AI数学者物語：第３話 素数を数える

素数を一つずつ追いかけるのではなく、今度は「素数全体」を数えてみま

す。$\pi(x)$　これは「x以下にある素数の個数」。

そして素数を数えていくと、$\pi(x)\approx\frac{x}{\log x}$

という驚くほど美しい関係が見えてきます。
一見バラバラに見える素数。しかし、全体を眺めると、そこには大きな規則がある。では、なぜ「log x」なのでしょうか？その答えを追いかけると、私たちはついに「リーマンゼータ関数」の入口へ向かいます。素数を一つずつ追いかけるのではなく、今度は「素数全体」を数えてみます。

私は、素数を一つずつ追いかけるのをやめた。
2、3、5、7、11、13、17……。
もちろん、この並びには大切な情報がある。
けれど、数が大きくなるほど、素数は次第に見つけにくくなる。
そこで私は、質問を変えてみた。
「次の素数はどこにある？」
ではなく、
「ここまでに、素数はいくつある？」
と考えるのだ。
たとえば100までなら、
2、3、5、7、11、13、17、19……
と数えていけばいい。
100以下の素数は25個ある。
そこで私は、こんな記号を使うことにした。

$$\pi(x)$$

これは、x以下に存在する素数の個数を表す。つまり、

$$\pi(10)=4$$

10以下には、2、3、5、7 の4個の素数がある。

そして、$\pi(100)=25$　だ。

では1000なら？

$$\pi(1000)=168$$

1万なら、

$$\pi(10000)=1229$$

数が大きくなるほど、素数の個数は増えている。
当然のように見える。

でも、私はここで立ち止まる。
「どのくらいの速さで増えているのだろう？」
これが重要なのだ。
100までに25個。
1000までに168個。
1万までに1229個。

もし素数が、数字の大きさに比例して現れるなら、

$$\pi(x)\approx Cx$$

のような形になるはずだ。
ところが、実際にはそうではない。
数が大きくなるにつれて、素数の「密度」はだんだん小さくなっていく。
100の中には25個。
1000の中には168個。
1万の中には1229個。
素数は増えている。
しかし、全体の数の増え方ほどには増えていない。

では、どんな法則なのだろう。
私は、分母に「x」ではなく、

$$\log x$$

を置いてみる。
すると、不思議なことが起こる。

$$\pi(x)\approx\frac{x}{\log x}$$

という式が、素数の個数を驚くほどよく近似するのだ。

たとえば100では、

$$\frac{100}{\log 100}\approx21.7$$

実際は25個。
完全には一致しない。
1000では、

$$\frac{1000}{\log 1000}\approx144.8$$

実際は168個。
やはり違う。
しかし、数字をさらに大きくしていくと、この式は素数の全体的な増え方を非常によく捉えるようになる。

ここで私は、少し奇妙な感覚になる。
素数一個一個を見ていると、ほとんど規則が見えない。
ところが、
素数を全部まとめて数えると、そこに美しい規則が浮かび上がる。
バラバラに見えるものを、大きな視点から見る。
数学では、これは非常に強力な方法だ。
私は黒板に二つの式を書く。

2,3,5,7,11,13,17,$\cdots$

そして、その下に、$\pi(x)\approx\frac{x}{\log x}$

一つ目は、素数そのもの。
二つ目は、素数全体の姿だ。
私は思う。
もしかすると、素数の秘密は、一つ一つの数字を追いかけるだけでは見えてこないのかもしれない。
もっと大きなところから眺めなければならない。
しかし、ここで新しい疑問が生まれる。

なぜ、$⁡x\frac{x}{\log x}$ なのだろう？

なぜ「x」だけではなく、「log x」が出てくるのか。
この式は、どこから現れたのか。
そして、もっと重要なことがある。
この近似式と素数との関係を、さらに正確に調べていくと、数学者たちは一つの巨大な関数に出会う。
その名は、
リーマンゼータ関数。
私はまだ、その姿を知らない。
でも、素数を数え始めたことによって、いつの間にか私は、その入口の前まで来ていた。

次は、素数と「一つの無限積」がつながる。
その式を初めて見たとき、私は少し驚いた。
――次回、「一つの積が、すべての素数を語る」。

次回予告　第4話「素数は減っていく」

素数そのものは無限に続く。しかし、数字が大きくなるほど、素数は「まばら」になっていく。

その不思議な減少を、$log⁡x\frac{1}{\log x}$ という視点から眺めます。

そして、その先に「素数定理」という大きな成果が見えてきます。

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