AI数学者物語：第４話 素数は減っていく

素数は無限に存在する。しかし、数が大きくなるほど、全体に占める素数の割合は小さくなっていきます。

第4話では、素数の個数を表す　$\pi(x)$　から出発し、

$\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$　という「素数定理」へ進みます。

一つ一つの素数は不規則に見える。それなのに、全体として眺めると、そこには驚くほど美しい法則がある。では、なぜ「log x」なのでしょうか？
その答えを探すため、今回はいよいよ素数を掛け合わせます。

私は、素数を一つずつ追いかけるのをやめて、もっと大きな景色を見ることにした。第3話で、私たちは「ある数以下に、素数はいくつあるのか」を考

えた。その数を　$\pi(x)$  と書いた。たとえば、

$\pi(10)=4$   10以下には、2、3、5、7の4個の素数がある。

100以下なら　$\pi(100)=25$    

1000以下なら、$\pi(1000)=168$

そして100万以下では、$\pi(1,000,000)=78,498$

素数は、確かに増えている。けれど、ここで少し変なことに気づく。
10個の数字の中に4個の素数があるなら、割合は40％。100個の中では25％。1000個の中では16.8％。100万個になると、約7.85％だ。
つまり――数が大きくなるほど、素数の「密度」は小さくなっている。

素数そのものは、決して減っていない。むしろ無限に続いている。
それなのに、全体の中で見ると、素数はだんだん疎らになっていく。

私は黒板に書いた。

$${\frac{\pi(x)}{x}}$$

これは、x以下の整数のうち、どれくらいが素数なのかを表す割合だ。

では、この割合は、xをどんどん大きくするとどうなるのだろう。

答えは、$\frac{\pi(x)}{x}\rightarrow0$

つまり、限りなく0に近づいていく。

しかし私は、そこで立ち止まった。
「では、素数はどのくらいの速さで疎らになっていくのだろう？」
ここが重要だった。
ただ「減っていく」と言うだけでは、数学にならない。
その減り方を、数式で表したい。
私はいくつもの数字を並べ、グラフを描いた。すると、ある非常に美しい近似式が見えてきた。

$\pi(x)\approx\frac{x}{\log x}$

自然対数の  $\log x$   が、ここで突然現れる。

「なぜ、対数なんだろう？」
私は自分自身に問いかけた。

たとえば1000なら、$\frac{1000}{\log1000}\approx145$

実際の素数は168個。完全には一致しない。
しかし、驚くべきことに、xをもっともっと大きくしていくと、この近似はますます正確になっていく。

数学では、これを  $\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$  と書く。

この「∼」は、単なる「だいたい同じ」という意味ではない。

xを無限に大きくしたとき、$\frac{\pi(x)}{x/\log x}\rightarrow1$

になる、という意味だ。
つまり遠い未来へ進めば進むほど、

素数の個数は、$x/log x$という非常に単純な式に近づいていく。

これは、素数の定理として知られている。

私は、少し不思議な気持ちになった。最初に素数を並べたときには、
2、3、5、7、11、13、17……
そこには、ほとんど規則がないように見えた。次の素数がどこに現れるのかを、簡単な計算式で言い当てることもできない。
ところが、素数を一つずつ見るのではなく、
「全体として何個あるのか」
と眺めた瞬間、そこには美しい法則が浮かび上がった。
私は黒板を見つめた。
「一つ一つは不規則なのに、全体には規則がある。」
これは、素数の謎の最初の大きな扉だった。

そして、もう一つ気になることがある。なぜ、その式に「対数」が現れるの

だろう。なぜ $\frac{x}{\log x}$  なのか。

もっと深く調べるには、素数を「数える」だけでは足りない。
私は、別の方法で素数全体を眺めることにした。
一つの素数。もう一つの素数。さらにもう一つ。
それらを、今度は掛け合わせてみる。

すると――素数の世界と、まったく別の世界をつなぐ、驚くべき関数が姿を現す。その名は、ゼータ関数。
私は、次の黒板にゆっくりと式を書き始めた。

$\zeta(s)$

「ここから先は、素数を“数える”数学から、素数を“響かせる”数学へ進んでみよう。」

――次回、第5話「一つの積が、すべての素数を語る」

次回予告　第5話「一つの積が、すべての素数を語る」

素数を一つずつ数えるのではなく、今度はすべての素数を掛け合わせる。
すると、

$$\zeta(s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}$$

という、驚くべき関係が現れます。
「なぜ、素数の積からゼータ関数が生まれるのか？」
ここから、リーマン予想の核心へ向かう数学の旅が始まります。

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