おうぎ形は円の一部と考える（弧の長さ、おうぎ形の面積、中心角） 【円のπｒ²と円周２πｒも】
□図形
12. 作図
12.1. たった４つ（二等分線・垂線）
13. 円とおうぎ形
▶ 13.1. おうぎ形は円の一部と考える
14. 空間図形
14.1. 体積
14.2. 表面積
ーーーーーー
みんないやがるおうぎ形。
ここで出来るようにしちゃおうね。
「割合の計算」のページは、
先に読んでくるとお得だよ。ここでも教えるけどね！
ーーーーーー
【おうぎ形の説明】
おうぎ形というのは
こういう形のこと。
扇（おうぎ。扇子（せんす）のこと）みたいな形してるよね。
別にチーズケーキ形でもいいんです。似てるし。
おうぎ形の問題では
「面積」「弧の長さ」「中心角」という用語が出てきます。
■おうぎ形の面積
■弧（こ）の長さ
■中心角
この３つの求め方を今からやります！
が、その前に「円」の知識が必要です。
円の面積とか円周とか、言える？
ーーーーーー
【円の面積と円周】
円の「面積」と「円周」について復習します。
まだマジメだった小学校時代。
そこで覚えたこの公式を、まだ覚えてる人も多いはずです。
でも中学以降、
半径は「ｒ（アール）」、
円周率（３．１４・・）は「π（パイ）」とします。
えーめんどうそう、とか、覚えてない！とかその前に。
面積「πｒ²」、円周「２πｒ」を、
連呼しまくって覚えてください。今。
連呼（れんこ）とは声に出して読みまくること！覚えるには連呼！
（πｒ²、πｒ²、πｒ²、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう・・・）
（２πｒ、２πｒ、２πｒ、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール・・・）
はい覚えました。覚えたね？
覚えないと始まらないからね！
ちなみに「π」は「３．１４・・」だから数字です。
だから「２ｒπ」じゃなくて「２πｒ」ね！数字が先なので。
ちょっと軽く問題やってみましょう。
これを解きます。
公式「２πｒ」「πｒ²」は、これから毎回書きます。
覚えるため、そして忘れないためです。
という感じ！
公式書いたから、見ながらできて、難しくなかったね。
単位は（ ）を付けて、最後に書き込みます。
（２ × π × ３＝６cmと書くのはダメ。
突然単位が付くと「＝」ではなくなるからです）
面積の方は「π×３(cm)×３(cm)」ということ。
なので「cm」を２回かけてるよね。
だから単位は「cm²」です。
円はこんな感じ。
もうおうぎ形にいっちゃうよ。
ーーーーーー
【おうぎ形が嫌な理由】
おうぎ形はだいたいみんないやがります。
なぜかというと「公式がめんどくさそうだから」。
見てみる？
ぐええええ。
「弧の長さ」と「面積」はなんとなく似てる。
でも「中心角」の公式は参考書などでバラバラです。
これを全部覚えて、解いてくださいね。
と言われるわけ。
テスト前ならまだしも、入試前まで覚えてられる？
でもそもそも、
こんなの覚えなくていいです。
覚えよう、丸暗記しようとするからめんどうなんだ。
「ちゃんと」理解してみよう。
理解すれば、忘れても思い出せる。これが一番強い。
ーーーーーー
【割合について】
「★割合について」のページでやったことを軽く復習します。
割合って結局これでした。
割合は「全体分の部分」で出すことができたんです。
とっても大事なので、今覚えてください。連呼！
（割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分、割合は全体分の部分・・・）
ピザ１枚を、８等分して、
３切れ食べたら、何枚食べたことになるかな。
というのを、割合（全体分の部分）で書けます。
８切れ（全体）あるうちの３切れ（部分）食べたから、
３／８枚食べた、ということ。
さらに「割合はかけ算」を使うんでした。
さっきのピザが全体で１０００カロリーだとします。
食べた３切れ分のカロリーは？
「全体（1000kcal）」×「割合」で解けました。
この知識をおうぎ形でも使います。
ーーーーーー
【おうぎ形は円の一部と考える】
それではおうぎ形。
おうぎ形は「円の一部と考える」のが基本です。
さっきのピザの図とかなり似てるよね。
ピザ３切れ（部分）とピザまるごと１枚（全体）の関係を思い出して。
ピザ３切れ（部分）→ ピザまるごと１枚（全部）
じゃあ、おうぎ形を「円の一部と考える」ということは、
おうぎ形（部分）→円まるごと（全部）
こう思っていい、ということです。
さっきカロリー出したときのことを思い出して。
「部分のカロリー」＝「全体のカロリー（1000kcal）」×「割合」
じゃあ、おうぎ形だって、
「円（全体）」×「割合」で解けるはず、
っていうことです。
「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
（意味：おうぎ形を求めたかったら、円（全体）を出して、割合をかける）
じゃあおうぎ形の弧の長さの全体は？
→ 円の「円周」だ。
じゃあ、おうぎ形の面積の全体は？
→ 「円の面積」だ。
つまり、
弧の長さ ＝ 円周 ×割合
おうぎ形の面積＝ 円の面積 ×割合
（どちらも、円（全体）を出して、割合をかけてる）
ということ。
ね。
さっきの公式、覚える必要があったのだろうか、ってことです。
覚えさせられる必要があったのだろうかってこと！
だって弧の長さだろうと、面積だろうと、
（あとでやる中心角だろうと）
「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
（意味：おうぎ形を求めたかったら、円（全体）を出して、割合をかける）
結局これじゃん。
これが分かったら、覚えなくても解けるよ。
じゃあ、やりながら理解してみようか！
ーーーーーー
【問題】
こんな問題。
この問題の図に直接、
こうやって描き込んじゃいます。
これで「円の一部」ということが意識できる。
この問題で使える「割合（全体分の部分）」はどこだか分かる？
それは角度、「45°」と「360°」です。
部分（おうぎ形）が45°、全体（円）が360°。
面積から解いてみます。
「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
なんだから、
円の面積（πｒ²）に割合（45°／360°）をかければいいはず。
「πｒ²」毎回書くからね！
次は弧の長さ。
「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
なんだから、
円周（２πｒ）に割合（45°／360°）をかければいいね。
でも割合はさっきと変わらないんだ。
なので、約分した状態（1／8）でいいです。
円周（２πｒ）×割合（1／8）ってこと！
「２πｒ」も毎回書いてね。
まとめて書くと
こんな感じです。
説明の割に意外と簡単だと思った？
「円」と「割合」の知識があれば、意外と簡単ってこと。
【おうぎ形の求め方】
おうぎ形は「円の一部」と考える
→「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
これだけ。
でも意外と簡単なのはここまでだ。
ここからちょっとむずいよ。よく聞いてね。
ーーーーーー
【おうぎ形の割合のパターン】
今の問題では、全体を360°、部分を45°として、
全体分の部分の割合は「45°／360°」として計算しました。
でも、おうぎ形の割合は他にもあります。
「全体」と「部分」のペアなら、角度じゃなくてもいいんだ。
難しく見えるけど落ちついてね。
見た目にやられちゃダメだからね。
一番左は、角度の「全体分の部分」、
真ん中は、円周の「全体分の部分」
一番右は、面積の「全体分の部分」になってるだけです。
こんなふうに、
「全体分の部分」であれば、
角度でも、円周（弧の長さ）でも、面積でも、
どれでも使ってもいいってことです。
ちなみに、
さっきの問題出した面積と弧の長さ。
全部「割合」にしてみようか。
ほらね。
当然、全部「１／８」になりました。
やっぱり、どれを使ってもいいってことだ。
ーーーーーー
【おうぎ形の中心角の問題】
さっき適当に流した「中心角」もやります。
困ることは２つあります。
■困ること①
今回は角度が分かってないけど、
どうやって割合（全体分の部分）を出せばいいんだろう。
■困ること②
おうぎ型の中心角の「全体」ってなんだ？
この２つに対して解決していかなくちゃいけません。
・・・
① 全体分の部分を作るには？
全体分の部分を作るには、
「全体」と「部分」のペアを見つけることです。
おうぎ形のペアは
この３つだったよね。
角度か、弧の長さか、面積。
今回の問題をもう一度見ると
分かってるのは「弧の長さ」だ。
じゃあ部分が「弧の長さ」、全体が「円周」だね。
（半径が分かれば円周２πｒも分かる）
だから割合（全体分の部分）は「３π／２πｒ」です。
・・・
② 中心角の全体は？
部分「おうぎ形」に対する全体は「円」。
じゃあ「中心角」に対する全体は？
そりゃあ「360°」でしょう。
中心角の全体は360°だ。
弧の長さ ＝ 円周 ×割合
おうぎ形の面積＝ 円の面積 ×割合
なんだから、中心角は、
中心角 ＝ 360° ×割合
ってこと。
360°×割合って、違和感あるでしょ。
でも、理解すれば、さっきと同じ発想です。
「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
全部これと同じだって思えたかな？
・・・
ということでもう解けます！
中心角は円の360°に割合（３π／２πｒ）をかけて、
ということでした（円の点線描いてね！）
ちなみに２７０°って本当は
こんな形だだけど、いいです無視して。
メモなんだから。いつも通り分かりやすく。
こういうふうに図の描いてない問題もある。
そういうときは自分で図を描くんだ。
225°だって、
こう描いていいよってこと。
「メモ」なんだから。「いつも通り分かりやすく」。
優先するのはこれです。（問題解かないよ！）
ーーーーーー
以上でおうぎ形おしまい！
おうぎ形は「円の一部」と考える。
→「おうぎ形」＝「円（全体）」×「割合」
全部これだって分かったかな。
それが分かればこっちのもんです。
もうきっと忘れません。
練習問題はさっきのと、もう１個だけやっておこうか。
きっとだいじょうぶです。
解けるまで頑張れ。
［練習問題］
□図形
12. 作図
12.1. たった４つ（二等分線・垂線）
13. 円とおうぎ形
13.1. おうぎ形は円の一部と考える
数学が苦手な人のための割合（パーセント計算）
□勉強できようサイト
［答え］
