【数学溢れ話41パス目】「円錐曲線=効用曲線」が天体物理学とミクロ経済学を統合する？

まずは御報告。以下の過去投稿などで触れてきた円錐曲線についての根本的疑問がGeminiとの対話を通じてやっと解消されました。

円錐曲線を表す離心率関数$\frac{1}{1±ε \cos(θ)}$自体の振る舞いはこんな感じ。

いわゆる「アポロニウスの円錐曲線(円→楕円→放物線→双曲線の連続推移)」がこの式一つで表されている訳ですが、実はこの式と「実際の見え方」を対応させるのが案外厄介。まぁ普通「放物線は双曲線にどう連続するか？」なんて考える機会はありませんからね。ネットで検索しても欲しいレベルの情報に辿り着けない状態がずっと続いてきた訳です。レベル１の数学独学者ゆえの壁というやつ…

なおこの円錐曲線、天動説に対する地動説の優位を決定的なものにした大天文学者たるヨハネス・ケプラー(Johannes Kepler,1571年~1630年)やアイザック・ニュートン卿(Sir Isaac Newton,1642年~1727)によって天体物理学と関連付けられています。だから言及自体は膨大な量に渡る訳ですが、まぁその…私がそれを理解出来るレベルに到達してなかったという次第。

で、何が分かったかというと「これまでそれが双曲線関数だと思い込んできた式形$x^2-y^2=a^2(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1)$の描く曲線の正式名称は「(直角双曲線の一種たる)標準双曲線関数(離心率$\sqrt{2}$)」で、それ自体は放物線関数$y=x^2$の描く曲線(離心率1)や反比例関数$xy=a$(離心率は標準双曲線関数同様に$\sqrt{2}$)同様、双曲線の一種に過ぎない」という事。

それでとうとうこの構造が完成するに至ったのです。

数学が単なる公式の暗記科目だった頃は本当にちっとも面白く感じれれなかったんですが、こうして思考の拡張ツールとして活用する様になってからは完全に世界の見え方が変わりました。まさしく藤子・F・不二雄のSF漫画「流血鬼(1978年)」のラストのこの一コマ状態の大逆転!!

Geminiとの対話

現時点の私にはこれをかいつまんで要約する能力がないので、そのまま転載します。

質問：円錐曲線の一環として総曲線を表現する離心率関数$\frac{1}{1±ε \cos(θ)}$は、離心率の値が幾つの時に標準双曲線$x^2-y^2$と曲線として同型になるのでしょうか？

これは極座標で表現された円錐曲線（二次曲線）の式と、デカルト座標で表現された標準双曲線の幾何学的性質を関連付ける問題ですね。

📐 極座標と標準双曲線の関係

極座標で表された円錐曲線の一般的な式は、焦点を原点、準線を $x$ 軸に垂直な直線としたとき、以下のようになります。

$r = \frac{l}{1 \pm \varepsilon \cos \theta}$

ここで、

• $r$ は原点（焦点）からの距離

• $\theta$ は偏角

• $\varepsilon$ は離心率

• $l$ は半通径（semi-latus rectum）

この曲線が双曲線となるための条件は、離心率 $\varepsilon$ が $\mathbf{1}$ より大きいことです（$\varepsilon > 1$）。

📏 標準双曲線と同型になる条件

標準双曲線は、デカルト座標系で次の式で表されます。

$x^2 - y^2 = a^2$

ここで $a$ は定数です（通常、標準双曲線は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の形ですが、ここでは $a=b=k$ となる特別なケースを考えます）。

標準双曲線 $x^2 - y^2 = a^2$ が、極座標の式 $r = \frac{l}{1 \pm \varepsilon \cos \theta}$ と曲線として同型になるためには、その離心率が標準双曲線の離心率と等しくなる必要があります。

1. 標準双曲線 $x^2 - y^2 = a^2$ の離心率の計算

標準双曲線 $x^2 - y^2 = a^2$ は、一般形 $x^2/A^2 - y^2/B^2 = 1$ と比較すると、

$A^2 = a^2, \quad B^2 = a^2 \quad \text{より } A = a, B = a$

となります。

双曲線の焦点から中心までの距離 $c$ は、次の関係式で求められます。

$c^2 = A^2 + B^2$

$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$c = \sqrt{2} a$

離心率 $\varepsilon$ は、定義により $\varepsilon = \frac{c}{A}$ ですから、

$\varepsilon = \frac{\sqrt{2} a}{a} = \sqrt{2}$

2. 同型性の判定

極座標で表現された円錐曲線が、標準双曲線 $x^2 - y^2 = a^2$ と曲線として同型になるのは、両者の幾何学的形状が等しいとき、すなわち両者の離心率が等しいときです。

したがって、極座標の式 $r = \frac{l}{1 \pm \varepsilon \cos \theta}$ が標準双曲線 $x^2 - y^2 = a^2$ と同型になるのは、離心率が次の値のときです。

$\varepsilon = \sqrt{2}$

結論

極座標で表現される円錐曲線 $r = \frac{l}{1 \pm \varepsilon \cos \theta}$ は、離心率 $\varepsilon$ の値が $\mathbf{\sqrt{2}}$ の時に、標準双曲線 $x^2 - y^2 = a^2$ と曲線として同型になります。

そして…

質問：双曲線関数$x^2 - y^2 = a^2$は、aの値が1以上になった場合と、aの値が1以下になった場合でどの様に変化しますか？

双曲線の式 $\mathbf{x^2 - y^2 = a^2}$ において、定数 $a$ の値が変化したときに曲線がどのように変化するかを解説します。

🔍 標準双曲線の基本形

ご提示いただいた双曲線の式は、一般的に次の形式で表されます。

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad \text{（ただし } a \ne 0 \text{）}$

ここで、$a$ は実軸（横軸）の半分の長さを示し、この双曲線は $x$ 軸上に焦点を持ちます。この双曲線の形は、$a$ の絶対値$|a|$によって変化します。

📈 曲線が変化する様子

双曲線 $\mathbf{x^2 - y^2 = a^2}$ の幾何学的な形状は、主に以下の3つの要素によって決まります。

1. 漸近線

2. 頂点

3. 焦点

1. $a$ の絶対値による変化

$a$ は実数であるため、$a^2$ は常に $0$ より大きい値をとります。したがって、ここでは $|a|$ の値、すなわち $\mathbf{a^2}$ の値が $1$ を境にどのように変わるかを考察します。

(1) $a$ の値が$1$以下の場合 ($\mathbf{0 < a \le 1}$)

このとき、$a^2$ は $0$ より大きく $1$ 以下の値をとります。

• 頂点 (Vertices):

  1. 曲線が $x$ 軸と交わる点（頂点）は $(\pm a, 0)$ です。$|a|$ の値が $1$ に近づくほど、頂点は原点から離れます。$|a|$ が $1$ より小さい場合、双曲線は原点に近づき、より鋭角に開きます。

     • 例: $x^2 - y^2 = 0.5^2$ の頂点は $(\pm 0.5, 0)$

• 漸近線 (Asymptotes):

  1. この双曲線は常に $y = \pm x$ という漸近線を持ちます。これは $a^2$ の値に関わらず一定です。

• 焦点 (Foci):

  1. 焦点座標は $(\pm c, 0)$ であり、$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ ですから、$c = \sqrt{2}|a|$ です。$|a|$ が小さいほど、焦点は原点に近づきます。

(2) $a$ の値が$1$以上の場合 ($\mathbf{a \ge 1}$)

このとき、$a^2$ は $1$ 以上の値をとります。

• 頂点 (Vertices):

  1. 頂点 $(\pm a, 0)$ は、原点から離れていきます。つまり、双曲線の二つの枝は $x$ 軸のより外側に位置します。

     • 例: $x^2 - y^2 = 2^2$ の頂点は $(\pm 2, 0)$

• 漸近線 (Asymptotes):

  1. 同様に、漸近線は常に $y = \pm x$ であり、変化しません。

• 焦点 (Foci):

  1. 焦点 $c = \sqrt{2}|a|$ は、$|a|$ が大きくなるほど、原点から離れていきます。

💡 幾何学的な意味：双曲線族

この双曲線 $\mathbf{x^2 - y^2 = a^2}$ は、漸近線 $y = \pm x$ を共有する双曲線族を形成します。

• $|a|$ の役割: $a$ の値が変化しても、曲線の形状自体（離心率 $\varepsilon = \sqrt{2}$）は変わりません。変化するのは、その双曲線のサイズ、または原点からの距離だけです。

• $a \to 0$ の極限: $|a| \to 0$ に近づくと、頂点は原点に近づき、曲線は漸近線 $y = \pm x$、すなわち $x^2 - y^2 = 0$ の二直線に収束します。

• $a$ の符号: $a$ が正か負かは、$a^2$ の値には影響しないため、曲線の形状自体には影響しません。

まとめると、$a^2$ の値（すなわち$|a|$）は双曲線の枝が原点からどれだけ離れているかを決定しますが、漸近線は固定されているため、曲線の幾何学的形状（離心率）は変わりません。

ね、この記述一つとってもまだまだ紛らわしいったらありゃしない。そこに「(直角双曲線の一種たる)標準双曲線関数」と「それ以外の一般的双曲線関数」を厳密に峻別しようとする姿勢は全く見られないのです。まぁその辺りにずっと振り回されてきたという次第…

「効用曲線=円錐曲線」と分かると何が捗るのか？

突然ですが、私の考え方(Thinking Theory)は、マックス・ヴェーバー(Max Weber,1864年~1920年)やヴェルナー・ゾンバルト(Werner Sombart, 1863年~1941年)やカール・マンハイム(Karl Mannheim,1893年~1947年1)といった「ドイツ社会学の教父」達によるカール・マルクスの批判的継承、特に「経済学批判(Zur Kritik der Politischen Ökonomie, 1859年)」において提案された上部構造論、すなわち「貴方が個性や自由意志と信じ込んでいるそれは、その実社会的圧力に型抜きされた工業的量産品に過ぎない」なる概念に色濃く影響を受けています。

• 「貴方が個性や自由意志と信じ込んでいるそれは、その実社会的圧力に型抜きされた工業的量産品に過ぎない」…ヘルムート・プレスナー(Helmuth Plessner, 1892年~1985年)「遅れてきた国民：ドイツ・ナショナリズムの精神史(Die verspätete Nation. Über die politische Verführbarkeit bürgerlichen Geistes,1959年)によれば、当時のドイツ社会主義学者の間では、かかるカール・マルクスの考え方とジークムント・フロイト(独: Sigmund Freud, 1856年~1939年)の精神分析学におけるモットー「さよう、自由は人間を解放する。ただし自由に、ではない」を併せた考え方が「マルクス・フロイト主義」と呼ばれていたという。

• ウェーバーが夭折し、ゾンバルトがNSDAP御用達学者となって生き延びる道を選び、英国に亡命したマンハイムが「(有識者が善導する形での)多様性の統一」なる全体主義名たビジョンを打ち出してT.S.エリオットら英国「新古典派」知識人に叩き潰された後、かかる「マルクス・フロイト主義」は精神分析学者エーリヒ・フロム(Erich Seligmann Fromm、1900年~1980年)の手によってアメリカへと伝えられ新左翼運動の出発点となった。ただし、その内容はまだ政治や経済を本格的に学び始める以前の「詩人」マルクスの預言「未来には封建主義的欲求からも資本主義的欲求からも解放された新人類プロレタリアートが旧人類を駆逐するであろう」に立脚し(良い意味でも悪い意味でも)それまでのドイツ社会学の内容から完全に離れてしまったのである。

• 新左翼運動やヒッピー運動は一時期世界を席巻したが、皮肉にもエーリヒ・フロム当人は「体制側」「老害」と蔑まれていたという。コロンビア大学紛争の際に大学教授の一人として学生運動家達の説得に当たった時も、畏敬の念を示されるどころか、全身に腐った卵を浴びせられ追い返されている。

• その一方で彼らから導師(グル)として崇拝されたのは「メスカリンの伝教師」ティモシー・リアリー博士。その彼が1980年代に入るとキッパリと「ドラッグによる意識革命」への執着を捨て「コンピューターを用いた自己再プログラミング」を提唱する様になったのが一つの時代の変わり目だったといえよう。

こうしてマルクス思想の(良くも悪くも)発展を続けた部分に追随する一方、とっくの昔に時代遅れとなっていた労働価値説(Labor theory of value)には早々に見切りをつけ、効用価値説(Utility theory of value)へと乗り換えてしまいました。なお効用価値説の歴史は18世紀イタリアにおける国家論にまで遡り、そこまで視野に入れるとマルクスの国家論と独特の照合を見せます。

ただ「効用(Utility)とは何か？」自体についてずっと「１杯目のビールは2杯目のビールより常に美味しい」なるモットーから二次関数$x=y^2→y=\sqrt{x}$とか対数関数$y=\log_e x$の様な推移を想定してお茶を濁してきた感があった事は否めません。

• なお、以下がそれまで私の思い浮かべていた「ヴェーバー‐フェヒナーの法則における認識等高線の対数的推移」。

だからネットで以下のグラフを発見した時には本当に衝撃を受けたのです。

• なお、当時どうしても考えがまとめられなかった「愛(i)との関係」について、最近$(\cosh(θi),\sinh(θi))=(\cos(θ),\sin(θ))$なる公式に到達。ドップラー効果(赤方偏移/青方偏移)や相対性理論におけるローレンツ変換辺りを調べてると出てくるやつ。え？「効用最大化」って「光速への接近」の近似概念なの？

で、色々調べた末に最終的に辿り着い結論が「効用曲線とは円錐曲線に他ならない」というもの。これで全く新しい視界が開けたのです。

• なお、ミクロ経済学で最大効用を求めるのに使うのは反比例図式なので、円錐曲線への適用に際しては「45度回す」演算が必要に。

「ミクロ経済学=天体物理学」の構造から学べる事。

とにかくこの発見があった以上、まず最初に肝に銘じないといけないのは効用なるミクロ経済上の概念が「お気持ちを何となく対数的に表したもの」ヴェーバー‐フェヒナーの法則の様な漠然とした心理尺度ではなく、光の屈折とかドップラー現象(赤方偏移/青方偏移)の様に厳密な計算が可能な物理現象であるという事です。

つまり、ミクロ経済学において「30x+10y=60n」と計算される「10円の菓子と30円の菓子を予算一杯買って得られる最大効用(Maximum utility)」には、それだけ厳然とした不動性がある(一次方程式として解いた=対角化した場合の解に該当する)という次第。

でも、現実の世界はもっと色々あって…ここに登場してくるのが統計学などで使われている「帰無仮説(Null hypothesis)」概念。

要するに「効用が最大化される理論値通りに結果が出るなら、他に特別な要因は働いてない=そうでないなら、何か別の要因が働いていると想定しなければならない」という考え方ですね。出発点としてはまぁ悪くない感じ？ そこまで辿り着いた段階で以下続報…