 2 α − 1 a m p ; tan 2 α a m p ; a m p ; = 2 tan α 1 − tan 2 α \begin{alignat*}{2}
&\sin2\alpha & &=2\sin\alpha\cos\beta\\
&\cos2\alpha & &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\
& & &=1-2\sin^2\alpha\\
& & &=2\cos^2\alpha-1\\
&\tan2\alpha & &=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\end{alignat*} am p ; sin 2 α am p ; cos 2 α am p ; am p ; am p ; tan 2 α am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; am p ; = 2 sin α cos β am p ; = cos 2 α − sin 2 α am p ; = 1 − 2 sin 2 α am p ; = 2 cos 2 α − 1 am p ; = 1 − tan 2 α 2 tan α
＜半角の公式＞ a m p ; sin 2 α 2 a m p ; a m p ; = 1 − cos α 2 a m p ; cos 2 α 2 a m p ; a m p ; = 1 + cos α 2 a m p ; tan 2 α 2 a m p ; a m p ; = 1 − cos α 1 + cos α \begin{alignat*}{2}
&\sin^2\dfrac{\alpha}{2} & &=\dfrac{1-\cos\alpha}{2}\\[6pt]
&\cos^2\dfrac{\alpha}{2} & &=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}\\[6pt]
&\tan^2\dfrac{\alpha}{2} & &=\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}
\end{alignat*} am p ; sin 2 2 α am p ; cos 2 2 α am p ; tan 2 2 α am p ; am p ; am p ; am p ; = 2 1 − cos α am p ; = 2 1 + cos α am p ; = 1 + cos α 1 − cos α
弧度法 三角関数の角度の表し方として、今までは度数法で表してきました。度数法とは「度 (° \degree ° 弧度法 といいます。弧度法の単位はラジアン (rad) です。円の"弧"で"角度"を表す方法です。
一周の角度の大きさは、度数法では 360 ° 360\degree 360° 2 π 2\pi 2 π 360 ° 360\degree 360° 2 π 2\pi 2 π
360 ° ⟷ n b s p ; 2 π n b s p ; ラジアン \begin{align*}
360\degree \longleftrightarrow 2\pi \small{ラジアン}
\end{align*} 360° ⟷ nb s p ; 2 π nb s p ; ラジアン
弧度法では、単位のラジアンを省略して、360 ° 360\degree 360° 2 π 2\pi 2 π
360 ° ⟷ n b s p ; 2 π \begin{align*}
360\degree \longleftrightarrow 2\pi
\end{align*} 360° ⟷ nb s p ; 2 π
すると、中心角（度数法）と、それに対する弧の長さは比例するので
この「360 ° ⟷ 2 π 360\degree \longleftrightarrow 2\pi 360° ⟷ 2 π 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1 ⋯ \cdots ⋯
\begin{alignat*}{2}
360\degree &\longleftrightarrow 2\pi & &\small{基準}\\[6pt]
180\degree &\longleftrightarrow \pi & &\small{基準の \dfrac{1}{2} 倍}\\[6pt]
90\degree &\longleftrightarrow \dfrac{\pi}{2} & &\small{基準の \dfrac{1}{4} 倍}\\[6pt]
60\degree &\longleftrightarrow \dfrac{\pi}{3} & &\small{基準の \dfrac{1}{6} 倍}\\[6pt]
45\degree &\longleftrightarrow \dfrac{\pi}{4} & &\small{基準の \dfrac{1}{8} 倍}\\[6pt]
30\degree &\longleftrightarrow \dfrac{\pi}{6} & &\small{基準の \dfrac{1}{12} 倍}\\[8pt]
0\degree &\longleftrightarrow 0 & &\small{基準の 0 倍}
\end{alignat*}
単位円で書くと次のようになります。内側が度数法、外側が弧度法です。
例えば、30 ° 30\degree 30° π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π 45 ° 45\degree 45° π 4 \dfrac{\pi}{4} 4 π 30 ° ⟷ π 6 30\degree \longleftrightarrow \dfrac{\pi}{6} 30° ⟷ 6 π 2 2 2 3 3 3 ⋯ \cdots ⋯ 30 ° 30\degree 30°
\begin{alignat*}{2}
30\degree &\longleftrightarrow \dfrac{\pi}{6} & &\small{基準}\\[6pt]
60\degree &\longleftrightarrow \dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3} & &\small{基準の 2 倍}\\[6pt]
90\degree &\longleftrightarrow \dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2} & &\small{基準の 3 倍}\\[6pt]
\underline{120\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3} & &\small{基準の 4 倍}\\[6pt]
\underline{150\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{5\pi}{6} & &\small{基準の 5 倍}\\[6pt]
180\degree &\longleftrightarrow \dfrac{9\pi}{6}=\pi & &\small{基準の 6 倍}\\[6pt]
\underline{210\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{7\pi}{6} & &\small{基準の 7 倍}\\[6pt]
\underline{240\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3} & &\small{基準の 8 倍}\\[6pt]
\underline{270\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2} & &\small{基準の 9 倍}\\[6pt]
\underline{300\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{10\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{4} & &\small{基準の 10 倍}\\[6pt]
\underline{330\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{11\pi}{6} & &\small{基準の 11 倍}\\[6pt]
360\degree &\longleftrightarrow \dfrac{12\pi}{6}=2\pi & &\small{基準の 12 倍}\\[6pt]
\end{alignat*}
これに、今度は「45 ° ⟷ π 4 45\degree \longleftrightarrow \dfrac{\pi}{4} 45° ⟷ 4 π 2 2 2 3 3 3 ⋯ \cdots ⋯ 45 ° 45\degree 45°
\begin{alignat*}{2}
45\degree &\longleftrightarrow \dfrac{\pi}{4} & &\small{基準}\\[6pt]
90\degree &\longleftrightarrow \dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2} & &\small{基準の 2 倍}\\[6pt]
\underline{135\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{3\pi}{4} & &\small{基準の 3 倍}\\[6pt]
180\degree &\longleftrightarrow \dfrac{4\pi}{4}=\pi & &\small{基準の 4 倍}\\[6pt]
\underline{225\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{5\pi}{4} & &\small{基準の 5 倍}\\[6pt]
270\degree &\longleftrightarrow \dfrac{6\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2} & &\small{基準の 6 倍}\\[6pt]
\underline{315\degree} &\longleftrightarrow \dfrac{7\pi}{4} & &\small{基準の 7 倍}\\[6pt]
360\degree &\longleftrightarrow \dfrac{8\pi}{4}=2\pi & &\small{基準の 8 倍}
\end{alignat*}
さらに「60 ° ⟷ π 3 60\degree \longleftrightarrow \dfrac{\pi}{3} 60° ⟷ 3 π 2 2 2 3 3 3 ⋯ \cdots ⋯ 2 π 2\pi 2 π
三角比の表（弧度法） 参考までに、弧度法で考えた時の三角関数の表です。0 0 0 π \pi π
\begin{alignat*}{3}
&\sin 0=0\hspace{32pt} & &\cos 0=1\hspace{32pt} & &\tan 0=0\\[6pt]
&\sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} & &\cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\tan \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[6pt]
&\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} & &\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} & &\tan \dfrac{\pi}{4}=1\\[6pt]
&\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} & &\tan \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}\\[8pt]
&\sin \dfrac{\pi}{2}=1 & &\cos \dfrac{\pi}{2}=0 & &\tan \dfrac{\pi}{2} {\small はなし}\\[6pt]
&\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2} & &\tan \dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}\\[6pt]
&\sin \dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} & &\cos \dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} & &\tan \dfrac{3\pi}{4}=-1\\[6pt]
&\sin \dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{1}{2} & &\cos \dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & &\tan \dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\[10pt]
&\sin \pi=0\hspace{32pt} & &\cos \pi=-1\hspace{32pt} & &\tan \pi=0
\end{alignat*}
三角関数のグラフ（弧度法） 弧度法で表したときのそれぞれの三角関数のグラフは、次のようになります。弧度法のときは x x x θ \theta θ x − y x-y x − y
y = sin x y=\sin x y = sin x
y = cos x y=\cos x y = cos x
y = tan x y=\tan x y = tan x
弧度法を導入することによって、x x x y y y
＜三角関数の微分＞ a m p ; ( sin x ) ′ a m p ; a m p ; = cos x a m p ; ( cos x ) ′ a m p ; a m p ; = − sin x a m p ; ( tan x ) ′ a m p ; a m p ; = 1 cos 2 x \begin{alignat*}{2}
&(\sin x)' & &=\cos x\\[5pt]
&(\cos x)' & &=-\sin x\\
&(\tan x)' & &=\dfrac{1}{\cos^2x}
\end{alignat*} am p ; ( sin x ) ′ am p ; ( cos x ) ′ am p ; ( tan x ) ′ am p ; am p ; am p ; am p ; = cos x am p ; = − sin x am p ; = cos 2 x 1
＜三角関数の積分＞ a m p ; ∫ sin x d x a m p ; a m p ; = − cos x + c a m p ; ∫ cos x d x a m p ; a m p ; = sin x + c a m p ; ∫ 1 cos 2 x d x a m p ; a m p ; = tan x + c \begin{alignat*}{2}
&\int\sin x\,dx& &=-\cos x+c\\
&\int\cos x\,dx& &=\sin x+c\\
&\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx& &=\tan x+c
\end{alignat*} am p ; ∫ sin x d x am p ; ∫ cos x d x am p ; ∫ cos 2 x 1 d x am p ; am p ; am p ; am p ; = − cos x + c am p ; = sin x + c am p ; = tan x + c
なお、tan x \tan x tan x
∫ tan x d x = − log ∣ tan x ∣ + C \begin{align*}
\int\tan x\,dx=-\log|\tan x|+C
\end{align*} ∫ tan x d x = − log ∣ tan x ∣ + C
三角比の歴史（再掲） （前回の「三角比」でも書いた記事の再掲です。三角関数の歴史を加筆したかったのですが、調べても詳しい歴史が分からないのでそのまま再掲します。なにか新しいことが分かったら加筆予定。）
三角比の起源は、紀元前の三角法にさかのぼります。三角法とは、直角三角形の辺の比と角度を用いた、図形に関する計算方法です。測量、航海、天文学などの実用上の必要により、古代から研究されてきました。
なお、高校で習う三角比の定義は、ヒッパルコスによるものではなく、スイスの数学者、レオンハルト・オイラーが最初だといわれています。
オイラーは三角比を円関数として見直すことで（まさに単位円の考え方）、一般の角度（一般角）θ \theta θ sin θ , cos θ , tan θ \sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin θ , cos θ , tan θ
数式ミステリー
