中学でも分かる➈「合成関数」

　合成関数については、中学でも分かる➅「ネイピア数 e」でもやりましたが、重要なテーマなので、改めてここで１つの記事にしました。ここでは
・合成関数
・合成関数の微分法
と話を進めていきます。
　中学でも分かる➅「ネイピア数 e」でやった内容とほぼ同じですが、より詳しく解説しています。
　また、本シリーズの過去の内容も多く出てくるので、その都度戻るか、最初から本シリーズを読んでおくことをお勧めします。前回までの記事が次の記事で出てくるような構成になっています。

　まずは、前回の中学でも分かる➅「ネイピア数 e」でやった、対数関数と指数関数の微分公式の復習です。

対数関数の微分公式（復習）

$$\begin{alignat*}{2} 1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log_e a}\\[8pt] 2.& & (\log_e x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 3.& & (\log_e |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 4.& & (\log_e f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt] 5.& & (\log_e |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{alignat*}$$

　なお、数学では下記のように $\log_e x$ を $\log x$ と、底 $e$ 省略して表記することが多いです。今後、底 $e$ は省略されることが多くなります。

$$\begin{alignat*}{2} 1.&\hspace{16pt}& (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\log a}\\[8pt] 2.& & (\log x)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 3.& & (\log |x|)'&=\dfrac{1}{x}\\[8pt] 4.& & (\log f(x))'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\\[8pt] 5.& & (\log |f(x)|)'&=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \end{alignat*}$$

指数関数の微分公式（復習）

$$\begin{align*} 1.     (a^x)'&=a^x\log_e a\\ 2.     (e^x)'&=e^x \end{align*}$$

　底 $e$ を省略して 1. は次のように表せます。

$$\begin{align*} 1.     (a^x)'=a^x\log a \end{align*}$$

合成関数について

　$y=(2x+3)^3$ という関数を考えます。この関数は、$y=u^3$ と $u=2x+3$ を合成した関数と考えることができます。

$$\begin{align*} y=(2x+3)^3  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=u^3　\cdots(*1)\\ u=2x+3　\cdots(*2) \end{cases} \end{align*}$$

　つまり、$(*1)$ に $(*2)$ を代入（合成）すれば $y=(2x+3)^3$ という関数が得られます。このような関数を合成関数といいます。

　$x$ が決まれば $u$ が決まり、$u$ が決まれば $y$ が決まります。

改めて合成関数の定義を与えます。

＜合成関数の定義＞

　$y$ が $u$ の関数

$$\begin{align*} y=f(u) \end{align*}$$

で、$u$ が $x$ の関数

$$\begin{align*} u=g(x) \end{align*}$$

であるとき、これら２つの関数から、$x$ に $y$ を対応させる関数

$$\begin{align*} y=f(g(x)) \end{align*}$$

がつくられる。この関数を $y=f(u)$ と $u=g(x)$ の合成関数という。

$$\begin{align*} y=f(g(x))  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=f(u)\\ u=g(x) \end{cases} \end{align*}$$

＊＊＊

　つまり、$x$ が決まれば $u$ が決まり、$u$ が決まれば $y$ が決まります。

　先ほどの関数 $y=(2x+3)^3$ は、$y=\underset{f(u)}{u^3}$ と $u=\underset{g(x)}{2x+3}$ の合成関数と考えることができます。

$$\begin{align*} y=\underset{f(g(x))}{(2x+3)^3}  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=\hspace{-1pt}\underset{f(u)}{u^3}　\cdots(*1)\\ u=\underset{g(x)}{2x+3}　\cdots(*2) \end{cases} \end{align*}$$

（例１）
　$y=(-3x+2)^5$ は、$y=u^5$ と $u=-3x+2$ の合成関数と考えることができます。

（例２）
　$y=\sqrt{3x-5}$ は、$y=\sqrt{u}$ と $u=3x-5$ の合成関数と考えることができます。

（例３）
　$y=e^{x^2-4}$ は、$y=e^u$ と $u=x^2-4$ の合成関数と考えることができます。

（例４）
　$y=\log (-x)$ は、$y=\log u$ と $u=-x$ の合成関数と考えることができます。

（例５）
　$y=\dfrac{1}{(x^3+1)^4}$ は、$y=\dfrac{1}{u^4}$ と $u=x^3+1$ の合成関数と考えることができます。

三角関数の合成関数

　三角関数についても合成関数を考えることができます。高校で習う三角関数は次の３つがあります。三角関数については、前回の中学でも分かる⑧「三角関数」もご覧ください。

$$\begin{align*} y&=\sin x\\ y&=\cos x\\ y&=\tan x \end{align*}$$

　三角関数について合成関数の例を上げましょう。

（例６）
　$y=\sin(4x-3)$ は、$y=\sin u$ と $u=4x-3$ の合成関数と考えることができます。

（例７）
　$y=\tan(2x^3-3x+2)$ は、$y=\tan u$ と $u=2x^3-3x+2$ の合成関数と考えることができます。

　ここから合成関数を微分することを解説していきます。合成関数の微分は、次の＜合成関数の微分法＞を用います。

合成関数の微分法

　$y=f(u),   u=g(x)$ が微分可能であるとき

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}　\cdots(*3) \end{align*}$$

＊＊＊

　「$y$ を $x$ で微分した導関数」は、「$y$ を $u$ で微分した導関数」と「$u$ を $x$ で微分した導関数」の積と等しくなる、ということです。
　間に $du$ がはさまれていることに注意してください。この $du$ で形式的に約分することで、この等式が成り立つことはイメージできます。

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{dx} \end{align*}$$

　このような関係を連鎖律（チェインルール）とよぶことがあります（証明は高校の教科書にもあるので、ここでは割愛します）。

　では合成関数の微分法 $(*3)$ を用いて $y=(2x+3)^3$ を微分しましょう。まず
　$u=2x+3$ とおくと　$y=u^3$
　ここで
　$y=u^3$ は「$u$ の関数」
　$u=2x+3$ は「$x$ の関数」
とみて、それぞれを微分します。
　$y=u^3$ を $u$ で微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}=(u^3)'=3u^{3-1}=3u^2　\cdots (*4) \end{align*}$$

　また、$u=2x+3$ を $x$ で微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{du}{dx}=(2x+3)'=2　\cdots (*5) \end{align*}$$

　合成関数の微分法 $(*3)$ に $(*4)$、$(*5)$ を代入して

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} =3u^2\cdot2 =6u^2 \end{align*}$$

　$u=2x+3$ だったので

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=6(2x+3)^2　\small{（答）} \end{align*}$$

となります。

合成関数の微分の例

　ここで、先ほどの関数（例１）～（例７）を微分しましょう。すべて合成関数なので＜合成関数の微分法＞を用います。

＜合成関数の微分法＞（再掲）

　$y=f(u),   u=g(x)$ が微分可能であるとき

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} \end{align*}$$

＊＊＊

（例１）
　$y=(-3x+2)^5$ を $x$ で微分しなさい。
　$u=-3x+2$ とおくと　$y=u^5$
　すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(u^5)'=5u^{5-1}=5u^4\\[6pt] \dfrac{du}{dx}&=(-3x+2)'=-3 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=5u^4\cdot(-3)\\ &=-15u^4\\ &=-15(-3x+2)^4　\small{（答）} \end{align*}$$

　なお、慣れて来たら

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dy}{du}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 中の微分}{\dfrac{du}{dx}} \end{align*}$$

と考えて、次のように置き換えないで微分することが可能です。

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\scriptsize 外の微分}{5(-3x+2)^{5-1}}\cdot\underset{\scriptsize 中の微分}{(-3x+2)'}\\ &=5(-3x+2)^4\cdot(-3)\\ &=-15(-3x+2)^4　\small{（答）} \end{align*}$$

　$-3x+2$ をカタマリで考えて（つまり頭の中で $u$ に置き換えて）微分をし（外の微分）、それにカタマリにした $-3x+2$ の微分（中の微分）をかけます。つまり
　（外の微分）$\times$（中の微分）
の要領です。このコツを押さえれば、かなり複雑な式も機械的に微分できます。

（例２）
　$y=\sqrt{3x-5}$ を $x$ で微分しなさい。
　$u=3x-5$ とおくと　$y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$
　すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(u^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\\[6pt] \dfrac{du}{dx}&=(3x-5)'=3 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot3\\ &=\dfrac{3}{2\sqrt{u}}\\ &=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}}　\small{（答）} \end{align*}$$

　置き換えないで微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{外の微分}{\frac{1}{2}{(3x-5)}^{\frac{1}{2}-1}}\cdot\underset{中の微分}{(3x-5)'}\\ &=\frac{1}{2}{(3x-5)}^{-\frac{1}{2}}\cdot3\\ &=\dfrac{1}{{2(3x-5)}^{\frac{1}{2}}}\cdot3\\ &=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}}　\small{（答）} \end{align*}$$

（例３）
　$y=e^{x^2-4}$ を $x$ で微分しなさい。
　$u=x^2-4$ とおくと　$y=e^u$
　すると、指数関数の微分公式 2. より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(e^u)'=e^u\\ \dfrac{du}{dx}&=(x^2-4)'=2x \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=e^u\cdot2x\\ &=2xe^u\\ &=2xe^{x^2-4}　\small{（答）} \end{align*}$$

　置き換えないで微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{e^{x^2-4}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(x^2-4)'}\\ &=e^{x^2-4}\cdot2x\\ &=2xe^{x^2-4}　\small{（答）} \end{align*}$$

　$e^u$ を $u$ で微分しても変化しないので、「外の微分」は変化しないことに注意。

（例４）
　$y=\log (-x)$ を微分しなさい。
　$u=-x$ とおくと　$y=\log u$
　すると、対数関数の微分公式 2. より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(\log u)'=\dfrac{1}{u}\\ \dfrac{du}{dx}&=(-x)'=-1 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=\dfrac{1}{u}\cdot(-1)\\ &=-\dfrac{1}{u}\\ &=-\dfrac{1}{-x}\\ &=\dfrac{1}{x}　\small{（答）} \end{align*}$$

　置き換えないで微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{1}{-x}}\hspace{-3pt}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(-x)'}\\[6pt] &=-\dfrac{1}{x}\cdot(-1)\\[6pt] &=\dfrac{1}{x}　\small{（答）} \end{align*}$$

（例５）
　$y=\dfrac{1}{(x^3+1)^4}$ を微分しなさい。
　$u=x^3+1$ とおくと　$y=\dfrac{1}{u^4}=u^{-4}$
　すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(u^{-4})'=-4u^{-4-1}=-4u^{-5}=-\dfrac{4}{u^5}\\ \dfrac{du}{dx}&=(x^3+1)'=3x^2 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=-\dfrac{4}{u^5}\cdot3x^2\\ &=-\dfrac{12x^2}{u^5}\\ &=-\dfrac{12x^2}{(x^3+1)^5}　\small{（答）} \end{align*}$$

　置き換えないで微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{-4(x^3+1)^{-4-1}}\hspace{-3pt}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(x^3+1)'}\\[6pt] &=-4(x^3+1)^{-5}\hspace{-3pt}\cdot3x^2\\ &=-\dfrac{4}{(x^3+1)^5}\cdot3x^2\\[6pt] &=-\dfrac{12x^2}{(x^2+1)^5}　\small{（答）} \end{align*}$$

三角関数の合成関数の微分

　三角関数の合成関数（例６）、（例７）も微分しましょう。まずは三角関数の微分について、次の公式を用います。

＜三角関数の微分公式＞

$$\begin{align*} &1.     (\sin x)'=\cos x\\[4pt] &2.     (\cos x)'=-\sin x\\ &3.     (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x } \end{align*}$$

＊＊＊

（例６）
　$\sin(4x-3)$ を微分しなさい。
　$u=4x-3$ とおくと　$y=\sin u$
　すると、三角関数の微分公式 1. より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(\sin u)'=\cos u\\ \dfrac{du}{dx}&=(4x-3)'=4 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=\cos u\cdot4\\ &=4\cos u\\ &=4\cos(4x-3)　\small{（答）} \end{align*}$$

　置き換えないで微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\cos(4x-3)}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(4x-3)'}\\[6pt] &=\cos(4x-3)\cdot4\\[6pt] &=4\cos(4x-3)　\small{（答）} \end{align*}$$

（例７）
　$\tan(2x^3-3x+2)$ を微分しなさい。
　$u=2x^3-3x+2$ とおくと　$y=\tan u$
　すると、三角関数の微分公式 3. より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(\tan u)'=\dfrac{1}{\cos^2u}\\ \dfrac{du}{dx}&=(2x^3-3x+2)'=2\cdot3x^2-3=6x^2-3 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\[6pt] &=\dfrac{1}{\cos^2u}\cdot(6x^2-3)\\[6pt] &=\dfrac{6x^2-3}{\cos^2u}\\[6pt] &=\dfrac{6x^2-3}{\cos^2(2x^3-3x+2)}　\small{（答）} \end{align*}$$

　置き換えないで微分すると

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{1}{\cos^2(2x^3-3x+2)}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(2x^3-3x+2)'}\\[6pt] &=\dfrac{1}{\cos^2(2x^3-3x+2)}\cdot(6x^2-3)\\[6pt] &=\dfrac{6x^2-3}{\cos^2(2x^3-3x+2)}　\small{（答）} \end{align*}$$

３つの関数の合成関数

　３つの関数の合成関数を考えることもできます。次のように定義されます。

＜合成関数の定義（３つの関数）＞

　$y$ が $u$ の関数

$$\begin{align*} y=f(u) \end{align*}$$

で、$u$ が $v$ の関数

$$\begin{align*} u=g(v) \end{align*}$$

で、$v$ が $x$ の関数

$$\begin{align*} v=h(x) \end{align*}$$

であるとき、これら２つの関数から、$x$ に $y$ を対応させる関数

$$\begin{align*} y=f(g(h(x))) \end{align*}$$

がつくられる。この関数を $y=f(u)$ と $u=g(v)$ と $v=h(x)$ の合成関数という。

$$\begin{align*} y=f(g(h(x)))  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=f(u)\\ u=g(v)\\ v=h(x) \end{cases} \end{align*}$$

＊＊＊

　つまり、$x$ が決まれば $v$ が決まり、$v$ が決まれば $u$ が決まり、$u$ が決まれば $y$ が決まります。

（例８）
　関数 $y=e^{(2x-3)^6}$ は、$y=e^u$ と $u=v^6$ と $v=2x-3$ の合成関数と考えることができます。

$$\begin{align*} y=\underset{f(g(h(x)))}{e^{(2x-3)^6}}  \Longleftrightarrow  \begin{cases} y=\underset{f(u)}{e^u}\\ u=\underset{g(v)}{v^6}\\ v=\underset{h(x)}{2x-3} \end{cases} \end{align*}$$

　３つの関数の合成関数の微分は、次の微分法を使います

＜合成関数の微分法（３つの関数）＞

　$y=f(u),   u=g(v),   v=h(x)$ が微分可能であるとき

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dx}　\cdots (*6) \end{align*}$$

＊＊＊

　文字が多く一見複雑に見えますが、連鎖率（チェインルール）に従っています。間に $du$ と $dv$ がはさまれていることに注意してください。この $du$ と $dv$ で形式的に約分することによって、この等式が成り立つことはイメージできます。

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{\cancel{du}}\cdot\dfrac{\cancel{du}}{\bcancel{dv}}\cdot\dfrac{\bcancel{dv}}{dx} \end{align*}$$

　では先ほどの（例８）を微分しましょう。

（例）
　関数 $y=e^{(2x-3)^6}$ を $x$ で微分しなさい。
　$u=(2x-3)^6$ とおくと　$y=e^u$
　$v=2x-3$ とおくと　$u=v^6$

　すると、指数関数の微分公式 2. より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{du}&=(e^u)'=e^u\\[6pt] \dfrac{du}{dv}&=(v^6)'=6v^{6-1}=6v^5\\[6pt] \dfrac{dv}{dx}&=(2x-3)'=2 \end{align*}$$

　合成関数の微分法より

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dv}\cdot\dfrac{dv}{dx}\\[6pt] &=e^u\cdot6v^5\cdot2\\ &=12e^uv^5\\ &=12e^{(2x-3)^6}(2x-3)^5　\small{（答）} \end{align*}$$

　慣れてきたら

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}=\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dy}{du}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{du}{dv}}\hspace{-2pt}\cdot\hspace{-2pt}\underset{\tiny 外の微分}{\dfrac{dv}{dx}} \end{align*}$$

と考えて、次のように置き換えないで微分しましょう。外の微分が２回入ります。

$$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\underset{\tiny 外の微分}{e^{(2x-3)^6}}\cdot\underset{\tiny 外の微分}{6(2x-3)^{6-1}}\cdot\underset{\tiny 中の微分}{(2x-3)'}\\ \dfrac{dy}{dx}&=e^{(2x-3)^6}\cdot6(2x-3)^5\cdot2\\ &=12e^{(2x-3)^6}(2x-3)^5　\small{（答）} \end{align*}$$

　$e^u$ は $u$ で微分しても変化しないので、最初の「外の微分」は変化しないことに注意。

　連鎖率（チェインルール）を用いることによって４つの関数、５つの関数・・・と容易に拡張できます。どんなに複雑な合成関数でも、いくつかの関数に分割することによって微分することが可能です。

関数記号の歴史（おまけ）

　関数は英語で function といいますが、この function は機能や作用、働きという意味を表します。ドイツの数学者、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが、初めて数学の言葉としてこの function を用いました。

　スイスの数学者、レオンハルト・オイラーは、変数 $x$ といくつかの定数とからできる式を「関数」と定義し、$f(x)$ という記号で表しました。現代では一般的な $y=f(x)$ という表現は、オイラーが初めてとなります（Wikipedia より）。

（了）