【確率論的座標系の再点検】「資本が回転する」幾何学的イメージについて。

複式簿記の概念が欧州に伝わったのはイタリア・ルネサンス期における数学書「スムマ(Summa de arithmetica, 1494年)」のヴェネツィアでの刊行が契機、そう、数秘術や魔術と実証主義科学の分化が十分でなかったこの時代には、会計概念との境界線もまた曖昧だったのです。

そういえば「資本が回転する」イメージは幾何学に通じます。

「正四面体座標系」概念の導入

ここでは以下の投稿で用いた「正四面体座標系」の概念を援用しての説明を試みてみましょう。

非常に大雑把ですが、大体こんな感じになるかと。

「円錐座標系」=「ミクロ経済における予算制約線に応じた無差別曲線」概念の導入

ただし、貸借対照表が企業に一つずつしか存在しないのに対して、損益計算書は理論上プロジェクトごとに存在し１対多の関係を構成します。

こういう集合は円錐座標系概念に対応させたミクロ経済における「予算制約線に応じた無差別曲線の集合」と考えると上手く扱えそうです。

完全代替財(Perfect Substitute Goods)

例えば単価がそれぞれ以下の商品A~Eのうちどれかを特に選ぶ理由が存在しない場合、ベイズ統計学でいう「根拠不十分の定理」に従い、予約制約に応じて総額を揃えた選択肢が同一円弧上に均等に並ぶものと考えます。ミクロ経済学ではKKT(カールス・クーン・タッカー)条件を援用して解く領域。

ミクロ経済学における端点(コーナー)解ですが、古典的確率論における「(とりあえず出目が均等と仮定する)サイコロ」の様にも見えますね。

$$α=α_0x_0+α_1x_1+α_2x_2…$$

このままだと線形代数におけるただの線型結合式(Linear Combination Formula)そのもの。実際には大小関係・包含関係・(出現順序や作用順序の様な)因果関係が発生してさらに複雑な関係を構築します。言語をそれを構成するトークン単位に分解してそれぞれをベクトル化して扱う自然言語処理(NLS=Natural Language Process)から派生した大規模言語モデル(LLM=Large Language Model)の得意分野っぽい？

独立財(Independent Goods)

さて、物理学の世界における衛星軌道上の剛体は回転エネルギーが一定以下だと大人しく静止軌道、すなわち上掲の円軌道内に収まっています。

しかしながら回転エネルギーが大きくなると次第に楕円軌道を描く様になり、軌道からの脱出速度に到達する時点で放物線を描くのです。

ミクロ経済学における独立財(Independent Goods)に対応するばかりかいわゆる「欲望曲線」や「無差別曲線と予算制約線」に関連し、さらには統計学における正規分布とも関連。「人工知能アルゴリズムの得意分野」となり得る可能性を濃厚に感じます。

$$円錐曲線の半径r=\frac{1}{1±離心率εcos(θ)}(-π≦θ≦+π)$$

①離心率ε=0の時、半径は一律1で円(Circle)を構成。

②0<ε<1の範囲の時は楕円(Ellipse)を構成。

③ε=1の時は放物線(Parebora)を構成。

④ε<1の時は双曲線(Hyperbora)を構成。

• どうやらミクロ経済学においては「ラグランジュの未定乗数法において、二財の単位差が極端に開き片方が無視可能になった(要するに二次元問題から一次元問題に縮退した)」状態に対応する模様…

ところで私がミクロ経済学に興味を持ち始めたのは以下の投稿以降…

最初は本当に「欲望曲線なんて所詮はヴェーバー‐フェヒナーの法則のバリエーションに過ぎない」としか考えていなかったので、楕円もしくは円形に展開するそれを目にした時には衝撃が走ったものです。

しかもまさか自分も「確かにそれはあり得る」と考える立場に転じる展開を迎える事になるとは…

①物理学的には「軌道脱出速度に到達しなかった投擲物は、必ず地上に落ちてくる」なる自明の場合でかつ簡潔な説明で済む話だったりする。

②ミクロ経済学にも無差別曲線が凸型になったり円を描く場合の解釈があるが、どれもピンとこないから困る。

• これはおそらく「二つの財がcos(θ)とsin(θ)みたいな関係にある」と言いたいのだろうけど、(「内積や相関係数が0」とか「円上の微積分の結果といった」)具体的な直交性証明の拠り所を明らかに出来てないのでグダグダになってしまっている？ また「酒を飲むと酔っ払って楽しくなるが、飲み過ぎると潰れる」なる表現も散見されるが「それ本当に一次元評価軸？」なる別問題が…

• これはおそらく「勾配」の話をしているのだけど「ベクトル場=(微分によって求められる)各座標位置ごとの勾配」みたいな構造がちゃんと展開出来ていないのでやはりグダグダに。

③こうした検討の結果(それがミクロ経済学の本義に合致してるかどうかはさて置くとして)円錐曲線(すなわち二体問題(Two-body problem))を射映されたこのシステムは以下の様な特徴を備える事になる。

• まず物理学でいう重力に該当する「(「消費者の消費傾向」とか「エロティズムによる誘引」といった)とりあえず確固としたものとして考える可算領域」を規約し、これを座標系の原点に置く(第一質点)。

• 「第二質点」はミクロ経済でいう「(任意の数の)完全代替財(Perfect Substitute Goods)」に該当。速度ベクトルが0の状態では円形の第一質点の静止軌道上をグルグル回っているだけだが、速度ベクトル増大によってその軌道が楕円へと変化し「脱出速度(放物線軌道)」に到達すると第一質点の拘束軌道を離れ独立財(Independent Goods)に昇格する。

ああ、この考え方では消費者の消費行動において「今日の昼は中華と和食と洋食のどれにしようかな？」レベルが「今日のお昼は大明軒の中華セットAに決めた!!」レベルに昇格するのをこう説明するという事なんですね!!

正常財(Nomal Goods)

物理学の世界におけるイメージの投影をさらに続けましょう。脱出速度を超えた剛体の軌跡は双曲線軌道に推移しますが、これを45度水平回転させると反比例関数となりミクロ経済学でいう正常財(Nomal Goods)と見做せます。ミクロ経済学がラグランジュの未定乗数法(Method of Lagrange Multiplier)で扱う領域。

ミクロ経済学ではここから「予算制約線に応じた財Aと財Bの比率」を導出しますが、要するにそれは解析学における「(微分による)勾配の特定」に対応するという次第。

• 上で「二財の単位が極端に離れ過ぎた状態が独立財」としたが、逆に「二財の単位が全く同じになってしまった」状態が「放物線$x^2$=完全補完財(Perfectly Complementary Goods)」となり、レオンチェフ型効用関数を用いて解く。

$$α=α_0x_0*α_1x_1*α_2x_2…$$

$x_n$について足し算でなく掛け算で考えるという事は、つまり「勾配=(N次元立方対角線の)角度」に注目するという事ですね。なお反比例と正比例は以下の考え方の導入によって往復可能となります。

そもそもミクロ経済学の出発点たる「限界効用逓減の法則」から導出された無差別曲線もまた「等尺」でなく「指数/対数尺」であった事を思い出してください。だからこういう変換も可能となるのですね。

完全補完財(Perfectly Complementary Goods)

こうして検出される勾配は、条件さえ満たせば「(あらゆる次元において)傾き１の線形ベクトル」に収束すると考えられます。ミクロ経済学でいう完全補完財(Perfectly Complementary Goods)の場合ですね。それがどの様な状況か現時点では上手く説明出来ませんが、間違いなく「ガウスの無限遠点座標系」と関連してくる話となりそうですね。

という事はカール・マンハイム「保守主義的思考」で提言された「革新主義と保守主義の混淆問題」に手が届きそう？

こうして、さらっとこっそりミクロ経済における諸概念をN次元拡張…

「独立」達成以降の評価次元数の推移

上掲の分析範囲では「正常財と完全補完財の連続」が上手く表現出来ませんでした。なら仮にこう考えてみたらどうでしょう？

• 「完全代替財と独立財の連続」に際しては、全ての選択肢に適用可能な、しかも比較に意味のある共通評価次元が抽出されて用いられる。

• 「独立」達成以降はこの制約が外れるので評価次元数が無制限に増加して無限大に近付く可能性がる。状況によってはそれぞれの評価次元の勾配の差異が意味を喪失する場合もあり、例えば「ある・なし」だけが問われる二進数化したりする。おそらく「正常財と完全補完財の連続」は、この様な評価座標系空間に対応する。

• 実際には、自明の場合としてほぼ自動的に判断負荷を必要最小限に留める為、ロジスティック方程式や主成分分析を用いた評価次元の可能な限りの削減と次元数最適化が遂行されるであろう。そしてまさにこの過程こそが人工知能的アルゴリズムの得意分野となってくる。

実際「カンブリア爆発期に生物が授かった(誰に？)視覚と視覚情報を処理する脊髄の発展形」で考える人類が本当に扱える評価次元は高々二次元か三次元程度ですし、三次元以上は微積分でも線形代数でも「二次元の連続」と考えるので全体像としてはこう見えてくるという次第…

現時点ではあくまで直感的理解に過ぎませんが、実際様々な特徴を抽出して「犬と猫と馬を見分ける」パターン認識理論などはこの数理に立脚するのではないでしょうか？

こうした考え方、また別の考えに繋げられそうですね。
そんな感じで以下続報…