一次関数の動点問題（わかりやすく） 【写真を撮る】

□一次関数（ｙ＝ａｘ＋ｂ）

　9.1. グラフの描き方、読み取り方（式↔グラフ）
　9.2. ｙ＝ａｘ＋ｂを求める（式の決定）
　9.3. 面積（ｘ軸ｙ軸）（長さの求め方）
▶ 9.4. 動点

ーーーーーー

一次関数は面積問題で終わらせるつもりでした。
このサイトは「平均点くらい取ろうよ」が目標なので、
まあいいかなってね。

でも、二次関数の動点のページを作ってるときに、
思い立ってやっぱりこっちも作ることにしました！おまけ！

▶ 10.6. 二次関数の動点

動点（どうてん）はみんな苦手なんだけどね。
せっかくのおまけ。絶対に分かるように教えちゃうよ！

ーーーーーー

【一次関数の動点問題】


１問しかやらないからね。
こういう問題です。

うわー！ってならないでね。
何度も言ってるけど、苦手な人ほど「問題の見た目だけ」でやられます。

「見た目が難しそう＝難しい」ではないんだ。
ゆっくり読むこと、が大事だよ。

改めて読み直します。こんなふうに理解しながら読んでください。

ということです。
こういうふうに図に「読みながら」書き込んでいくこと。
そうすれば、そこまでは難しくなくなります。

（読んでから、じゃダメ。読みながら、が大事。
　読んでからだと、2度目の読みが適当になるからです。
　１回で決めるつもりで読んで書き込んでいくこと。）

（たとえば秒速２ｃｍなら、
　１秒で２ｃｍだからｘ秒で２ｘ秒になるだけです）

ということで、問題文の図に書き込みが終わりました。

こういうふうに描き込んから、いよいよ問題です。

ーーーーーー

【①　点ＰがＡＢ上】

なんで動点問題が難しいのか。
それは動くからです。

動くのが嫌なら、止めればいい。
つまり「写真を撮るつもり」で動きを止めればいいんです。

今回は「点ＰがＡＢ上」。
その瞬間を、フリーハンドでいいから写真を撮ります（図に描きます）。

こんな感じ。
今のところはさっきとほぼ同じだね。
でも必ず描きます。

さあ。
何がしたかったんだっけ。

△ＡＰＤの面積を求めたいんでした。
面積は「ｙ」なんだから、
「ｙ＝」で△の面積だせよってことです。

三角形の面積は前のページでもやりました。

最後に「÷2」って書くと忘れやすいから、
最初に「1/2」を持ってきたほうがお得です。

さっきの図を見ると、
底辺６ｃｍ、高さｘｃｍだね。
（底辺ｘｃｍ、高さ６ｃｍでもいい）

だから

さあ、式が出ました！

でも、あと「ｘの変域」を出せって言われてるけど、
「変域（へんいき）」って何。

変域は、簡単に言うと「どこからどこまで？」ってことです。

点ＰがＡＢ上のときのｘは、どこからどこまで？
これがｘの変域。

じゃあどうすればいいか。
もっかい問題文読むと、

ｘは「秒」のことでした。

点ＰがＡＢ上を動くとき。
Ａから出発するんだから、Ａ地点はもちろん「０秒」です。

それがＢまで行きますよ、と。

ＡＢの長さは「５ｃｍ」で「秒速１ｃｍ」です。
１ｃｍで１秒なんだから、５ｃｍなら５秒。

これをさっきの自分の図にも書いときます。

つまりＡＢ上で、ｘは「０秒から５秒まで」と分かりました！
だから答えは

こうやって、「式」と「変域」をセットに書いておしまいです。
②と③も同じようにやればいいだけ。

ーーーーーー

【②　点ＰがＢＣ上】

まず図を描こうね。
BC上のときの写真を撮るんでした。

パシャ！こんな感じです。

あれ。
「ｘｃｍ」って書かなくていいの？って思ったかな。
もしかしてここが「ｘｃｍ」だと思ってない？

これは違います。
点PはAからスタートしてるんだから、本当はここ。

このＬ字型の部分がｘｃｍです。
今回の△とは関係なさそうなので、図には「ｘｃｍ」は書きませんでした。
（書いても使えなそうだしね）

さて。
△ＡＰＤはもう求められるかな。
底辺は６ｃｍだけど、高さはどこだろう。

高さは底辺に対して垂直でした。
じゃあここだね。

辺ＣＤと平行だから、高さは「５ｃｍ」です。

ここだろうが

ここだろうがいつも５ｃｍ。
だから写真は１枚でいいんです。

じゃあ解こうね。

ｙ＝１５。式に「ｘ」は含まれなかったね。

じゃあｘの変域はどうだろう。
ＢＣの長さは６ｃｍだから、かかる秒数は「６秒」だね。

さっき、Ｂにあるときは「５秒」だったんだから、
５＋６をすれば、Ｃのところは「１１秒」と分かります。

だから答えは

こうです。

ーーーーーー

【③　点ＰがＣＤ上】

写真撮ります！

動点は止めりゃいいんです。

さあ、上の△をよく見て。
「ＰＤの長さ」が分かってないから、面積が求められないね。

この問題は、この「ＰＤの長さ」に工夫が必要です。
ちなみに、今回の「ｘｃｍ」はどこだろう。

こんなところだ。
じゃあ「ＰＤの長さ」はどう出せばいいだろう。
点Pは動くから、さっきみたいに「いつも５ｃｍで一定」とかではないはずです。

どうしたらいいかな。
ちょっと考えてみてください。
この問題ではここが一番頭の使いどころだよ！

ＰＤの長さは変化します。秒によって変化します。
変化するということは「ｘを使う」んじゃないかな。
なるほど「ｘ」を使ってＰＤを表すのか・・・。

考えたかな？
分かんなくても考えてみることが大切だよ。

正解を言います。

　ＰＤ＝（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ）－ｘ

です。

図で表すと分かるよね。
こうすればＰＤの長さが出ます！

　ＰＤ＝（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ）－ｘ
　　　＝（ ５ ＋ ６ ＋ ５ ）－ｘ
　　　＝１６－ｘ

です。
図に書き込もうね。

こういうふうに（１６−ｘ）cmと書きます。

（１６－ｘｃｍと書くと、
　「１６」と「－ｘｃｍ」と読めちゃうから）

もう底辺も高さも分かりました。じゃあ解くだけ！

解きました。
１次関数的に書くと「ｙ＝－３ｘ＋４８」だね。

変域はまたさっきのと同じようにやります。

ＣＤの長さは５ｃｍ。
つまりかかる秒数は「５秒」だね。

Ｃのとき「１１秒」なんだから１１＋５で、
Ｄにあるときは「１６秒」です。

答え。

まとめて載せると

こういうことです。
改めて「写真を撮る大事さ」が分かるかな？

ちゃんと動きを止めておけば、ひとつひとつ解くだけでした。
こんなの、フリーハンドでパパッと描けるようにしとくんだよ。

これで（１）ｙをｘの式で表しなさいができたね。

ーーーーーー

【動点をグラフにする】

さっきの答えをまとめて書きます。

変域が、リレーみたいに、５と５、１１と１１で繋がってるのが分かるかな。

このグラフの描き方は意外と簡単です。
方眼紙使わないよ。

まずこういう軸を書きます。
ｘ（秒）とｙ（ｃｍ²）は単位も書いときます。
（秒も面積もマイナスがないから、プラスの軸だけで大丈夫）

まずやるのは、②のグラフがいいです。
ｙ＝１５（５≦ｘ≦１１）は定数（文字が入ってない）。
だから、描くのが楽です。

５≦ｘ≦１１で、ｙ＝１５。
→５秒でも１１秒でもｙ＝１５だよ、という意味。

こう！

（５，１５）（１１，１５）に点を打って繋ぐだけです。

あとはもう簡単です。
さっきの変域から、
ｘ軸の「０」と「１６」のところに結べばいいだけ。

これでもう答えです。
このタイプの答えはプリン型（ひっくり返しバージョン）になります。

ーーーーーー

実はまだ問題がまだあります。

これは実は簡単。

面積が９→ｙが９ってこと。
だから「ｙ＝９」の直線をさっきのグラフに描けばいいだけです。
（ｙ＝９のグラフの説明も前のページね！）

ｘ軸がｙ＝０、ｙ軸がｘ＝０でした。
つまり「ｙ＝９」はｘ軸の仲間（ｙ＝０に平行）ってことだよ！

説明するから方眼紙で描くね。

こういうことです。
交点を読むと、答えは「３秒後と１３秒後」。

計算で解く方法もあります。
グラフを見ると、ｙ＝９の直線が①、③と交わってるよね。

交点は連立（だったよね）だから、
①ｙ＝３ｘ、③ｙ＝−３ｘ＋４８のそれぞれに「ｙ＝９」を代入すれば、
「３秒後と１３秒後」という同じ答えが出てくるはずです。

・グラフの交点を読む（楽）
・ｙ＝９をそれぞれ代入（方眼紙いらない）

のどちらかって感じ！基本は交点を読んでね！

以上、動点問題でした。
動点のポイントは「写真」でした。
あと「ていねい」。

ーーーーーー

動点の問題、説明込みだと長い感じがしたと思うけど、
やり方を身につければ結構ポンポン解けます。

理解してるかどうかの判断基準は「ペンが止まらないかどうか」。
止まらないでズンズン解けるくらい練習してください。

このページの練習問題は上の問題と同じ！
がんばってね！

［練習問題］（答えは下）

□二次関数 ｙ＝ａｘ²

▶ 10.1. グラフの描き方（式→グラフ）
　10.2. 式の決定、グラフの読み取り（グラフ→式）
　10.3. 変化の割合
　10.4. 変域
　10.5. 面積
　10.6. 動点

□大事なポイント

　☆数学が苦手な人のための割合（%計算）
　☆早くてミスも減る約分
　☆計算力をキープするための計算テスト

□勉強できようサイト

▶ 全ページに飛べるもくじ

［答え］