Axiom (axima = dignitas): Grundsatz, Grundlage aller Beweise auf einem Gebiete, ursprnglicher, unbeweisbarer Satz, Grundurteil. Die speziellen Axiome grnden sich auf allgemeine Grundstze der Anschauung und des Denkens, die insofern a priori (s. d.) sind, als ohne sie Erfahrung im Sinne wissenschaftlicher Erkenntnis nicht mglich ist, wenn auch die Bedeutung der Axiome erst in und an der Erfahrung bewut wird. Es sind zu unterscheiden: mathematische, physikalische, logische Axiome (= Denkgesetze, s. d.). Der Begriff des Axioms ist bei PLATO schon insofern vorhanden, als dieser in reinen, dem Denken entstammenden Grundstzen, Grundurteilen die Quelle aller Erkenntnis erblickt. Von dem relativen Grundsatze (hypothesis) mu zu einem zulnglichen, ersten Satz (arch) zurckgegangen werden (Phaedo 107 B, 101 E), zum voraussetzungslosen Prinzip (ep' archn anypotheton, Rep. 510 B). Bei ARISTOTELES bedeutet axima einen des Beweises nicht bedrftigen, die Grundlage eines Beweises bildenden Satz (Met. IV 3, 1005 a 20; Physik VIII 8, 252 a 24), auch einen praktischen Grundsatz (Eth. Nic. IV 7, 1123 b 21). Die Stoiker verstehen unter axima einen durch sich selbst klaren Satz (ho estin althes pseudos pragma autoteles apophanton hoson eph' heaut,, Diog. L. VII, 1, 48). Nach BOTHIUS ist Axiom (dignitas) eine propositio per se nota, quam quisque probat auditam (bei ALBERTUS MAGNUS, Sum. th. I, qu. 17). Den Scholastikern gelten die Axiome als uns angeborene (s. d.) ewige Wahrheiten (s. d.).
In der neueren Philosophie stehen einander zwei Auffassungen der Axiome gegenber: die rationalistische und die empiristische, ferner die aprioristische nebst Vermittelungen.
Rationalistisch lehrt DESCARTES die Vernunftnotwendigkeit der Axiome. Cum... agnoscimus fieri non posse, ut ex nihilo aliquid fiat, tunc propositio haec, ex nihilo nihil fit, non tanquam res aliqua existens, neque etiam ut rei modus consideratur: sed ut veritas aeterna, quae in mente nostra sedem habet, vocaturque communis notio, sive axioma. Cuius generis sunt: impossibile est idem simul esse et non esse; quod factum est, infectum esse nequit; is qui cogitat, non potest non existere dum cogitat (Princ. phil. I, 49). Nach GALILEI haben die Axiome ursprngliche Evidenz, sie sind da per se. F. BACON unterscheidet zwei Methoden, zu den Axiomen zu gelangen und diese zu gebrauchen. Altera a sensu et particularibus advolat ad axiomata maxime generalia, atque ex iis principiis corumque immota veritate iudicat et invenit axiomata media: atque haec via in usu est. Altera a sensu et particularibus excitat axiomata, ascendendo continenter et gradatim, ut ultimo loco perveniatur ad maxime generalia; quae via vera est, sed intentata (Nov. Org. I, 19). Nach LOCKE gehren zu den Axiomen alle aus unmittelbarer Erfahrung entspringenden Stze, wie der Satz der Identitt u. dgl. Sie beruhen auf der unterscheidend-vergleichenden Funktion der Seele, ihre Klarheit auf der Festigkeit, die sie im Bewutsein erlangen (Ess. IV, C. 7, 1 ff.).
LEIBNIZ betrachtet die Axiome als angeboren (s. d.) in dem Sinne, da sie, potentiell, im Bewutsein angelegt sind und da man sie im Denken finden kann, ohne von der Erfahrung auszugehen (Nouv. Ess. I, ch. 1, 5). Chr. WOLF definiert Axiom als propositio theoretica indemonstrabilis (Log. 267). HUME betont, da die Axiome durch das reine Denken entdeckt werden knnen, ohne von irgend einem empirischen Dasein abhngig zu sein (Inqu. IV, 1). Nach REID sind die Axiome oder Prinzipien durch Intuition bewut werdende ursprngliche Wahrheiten (self-evident truths), sie sind von strenger Notwendigkeit und Allgemeinheit (Ess. on the pow. II, 270 ff.); das Gegenteil derselben ist unmglich. Die Erfahrung lehrt uns nur, was ist, nicht das Notwendigsein (experience informs us only of what is, or has been, not of what must be, l.c. p. 281; I, 40 ff.).
KANT begrndet die Notwendigkeit der Axiome aus der Aprioritt (s. d.) der Anschauungs- und Denkformen. Geometrische Stze sind apodiktisch, daher knnen sie nicht empirische oder Erfahrungsurteile sein, noch aus ihnen geschlossen werden (Kr. d. r. V. S. 52, 54). Diese und die arithmetischen Axiome knnen aus der Erfahrung nicht gezogen werden, denn diese wrde weder strenge Allgemeinheit noch apodiktische Gewiheit geben. Wir wrden nur sagen knnen: so lehrt es die gemeine Wahrnehmung, nicht aber: so mu es sich verhalten. Diese Grundstze gelten als Regeln, unter denen berhaupt Erfahrungen mglich sind, und belehren uns vor denselben und nicht durch dieselben (l.c. S. 58; Proleg. 10 ff.). Aus dem Gebrauch der Kategorien (s. d.) entspringen apriorische Grundstze, durch die allein Sicherheit und Objektivitt in aller Naturerkenntnis mglich ist. Diese Grundstze sind ursprnglicher Art, nicht in hheren und allgemeineren Erkenntnissen gegrndet (Kr. d. r. V. S. 149). Die Quelle aller Grundstze ist der reine Verstand, nach welchem alles (was uns nur als Gegenstand vorkommen kann) notwendig unter Regeln steht, weil ohne solche den Erscheinungen niemals Erkenntnis eines ihnen korrespondierenden Gegenstandes zukommen knnte (l.c. S. 156). Die Grundstze sind die obersten Regeln, Bedingungen der synthetischen Urteile, sie sind zugleich allgemeine Gesetze der Natur, welche a priori erkannt werden knnen, da sie sich auf mgliche Erfahrung beziehen, sie machen erst ein Natursystem aus (Proleg. 23, 26). Die Grundstze zerfallen in mathematische und dynamische; erstere gehen nur auf die Anschauung, letztere auf das Dasein einer Erscheinung berhaupt, erstere sind unmittelbar, letztere nur mittelbar evident. Die mathematischen Grundstze gliedern sich in Axiome der Anschauung und Antizipationen der Wahrnehmung (s. d.); die dynamischen Grundstze gliedern sich in die Analogien der Erfahrung (s. d.) und die Postulate des empirischen Denkens (s. d.; Kr. d. r. Vern. S. 172 ff.). Axiome der Anschauung sind die Grundstze, worauf sich die Mglichkeit und objektive Gltigkeit der Mathematik a priori grndet. Das Prinzip dieser Axiome lautet: Alle Erscheinungen sind ihrer Anschauung nach extensive Gren (l.c. S. 159).
Im Sinne des Kritizismus lehrt BECK. Nach ihm beruht die Notwendigkeit der Axiome auf den Eigenschaften von Raum und Zeit, sich in der Konstruktion, d.h. durch die Zurckfhrung der Stze auf die apriorischen Verknpfungen der Anschauung, darstellen zu lassen (Erl. Ausz. III, 188). Nach FRIES beruht diese Notwendigkeit auf der dauernden Ttigkeit der Vernunft (Neue Krit. II, 43). Sie werden demonstriert dadurch, da wir die Anschauung nachweisen, die in ihnen nur wieder ausgesprochen wird (Syst. d. Log. S. 411). Grundstze sind die hchsten Prinzipien der Systeme von Urteilen (l.c. S. 292). SCHOPENHAUER betont, die Wahrheit der mathematischen Axiome leuchte nur mittelst der Anschauung und Konstruktion ein (Vierf. Wurz. C. 6, 39). WINDELBAND erklrt, fr die genetische Methode seien die Axiome tatschliche Auffassungsweisen, welche sich in der Entwicklung der menschlichen Vorstellungen, Gefhle und Willensentscheidungen gebildet haben und darin zur Geltung gekommen sind, fr die kritische Methode aber sei es ganz und gar gleichgltig, wie weit ihre tatschliche Anerkennung reicht, sie sind Normen, welche unter der Voraussetzung gelten sollen, da das Denken den Zweck, wahr zu sein, das Wollen den Zweck, gut zu sein, das Fhlen den Zweck, Schnheit zu erfassen, in allgemein anzuerkennender Weise erfllen will (Prlud. S. 257).
Als Hauptvertreter der empiristischen Auffassung der Axiome ist J. ST. MILL zu nennen, fr ihn sind sie experimentale Wahrheiten, Generalisationen aus der Beobachtung (Logik II, C. 6, 1), durch Induktion (s. d.) gewonnen, freilich unter der Voraussetzung der Gleichmigkeit des Naturgeschehens (Logik I, 277 ff.). Nach HELMHOLTZ wiederum sind die Axiome Produkte unbewuter, aus der Summe von Erfahrungen als Oberstzen entspringender Schlsse (Tats. d. Wahrn. S. 28). Sie sind durch Erfahrung gewonnen und besttigt (Vortr. u. Red. II4, 30 f., 230 ff.). Die geometrischen Axiome sprechen... nicht ber Verhltnisse des Raumes allein, sondern gleichzeitig auch ber das mechanische Verhalten unserer festesten Krper bei Bewegungen (l.c. S. 30). Empiristen sind B. ERDMANN (Axiome d. Geometrie S. 91 ff.), RIEMANN (WW. S. 475 f.), OSTWALD (Vorles. b. Naturph.2, S. 305 f.). Auch BERWEG betont den empirischen, abstraktiven Ursprung der Axiome (Syst. d. Logik, S. 69 ff.). Nach CZOLBE sind die Axiome Abstraktionen aus sinnlich wahrnehmbaren, das Element der Bewegung enthaltenden Kausalverhltnissen (Gr. u. Urspr. d. m. Erk. S. 66, 98 f., 100). Nach LAAS bekundet sich in den Axiomen der Mathematik die Uniformitt der Anschauungsformen, und diese besagt, da wir keinen Grund haben, von den Formen der Anschauung jemals andere Gesetze zu erwarten als diejenigen, die wir bestndig an ihnen konstatieren (Id. u. pos. Erk. S. 447). - Schon JACOBI erklrt die Notwendigkeit der Axiome aus dem Vorkommen der Anschauungsformen in aller Erfahrung (WW. II, 213 f.).
Teils rationalistisch, teils wenigstens den logischen, ursprnglichen Faktor in den Axiomen wrdigend und dem Kritizismus in manchem nahekommend lehren: BARDILI. Er begrndet die Apodikticitt der Axiome aus dem Vorhandensein des Denkens in ihnen (Gr. d. erst. Logik S. 82 ff.). Nach MAIMON sind die mathematischen Axiome nicht a priori, da sie der Erkenntnis des Gegenstandes nicht vorhergehen (Vers. b. d. Tr. S. 169); ihre Notwendigkeit ist keine absolute, objektive, sondern blo subjektiv (l.c. S. 173). Nach TRENDELENBURG sind die mathematischen und physikalischen Axiome Produkte der Denkbewegung, die dem Geiste als dessen eigene Tat unmittelbar verstndlich sind (Log. Unt. I2, 292). Nach LOTZE kommt den Axiomen Evidenz zu, die sie jedes Beweises enthebt (Logik S. 580). E. v. HARTMANN versteht unter der Aprioritt der Axiome die Tatsache, da in ihnen allgemeine logische Formen enthalten sind (Kr. Grundleg. S. 168). Ihre Notwendigkeit beruht darauf, da sie nur fr die formalen Verhltnisse eines an sich gleichgltigen Materials gelten, das sich jeder stets in derselben Weise reproduzieren kann (l.c. S. 167). WUNDT betont, da apodiktische Stze sich nicht aus Anschauungen sondern aus zwingenden Schlufolgerungen ergeben (Log. I2, 486 f.). Die Notwendigkeit der geometrischen Stze beruht nur auf deren ausnahmsloser Gltigkeit; die Axiome der Zeit knnen nur aus der Erfahrung gezogen sein, weil sie, abgesehen von der Aufeinanderfolge unserer Vorstellungen, vllig gegenstandslos sind (l.c. S. 482, 490 ff.). Die mathematischen Axiome sind Anwendungen des Satzes vom Grunde auf mathematische Grundbegriffe. A priori sind sie nur, sofern Zeit und Raum begrifflich unabhngig von jeder speziellen Erfahrung bestimmt werden knnen; insofern sie sich aber auf die Anschauungsformen selbst beziehen, haben sie den Charakter allgemeinster Erfahrungsgesetze. Sie haben ihre Quelle in der Induktion, beruhen auf ursprnglichen Induktionen, sind gleichzeitig Gesetze des Denkens und der Objekte des Denkens. Ihre Apodiktizitt erklrt sich daraus, da das Denken an den formalen Bestandteilen der Dinge am unmittelbarsten und einfachsten sich bettigt. Das Prinzip der Konstanz mathematischer Gesetze und das Prinzip der Permanenz der mathematischen Operationen bringen die Allgemeingltigkeit der mathematischen Begriffe zum Ausdruck (l.c. S. 387, II2, 1, S. 106, 114 ff.). RIEHL erklrt die Notwendigkeit der Axiome daraus, da sich an der Anschauungsform die synthetische Gesetzmigkeit des Bewutseins und seiner Identitt (s. d.) am unmittelbarsten bettigt (Phil. Krit. II 1, S. 100). SCHUPPE sieht den Grund der Evidenz der mathematischen Axiome in deren Anschaulichkeit (Logik S. 89). Diese Evidenz beruht nach SCHUBERT-SOLDERN auf der Undenkbarkeit des Gegenteils (Gr. e. Erk. S. 310). SIGWART bestimmt die Axiome als Stze, deren Wahrheit und Gewiheit unmittelbar einleuchtend, deren Gegenteil zu denken darum unmglich ist (Logik I2, 412).
