xのn乗－aのn乗の計算

2025年2月25日 16:36

いっぱんに、(Xのn乗－aのn乗)は
次のように因数分解される。

一般的に書くといちばん上のような式になる。
そして、
Xの２乗－aの２乗、
Xの３乗－aの３乗、
Xの４乗－aの４乗を並べてみた。

(何乗－何乗)という形の整式ならば
(x-a)という因数を必ずもつ。

高校生の教科書だと
「右辺を展開すれば明らかに成り立つ」みたいに書かれている場合が多く、
「そんなものなのかな」という感じで先へ進む。

この記事では、
「Xの４乗－aの４乗」の右辺に着眼して、展開に依らない説明を試みる。

いちおう、ホントに「公比」が
a/x になっているか確認しておくと
次の通り。

ということで、
赤線の部分は、
初項が「Xの３乗」、公比がa/x、
ぜんぶで項が４つあるから、
等比数列の和の公式に当てはめると
次のようになる。

きちんとした証明にはなっていないが
「Xのｎ乗－aのｎ乗」が
(X－a)を因数にもつ理由は理解できたと思う。

この記事に書いたことは、
「ｙ＝Xのｎ乗」の形の関数を微分すると、dy/dx = n •x の(n-1)乗になるという証明のときに使われる。

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