空間図形の表面積 （円すいも超理解する）
□図形
12. 作図
12.1. たった４つ（二等分線・垂線）
13. 円とおうぎ形
▶大事 13.1. おうぎ形は円の一部と考える
14. 空間図形
14.1. 体積
▶このページ 14.2. 表面積
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前回やったように、
コンビニにあるジュースで説明すると
体積と表面積はこういうことでした。
（紙パックだと厳密には「のりしろ」があるけどね）
前回は体積、今回は表面積！！
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【表面積の解き方と展開図の描き方】
表面積の「面積」ってそもそも、
こうやって「平面」の大きさを表すものだったよね。
だから立体の表面積は、開いて平面にして考えます。
とりあえず問題！
表面積を求めるには、まず、開く。
この開いた図を展開図（てんかいず）って言うんだけど、
意外とうまく描けない人が多いんだよね。
楽な方法教えます！
まず横（側面）から描いちゃうんです。
上の立体は底面が四角形、
だからサイドは４辺分あるということです。
これだけ。
四角形だから４つ描けばいいだけです。
そのあと、底面を上と下につけちゃう。
これでほぼ完成です。
そしたら、長さの情報を書き込みます。
長さは、必要な分はすべて書きます。
（書き込みすぎないバランスも大事です）
まず側面積（側面の面積）から。
これ、４枚あるけど、
大きな１枚として考えることもできます。
横の長さが（３＋２＋３＋２）ｃｍ、
縦の長さが１０ｃｍです。
これでおわり！
次は底面積ね。
上も下も両方合わせて底面積です。
上も下も同じだから、ひとつ出して、２倍します。
これを合わせたのが表面積です。
これだけ！これで答えです。
ちなみに、
こういうふうに一気に解いてもいいです。
一気に解くときは計算ミスしないように気をつけてね。
とにかくこれが表面積の基本です。
展開図を描くのが一番大事。めんどくさがらないようにね。
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体積でもやったけど、
空間図形で出てくる形は２種類あります。
まず「〇〇柱（ちゅう）」
そして「〇〇錐（すい）」
「とがってないの」と「とがってるの」です。
まず「〇〇柱」からやるね。
さっき四角柱やったから、三角柱（さんかくちゅう）やってみようか。
まず展開図！
大きめに描いてください。
（いろいろ書き込むから！）
三角形だから、側面は３つです。
こうして
底面積つけたして。
そして長さを書き込みます。
長さをきちんと書き込めるように、
大きく描いとくんだからね！
５ｃｍ、７ｃｍ、３ｃｍは、厳密に描かなくて（も）いいです。
あくまでメモ。簡単にわかりやすく。
（上の図では７ｃｍと３ｃｍがだいたい同じ長さだけどメモだからいい）
そして三角形の情報は「底辺と高さ」だけでいいよね。
必要なのだけ。
じゃあ解くね！
展開図さえ描けばそんなに難しくない。
（＝展開図が大事）
・・・
はい、じゃあ円柱（えんちゅう）！
展開図を描きます。
予想できる？
円柱は、「円」で角がないから、側面はひとつです。
ここで足りない情報があるんだけど、分かるかな。
よく見て、よく考えて。
側面の「横の長さ」がないじゃん。
これじゃあ側面積（長方形）求められない。
どうしよう？
側面積の横の長さは。
ここと一緒です。円の周りの長さ。
つまり円周（えんしゅう）だね。
ここで、円とおうぎ形のページでやった、
円の面積と円周の公式を復習しときます。
▶ 13.1. おうぎ形は円の一部と考える より
半径をｒ、円周率をπ（パイ）だとして、
円周は「２πｒ」、円の面積は「πｒ²」だったね。
円周は「２πｒ」
円の面積は「πｒ²」
これはもう覚えてるかな？
覚えてない人は連呼（れんこ：何度も声に出して読む）すること。
覚えるんだよ。今！
（πｒ²、πｒ²、πｒ²、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう、パイアール２じょう・・・）
（２πｒ、２πｒ、２πｒ、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール、にーパイアール・・・）
はい覚えたとします（マジで今覚えてね）
じゃあ、気をつけながら解いていくよ！
「２πｒ」と「πｒ²」は毎回書いておくことで、
忘れにくいし、見ながら解けて楽です。
これで「〇〇柱」はおしまい！
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【〇〇錐の表面積】
じゃあ「〇〇錐（すい）」にいきます。
とりあえず展開図だったね。
この場合は底面積から描きます。四角いっこ。
そしたら周りに４つ三角。
そしたら長さを書き込むんでした。
これだけ！
答えるよー！
こんな感じでした！
別に問題なかったね。
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【円錐の解き方】
最後に円錐（えんすい）をやります。
三角コーンとか、クリスマスの帽子の形でもあります。
ダントツでむずいし、みんなきらいな円錐！
（わかりやすく教えるけど、本当にレベルが高いので、円錐はいったん飛ばして、空間図形の「円錐」以外を復習するのもOKです（ページの下に練習問題あるからね）。テスト直前の人は、円錐だけ捨てるのもありっちゃあり。どうせ8点くらいだから。それくらいダントツでむずいです。気をつけてね）
・・・
じゃあ問題を見てみよう。
まず展開図を描きます。
底面は円。
これに対して、側面はおうぎ形です。
これに長さを書き込みます。
・・・・・。
・・・・・で？
で、何すればいいんだ・・・。
と、ここでなるのが円錐問題。
（でも展開図を描いてるだけえらい）
・・・
底面積は大丈夫そうだよね。「πｒ²」だし。
問題は側面積、あのおうぎ形です。
だから先におうぎ形を教えていたんでした。
そっちを先に読んでくるのがいいと思います。
▶ 13.1. おうぎ形は円の一部と考える
急がば回れだよ！
（いそがばまわれ：遠回りしたほうがむしろ早く着くってこと）
おうぎ形の知識があることを前提で教えていくからね！
・・・
おうぎ形のページで、
おうぎ形は「円の一部と考える」と説明しました。
だから、図のおうぎ形を、点線で円にしちゃってください。
おお！
これで少しイメージがくっきりしました。
さっきは謎だった５ｃｍという情報が、
大きい円の半径なんだ！って感じがしてきたよね。
・・・
おうぎ形の求め方は
おうぎ形は「円の一部」と考える
→「おうぎ形（部分）」＝「円（全体）」×「割合」
（意味：おうぎ形を求めたかったら、円（全体）を出して、割合をかける）
でした。
（ほらむずいでしょ？おうぎ形のページ先にやろうね！）
おうぎ形は、
「部分」と「全体」を意識することが大事だったね。
じゃあおうぎ形の面積。
これを部分とすると、全体は？
（点線で描いた）「円の面積」が全体だ。
だから
「おうぎ形（部分）」＝「円（全体）」×「割合」
（おうぎ形：円（全体）を出して、割合をかける）
を、面積の場合は
「おうぎ形の面積（部分）」＝「円の面積（全体）」×「割合」
だと思えばいいってことです。
つまり、
さっきの「おうぎ形の面積（部分）」を求めるには
「円の面積（全体）」×「割合」が必要です。
「円の面積」はさっきもやった「πｒ²」でよさそうだね。
じゃあ「割合」はどうしよっか！
どうしよっか・・・・。
え・・・・・？
・・・
さあここで、割合ってなんだっけ。
（割合もおうぎ形のページでやってるからね！）
割合は
こう！割合は「全体分の部分」。
おうぎ形は「円の一部」と考えるんだから、
おうぎ形が「部分」、円が「全体」だね。
これを踏まえると、おうぎ形のページでやったように、
おうぎ形の割合は３パターンも作れました。
・・・
ふむふむ、
とにかくおうぎ形の割合は３パターンあったね！
ここでもっかい問題見てみよっか！
全部ないじゃん。
全部ないじゃん。（２度目）
でもこの３パターンしかないはずなの。
どれかは絶対使えるはずなの。
だから、
絶対だめなのはどれかを考え直します。
角度・・明らかに分かっていない
円周・・円周は分かるけど弧の長さがわかんない
面積・・これから面積求めるんだから使えない
角度と面積から攻めても絶対ダメそう。
だから狙うは「円周」です。
っていうか、円周しか残ってないってこと。
・・・
使うはずの割合は、
3つのうち、円周のしか残ってません。
円周は「２πｒ」だったね。
でも「弧の長さ」はなーー。
ここで図をよーく見て。弧の長さ。
さっき、円柱のときに、
似たような考え方を使ってるんだから。
よーく見た？
わかった？
よく見て。
きっとわかるから、よく考えて。
もう、答え言うからね。
この考え方です。
この長さと同じじゃんね。
「大きい円の弧の長さ」は、
「小さい円の円周」と長さが同じはずなんです。
伝わる？
オレンジの部分が同じだから
こうやってピッタリくっついてるはずだもんね。
・・・
改めて、
さっきの３つのうちの１つ。
これを使って「割合」を出すには、
「円周（２πｒ）」と「孤の長さ」を出す必要があります。
そして「弧の長さ」なんだけど、
「小さい円の円周」を使っていいってことです。同じだから。
もっかい、大きい方の円（おうぎ形のほう）に注目してね。
おうぎ形を求めるのに必要な「円周」と「孤の長さ」。
「円の円周」とは「大きい円の円周」のことです。
「孤の長さ」とは「小さい円の円周」だったよね。
だから、結局、
割合は「円周（大）」分の「円周（小）」になるってことでした。
これでもう計算ができます！
・・・
むずかしいと思うけど、とりあえず解くよ！
「おうぎ形の面積（部分）」＝「円の面積（全体）」×「割合」
「おうぎ形の面積（部分）」を求めるには
「円の面積（全体）」×「割合」が必要でした。
だから、おうぎ形の面積（＝側面積）は
「πｒ²」×「割合」で
（割合にでてくる円周は２πｒだから）
こうです。
ちゃんと分数が上下どっちも「２ × π × ｒ」になってるね。
解説は長かったけど、式自体はシンプル。
じゃあ底面積も合わせて、表面積求めるよ。
これで答えです。
意味がわかれば意外とあっさり。
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【余談：覚えなくていい公式】
ちなみに。
円錐の側面積の求め方はね。
こういう一発で解く方法があります。
覚える？
覚えても別にいいです。
でも、いらないよこんなの。
さっき解けたもんね。
難しかったけど、
あと３回は解けばもっと理解できます。
同じ解き方をずっと続けてれば、
理解はどんどん深くなって、
どんどん間違えなくなります。
だけど、
こういう丸暗記系の公式は、
丸暗記だから忘れたらアウトだし、
丸暗記だから応用にめっちゃ弱いです。
理解がないからね。
こういう、
理解をともなわない「テクニック」っていうのは、危ないんだ。
それもよく覚えててほしいなと思います。
ちなみに。
なんでその公式になるのかというとね。
半径をａ、ｂにして、さっきと同じ解き方をしてみます。
こうなるから。
理解でできるものは、覚えないほうが実はお得です。
急がば回れだよ。
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ということで表面積の回はここでおしまい！
そして、この勉強できようサイトの数学としても、ここでおしまいです。
全部やった人がいたら、すごい。
きっと前より、出来るようになってると思います。
好きになってたらそりゃあいいけど、
好きまではいかなくても、
「嫌い」とか「苦手」とかじゃなくなってるといいな。
感想あったら教えてね。
最後の練習問題は［前のページ］の体積も合わせて。
空間図形の総復習です。
［練習問題］答えは下
□英語
読めないでやってない？（読めないとむずいよ）
めんどくさい音読をやる理由
書きは後回し
□勉強できようサイト
［答え］
