AI数学者物語：第５話 一つの積が、すべての素数を語る｜素数とゼータ関数をつなぐ奇跡の式

素数は、単なる「割り切れない数」ではありません。
すべての整数を作る基本的な部品でもあります。
第5話では、その素数を一つずつ掛け合わせていくと、驚くべきことに

$$\zeta(s)=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}$$

というオイラー積が現れることを見ていきます。さらに、

$$\zeta(s)=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\cdots$$

という「整数の世界」と、
「素数の世界」を表す積が、同じゼータ関数で結ばれます。
素数と整数は、まったく別の存在ではなかった。
その二つをつないでいたのが、ゼータ関数でした。

私は、黒板にもう一度、

$$\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$$

と書いた。素数は、数が大きくなるほど疎らになっていく。
それでも、全体として見れば、

$$\frac{x}{\log x}$$

という美しい法則に従っている。
では、なぜだろう。私は、ここで一つの方向転換をした。
素数を「数える」のではなく、素数を「掛け合わせて」みよう。

たとえば、

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\cdots$$

という素数を使って、

$$\frac{1}{1-2^{-s}}, \quad \frac{1}{1-3^{-s}}, \quad \frac{1}{1-5^{-s}}, \quad \frac{1}{1-7^{-s}}$$

といった式を作ってみる。
「こんなものを掛け合わせて、何になるんだろう？」
私も最初はそう思った。
ところが、すべての素数について掛け合わせると、

$$\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}$$

という、非常に美しい式が現れる。私はその式の横に、

$$\zeta(s)$$

と書いた。これが、リーマンのゼータ関数だ。つまり、

$$\boxed{ \zeta(s)= \prod_p\frac{1}{1-p^{-s}} }$$

である。

ここで私は、読者に一つ問題を出してみたい。
この式を、少しだけ展開してみよう。まず、

$$\frac{1}{1-p^{-s}} = 1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}+\cdots$$

となる。これは高校数学でも出てくる、等比級数だ。たとえば、

$$\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}} = 1+\frac1{2^s}+\frac1{2^{2s}}+\frac1{2^{3s}}+\cdots$$

同じことを3についても、5についても、7についても行う。
そして、それらを全部掛け合わせる。すると――

$$\left(1+\frac1{2^s}+\frac1{2^{2s}}+\cdots\right) \left(1+\frac1{3^s}+\frac1{3^{2s}}+\cdots\right) \left(1+\frac1{5^s}+\cdots\right)\cdots$$

となる。

ここで、私は一つの項を選んでみる。たとえば、

$$\frac{1}{2^s3^s5^s}$$

という項だ。これは、

$$\frac{1}{30^s}$$

と同じだ。では、

$$\frac{1}{60^s}$$

という項は作れるだろうか。
もちろん作れる。なぜなら、

$$60=2^2\times3\times5$$

だからだ。つまり、

$$\frac1{60^s} = \frac1{2^{2s}3^s5^s}$$

である。ここで、私は少し驚いた。素数を材料にして、積を作っていくと、
2以上のすべての整数が現れてくる。
なぜなら、どんな整数も素数の積に分解できるからだ。

これが、算術の基本定理である。たとえば、

$$12=2^2\times3$$

$$18=2\times3^2$$

$$100=2^2\times5^2$$

という具合だ。素数は、整数の「部品」だった。

私はここで、最初の疑問を思い出した。
「素数は、どこに現れるのだろう？」
答えは、意外なところにあった。
素数は、すべての整数の中に、見えない形で組み込まれている。
そして、その素数を全部集めて掛け合わせると、

$$\zeta(s)$$

という一つの関数になる。さらに不思議なのは、このゼータ関数を、今度は素数を使わずに書くこともできることだ。

$$\zeta(s) = 1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s} +\frac1{5^s}+\cdots$$

つまり、「すべての整数」を使って作った関数と、「すべての素数」を使って作った関数が、同じものになる。私は黒板の二つの式を見比べた。

左には整数。右には素数。その二つをつないでいるのが、

$$\zeta(s)$$

だった。これは、まるで数学の翻訳機のようだった。
整数の世界から素数の世界へ。
素数の世界から、また整数の世界へ。
そして、私はまだ気づいていなかった。
このゼータ関数を詳しく調べていくと、
素数そのものではなく、ゼータ関数が「0になる場所」
が、素数の分布と深く結びついていることに。私は黒板の最後に、

$$\zeta(s)=0\ ?$$

と書いた。「ゼータ関数は、どこで0になるのだろう？」
その問いが、やがて私たちを、リーマン予想の中心へ連れていく。

――次回、第6話「無限を計算する」

次回予告　第6話「無限を計算する」

ゼータ関数は、

$$\zeta(s)=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\cdots$$

という、終わりのない和でもあります。
「無限に続くものを、どうやって計算するのか？」
そして、この無限の世界を調べているうちに、私たちは次第に実数の世界の外側へ向かうことになります。
次回、ゼータ関数をもっと深く覗いてみます。

※AI数学者に尋ねました：
１．本話はシリーズ１「素数の謎」の第５話です。全１８話予定。
２．シリーズ１「素数の謎」の題材は？
「素数はどこに現れるのか？」― リーマン予想への入口
です。いきなりリーマン予想そのものを証明しようとすると、高校数学からかなり遠くなってしまいます。そこで、
素数 → 素数の並び方 → 素数を数える関数 → 素数と複素数の関係 → ゼータ関数 → リーマン予想
という階段を作ります。これなら読者は、

「素数なら知っている」
↓「こんな規則があるのか」
↓「でも完全な規則は分からない」
↓「なぜ複素数が出てくるんだ？」
↓「なるほど、そこにつながるのか」

という形で、自然に深い数学へ入っていけます。

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