Tonmaterial
Alle harmonisch rationalisierte Musik geht von der Oktave (Schwingungszahlverhltnis 1 : 2) aus und teilt diese in die beiden Intervalle der Quint (2 : 3) und Quart (3 : 4), also durch zwei Brche von dem Schema n/(n + 1): sog. berteilige Brche, welche auch allen unseren musikalischen Intervallen unterhalb der Quint zugrunde liegen. Wenn man nun aber von einem Anfangston aus in Zirkeln auf- oder absteigt, zuerst in Oktaven, dann in Quinten, Quarten oder irgendwelchen anderen berteilig bestimmten Relationen, so knnen Potenzen dieser Brche niemals auf einen und denselben Ton zusammentreffen, soweit man die Prozedur auch fortsetzen mge. Die zwlfte reine Quint gleich (2/3)12 z.B. ist um das pythagoreische Komma grer als die siebte Oktave gleich (1/2)7. Diese unabnderliche Sachlage und der fernere Umstand, da die Oktave durch berteilige Brche nur in zwei ungleich groe Intervalle zerlegbar ist, sind die Grundtatsachen aller Musikrationalisierung. Wir erinnern uns zunchst, wie sich die moderne Musik, von ihnen aus gesehen, ausnimmt.
Unsere akkordharmonische Musik rationalisiert das Tonmaterial durch arithmetische bzw. harmonische Teilung der Oktave in Quint und Quart, sodann, unter Beiseitelassung der Quart, der Quint in groe und kleine Terz (4/5 5/0 = 2/3), der groen Terz in groen und kleinen Ganzton (8/9 9/10 = 4/5), der kleinen Terz in groen Ganzton und groen Halbton (8/9 15/16 = 5/6), des kleinen Ganztones in groen und kleinen Halbton (15/16 24/25 = 9/10). Alle diese Intervalle sind mit Brchen aus den Zahlen 2, 3, 5 gebildet. Von einem Ton als Grundton ausgehend, baut nun die Akkordharmonik auf ihm selbst, seiner oberen und unteren Quint, je eine durch ihre beiden Terzen arithmetisch geteilte Quinte, einen normalen Dreiklang, auf, und hat dann durch Einordnung der diese Dreiklnge bildenden Tne (bzw. deren Oktaven) in eine Oktave das gesamte Material der natrlichen diatonischen Tonleiter von dem betreffenden Grundton aus, und zwar, je nachdem die groe Terz nach unten oder oben gelegt wird, eine Dur- oder Molltonfolge. Zwischen den beiden diatonischen Halbtonschritten der Oktave liegen das eine Mal zwei, das andere Mal drei Ganztonschritte, und in beiden Fllen sind der zweite ein kleiner, die anderen groe Ganztonschritte. Fhrt man fort, durch Bildung von Terzen und Quinten von jedem Ton der Tonleiter aus nach oben und unten innerhalb der Oktave neue Tne zu gewinnen, so entstehen zwischen den diatonischen Intervallen je zwei chromatische Intervalle, je einen kleinen Halbtonschritt vom oberen und unteren diatonischen Ton gro, welche durch je ein enharmonisches Restintervall (Disis) voneinander getrennt sind. Da die beiden Arten von Ganztnen zweierlei verschieden groe enharmonische Restintervalle zwischen den beiden chromatischen Tnen ergeben und der diatonische Halbtonschritt vom kleinen Halbton um ein wiederum anderes Intervall abweicht, so sind die Disen zwar alle durch Zahlen aus 2, 3, 5 gebildet, aber von dreierlei verschiedenen, sehr komplizierten Gren. An der Quarte einerseits, welche nur mit Hilfe der 7 berteilig zerlegbar ist, dem groen Ganzton und den beiden Halbtnen andrerseits erreicht die Mglichkeit harmonischer Teilung durch berteilige Brche aus den Zahlen 2, 3, 5 ihre untere Grenze.
