Efeito Josephson

Chip com uma matriz de junções de Josephson desenvolvido pelo Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia como padrão de volt.

O efeito Josephson é um fenômeno que ocorre quando dois supercondutores são colocados próximos um do outro, com uma barreira ou restrição entre eles. O efeito recebeu esse nome em homenagem ao físico britânico Brian Josephson, que previu em 1962 as relações matemáticas entre a corrente e a tensão através do elo fraco. É um exemplo de fenômeno quântico macroscópico, no qual efeitos da mecânica quântica podem ser observados em escala macroscópica, e não apenas atômica. O efeito Josephson tem aplicações práticas porque estabelece uma relação precisa entre grandezas físicas como tensão e frequência, permitindo medições de alta precisão.

O efeito Josephson produz uma corrente, chamada supercorrente, através de um dispositivo conhecido como junção de Josephson (JJ), mesmo quando a tensão através da junção é nula. A corrente pode assumir valores entre os limites determinados pela corrente crítica da junção, conforme a diferença de fase entre os dois supercondutores. Uma junção de Josephson é formada por dois ou mais supercondutores acoplados por um elo fraco. Esse elo pode ser uma fina barreira isolante, formando uma junção supercondutor-isolante-supercondutor ou S-I-S, uma pequena seção de metal não supercondutor, S-N-S, ou uma constrição física que enfraquece a supercondutividade no ponto de contato. Quando o elo é suficientemente fino ou curto, o acoplamento conserva a coerência de fase entre os estados supercondutores dos dois lados, fazendo com que a supercorrente dependa de sua diferença de fase macroscópica.

Embora tenha sido previsto e observado inicialmente em supercondutores, o conceito também é aplicado a sistemas formados por duas funções de onda macroscópicas fracamente acopladas. Os efeitos Josephson de corrente contínua e alternada foram observados, por exemplo, em uma junção formada por condensados de Bose-Einstein.

As junções de Josephson têm aplicações em circuitos quânticos, entre eles SQUIDs, bits quânticos supercondutores e dispositivos eletrônicos RSFQ. O padrão de um volt do NIST é obtido com uma matriz de 20.208 junções de Josephson ligadas em série.

História

Edifício do Laboratório Mond.

O efeito Josephson CC já havia sido observado experimentalmente antes de 1962, mas essas observações tinham sido atribuídas a "supercurtos" ou a falhas na barreira isolante que permitiriam a condução direta de elétrons entre os supercondutores.

Em 1962, Brian Josephson passou a estudar o tunelamento em supercondutores. Tinha então 23 anos e cursava o segundo ano da pós-graduação sob orientação de Brian Pippard no Laboratório Mond, da Universidade de Cambridge. Naquele ano, Josephson frequentou um curso de teoria de muitos corpos ministrado por Philip W. Anderson, pesquisador dos Bell Labs que passava o ano acadêmico de 1961–1962 em licença sabática. O curso apresentou a Josephson a ideia de quebra de simetria em supercondutores, que despertou seu interesse pela possibilidade de observar o fenômeno experimentalmente. Josephson estudou os experimentos de Ivar Giaever e Hans Meissner, além do trabalho teórico de Robert Parmenter. Pippard acreditava inicialmente que o efeito de tunelamento poderia existir, mas seria pequeno demais para ser observado. Josephson discordou, especialmente depois que Anderson lhe mostrou uma pré-publicação de "Superconductive Tunneling", de Marvin L. Cohen, Leopoldo Máximo Falicov e James Charles Phillips, dedicada ao sistema supercondutor-barreira-metal normal.

Josephson e seus colegas inicialmente não tinham certeza da validade dos cálculos. Anderson recordou mais tarde:

Todos nós, Josephson, Pippard e eu, além das demais pessoas que costumavam participar do chá no Mond e das discussões das semanas seguintes, ficamos muito intrigados com o significado do fato de a corrente depender da fase.

Após nova análise, concluíram que os resultados de Josephson eram válidos. Josephson enviou então "Possible new effects in superconductive tunnelling" à revista Physics Letters em junho de 1962. A revista, então recente, foi escolhida em lugar da mais estabelecida Physical Review Letters por causa das dúvidas que ainda cercavam os resultados. John Bardeen, que já havia recebido um Prêmio Nobel, mostrou-se publicamente cético em relação à teoria de Josephson em 1962, mas passou a aceitá-la depois de novos experimentos e esclarecimentos teóricos.

Em janeiro de 1963, Anderson e seu colega dos Bell Labs John Rowell enviaram à Physical Review Letters o primeiro artigo que reivindicava uma observação experimental do efeito, "Probable Observation of the Josephson Superconducting Tunneling Effect". Anderson e seu colega Aly H. Dayem também obtiveram em 1967 uma patente relacionada a um dispositivo supercondutor de dimensão variável.

Antes da previsão de Josephson, sabia-se apenas que elétrons individuais, isto é, não emparelhados, podiam atravessar uma barreira isolante por tunelamento quântico. Josephson foi o primeiro a prever o tunelamento de pares de Cooper supercondutores. Por esse trabalho recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1973. Bardeen esteve entre os responsáveis por sua indicação ao prêmio.

O físico britânico John Clarke, que também foi aluno de Pippard, afirmou que seu trabalho recebeu forte inspiração de Brian Josephson. Em 1985, a equipe de Clarke, que incluía Michel Devoret e John M. Martinis, resfriou uma junção de Josephson a temperaturas inferiores a 50 mK e demonstrou seu comportamento quântico macroscópico, descrito por uma única fase. Com pulsos de micro-ondas, a equipe mostrou que, com polarização nula, a energia era quantizada. Essa descoberta foi usada posteriormente no desenvolvimento de bits quânticos supercondutores. Clarke, Devoret e Martinis receberam o Prêmio Nobel de Física de 2025 pela descoberta do tunelamento quântico macroscópico e da quantização de energia em um circuito elétrico.

Aplicações

Símbolo elétrico de uma junção de Josephson.

Entre os tipos de junção de Josephson estão a junção Josephson φ, da qual a junção Josephson π é um caso particular, a junção de Josephson longa e a junção túnel supercondutora. Outros usos incluem:

• Uma "ponte de Dayem" é uma junção de Josephson de filme fino na qual o elo fraco é formado por um fio supercondutor de alguns micrômetros ou menos.
• A contagem de junções de Josephson é usada como variável proxy da complexidade de um circuito eletrônico supercondutor.
• SQUIDs, ou dispositivos supercondutores de interferência quântica, são magnetômetros muito sensíveis que funcionam por meio do efeito Josephson.
• Dispositivos de interferência quântica de hélio superfluido, ou SHeQUIDs, são o equivalente em hélio superfluido de um SQUID de corrente contínua.
• Na metrologia de precisão, o efeito Josephson permite uma conversão reproduzível entre frequência e tensão elétrica. O padrão de tensão Josephson parte da definição de frequência do padrão de césio e produz uma representação padrão do volt.
• Transistores de um elétron são frequentemente fabricados com materiais supercondutores e são chamados de "transistores supercondutores de um elétron".
• A carga elementar pode ser relacionada com grande precisão à constante de Josephson e à constante de von Klitzing, esta última associada ao efeito Hall quântico.
• A eletrônica digital RSFQ baseia-se em junções de Josephson com derivação resistiva. A comutação de uma junção emite um quantum de fluxo magnético $\scriptstyle {\frac {1}{2e}}h$. Sua presença ou ausência representa, respectivamente, os valores binários 1 e 0.
• A computação quântica supercondutora usa junções de Josephson como elementos indutivos não lineares em qubits, como o transmon e o qubit de fluxo, além de outros esquemas nos quais fase e carga são variáveis canonicamente conjugadas.
• Detectores de junção túnel supercondutora são usados em câmeras supercondutoras.

Materiais

Uma junção de Josephson contém um material de barreira entre dois eletrodos supercondutores. A barreira forma o elo fraco entre os supercondutores. Conforme sua natureza, esse elo pode ser uma camada isolante, um metal normal ou uma constrição estreita, dando origem a junções SIS, SNS ou de constrição. Diferentes materiais vêm sendo empregados nos eletrodos e na barreira para adaptar o desempenho da junção a aplicações específicas.

A seleção dos materiais depende de fatores como perda dielétrica, estabilidade estrutural e química, envelhecimento, temperatura de transição supercondutora, facilidade de fabricação, uniformidade e rugosidade das interfaces e presença de sistemas de dois níveis (TLS). Entre os sistemas estudados, as junções Al|AlO_x|Al à base de alumínio são usadas em muitas arquiteturas de qubits supercondutores por sua reprodutibilidade e pelas baixas perdas em micro-ondas.

Materiais dos eletrodos

A escolha do material dos eletrodos depende da aplicação, como qubits transmon, SQUIDs ou detectores, e da compatibilidade com o processo de fabricação. Uma propriedade fundamental é a temperatura de transição supercondutora, que determina a lacuna de energia supercondutora e afeta diretamente as características de corrente e tensão da junção. O alumínio é muito utilizado em qubits por ser simples de fabricar e formar uma barreira de óxido nativo de boa qualidade. Nióbio e tântalo também são empregados e possuem temperaturas de transição mais altas, enquanto materiais como o nitreto de nióbio, NbN, podem atingir temperaturas ainda maiores em aplicações especializadas de alta frequência ou detecção.

O alumínio (Al) é um dos materiais de eletrodo mais usados em qubits supercondutores devido à facilidade de fabricação e à compatibilidade com barreiras de túnel de boa qualidade.

O nióbio (Nb) também é amplamente utilizado. O Nb puro tem temperatura de transição supercondutora de aproximadamente 9,3 K. Junções Nb/Al–AlO_x/Nb são empregadas em qubits e circuitos integrados supercondutores. O Nb, porém, reage facilmente com o oxigênio atmosférico e forma um óxido nativo capaz de reduzir a temperatura de transição efetiva. Filmes desordenados de Nb apresentam valores de T_c em torno de 5,7 K.

O tântalo (Ta) passou a ser usado como material de eletrodo em circuitos quânticos de baixas perdas. A fase supercondutora α-Ta tem temperatura de transição de aproximadamente 4,4 K e pode ser empregada com Nb em junções de Josephson e ressonadores supercondutores. A fase β-Ta, por sua vez, torna-se supercondutora apenas abaixo de 1 K. A fase cristalina e as propriedades elétricas dos filmes de Ta dependem fortemente das condições de crescimento e do substrato, exigindo controle cuidadoso dos parâmetros de deposição.

O nitreto de nióbio (NbN) é estudado devido à sua alta temperatura de transição supercondutora, que pode chegar a aproximadamente 17 K na fase cúbica δ-NbN. Filmes finos de NbN podem ser produzidos por técnicas como pulverização catódica e epitaxia por feixe molecular, inclusive em espessuras nanométricas. Seu curto comprimento de coerência impõe requisitos rigorosos de qualidade e uniformidade das interfaces em estruturas de junção. O NbN cristaliza principalmente na estrutura cúbica do tipo sal-gema, δ-NbN, e em estruturas hexagonais relacionadas à wurtzita. Suas propriedades supercondutoras dependem fortemente da fase cristalina. A fase cúbica δ-NbN apresenta as maiores temperaturas de transição, em geral entre 11 e 17 K, enquanto as fases hexagonais apresentam valores muito menores, muitas vezes abaixo de 1 K. O controle das condições de crescimento, em especial da temperatura do substrato, permite estabilizar a fase cúbica.

Materiais da barreira

Os materiais de barreira de junções de Josephson são escolhidos principalmente para reduzir perdas dielétricas e produzir uma interface de tunelamento reprodutível e controlável. Como essas camadas normalmente têm apenas alguns nanômetros de espessura, desordem estrutural e defeitos podem afetar fortemente o desempenho. Sistemas de dois níveis estão entre os mecanismos de perda que podem ser relevantes. A espessura da barreira é especialmente crítica, pois a corrente de tunelamento depende exponencialmente dela.

O óxido de alumínio (AlO_x) é a barreira de túnel mais usada em qubits supercondutores e forma a base das junções Al|AlO_x|Al. O AlO_x cresce naturalmente como um óxido amorfo com vacâncias de oxigênio, que podem participar de sistemas de dois níveis e contribuir para perdas dielétricas e decoerência quântica. Apesar disso, é amplamente empregado porque seu crescimento sobre o alumínio permite controlar a espessura da barreira e ajustar de forma reproduzível a resistência da junção. A incorporação de AlO_x em junções à base de Nb é dificultada pela difusão de oxigênio para o nióbio, que pode produzir NbO_x defeituoso na interface e aumentar as perdas.

O óxido de tântalo (TaO_x) é estudado como material alternativo de barreira devido à estabilidade química e à compatibilidade com eletrodos de tântalo e nióbio. O TaO_x pode ser produzido in situ, sem quebra de vácuo, e pode apresentar densidade de defeitos menor que a do NbO_x, reduzindo perdas relacionadas a sistemas de dois níveis. Estruturalmente, o TaO_x contém fases amorfas ou nanocristalinas derivadas do pentóxido de tântalo, Ta₂O₅, que possui diferentes polimorfos cristalinos formados por poliedros TaO₆ e TaO₇ distorcidos. Em dispositivos, as barreiras de TaO_x são em geral amorfas, com ambientes locais de coordenação diferentes. Sua resistividade relativamente elevada limita as densidades de corrente que podem ser obtidas.

Estrutura cristalina do dióxido de nióbio, NbO₂, mostrando octaedros NbO₆ unidos pelos vértices.

O óxido de nióbio (NbO_x) em geral apresenta desempenho ruim como barreira de túnel em junções de Josephson devido à química não estequiométrica e à falta de homogeneidade estrutural. O óxido nativo do Nb contém uma mistura de NbO, NbO₂ e Nb₂O₅, correspondentes, respectivamente, a fases metálica, semicondutora e isolante. Essa coexistência produz propriedades não uniformes da barreira, como caminhos de condução filamentares, orifícios e baixa reprodutibilidade entre junções. Ao contrário do AlO_x, o crescimento do NbO_x não é autolimitado e sua espessura depende fortemente das condições ambientais e da superfície. Superfícies de Nb oxidadas formam uma pilha heterogênea de óxidos, incluindo uma camada interfacial de NbO, o que aumenta as perdas e reduz a coerência em dispositivos com qubits supercondutores.

Estrutura cristalina tetragonal do dióxido de zircônio, ZrO₂, com átomos de zircônio em preto e oxigênio em vermelho.

O óxido de zircônio (ZrO_x) é estudado como material de barreira por sua elevada afinidade pelo oxigênio e estabilidade química. A fase termodinamicamente estável do ZrO₂ à temperatura ambiente é monoclínica, embora filmes finos cristalinos de ZrO_x na fase tetragonal possam ser estabilizados por pulverização catódica à temperatura ambiente. Essa combinação permite produzir barreiras de túnel com estrutura controlada.

Barreiras metálicas são usadas em junções supercondutor-metal normal-supercondutor, SNS, nas quais uma fina camada de metal normal forma o elo fraco. Nessas junções, as correlações supercondutoras atravessam a região metálica por meio do efeito de proximidade, com reflexões de Andreev participando do transporte. Metais como o alumínio já foram estudados como barreiras em junções SNS à base de Nb, mas a estabilidade da interface e o controle da espessura dificultam seu uso em aplicações de qubits de baixas perdas.

Equações de Josephson

Diagrama de uma única junção de Josephson. A e B representam os supercondutores, e C representa o elo fraco.

O efeito Josephson pode ser calculado pelas leis da mecânica quântica. Considere o diagrama de uma única junção de Josephson. Suponha que o supercondutor A tenha o parâmetro de ordem da teoria de Ginzburg-Landau $\psi _{A}={\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}$ e que o supercondutor B tenha $\psi _{B}={\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}$. Eles podem ser interpretados como as funções de onda dos pares de Cooper nos dois supercondutores. Se a diferença de potencial elétrico através da junção for $V$, a diferença de energia entre os dois supercondutores será $2eV$, pois cada par de Cooper tem duas vezes a carga de um elétron. A equação de Schrödinger para esse sistema quântico de dois estados é:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV&K\\K&-eV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}},$$

onde a constante $K$ é uma característica da junção. Para resolver a equação, calcula-se primeiro a derivada temporal do parâmetro de ordem no supercondutor A:

$${\frac {\partial }{\partial t}}({\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}})={\dot {\sqrt {n_{A}}}}e^{i\phi _{A}}+{\sqrt {n_{A}}}(i{\dot {\phi }}_{A}e^{i\phi _{A}})=({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}},$$

e a equação de Schrödinger fornece:

$$({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}).$$

A diferença de fase entre os parâmetros de ordem de Ginzburg-Landau através da junção é chamada de fase de Josephson:

$$\varphi =\phi _{B}-\phi _{A}.$$

A equação de Schrödinger pode ser reescrita como:

$${\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }),$$

e sua equação complexa conjugada é:

$${\dot {\sqrt {n_{A}}}}-i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{-i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }).$$

Somando as duas equações conjugadas para eliminar ${\dot {\phi }}_{A}$:

$$2{\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {1}{i\hbar }}(K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }-K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi })={\frac {K{\sqrt {n_{B}}}}{\hbar }}\cdot 2\sin \varphi .$$

Como ${\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {{\dot {n}}_{A}}{2{\sqrt {n_{A}}}}}$, obtém-se:

$${\dot {n}}_{A}={\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi .$$

Subtraindo as duas equações conjugadas para eliminar ${\dot {\sqrt {n_{A}}}}$:

$$2i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(2eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }),$$

o que resulta em:

$${\dot {\phi }}_{A}=-{\frac {1}{\hbar }}(eV+K{\sqrt {\frac {n_{B}}{n_{A}}}}\cos \varphi ).$$

Da mesma forma, para o supercondutor B:

$${\dot {n}}_{B}=-{\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi ,\,{\dot {\phi }}_{B}={\frac {1}{\hbar }}(eV-K{\sqrt {\frac {n_{A}}{n_{B}}}}\cos \varphi ).$$

Como a evolução da fase de Josephson é ${\dot {\varphi }}={\dot {\phi }}_{B}-{\dot {\phi }}_{A}$ e a derivada temporal da densidade de portadores de carga ${\dot {n}}_{A}$ é proporcional à corrente $I$, quando $n_{A}\approx n_{B}$ a solução fornece as equações de Josephson:

$I(t)=I_{c}\sin(\varphi (t))$ (1)

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {2eV(t)}{\hbar }}$ (2)

onde $V(t)$ e $I(t)$ são, respectivamente, a tensão através da junção de Josephson e a corrente que a atravessa, e $I_{c}$ é um parâmetro da junção chamado de corrente crítica. A equação (1) é chamada de primeira relação de Josephson ou relação corrente-fase do elo fraco, enquanto a equação (2) é chamada de segunda relação de Josephson ou equação de evolução da fase supercondutora. A corrente crítica depende das propriedades dos supercondutores e também pode ser afetada por fatores ambientais, como temperatura e campo magnético externo.

A constante de Josephson é definida como:

$$K_{J}={\frac {2e}{h}}\,,$$

e seu inverso é o quantum de fluxo magnético:

$$\Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2\pi {\frac {\hbar }{2e}}\,.$$

Desde 20 de maio de 2019, a carga elementar $e$ e a constante de Planck $h$ têm valores definidos exatamente no Sistema Internacional de Unidades. Por isso, a constante de Josephson também é exata:

$$K_{J}=483\,597{,}848\,416\,984\ldots \ \mathrm {GHz/V} .$$

Essa relação é usada na realização metrológica do volt por padrões de tensão Josephson.

A equação de evolução da fase supercondutora pode ser escrita como:

$${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=2\pi [K_{J}V(t)]={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V(t)\,.$$

Definindo:

$$\Phi =\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\,,$$

a tensão através da junção é:

$$V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {d\Phi }{dt}}\,,$$

expressão semelhante à lei de Faraday da indução. Essa tensão, porém, não vem de energia magnética, pois não há campo magnético no interior dos supercondutores devido ao efeito Meissner. Ela provém da energia cinética dos portadores, isto é, dos pares de Cooper. O fenômeno também é relacionado à indutância cinética.

Relação de Ambegaokar-Baratoff

Para uma junção túnel SIS ideal formada por supercondutores BCS idênticos, a corrente crítica está relacionada à resistência da junção no estado normal pela relação de Ambegaokar-Baratoff:

$$I_{c}(T)R_{N}={\frac {\pi \Delta (T)}{2e}}\tanh \left({\frac {\Delta (T)}{2k_{B}T}}\right),$$

onde $R_{N}$ é a resistência no estado normal, $\Delta (T)$ é a lacuna de energia supercondutora à temperatura $T$ e $k_{B}$ é a constante de Boltzmann. No limite de temperatura nula, a relação se reduz a $I_{c}R_{N}=\pi \Delta (0)/(2e)$.

Três efeitos principais

Característica corrente-tensão de uma junção de Josephson SIS. $I_{c}$ é a corrente crítica com tensão nula e $\Delta$ é a lacuna de energia supercondutora.

Três efeitos previstos por Josephson decorrem diretamente das equações de Josephson.

Efeito Josephson CC

O efeito Josephson CC consiste em uma corrente contínua que atravessa o isolante na ausência de um campo eletromagnético externo devido ao tunelamento quântico. Essa corrente de Josephson CC é proporcional ao seno da fase de Josephson, isto é, da diferença de fase através do isolante, que permanece constante no tempo, e pode assumir valores entre $-I_{c}$ e $I_{c}$.

Efeito Josephson CA

Com uma tensão fixa $V_{DC}$ através da junção, a fase varia linearmente com o tempo e a corrente torna-se uma corrente alternada senoidal, com amplitude $I_{c}$ e frequência $K_{J}V_{DC}$. Assim, uma junção de Josephson pode funcionar como um conversor exato de tensão em frequência.

Efeito Josephson CA inverso

Radiação de micro-ondas com uma única frequência angular $\omega$ pode induzir tensões CC quantizadas através da junção de Josephson. Nesse caso, a fase de Josephson assume a forma $\varphi (t)=\varphi _{0}+n\omega t+a\sin(\omega t)$, e a tensão e a corrente através da junção são:

$$V(t)={\frac {\hbar }{2e}}\omega (n+a\cos(\omega t)),{\text{ e }}I(t)=I_{c}\sum _{m=-\infty }^{\infty }J_{m}(a)\sin(\varphi _{0}+(n+m)\omega t),$$

As componentes CC são:

$$V_{\text{DC}}=n{\frac {\hbar }{2e}}\omega ,{\text{ e }}I_{\text{DC}}=I_{c}J_{-n}(a)\sin \varphi _{0}.$$

Uma junção de Josephson pode, desse modo, funcionar como um conversor exato de frequência em tensão, princípio que forma a base teórica do padrão de tensão Josephson.

Sob irradiação por micro-ondas, a curva corrente-tensão desenvolve patamares de tensão constante nos valores $V_{n}=nhf/(2e)$, com $n$ inteiro. Esses patamares são chamados de degraus de Shapiro, observados experimentalmente por Sidney Shapiro em 1963. A relação direta entre sua tensão e a frequência aplicada é usada nos padrões de tensão Josephson.

Dependência do campo magnético

Um campo magnético aplicado modifica a diferença de fase ao longo de uma junção e faz com que as correntes que atravessam regiões diferentes interfiram entre si. Para uma junção retangular curta e uniforme, a corrente crítica máxima em função do fluxo magnético $\Phi$ através da junção é, em uma aproximação ideal,

$$I_{c}(\Phi )=I_{c}(0)\left|{\frac {\sin(\pi \Phi /\Phi _{0})}{\pi \Phi /\Phi _{0}}}\right|.$$

A dependência tem a forma do padrão de difração de Fraunhofer de uma fenda única, com um máximo central e mínimos quando o fluxo corresponde, no caso ideal, a múltiplos inteiros não nulos de $\Phi _{0}$. A sensibilidade da fase de Josephson ao fluxo magnético também é a base da interferência usada nos SQUIDs.

Indutância de Josephson

Quando a corrente e a fase de Josephson variam com o tempo, a queda de tensão através da junção também varia. As relações de Josephson mostram que esse comportamento pode ser modelado por uma indutância cinética chamada indutância de Josephson.

As relações de Josephson podem ser reescritas como:

${\begin{aligned}{\frac {\partial I}{\partial \varphi }}&=I_{c}\cos \varphi ,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V.\end{aligned}}$

Aplicando a regra da cadeia para calcular a derivada temporal da corrente:

${\frac {\partial I}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=I_{c}\cos \varphi \cdot {\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,$

e reorganizando o resultado na forma da característica corrente-tensão de um indutor:

$V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}{\frac {\partial I}{\partial t}}=L(\varphi ){\frac {\partial I}{\partial t}}.$

obtém-se a expressão para a indutância cinética em função da fase de Josephson:

$L(\varphi )={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}={\frac {L_{J}}{\cos \varphi }}.$

Aqui, $L_{J}=L(0)={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}}}$ é um parâmetro característico da junção, chamado indutância de Josephson.

Embora o comportamento cinético da junção seja semelhante ao de um indutor, ele não é associado ao armazenamento de energia em um campo magnético. O comportamento decorre da energia dos portadores de carga.

Energia de Josephson

Pela semelhança da junção de Josephson com um indutor não linear, pode-se calcular a energia associada à supercorrente que a atravessa.

A supercorrente através da junção está relacionada à fase de Josephson pela relação corrente-fase:

$I=I_{c}\sin \varphi .$

A equação de evolução da fase supercondutora é análoga à lei de Faraday:

$V=\operatorname {d} \!\Phi /\operatorname {d} \!t\,.$

Suponha que, no instante $t_{1}$, a fase de Josephson seja $\varphi _{1}$. Em um instante posterior $t_{2}$, ela terá evoluído para $\varphi _{2}$. A mudança de energia na junção é igual ao trabalho realizado sobre ela:

${\begin{aligned}\Delta E&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}IV\,\operatorname {d} \!t\\&=\int _{\Phi _{1}}^{\Phi _{2}}I\,\operatorname {d} \!\Phi \\&=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}I_{c}\sin \varphi \,\operatorname {d} \!\left(\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\right)\\&={\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\left(\cos \varphi _{1}-\cos \varphi _{2}\right).\end{aligned}}$

A mudança de energia depende apenas dos estados inicial e final da junção. A energia pode ser definida como:

$E(\varphi )=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\cos \varphi =-E_{J}\cos \varphi \,.$

Aqui, $E_{J}=|E(0)|={\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}$ é um parâmetro característico da junção chamado energia de Josephson. Ela está relacionada à indutância de Josephson por $E_{J}=L_{J}I_{c}^{2}$. Também é usada a definição equivalente $E(\varphi )=E_{J}(1-\cos \varphi )$.

Um indutor magnético não linear acumula energia potencial em seu campo magnético quando uma corrente o atravessa. Em uma junção de Josephson, a energia associada à fase provém do estado quântico coletivo dos portadores de carga.

Modelo RCSJ

O modelo de junção com derivação resistiva e capacitiva (RCSJ) acrescenta às duas relações básicas de Josephson o efeito da impedância de corrente alternada de uma junção real.

Pelo teorema de Thévenin, a impedância CA da junção pode ser representada por um capacitor e um resistor de derivação, ambos em paralelo com a junção de Josephson ideal. A expressão completa para a corrente externa $I_{\text{ext}}$ é:

$I_{\text{ext}}=C_{J}{\frac {\operatorname {d} \!V}{\operatorname {d} \!t}}+I_{c}\sin \varphi +{\frac {V}{R}},$

onde o primeiro termo é a corrente de deslocamento, com $C_{J}$ sendo a capacitância efetiva, e o terceiro é a corrente normal, com $R$ sendo a resistência efetiva da junção.

A dinâmica também pode ser caracterizada pelo parâmetro adimensional de Stewart-McCumber,

$\beta _{c}={\frac {2\pi I_{c}R^{2}C_{J}}{\Phi _{0}}}.$

Quando $\beta _{c}$ é muito menor que 1, a dinâmica é fortemente amortecida e a característica corrente-tensão tende a não apresentar histerese. Para $\beta _{c}$ muito maior que 1, a junção é subamortecida e pode apresentar uma curva corrente-tensão histerética.

Profundidade de penetração de Josephson

A profundidade de penetração de Josephson caracteriza o comprimento típico no qual um campo magnético externo penetra em uma junção de Josephson longa. É normalmente representada por $\lambda _{J}$ e, no SI, dada por:

$\lambda _{J}={\sqrt {\frac {\Phi _{0}}{2\pi \mu _{0}d'j_{c}}}},$

onde $\Phi _{0}$ é o quantum de fluxo magnético, $j_{c}$ é a densidade de supercorrente crítica, em A/m², e $d'$ caracteriza a indutância dos eletrodos supercondutores:

$d'=d_{I}+\lambda _{1}\tanh \left({\frac {d_{1}}{2\lambda _{1}}}\right)+\lambda _{2}\tanh \left({\frac {d_{2}}{2\lambda _{2}}}\right),$

onde $d_{I}$ é a espessura da barreira de Josephson, geralmente isolante, $d_{1}$ e $d_{2}$ são as espessuras dos eletrodos supercondutores, e $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ são suas profundidades de penetração de London. A profundidade de penetração de Josephson costuma variar de alguns micrômetros a vários milímetros quando a densidade de corrente crítica é muito baixa.

Quando uma das dimensões laterais da junção é maior que $\lambda _{J}$, a fase de Josephson não pode mais ser tratada apenas como função do tempo e passa a variar também com a posição. A junção é então classificada como uma junção de Josephson longa. Em sua forma unidimensional mais simples, a dinâmica espacial da fase é modelada pela equação de sine-Gordon. Essas junções podem sustentar excitações solitônicas conhecidas como vórtices de Josephson ou fluxons, cada uma associada a um quantum de fluxo magnético.

Ver também

• Supercondutividade, estado da matéria no qual surgem resistência elétrica nula e efeitos quânticos coletivos
• SQUID, dispositivo que utiliza junções de Josephson para medir campos magnéticos muito pequenos
• Computação quântica supercondutora, arquitetura de computação quântica que emprega junções de Josephson em qubits
• Efeito Hall quântico, fenômeno quântico usado com o efeito Josephson em metrologia elétrica de precisão