【主観と客観の起源】圏論の導入を検討し始める。

なにしろこちとら群論概念で挫折した身の上。さらにその先に現れた「圏論」なんて、それまで「見知らぬ宇宙の彼方を跋扈する、自分の人生とは何の関わりもない異次元怪獣」くらいの認識だったのです。それがSNSで以下の動画と本を勧められてちょっとばかり変わってきました。

とりあえず本も買ってしまったので、これから読み進めていきますが。モチベーション発生の最初の契機となったのは「圏」の英訳が「Category」すなわち「分類そのもの」であると気付いたあたり。

「スタンレーの四大尺度水準」から「圏論的状況」への拡張。

かつての私は、かかるQiita投稿において以下の考え方を表明しています。

• 統計学の世界においてはスタンレー・スティーヴンズ（Stanley Smith Stevens）が論文「測定尺度の理論について(On the Theory of Scales of Measurement,1946年)」で提案した「名義尺度(Nominal Scale)」「間隔尺度(Interval Scale)」「間隔尺度(Interval Scale)」「比例尺度(Proportional Scale)」なる四大尺度水準が広く長く用いられてきた。

• しかしコンピューター数学や機械学習アルゴリズムの世界においては「データは必ず男か女で構成される」「学習データもテストデータも必ず犬、猫、馬の３種類によって構成される」といった状況を扱う必要が発生。それに対応して名義尺度と順序尺度の間に「分類尺度(Classification Scale)」なる新たな尺度水準を設ける事を提言した訳です。

この状況においては任意のメンバーによって構成される任意の数の「分類(Classes)」の二つずつの組み合わせごとに双方向に「射(morphism(s))」が発生する訳ですが、そうした状況において「関手と看做しえる分類間の射(Morphism(s) between Classes that can be regarded as a Functor(s))」が観測される場合を「圏論的状況(Category theoretical situation)」と呼ぶ様です。実際、動画の説明によれば…

• レストランのメニューに掲載された「ハンバーグ定食」なる全体集合(Whole set)から出発する。同じメニューに掲載されていても、例えば「パフェの集合」などがこうした検討に割り込んでくる事はない(やはり閉世界仮説の成立は前提条件)。

• まず「煮込みハンバーグ」や「チーズハンバーグ」といったハンバーグそのものの料理方法に注目して「部分集合(Subset)=圏」を抽出する。この場合には「煮込む」「チーズを乗せる」といった料理手順が「射=関手」と看做され、それを経る都度「ただのハンバーグ」圏が「煮込まれハンバーグ」圏や「チーズ乗せられハンバーグ」圏へと遷移していくイメージが構成される。

• 一方「定食の種類」に注目するなら「ライス・セット関手=ライス・セット圏」や「パン・セット関手=パン・セット圏」が抽出され「ライス・セットでなくパン・セットに変換する」といった関手レベルの置換操作が「自然変換(Natural Transformation)」と呼ばれる。

どうして「関手(Fanctor(s))」なんて造語を新設したかというと、おそらく「操作(Operation)みたいな既存の用語と内容が全く異なる事を強調したい」からでないかと推察されます。アイレンベルグとマックレーンが圏・関手・自然変換の定義を最初に示したのが「General Theory of Natural Equivalences(1945年)」。実は「スタンレーの四大尺度水準(1946年)」より先だったというのが興味深いところ…

ホモロジー=位相不変量？

この考えに従って、例えば「２分類」を「圏論的状況」に射影するとこんな感じ？

「3分類」を「圏論的状況」に射影するとこんな感じ？

図に対応する用語を追加で探す羽目に。

• 圏(category)Cは、対象(object) の類(Class)Ob(C)と、各対象a,bごとに定められた 射(arrow) の類(Class)C(a,b)によって構成される。射$f \in C(a,b)$をf:a→bと書いたり、以下のような矢印の図式で表したりする。この時、始域(domain=ドメイン)aをa=dom(f)、終域(codomain=コドメイン)bをb=cod(f)と書く。

• 全ての射の向きが逆の圏を圏Cの反対圏(Opposite Category)ないしは相対圏(Dual Category)$C^{op}$といい、自明の場合として$(C^{op})^{op}=C$となる。

分類尺度はルベール可測条件を満たす為に「最外縁補集合=注目要素を一つも含まない分類」を切る捨て閉世界仮説を成立させるばかりでなく、命題論理学でいう「爆発律(Principle of explosion)」回避の為に「注目要素を複数含む分類」もすべて切り捨てしまいますが、圏論はこの様な要素拡張削除操作の全プロセスを視野に入れてくる訳ですね。

圏論における「超立方体」関手と「超球面」関手の自然変換。

圏論の概念を導入すると何が嬉しいって、どうやら二項定理概念を「単集合と空集合のセットを始域、超立方体と超球面の次元拡張削減を関手、ホワイトガウスノイズ(正規乱数)を終域とする圏」として統括的に扱える様になりそうなのです!!

まだ全然綺麗に収まってませんね。とにかく…

①以下の様な次元変遷圏を想定し、これにおける「超立方体」関手集合と「超球面」関手集合の関係が自然変換になってるかどうかについて考える。

• ここでさりげなくアフィン変換の概念を恒常変換の一種として「組み込み」。圏論においてはここでさりげなく「(ユークリッド空間から原点などの計量的な概念を取り除いた)アフィン空間」を圏として想定した事になるっぽい？

②ここで自然変換の対象として「超球面」を想定しないといけないのは、以下の様な数理的繊維過程を関手として採用したいから。

• N次元球面の体積は半径rについて以下。その「表面積」は$n c_nr^{n−1}$で、「体積」は$c_n r^n$。

$$V_n = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^2$$

• N=1の時、$C_n=\frac{\pi^{\frac{1}{2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}+1)}=2$。すなわち、「1次元球面の体積(直径)」は2r。

• N=2の時、$C_n=\frac{\pi^{\frac{2}{2}}}{\Gamma(\frac{2}{2}+1)}=\pi$。すなわち「2次元球面の表面積(円周長)」は$2πr$、「2次元球面の体積(面積)」は$πr^2$。

• N=3の時、$C_n=\frac{\pi^{\frac{3}{2}}}{\Gamma(\frac{3}{2}+1)}=\frac{3}{4} \pi$。すなわち「3次元球面の表面積」は$4πr^2$、「3次元球面の体積」は$\frac{4}{3}πr^3$。

• N=4以上は「カンブリア爆発期(5億4200万年前~5億3000万年)に生物が授かった視覚と視覚情報を処理する脊髄の末裔で考える」人類が普通に扱える範疇を越えるので、ここでは扱わない。

②一方、ただの微積分による次元変遷(冪乗の微積分)においては正方形方眼によって構成される2次元デカルト空間を2個の三角形、立方体方眼3次元によって構成される3次元デカルト空間を4個の四角錐(及び中央の空隙としての正四面体)に切り分けるのみ。

• それに対してN次元超立方体は次元数nと辺長aについて表面積が$2na^{n-1}$、体積が$a^n$となって遷移過程が超球面と揃うので自然変換として認識する事が可能となる。

• N=1の時「1次元超立方体の体積$a^{+1}$(辺長)」はa。

• N=2の時、「2次元超立方体の表面積$(2*2)a^{2-1}$(周長)」は4a、「2次元超立方体の体積$a^{2}$(面積)」は$a^{2}$。

• N=3の時、「2次元超立方体の表面積$(2*3)a^{3-1}$(表面積)」は$6a^{2}$、「2次元超立方体の体積$a^{3}$(体積)」は$a^{3}$。

• N=4以上は超球面同様に人類が普通に扱える範疇を越えるので、ここでは扱わない。

二項定理概念全体の数学的構造を圏論的状況に写す。

かかる幾何学次元における自然変換の認識を足がかりとすれば、既存投稿において扱ってきた「二項定理$2^n$的世界観の応用範囲」全体を圏として再構成する事が可能になるのです。

①N=1の場合…線形座標系の世界観。「2点間を直接結ぶ直線」「内と外」「コイン1枚の出目の分布(表と裏の出現確率がそれぞれ$\frac{1}{2}$ずつ)」など。

• $二項式：(a+b)^1=a+b$

• $確率分布：\frac{{}_1C_0+{}_1C_1}{2^1}=\frac{1+1}{2}=1$

②N=2の場合…2次元デカルト座標系の世界。「四辺に囲まれた正方形」「ベン図(二重円)」「コイン2枚の出目の分布」など。

③N=3の場合。「六面に囲まれた立方体」「ベン図(三重円)」「コイン3枚の出目の分布」など。

④N>4の場合…幾何学や集合論で考えるのが困難な領域に突入し、次第に統計学的に扱う事しか出来なくなっていく。歴史的にこの過程は「ホワイトガウスノイズ(正規乱数)への回帰」と認識されてきたが、セル数が統計力学における理想気体のアボガドロ数$10^{23}$を超えたくらいから性能の劇的向上が始まる人工蜘網アルゴリズムの登場によってまた別の考え方が必要となってきた。

N=4の場合(既に幾何学的表現が困難な領域)

• $二項式：(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

• $確率分布：\frac{{}_4C_0+{}_4C_1+{}_4C_2+{}_4C_3+{}_4C_4}{2^4}=\frac{1+4+6+4+1}{16}=1$

N=5の場合(同様に既に幾何学的表現が困難な領域)

$二項式：(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^2b^3+10a^3b^2+5ab^4+b^5$

$確率分布：\frac{{}_5C_0+{}_5C_1+{}_5C_2+{}_5C_3+{}_5C_4+{}_5C_5}{2^5}=\frac{1+5+10+10+5+1}{32}=1$

そしてNが5~7に達した頃より正規分布による近似が可能に。

二項問題から「相対圏」概念へ。

二項定理概念は二項式$(a+b)^n$を$(a+1)^n$の系と$(b+1)^n$の系に分解する事で哲学領域における「絶対他者」問題に足を踏み入れる転回を迎えます。ここでいう「１」は「確率論における１」すなわち閉世界世界成立の為にとりあえずルベーグ測度「0」と見積もらざるを得ないものの、その一方で実際には$0=\frac{1}{∞}$すなわち同時に$0×∞=1$が成立すると考える形で導入される不確定要素。

N=1の場合

N=2の場合

N=3の場合

Nが十分大きく正規分布で近似が可能な状況

• 「(計算上、とりあえずルベーグ測度0と見積もられ切り捨てられるが、実際には無限個足し合わせると1になるとも考える)確率論上の0」は「王国の舞踏会にガラスの靴の美女が現れて以降、王子が結婚したい相手は彼女だけとなった」とか「iPhone登場によってそれまでガラケー単色だった携帯電話市場が激変し、iPhoneとAndroidが２強のスマホ時代が始まった」みたいなフルーツバスケット的ベイズ更新を説明する為に導入されたといっても過言ではない。

• 最近ネットで話題になっている「ノイズ除去」理論のオリジナルはガウスの誤差理論、すなわち①小さな誤差ほど比較的観測され易い。②
  大きな誤差ほど比較的観測され難い。③従って、一定以上の誤差を切り捨てる事によって観測精度(Observation Accuracy)を向上させられるなる信念と「真の分布を確かめる術のない回帰分析においては、代わりに観測値から理想値を引いた残差がホワイトガウスノイズ(正規乱数)の範疇に収まっている事でとりあえず結論の正しさを担保する」なる妥協案の合算。従って何を残すべき有意味情報(Sounds)と考えるか、その設定は本当に妥当かが真っ先に問われる事になる。なお上掲の「二項式$(a+b)^n$を$(a+1)^n$と$(b+1)^n$に分解するして相対関係に置く」アイディアにおいて、ホワイトガウスノイズ(正規乱数)の(対象に選んだ次元以外の全てを被覆する)無次元性は$1^n=1$となる「1なる数字」の著名な性質によって担保されている。

• ここでややこしいのが、上掲の様にそもそも観察の前提となる二項関係なるもの自体が「相照関係(自分を棚に上げて相手ばかり観察する傾向がある)」や「共素関係(適切な手段を用いて検出された最大公約数以外の要素は原則として「互いに素=無関係」と考える)」といった多種多様な判断基準を含んでいる点。さらには「同時観察可能する次元数が大きくなるほど全体像がホワイトガウスノイズ(正規乱数)に近ずく」問題まである。

上掲の「次元数が大きくなるほど全体像がホワイトガウスノイズ(正規乱数)に近ずいていく」問題は(小半径と大半径の比率が1:0の時二重球面に、0:1の時単一円弧となる)トーラス構造を用いても説明可能です。

• トーラス図形には「表面(外面)と裏面(内面)が常に一体一の対応で存在する」という特徴があるので、上掲の相対構造がそのまま射影出来てしまうのである!! そしてその表面積は大半径の比率が大きくなる(二項定理において次元数が拡大する)につれて縮小の一途を辿り、最後には0となってしまう。経済人類学者カール・ポランニーが「大転換(The Great Transformation,1944年)」の中で述べた「(なんでも商材として利用し尽くそうとする貪欲さの対価として世界全体の価値が下がり続ける)資本主義の悪魔の挽臼」そのもの。またカール・マンハイムが「保守主義的思考(Das Konsevertive Denken, 1927年)」の中で述べた「進歩主義者と保守主義者の争点」そのものでもある。

• 「領主と領民」「資本家と労働者」「民族間紛争」といった国家経営上のノイズを除去する目的でマルクス主義が採用した民主集中制が「封建主義的欲望からも資本主義的欲望からも解放された新人類プロレタリアート」を型抜きするメカニズムもこれに準じる。現行似非フェミニズムが採用したインターセクショナリティ理論も数学的構造は相似しており、その結果「女性スポーツへの参加権や女性刑務所、風呂、シャワールーム、更衣室といった女性専用パーソナル・スペースへの進入を(既存の生物学的定義に基づく)女性以外にも明け渡すべきである」なる主張が主流派となったり、そうした混乱の隙を突く形で暴走した表現規制派がそれぞれ身勝手な「ノイズ除去」理論を展開するに至った訳である。

• かかる惨状の背景には、以下の様な思考的停滞も観測されている。

圏論は上掲の様にどうやらこの問題について対象圏に対して反対圏(Opposite Category)ないしは相対圏(Dual Category)$C^{op}$を立て$(C^{op})^{op}=C$と考える事でこの問題に対応する様模様。さぁて、ここからが勉強の始まり始まり…

そんな感じでとりあえず以下続報。

本文はここまで。「どうやってこういう考えに辿り着いたのか？」という部分に興味が出てきた方は是非以下をご覧になって下さい。文章量の関係で削除したトピックなども掲載されております。是非お手にとってお確かめ下さい。