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【古典数学：原論文の講読】 E98「Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes」Leonhard Euler 1738年(いくつかの算術定理の証明)

    takao_1209

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    Published\rm Published  Online\rm Online  First\rm First  (6/26/2026)\rm (6/26/2026)
    Latest\rm Latest  additions\rm additions  (6/26/2026)\rm(6/26/2026)
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    1.  Introduction【はじめに】

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    1.はじめに
    この記事では
    【Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes】を紹介します.
    （いくつかの算術定理の証明）

    原文（ラテン語）

    THEOREMATUM QUORUNDAM ARITHMETICORUM DEMONSTRATIONES.

    Auctore L. Eulero.

    ある種の算術定理の証明
    著者　レオンハルト・オイラー
    (Leonhard Euler)

    執筆・発表時期
    この論文は 1738年に執筆され1738年8月16日にサンクトペテルブルク科学アカデミーで報告されたとされています.後に
    Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, Vol.10, pp.125–146
    に掲載されました（実際の刊行は1747年）.

    もし現代の論文として章立てを付けるなら
    1. Introduction
       * フェルマーの算術定理について.
    2. Theorem I
       * a4+b4=c4\footnotesize a^4+b^4=c^4の不可能性.
    3. Theorem II
       * a4−b4=c4\footnotesize a^4-b^4=c^4 の不可能性.
    4. Theorem III
       * 2a4+2b4\footnotesize 2a^4+2b^4は平方数にならない.
    5. Theorem IV
       * 2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4は平方数にならない.
    6. Theorem V
       * ma4−m3b4\footnotesize ma^4-m^3b^4と2ma4−2m3b4\footnotesize 2ma^4-2m^3b^4
    　　は平方数となることはない.
    7. Theorem Ⅵ
       * ma4+m3b4\footnotesize ma^4+m^3b^4と2ma4+2m3b4\footnotesize 2ma^4+2m^3b^4
    　　は平方数となることはない.
    8. Theorem Ⅶ
       * 1を除く三角数は四乗数にならない.
       * x(x+1)2=y4\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2=y^4の唯一解.
    9. Theorem Ⅷ
       * a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4は平方数にならない.
    10. Theorem Ⅸ
       * 非平方形から新たな非平方形を生成できる.
    11. Theorem Ⅹ
       * y3+1=x2\footnotesize y^3+1=x^2の解は
    　　x=2, y=3\footnotesize x=2,\ y=3のみの唯一解.

    という構成になります.
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    この論文はオイラーの数論論文の中でも特に有名で、フェルマーの最終定理n=4\footnotesize n=4 の完全な証明が現存する最古級の文献の一つです.
    また、後の1770年の Joseph-Louis Lagrange の四平方定理論文にもつながる「無限降下法による整数論」の代表作として位置づけられています.
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    第1章  Praefatio
    (序論：論文冒頭)

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    フェルマーの算術定理について

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    第1段落
    Theoremata arithmetica, cuiusmodi Fermatius aliaque plurima detexerunt, eo maiore attentione sunt digna, quo magis eorum veritas est abscondita et demonstratu difficilis.
    フェルマーが発見したものをはじめとして、多数存在する算術定理は、その真理がより深く隠されており、その証明がより困難であるほど、いっそう大きな注意を払うに値する.
    ⸻
    第2段落
    Fermatius quidem satis magnam talium theorematum copiam reliquit, nusquam autem demonstrationes exposuit, etiamsi firmiter asserit sibi de eorum veritate certissime constare.
    実際フェルマーは、この種の定理をかなり多数残したが、その証明をどこにも公表しなかった.
    しかも彼自身は、それらの定理の真実性について自分が完全な確信を持っていると強く主張している.
    ⸻
    第3段落
    Maxime igitur dolendum est eius scripta adeo periisse, ut etiamnum omnes demonstrationes ignorentur.
    したがって、彼の著作がそのように失われてしまい、それらすべての証明が今日に至るまで不明のままであることは、まことに嘆かわしいことである.
    ⸻
    第4段落
    Similis quoque est ratio propositionum in vulgus notarum, quibus neque summam neque differentiam duorum biquadratorum quadratum constituere posse asseritur;
    同様の事情は、広く知られている次の命題にも当てはまる.
    すなわち、二つの四乗数（biquadrata）の和も差も、平方数になることはない
    という命題である.

    数式で書くと
    オイラーがここで言う命題は
    a4+b4≠c2\footnotesize a^4+b^4 \neq c^2
    および
    a4−b4≠c2\footnotesize a^4-b^4 \neq c^2
    （非自明解は存在しない）
    というフェルマー型の定理です.

    後者
    a4−b4=c2\footnotesize a^4-b^4=c^2
    はフェルマーが証明を残さなかった代表例であり、オイラーはこの論文でまずこれを完全に証明します.

    ⸻
    第5段落
    tamen nusquam exstat demonstratio, quantum mihi quidem constat, rigida, praeter libellum quemdam a Frenicle olim editum, cuius titulus est Traité des triangles rectangles en nombres.
    しかし、私の知る限りでは、厳密な証明はどこにも存在しない.
    ただし例外として、かつてフレニクルが出版した小冊子
    『整数による直角三角形論』
    （Traité des triangles rectangles en nombres）
    がある.

    ここでいうフレニクルは
    Bernard Frenicle de Bessy
    です.
    オイラーが言及している著作は
    Traité des triangles rectangles en nombres
    (「整数直角三角形論」)
    であり、ピタゴラス三つ組を用いてフェルマー型の結果を扱っています.

    ⸻
    第6段落
    Demonstrat autem hic auctor inter alia in nullo triangulo rectangulo, cuius latera rationalibus exprimuntur numeris, aream posse esse quadratum;
    この著者（フレニクル）は、その著作の中で、とりわけ次のことを証明している.
    有理数で表される辺をもついかなる直角三角形においても、その面積が平方数となることはない.

    数式で表すと
    直角三角形a2+b2=c2\footnotesize a^2+b^2=c^2について
    面積ab2\footnotesize \dfrac{ab}{2}が平方数m2\footnotesize m^2になることはない.

    すなわち
    ab2=m2\footnotesize \dfrac{ab}{2}=m^2
    を満たす非自明な有理解は存在しない.

    これは今日
    フェルマーの直角三角形定理
    (Fermat’s Right Triangle Theorem)
    と呼ばれる結果です.

    ⸻
    第7段落
    unde facile veritas memoratarum propositionum de summa et differentia duorum biquadratorum deducitur.
    そして、先に述べた二つの四乗数の和および差に関する命題の真実性は、そこから容易に導かれる.

    オイラーが言っている内容
    先ほどの
    a4+b4=c2\footnotesize a^4+b^4=c^2
    または
    a4−b4=c2\footnotesize a^4-b^4=c^2
    が存在すると仮定すると
    そこから面積が平方数である直角三角形を構成できる.
    しかしフレニクルの定理に反する.
    したがって
    a4+b4=c2\footnotesize a^4+b^4=c^2
    も
    a4−b4=c2\footnotesize a^4-b^4=c^2
    も不可能である.

    ⸻
    第8段落
    Sed ista demonstratio tantopere proprietatibus triangulorum est involuta,…
    しかし、この証明は三角形の性質にあまりにも深く依存している.

    オイラーはここで、
    「フレニクルの証明は幾何学的である」
    と言っています.
    つまり
    * 直角三角形
    * 面積
    * ピタゴラス三つ組
    などの特殊な性質を大量に使う.
    そのため
    a4±b4\footnotesize a^4 \pm b^4
    の問題そのものの算術的本質が見えにくい.

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    ここまでの論理をまとめると

    1. フェルマーは定理だけ残した.
    2. 厳密証明は見当たらない.
    3. 唯一フレニクルの証明がある.
    4. フレニクルは
       「平方面積をもつ有理直角三角形は存在しない」と証明した.
    5. そこから
       a4+b4=c2\footnotesize a^4+b^4=c^2およびa4−b4=c2\footnotesize a^4-b^4=c^2が従う.
    6. しかしその証明は幾何学的すぎる.
    7. そこでオイラーは純粋な算術的方法による新しい証明を与える.

    これがこの1738年論文全体の動機になっています.次の文ではオイラーが「より直接的な算術的証明を与える」と宣言し、第1定理（差の四乗定理）の証明へ入っていきます.

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    第9段落
    ut nisi summa attentio adhibeatur, vix perspicue intelligi possit.
    したがって、最大限の注意を払わなければ、その証明を明瞭に理解することはほとんど不可能である.
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    第10段落
    Hanc ob rem operae pretium fore arbitror, si harum propositionum demonstrationes a triangulis rectangulis abstraxero, easque analytice et clare proposuero.
    この理由から私は、
    これらの命題の証明を直角三角形から切り離し、
    純粋に解析的（算術的）かつ明晰な形で提示するならば、
    それは十分に価値のある仕事であろうと考える.

    ここでいう
    analytice
    は現代の解析学（Analysis）ではなく
    18世紀的意味で
    「代数的・算術的な記号計算による方法」
    を意味します.

    ⸻
    第11段落
    Eo maiorem autem hoc meum institutum afferet utilitatem, quo plura alia theoremata multo difficiliora ex iis elici possint.
    さらに、この試みは
    そこからさらに多くの、しかもはるかに難しい定理を導き出すことができるという点で、
    いっそう大きな有用性を持つであろう.
    ⸻
    第12段落
    Huc scilicet pertinet theorema illud celebre Fermatii, quo statuit, nullum numerum triangularem esse posse biquadratum praeter unitatem, cuius demonstrationem ex illis formare mihi contigit.
    そのような定理の一つとして
    フェルマーのあの有名な定理がある.
    それは、
    1を除けば、いかなる三角数も四乗数にはなり得ない.というものである.
    そして私はその証明を前述の結果から構成することに成功した.

    フェルマーの定理(ここで予告されているもの)

    三角数Tn=n(n+1)2\footnotesize T_n=\dfrac{n(n+1)}2について
    Tn=y4\footnotesize T_n=y^4となる整数解は
    n=1,y=1\footnotesize n=1,\qquad y=1のみ.
    つまり
    n(n+1)2=y4\footnotesize \dfrac{n(n+1)}2=y^4の整数解は(1,1)\footnotesize (1,1)だけである.

    現在ではしばしば
    Fermat’s Theorem on Triangular Numbers.
    （フェルマーの三角数定理）
    と呼ばれます.

    ⸻
    第13段落
    Eo difficilior autem ista demonstratio videtur, cum propositio exceptioni sit obnoxia, atque tantum ad numeros integros pertineat;
    しかもこの証明はそれだけいっそう困難に見える.
    なぜなら、この命題には例外が存在し、さらにその主張は整数に対してのみ成立するからである.

    例外とはT1=1=14\footnotesize T_1=1=1^4です.

    オイラーは
    「例外付きの無限降下法は難しい」
    と述べています.

    ⸻
    第14段落
    numeris enim fractis infinitis modis effici potest, ut n(n+1)2\footnotesize \dfrac{n(n+1)}2 fiat biquadratum.
    実際、分数（有理数）を許せば、
    n(n+1)2\footnotesize \dfrac{n(n+1)}2
    が四乗数となるような例は無数に作ることができる.

    ⸻
    第15段落
    Ad hoc igitur aliaque nonnulla theoremata demonstranda necesse erit lemmata quaedam praemittere, quibus sequentes demonstrationes innituntur.
    そこで、この定理およびその他いくつかの定理を証明するために、
    まず若干の補題を前置する必要がある.
    以後の証明はそれらの補題に基づいて進められる.

    ここでオイラーは「まず補題群を証明する」
    と宣言しています.
    実際このあと論文は

    1. 補題
    2. 四乗差定理
    3. 四乗和定理
    4. 三角数四乗定理

    という順に進みます.

    ⸻
    第16段落
    Ante autem monuisse oportet, perpetuo omnes litteras mihi numeros integros designare.
    ただし、その前に一つ注意しておかなければならない.本論文を通じて
    すべての文字は常に整数を表すものとする.
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    Lemma I

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    Lemma I
    Factum ex duobus pluribusve numeris inter se primis nec quadratum nec cubus nec ulla alia potestas esse potest, nisi singuli factores sint quadrata vel cubi vel eiusmodi aliae potestates.
    Demonstratio huius lemmatis facilis est atque ab Euclide iam est tradita, ita ut superfluum foret eam hic exponere.
    第一補題
    互いに素な二個以上の整数の積が
    平方数でも立方数でも、あるいは一般に n 乗数でもあるならば、
    各因子自身もまたそれぞれ平方数、立方数、あるいは対応する n 乗数でなければならない.

    Lemma I
    （互いに素な因子の積が冪なら各因子も冪）
    もしa1,a2,…,ar\footnotesize a_1,a_2,\dots,a_rが互いに素で
    a1a2⋯ar=bn\footnotesize a_1a_2\cdots a_r=b^nならばai=cin\footnotesize a_i=c_i^n
    となる整数ci\footnotesize c_iが存在する.

    ⸻
    (証明について)
    Demonstratio huius lemmatis facilis est atque ab Euclide iam est tradita, ita ut superfluum foret eam hic exponere.
    この補題の証明は容易であり、
    すでにユークリッドによって与えられているので、ここで改めて説明する必要はない.

    現代的証明

    素因数分解ai=∏pjeij\footnotesize a_i=\prod p_j^{e_{ij}}を考える.
    互いに素なので、各素数pj\footnotesize p_jはただ一つの因子にしか現れない.
    積a1⋯ar=bn\footnotesize a_1\cdots a_r=b^nがn\footnotesize n乗数なら
    すべての指数がn\footnotesize nの倍数.
    しかし各指数は一つの因子の中だけに現れるので、各因子の指数もすべてn\footnotesize nの倍数.
    したがってai=cin\footnotesize a_i=c_i^nとなる.

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    Lemma II

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    Lemma II
    Si a2+b2\footnotesize a^2+b^2 fuerit quadratum, atque a\footnotesize a et b\footnotesize b sint numeri inter se primi, erit
    a=pp−qq,\footnotesize a=pp-qq, et b=2pq,\footnotesize b=2pq,existentibus p\footnotesize p et q\footnotesize q numeris inter se primis altero pari altero impari.
    第二補題
    もしa2+b2\footnotesize a^2+b^2が平方数であり、
    さらにgcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1であるならば、互いに素な整数 p,q\footnotesize p,qが存在して、その一方は偶数、他方は奇数となり、a=p2−q2,\footnotesize a=p^2-q^2,b=2pq\footnotesize b=2pqと表される.

    Lemma II
    （原始ピタゴラス三つ組の表示）
    原始ピタゴラス三つ組の完全パラメータ表示
    と呼ばれる定理です.

    現代的定理
    a2+b2=c2\footnotesize a^2+b^2=c^2かつgcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1なら
    互いに素な整数p>q>0\footnotesize p > q > 0が存在して
    a=p2−q2,\footnotesize a=p^2-q^2,b=2pq,\footnotesize b=2pq,
    c=p2+q2\footnotesize c=p^2+q^2となる.

    なぜ偶奇が異なる必要があるか
    もしp,q\footnotesize p,qがともに奇数なら
    p2−q2\footnotesize p^2-q^2も2pq\footnotesize 2pqも偶数.
    するとgcd⁡(a,b)≥2\footnotesize \gcd(a,b)\ge2となる.
    これは互いに素に反する.
    もし両方偶数ならなおさら不可能.
    したがってp,q\footnotesize p,qは
    * 一方偶数
    * 一方奇数
    でなければならない.

    ⸻
    Demonstratio
    Quia est a2+b2\footnotesize a^2+b^2 quadratum, ponatur eius radix
    =a+bqp,\footnotesize =a+\dfrac{bq}{p},
    ubi fractionem qp\footnotesize \dfrac{q}{p} in minimis terminis pono expressam, ita ut p\footnotesize p et q\footnotesize q sint numeri inter se primi.
    証明
    a2+b2\footnotesize a^2+b^2が平方数であるから、
    その平方根をa+bqp\footnotesize a+\dfrac{bq}{p}とおく.
    ここでqp\footnotesize \dfrac{q}{p}は既約分数であり、
    gcd⁡(p,q)=1\footnotesize \gcd(p,q)=1とする.

    平方根をc=a+bqp\footnotesize c=a+\dfrac{bq}{p}
    と書くのはオイラー独特の導入です.
    つまりc2=a2+b2\footnotesize c^2=a^2+b^2です.

    ⸻
    Facta autem aequatione erit
    a2+b2=a2+2abqp+b2q2p2.\footnotesize a^2+b^2=a^2+\dfrac{2abq}{p}+\dfrac{b^2q^2}{p^2}.
    両辺を等置すると
    a2+b2=a2+2abqp+b2q2p2\footnotesize a^2+b^2=a^2+\dfrac{2abq}{p}+\dfrac{b^2q^2}{p^2}
    を得る.

    平方完成から来ています.
    (a+bqp)2=a2+2abqp+b2q2p2.\footnotesize \left(a+\dfrac{bq}{p}\right)^2=a^2+\dfrac{2abq}{p}+\dfrac{b^2q^2}{p^2}.

    ⸻
    a:b=p2−q2:2pq.\footnotesize a:b=p^2-q^2:2pq.
    よってa:b=(p2−q2):2pq\footnotesize a:b=(p^2-q^2):2pqである.

    a2+b2=a2+2abqp+b2q2p2\footnotesize a^2+b^2=a^2+\dfrac{2abq}{p}+\dfrac{b^2q^2}{p^2}
    両辺からa2\footnotesize a^2を引くと
    b2=2abqp+b2q2p2.\footnotesize b^2=\dfrac{2abq}{p}+\dfrac{b^2q^2}{p^2}.
    さらにp2\footnotesize p^2を掛けると
    b2p2=2abpq+b2q2.\footnotesize b^2p^2=2abpq+b^2q^2.
    b≠0\footnotesize b\neq0として
    bp2=2apq+bq2.\footnotesize bp^2=2apq+bq^2.
    移項して
    b(p2−q2)=2apq.\footnotesize b(p^2-q^2)=2apq.
    したがって
    a:b=(p2−q2):2pq.\footnotesize a:b=(p^2-q^2):2pq.

    ⸻
    Numeri autem p2−q2\footnotesize p^2-q^2 et 2pq\footnotesize 2pq inter se vel primi sunt, vel communem habent divisorem 2.\footnotesize 2.
    ところでp2−q2\footnotesize p^2-q^2と2pq\footnotesize 2pqとは、
    互いに素であるか、
    あるいは共通因子2\footnotesize 2のみを持つ.

    これはgcd⁡(p,q)=1\footnotesize \gcd(p,q)=1から従います.

    ⸻
    第一の場合
    Illo igitur casu, quo p2−q2\footnotesize p^2-q^2 et 2pq\footnotesize 2pq sunt numeri inter se primi, quod accidit si numerorum p\footnotesize p et q\footnotesize q alter fuerit par alter impar,…
    したがって
    p\footnotesize pとq\footnotesize qの一方が偶数、他方が奇数である場合には、
    p2−q2\footnotesize p^2-q^2と2pq\footnotesize 2pqは互いに素となる.

    すると
    a:b=(p2−q2):(2pq)\footnotesize a:b=(p^2-q^2):(2pq)かつgcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1だから
    比例定数は1で、a=p2−q2  ,  b=2pq\footnotesize a=p^2-q^2~~,~~b=2pq
    となる.

    ⸻
    第二の場合
    Casu autem quo numeri p2−q2\footnotesize p^2-q^2 et 2pq\footnotesize 2pq communem divisorem habent 2\footnotesize 2; quod erit si numerorum p\footnotesize p et q\footnotesize q uterque fuerit impar…
    他方、
    p\footnotesize pとq\footnotesize qがともに奇数である場合には、
    p2−q2\footnotesize p^2-q^2と2pq\footnotesize 2pq
    は共通因子2\footnotesize 2を持つ.

    そこでa=p2−q22,b=pq.\footnotesize a=\dfrac{p^2-q^2}{2},b=pq.となる.

    ⸻
    Ponatur autem p+q=2r,p−q=2s.\footnotesize p+q=2r,p-q=2s.
    ここでp+q=2r,p−q=2s\footnotesize p+q=2r,p-q=2sとおく.
    するとp=r+s,q=r−s.\footnotesize p=r+s,q=r-s.です.

    (計算)
    pq=(r+s)(r−s)=r2−s2.\footnotesize pq=(r+s)(r-s)=r^2-s^2.
    p2−q22=(p−q)(p+q)2=(2s)(2r)2=2rs.\scriptsize \dfrac{p^2-q^2}{2}=\dfrac{(p-q)(p+q)}{2}=\dfrac{(2s)(2r)}2=2rs.
    したがってa=2rs,b=r2−s2.\footnotesize a=2rs,b=r^2-s^2.

    オイラーの結論
    r,s\footnotesize r,sは互いに素で、
    しかも一方偶数・一方奇数
    したがって
    a=p2−q2,b=2pq\footnotesize a=p^2-q^2,b=2pq
    という形に帰着する.

    C.E.D.
    (証明終)

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    Corollarium I

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    Corollarium I
    Si ergo summa duorum quadratorum inter se primorum fuerit quadratum, alterum quadratum par sit necesse est, alterum vero impar.
    したがって、互いに素な二つの平方数の和が平方数となるならば、その二つの平方数のうち
    一方は偶平方数、
    他方は奇平方数でなければならない.

    現代的表現
    x2+y2=z2,gcd⁡(x,y)=1\footnotesize x^2+y^2=z^2,\gcd(x,y)=1
    ならx,y\footnotesize x,yの一方は偶数、他方は奇数.

    ⸻
    (続く結論)
    ex quo sequitur summam duorum quadratorum imparium non posse esse quadratum.
    したがって、
    二つの奇平方数の和が平方数になることはない.

    実際
    (2m+1)2≡1(mod4)\footnotesize (2m+1)^2\equiv1\pmod4
    なので
    (2m+1)2+(2n+1)2≡2(mod4).\footnotesize (2m+1)^2+(2n+1)^2\equiv2\pmod4.
    平方数は
    0,1(mod4)\footnotesize 0,1\pmod4
    しか取り得ないため不可能です.

    ここまででオイラーは
    1. ピタゴラス三つ組の標準表示
       a=p2−q2,b=2pq\footnotesize a=p^2-q^2,\quad b=2pq
    2. 偶奇性
    3. 互いに素性
    を確立しました.

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    Corollarium II

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    Corollarium II
    Si ergo a2+b2\footnotesize a^2+b^2 est quadratum numerorum a\footnotesize a et b\footnotesize b, alter puta a\footnotesize a erit impar, alter b\footnotesize b vero par.
    Impar vero a\footnotesize a erit a=p2−q2,\footnotesize a=p^2-q^2,et par b\footnotesize b erit b=2pq.\footnotesize b=2pq.
    したがって、a2+b2\footnotesize a^2+b^2が平方数であり、
    gcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1ならば、
    二数a,b\footnotesize a,bのうち一方は奇数、
    他方は偶数である.
    さらに奇数の方（ここではa\footnotesize aとする）は
    a=p2−q2,\footnotesize a=p^2-q^2,
    偶数の方(b\footnotesize b)はb=2pq\footnotesize b=2pqと表される.

    意味
    これは Lemma II の結論のまとめ直し.
    原始ピタゴラス三つ組
    a2+b2=c2\footnotesize a^2+b^2=c^2
    では
    a=p2−q2,b=2pq,c=p2+q2.\footnotesize a=p^2-q^2,b=2pq,c=p^2+q^2.

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    Corollarium III

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    Corollarium III
    Quia porro numerorum p\footnotesize p et q\footnotesize q alter est par alter impar, erit b\footnotesize b numerus pariter par seu per 4\footnotesize 4 divisibilis.
    Deinde si nec p\footnotesize p nec q\footnotesize q sint per 3\footnotesize 3 divisibiles, necesse est ut vel p−q\footnotesize p-q vel p+q\footnotesize p+q divisionem per 3\footnotesize 3 admittat.
    Unde sequitur alterum numerorum a\footnotesize a et b\footnotesize b, quorum quadratorum summa facit quadratum, esse per 3\footnotesize 3 divisibilem.
    さらに、
    p\footnotesize pと q\footnotesize qは一方が偶数、他方が奇数であるから、
    b=2pq\footnotesize b=2pqは必ず4\footnotesize 4で割り切れる.

    また、
    p\footnotesize pも q\footnotesize qも3\footnotesize 3で割り切れないなら、
    p−q\footnotesize p-qまたはp+q\footnotesize p+qのどちらかは必ず
    3\footnotesize 3で割り切れる.

    したがって、
    a\footnotesize aまたはb\footnotesize bのどちらか一方は3\footnotesize 3で割り切れる.

    現代的証明
    (1)b\footnotesize bは4\footnotesize 4の倍数
    一方が偶数なのでpq\footnotesize pqは偶数.
    したがってb=2pq\footnotesize b=2pqは4k\footnotesize 4kとなる.

    (2)3\footnotesize 3に関する主張
    もしp≢0(mod3),q≢0(mod3)\footnotesize p\not\equiv0\pmod3,q\not\equiv0\pmod3
    なら
    p,q≡±1(mod3).\footnotesize p,q\equiv\pm1\pmod3.
    したがってp−q\footnotesize p-qまたはp+q\footnotesize p+qのどちらかは
    0(mod3).\footnotesize 0\pmod3.
    ところがa=(p−q)(p+q)\footnotesize a=(p-q)(p+q)なので3∣a.\footnotesize 3\mid a.
    一方もし3∣p\footnotesize 3\mid pまたは3∣q\footnotesize 3\mid qなら3∣b=2pq.\footnotesize 3\mid b=2pq.
    したがってa,b\footnotesize a,bのどちらかは必ず3\footnotesize 3の倍数.

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    Corollarium IV

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    Corollarium IV
    Cum sit a=p2−q2,b=2pq,\footnotesize a=p^2-q^2,b=2pq,
    si a2+b2\footnotesize a^2+b^2 constituat quadratum, facile intelligitur numeros p\footnotesize p et q\footnotesize q minores esse quam a\footnotesize a et b.\footnotesize b.
    もし
    a=p2−q2,b=2pq\footnotesize a=p^2-q^2,b=2pqであり、a2+b2\footnotesize a^2+b^2
    が平方数を作るなら、p,q\footnotesize p,qはa,b\footnotesize a,b
    より小さいことが容易に分かる.

    オイラーの議論

    a\footnotesize aについて
    a=(p+q)(p−q).\footnotesize a=(p+q)(p-q).
    p−q≥1\footnotesize p-q\ge1なのでa≥p+q.\footnotesize a\ge p+q.
    したがってa>p,a>q.\footnotesize a > p,\qquad a > q.

    b\footnotesize bについて
    b=2pq.q≥1\footnotesize b=2pq.\qquad q\ge1より
    b>p.\footnotesize b > p.同様にb>q.\footnotesize b > q.

    よって
    p<a,q<a,\footnotesize p < a,\quad q < a,かつp<b,q<b.\footnotesize p < b,\quad q < b.
    ⸻
    なぜ重要か
    これは後の無限降下法の核心です.
    より小さい整数p,q\footnotesize p,qが得られる.
    つまり(a,b)→(p,q)\footnotesize (a,b) \rightarrow (p,q)という縮小操作が可能.
    ⸻
    オイラーは後で
    a4−b4=c2\footnotesize a^4-b^4=c^2
    の解があると仮定し、
    そこからさらに小さい解を構成して
    無限降下に持ち込みます.
    その際にこの系が使われます.

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    Scholion（注）

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    Scholion(注)
    In demonstratione huius lemmatis ex analogia
    a:b=p2−q2:2pq\footnotesize a:b=p^2-q^2:2pq
    ideo sequitur esse
    a=p2−q2,b=2pq,\footnotesize a=p^2-q^2,\qquad b=2pq,
    quia a\footnotesize a et b\footnotesize b sunt numeri inter se primi, pariterque numeri p2−q2\footnotesize p^2-q^2 et 2pq.\footnotesize 2pq.
    この補題の証明において、
    a:b=(p2−q2):(2pq)\footnotesize a:b=(p^2-q^2):(2pq)から直ちに
    a=p2−q2,b=2pq\footnotesize a=p^2-q^2,\qquad b=2pqと結論したのは、
    a,b\footnotesize a,bが互いに素であり、また
    p2−q2,2pq\footnotesize p^2-q^2,\qquad 2pq
    も互いに素だからである.
    ⸻
    Si enim fuerit
    a:b=c:d,\footnotesize a:b=c:d,
    atque tam numeri a,b\footnotesize a,b quam numeri c,d\footnotesize c,d sint primi inter se,neceffe eft vt fit
    a=c,b=d.\footnotesize a=c,\qquad b=d.
    実際、
    a:b=c:d\footnotesize a:b=c:dであり、
    gcd⁡(a,b)=1,gcd⁡(c,d)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1,\qquad\gcd(c,d)=1
    ならば、必ず
    a=c,b=d\footnotesize a=c,\qquad b=dである.
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    Lemma III

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    Lemma III
    Si fuerit a2−b2\footnotesize a^2-b^2quadratum,existentibus a\footnotesize a et b\footnotesize b numeris inter se primis;erit a=p2+q2,\footnotesize a=p^2+q^2,et vel b=p2−q2\footnotesize b=p^2-q^2 vel b=2pq,\footnotesize b=2pq,ubi numeri p\footnotesize p et q\footnotesize q sunt inter se primi, corumque alter par alter impar.
    第三補題
    もしa2−b2\footnotesize a^2-b^2が平方数であり、さらに
    gcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1であるならば、
    互いに素な整数p,q\footnotesize p,qが存在して、
    一方は偶数、他方は奇数となり、
    a=p2+q2\footnotesize a=p^2+q^2かつb=p2−q2\footnotesize b=p^2-q^2
    またはb=2pq\footnotesize b=2pqと表される.
    ⸻
    (証明)
    Quia a2−b2\footnotesize a^2-b^2 est quadratum, ponatur
    a−b=c2,\footnotesize a-b=c^2, eritque a=b+c2,\footnotesize a=b+c^2,
    atque b\footnotesize b et c\footnotesize c numeri inter se primi.
    a2−b2\footnotesize a^2-b^2が平方数であるから、a−b=c2\footnotesize a-b=c^2とおく.
    するとa=b+c2\footnotesize a=b+c^2となる.
    またb\footnotesize bとc\footnotesize cは互いに素である.

    実際にはa2−b2=(a−b)(a+b)\footnotesize a^2-b^2=(a-b)(a+b)です.
    オイラーはまずa−b=c2\footnotesize a-b=c^2と置いて、
    残りも平方数になることを後で利用します.

    ⸻
    Cum igitur per Coroll. I lemmatis praecedentis numerorum b\footnotesize b et c\footnotesize c alter par sit alter impar, necesse est ut a\footnotesize a sit numerus impar.
    前補題の系1より、b\footnotesize bとc\footnotesize c
    の一方は偶数、他方は奇数である.
    したがってa=b+c2\footnotesize a=b+c^2は必ず奇数である.

    偶数＋奇数＝奇数

    ⸻
    第一の場合
    Sit primo b\footnotesize b impar et c\footnotesize c par;
    まずb\footnotesize bが奇数、c\footnotesize cが偶数の場合.
    ⸻
    前補題（Lemma II）より
    b2+c2=a2\footnotesize b^2+c^2=a^2なのでb=p2−q2,c=2pq.\footnotesize b=p^2-q^2,c=2pq.
    したがって
    a=b+c2=(p2−q2)+2q2=p2+q2.\footnotesize a=b+c^2=(p^2-q^2)+2q^2=p^2+q^2.
    ⸻
    第二の場合
    At si b\footnotesize b fuerit par et c\footnotesize c impar;
    次にb\footnotesize bが偶数、c\footnotesize cが奇数の場合.
    Lemma II より
    b=2pq,c=p2−q2.\footnotesize b=2pq,c=p^2-q^2.
    すると
    a=b+c2=2pq+(p2−q2)=p2+q2.\footnotesize a=b+c^2=2pq+(p^2-q^2)=p^2+q^2.

    結論
    したがって
    a=p2+q2,\footnotesize a=p^2+q^2,かつ
    b=p2−q2\footnotesize b=p^2-q^2またはb=2pq.\footnotesize b=2pq.

    Q.E.D.
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    Corollarium I

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    Corollarium I
    Si ergo differentia duorum quadratorum est numerus quadratus, maius quadratum debet esse numerus impar.
    したがって、
    二つの平方数の差が平方数であるならば、
    大きい方の平方数の根は奇数でなければならない.
    つまりa2−b2=c2\footnotesize a^2-b^2=c^2ならa\footnotesize aは奇数.
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    Corollarium II

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    Corollarium II
    Simili porro modo intelligitur numeros p et q minores esse quam numeros a et b.
    同様に、p,q\footnotesize p,qはa,b\footnotesize a,bより小さいことが分かる.

    前補題の Cor. IV と同じ.
    a=p2+q2\footnotesize a=p^2+q^2なのでa>p,a>q.\footnotesize a > p,\quad a > q.

    b=p2−q2\footnotesize b=p^2-q^2またはb=2pq\footnotesize b=2pq
    なのでb>p,b>q.\footnotesize b > p,\quad b > q.

    この縮小性が無限降下法に必要です.

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    Corollarium III

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    Corollarium III
    Si fuerita2−b2=c2,\footnotesize a^2-b^2=c^2, unus numerorum a,b,c\footnotesize a,b,c semper per 5 divisibilis existit.
    もしa2−b2=c2\footnotesize a^2-b^2=c^2ならば、a,b,c\footnotesize a,b,c
    のうち少なくとも一つは5\footnotesize 5で割り切れる.
    ⸻
    … vel alter numerorum p et q per 5 divisibilis est vel neuter.Illo autem casu sit p=5n±1,q=5m±1,\footnotesize p=5n\pm1,\qquad q=5m\pm1, ergo vel
    p2−q2\footnotesize p^2-q^2 velp2+q2\footnotesize p^2+q^2 per 5\footnotesize 5 divisibile.
    p,q\footnotesize p,qのうち少なくとも一方が 5 で割り切れる場合は明らかである.
    そこでどちらも 5 で割り切れない場合を考える.
    そのとき
    p≡±1,±2(mod5),\footnotesize p\equiv \pm1,\pm2 \pmod 5,
    q≡±1,±2(mod5)\footnotesize q\equiv \pm1,\pm2 \pmod 5
    である.

    したがってp2\footnotesize p^2およびq2\footnotesize q^2
    はどちらも1\footnotesize 1または4(mod5)\footnotesize 4\pmod5である.
    よってp2−q2\footnotesize p^2-q^2またはp2+q2\footnotesize p^2+q^2
    のいずれかは5\footnotesize 5で割り切れる.

    オイラーの証明の出発点
    Lemma III では
    a=p2+q2,b=p2−q2,c=2pq\footnotesize a=p^2+q^2,b=p^2-q^2,c=2pq
    でした.
    ⸻
    場合1
    5∣p\footnotesize 5\mid pまたは5∣q.\footnotesize 5\mid q.このとき5∣c.\footnotesize 5\mid c.
    ⸻
    場合2
    5∤p,5∤q.\footnotesize 5\nmid p,\quad 5\nmid q.すると
    平方剰余p2,q2≡1,4(mod5).\footnotesize p^2,q^2\equiv1,4\pmod5.
    したがって
    p2+q2\footnotesize p^2+q^2またはp2−q2\footnotesize p^2-q^2
    のどちらかが0(mod5).\footnotesize 0\pmod5.
    つまり5∣a\footnotesize 5\mid aまたは5∣b.\footnotesize 5\mid b.

    a2−b2=c2⟹5∣abc\footnotesize a^2-b^2=c^2\Longrightarrow5\mid abc
    （少なくとも一つが5の倍数）
    これが Corollarium III 全体の結論です.

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    第1章　まとめ

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    序論
    フェルマーが残した算術定理を、整数論と無限降下法によって証明する準備.

    Lemma I
    互いに素な整数の積が冪乗数なら、各因子も同じ冪乗数である.

    Lemma II
    a2+b2=c2\footnotesize a^2+b^2=c^2かつgcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1
    ならa=p2−q2,b=2pq.\footnotesize a=p^2-q^2,\qquad b=2pq.

    Corollarium I
    平方和が平方数になる時一方は偶数一方は奇数.

    Corollarium II
    奇数側はp2−q2\footnotesize p^2-q^2偶数側は2pq\footnotesize 2pq

    Corollarium III
    平方和が平方数なら、少なくとも一方は
    3\footnotesize 3の倍数.

    Corollarium IV
    p,q\footnotesize p,qはa,b\footnotesize a,bより小さい.

    Scholion
    互いに素な二つの比が等しいなら、
    対応する項は等しい.

    Lemma III
    a2−b2=c2\footnotesize a^2-b^2=c^2かつgcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1なら
    a=p2+q2,\footnotesize a=p^2+q^2,
    b=p2−q2\footnotesize b=p^2-q^2またはb=2pq.\footnotesize b=2pq.

    Corollarium I
    平方差が平方数なら、大きい方は奇数.

    Corollarium II
    p,q\footnotesize p,qはa,b\footnotesize a,bより小さい.

    Corollarium III
    a2−b2=c2\footnotesize a^2-b^2=c^2なら、a,b,c\footnotesize a,b,c
    のうち少なくとも一つは5\footnotesize 5の倍数.

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    第2章　Theorem I

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    Theorem I
    a^4+b^4=c^4 の不可能性

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    Theorema I
    Summa duorum biquadratorum ut a4+b4\footnotesize a^4+b^4 non potest esse quadratum, nisi alter biquadratorum evanescat.
    定理 I
    二つの四乗数の和a4+b4\footnotesize a^4+b^4は平方数にならない.
    ただしどちらか一方が0である自明な場合を除く.

    これは現在では
    Fermat の四乗和定理
    (Fermat’s theorem on the sum of two fourth powers)
    として知られるものです.

    現代的表現
    a4+b4=c2\footnotesize a^4+b^4=c^2の整数解は
    ab=0\footnotesize ab=0以外には存在しない.

    ⸻
    (証明の導入)
    In theoremate hoc demonstrando ita versabor, ut ostendam si ullo casu fuerit a4+b4\footnotesize a^4+b^4 quadratum,quantumnis etiam magni fuerint numeri a et b,tum continuo minores numeros loco a et b assignari posse.
    この定理を証明するにあたり次のことを示す.
    もしa4+b4\footnotesize a^4+b^4が平方数になる例が存在すると仮定するなら、そのa,b\footnotesize a,bがどれほど大きくても、
    そこからさらに小さい数の組を構成できる.

    ここでオイラーは
    無限降下法(descensus infinitus)を
    宣言しています.

    ⸻
    atque tandem ad minimos numeros integros perveniri oportere.
    そしてこの操作を繰り返せば、ついには最小の整数解に到達しなければならない.
    ⸻
    Cum autem in minimis numeris tales non dentur, quorum biquadratorum summa quadratum constitueret,
    しかし最小の整数については、
    そのような解は存在し得ない.
    ⸻
    concludendum erit nec inter maximos numeros tales exstare.
    したがって、最初からどの整数に対してもそのような解は存在しないことになる.
    ⸻

    無限降下法の骨格(オイラーの論理)
    (a,b)\footnotesize (a,b)が解
    ↓
    もっと小さい(p,q)\footnotesize (p,q)も解
    ↓
    さらに小さい解
    ↓
    さらに小さい解
    ↓
    無限列a>b>c>⋯\footnotesize a > b > c > \cdotsができる
    ↓
    自然数では不可能
    ↓
    最初の解が存在しない.

    ⸻
    (解の既約化)
    Ponamus ergo a4+b4\footnotesize a^4+b^4 esse quadratum,atque a et b inter se esse numeros primos.
    そこでa4+b4\footnotesize a^4+b^4が平方数であると仮定する.
    さらにgcd⁡(a,b)=1\footnotesize \gcd(a,b)=1としてよい.
    ⸻
    nil enim si primi non forent, per divisionem ad primos reduci possent.
    なぜなら互いに素でなければ、共通因子で割ることで互いに素な場合へ帰着できるからである.
    ⸻
    (偶奇判定)
    Sit a numerus impar, b vero par.
    a\footnotesize aを奇数、b\footnotesize bを偶数とする.
    ⸻
    quia necessario alter par alter impar esse debet.
    なぜなら、一方は偶数、
    他方は奇数でなければならないからである.
    （Lemma II の Cor.1）
    ⸻
    (Lemma II の適用)
    Erit ergo a2=p2−q2,\footnotesize a^2=p^2-q^2, et b2=2pq.\footnotesize b^2=2pq.
    したがって補題より
    a2=p2−q2,b2=2pq.\footnotesize a^2=p^2-q^2,b^2=2pq.となる.

    ここでa4+b4=c2\footnotesize a^4+b^4=c^2を
    (a2)2+(b2)2=c2\footnotesize (a^2)^2+(b^2)^2=c^2と見ている.

    ⸻
    (互いに素)
    numerique p et q inter se erunt primi.
    さらにp,q\footnotesize p,qは互いに素である.
    ⸻
    (偶奇)
    Cum autem sit a2=p2−q2,\footnotesize a^2=p^2-q^2, necesse est ut p sit numerus impar.
    さらにa2=p2−q2\footnotesize a^2=p^2-q^2であり、
    a\footnotesize aは奇数だから、p\footnotesize pは奇数でなければならない.

    理由
    もしp\footnotesize pが偶数ならq\footnotesize qは奇数.
    するとp2−q2≡−1(mod4),\footnotesize p^2-q^2\equiv -1\pmod4,
    となり平方数にならない.
    従ってp\footnotesize pは奇,q\footnotesize qは偶.

    ⸻
    (Lemma I の適用)
    Quia porro 2pq=b2\footnotesize 2pq=b^2 quadratum esse debet,necesse est ut tam p quam 2q fit quadratum.
    さらに2pq=b2\footnotesize 2pq=b^2は平方数である.
    しかもp\footnotesize pと2q\footnotesize 2qは互いに素だから、
    Lemma I よりp\footnotesize pも2q\footnotesize 2qもそれぞれ平方数でなければならない.
    したがってp=m2,2q=n2.\footnotesize p=m^2,2q=n^2.の形になる.

    これが無限降下の核心です.

    ⸻
    (Lemma III の再適用)
    Vt vero p2−q2\footnotesize p^2-q^2 fit quadratum,necesse est ut sit p=m2+n2,q=2mn.\footnotesize p=m^2+n^2,q=2mn.
    また
    p2−q2\footnotesize p^2-q^2が平方数であるためには、
    Lemma III により
    p=m2+n2,q=2mn\footnotesize p=m^2+n^2,q=2mnと表される.
    ⸻
    existentibus iterum m et n numeris inter se primis, corumque altero pari altero impari.
    Sed quoniam 2q quadratum est, erit 4mn seu mn quadratum;unde tam m quam n quadrata erunt.Posito ergo m=x2,n=y2,\footnotesize m=x^2,n=y^2,eritp=m2+n2=x4+y4,\footnotesize p=m^2+n^2=x^4+y^4,
    quod quadratum pariter esse debebat.
    さらにm,n\footnotesize m,nは互いに素で、一方が偶数、他方が奇数である.ところが
    2q\footnotesize 2qは平方数であるから、q=2mn\footnotesize q=2mnを代入すると
    2q=4mn\footnotesize 2q=4mnも平方数である.
    したがってmn\footnotesize mn自身が平方数である.
    しかもm,n\footnotesize m,nは互いに素だから、Lemma I によりm\footnotesize mもn\footnotesize nもそれぞれ平方数でなければならない.
    そこでm=x2,n=y2\footnotesize m=x^2,\qquad n=y^2と置く.
    するとp=m2+n2\footnotesize p=m^2+n^2だからp=x4+y4.\footnotesize p=x^4+y^4.
    しかもp\footnotesize pは先に示したように平方数である.
    したがってx4+y4\footnotesize x^4+y^4も平方数になる.
    ⸻
    manifestum autem est numeros x et y longe minores fore quam a et b.
    しかもx,y\footnotesize x,yは明らかに
    a,b\footnotesize a,bよりはるかに小さい.

    なぜ小さいか
    前に得たp<a,q<a,\footnotesize p < a,q < a,
    さらにm<p,n<p,\footnotesize m < p,n < p,
    そしてx2=m,y2=n.\footnotesize x^2=m,y^2=n.だからx,y<a.\footnotesize x,y < a.

    ⸻
    (無限降下法の結論)
    Partis igitur via ex biquadratis a4+b4\footnotesize a^4+b^4 denuo minora orientur, quorum summa esset quadratum.
    したがって、
    四乗数の和が平方数になる解から、
    さらに小さいそのような解を作ることができる.
    ⸻
    atque pergendo ad minima tandem biquadrata in integris perveniretur.
    この操作を繰り返せば、
    ついには最小の整数解に到達することになる.
    ⸻
    Cum ergo non dentur minima biquadrata, quorum summa efficeret quadratum,
    しかし、
    そのような性質を持つ最小解は存在し得ない.
    ⸻
    palam est nec in maximis numeris talia dari.
    したがって、
    そもそもそのような解は存在しない.

    定理の結論
    a4+b4=z2\footnotesize a^4+b^4=z^2
    の非自明整数解は存在しない.

    ⸻
    Si autem in uno biquadratorum pars alterum sit =0, in omnibus reliquis paribus alterum evanescet.
    ただし一方の四乗数が0
    である場合だけは例外である.
    つまりa=0\footnotesize a=0またはb=0\footnotesize b=0なら
    a4+b4\footnotesize a^4+b^4は平方数になりうる.
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    Corollarium I

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    Corollarium I
    Cum igitur summa duorum biquadratorum non possit esse quadratum, multo minus duo biquadrata coniuncta biquadratum efficere poterunt.
    系 I
    二つの四乗数の和が平方数にならない以上、
    まして四乗数になることもない.

    つまりa4+b4=c4\footnotesize a^4+b^4=c^4は不可能.
    これはn=4\footnotesize n=4の場合のフェルマー最終定理です.

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    Corollarium II

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    Corollarium II
    Quamquam demonstratio haec tantum ad numeros integros pertinet, tamen etiam per eam conficitur ne in fractis quidem duo biquadrata exhiberi possint, quorum summa esset quadratum.
    系 II
    この証明は整数について述べたものであるが、
    実は有理数についても同様の結論が従う.
    つまりx4+y4=z2\footnotesize x^4+y^4=z^2
    の非自明有理解も存在しない.

    理由
    有理解があれば分母を払って整数解になるから.

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    Corollarium III

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    Corollarium III.
    Ex eadem demonstratione colligere licet,
    non dari eiusmodi numeros p et q,ut
    p,2q,p2−q2\footnotesize p,\quad 2q,\quad p^2-q^2 sint quadrata.
    Si enim tales existerent,tum haberentur valores pro a et b,qui redderenta4+b4\footnotesize a^4+b^4 quadratum;foret namque
    a=p2−q2,b=2pq.\footnotesize a=\sqrt{p^2-q^2},\qquad b=\sqrt{2pq}.
    系 III
    同じ証明から、次を同時に満たす整数
    p, q\footnotesize p,\ qは存在しないことが分かる.
    すなわちp\footnotesize pが平方数であり2q\footnotesize 2qも平方数であり
    さらにp2−q2\footnotesize p^2-q^2も平方数である.
    そのような整数p,q\footnotesize p,qは存在しない.
    なぜなら、もしそのようなp,q\footnotesize p,qが存在すれば、
    a=p2−q2,b=2pq\footnotesize a=\sqrt{p^2-q^2},b=\sqrt{2pq}と置くことができるからである.
    するとa4+b4\footnotesize a^4+b^4が平方数になってしまう.
    しかしそれは定理 I に反する.

    現代的な言い換え
    p=x2,2q=y2,p2−q2=z2\footnotesize p=x^2,2q=y^2,p^2-q^2=z^2
    の非自明な整数解は存在しない.

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    Corollarium IV

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    Corollarium IV
    Positis ergop=x2,2q=4y2,\footnotesize p=x^2,\qquad2q=4y^2, erit
    p2−q2=x4−4y4.\footnotesize p^2-q^2=x^4-4y^4.Fieri ergo omnino nequit, ut x4−4y4\footnotesize x^4-4y^4sit quadratum.
    したがって
    p=x2,2q=4y2\footnotesize p=x^2,\qquad2q=4y^2
    とおけばp2−q2=x4−4y4\footnotesize p^2-q^2=x^4-4y^4となる.
    ところが Corollarium III により
    p,2q,p2−q2\footnotesize p,\quad 2q,\quad p^2-q^2
    が同時に平方数になることは不可能であった.
    ゆえにx4−4y4\footnotesize x^4-4y^4
    が平方数になることはあり得ない.

    計算確認
    q=2y2\footnotesize q=2y^2なので
    p2−q2=x4−(2y2)2=x4−4y4.\footnotesize p^2-q^2=x^4-(2y^2)^2=x^4-4y^4.
    つまりx4−4y4=z2\footnotesize x^4-4y^4=z^2
    には非自明解がない.

    ⸻
    Neque igitur 4x4−y4\footnotesize 4x^4-y^4
    quadratum esse poterit.
    同様に4x4−y4\footnotesize 4x^4-y^4も平方数になれない.

    理由
    もし4x4−y4\footnotesize 4x^4-y^4が平方数なら
    両辺を入れ替えてy4−4x4\footnotesize y^4-4x^4の問題になる.
    先ほど否定した場合と同じだから.

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    Corollarium V

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    Corollarium V
    Sequitur hinc etiamab(a2+b2)\footnotesize ab(a^2+b^2)
    quadratum nunquam esse posse.
    さらにab(a2+b2)\footnotesize ab(a^2+b^2)
    が平方数になることもない.
    ⸻
    Ob factores a, b, a2+b2\footnotesize a,\ b,\ a^2+b^2 inter se primos,singulos quadrata esse oporteret.
    なぜなら
    a,b,a2+b2\footnotesize a,\quad b,\quad a^2+b^2
    は互いに素だから、Lemma I により
    その積が平方数なら
    各因子自身が平方数でなければならない.

    つまりa=u2,b=v2,a2+b2=w2.\footnotesize a=u^2,b=v^2,a^2+b^2=w^2.
    するとu4+v4=w2.\footnotesize u^4+v^4=w^2.
    しかし Theorema I が否定している.
    したがってab(a2+b2)\footnotesize ab(a^2+b^2)
    は平方数になれない.

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    Corollarium VI

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    Corollarium VI
    Similiter tales etiam numeri inter se primi a,b
    non dabuntur,qui producerent
    2ab(a2−b2)\footnotesize 2ab(a^2-b^2)quadratum.
    同様に、互いに素な整数a,b\footnotesize a,bについて
    2ab(a2−b2)\footnotesize 2ab(a^2-b^2)が平方数になることもない.

    これは Corollarium III を使う.
    もし2ab(a2−b2)\footnotesize 2ab(a^2-b^2)が平方数なら、
    互いに素性からa,2b,a2−b2\footnotesize a,\quad 2b,\quad a^2-b^2
    がそれぞれ平方数になる.
    つまりa=p,2b=2q,a2−b2=p2−q2.\footnotesize a=p,2b=2q,a^2-b^2=p^2-q^2.
    これは Corollarium III が否定した
    p,2q,p2−q2\footnotesize p,\quad 2q,\quad p^2-q^2
    全部平方数という状況そのもの.
    したがって不可能.

    ⸻
    Haec omnia autem quoque valent pro numeris inter se non primis atque adeo fractis, per Coroll. 2.
    これらすべての結果は、
    互いに素でない整数の場合にも、
    さらには有理数の場合にも成立する.

    なぜ有理数でも成立するのか
    Corollarium II でオイラーは
    有理解があれば分母を払って整数解になる
    ことを示していました.
    したがって
    x4+y4=z2\footnotesize x^4+y^4=z^2
    が有理数で解ければ、
    整数でも解けることになる.
    しかし整数解は存在しない.
    だから有理解も存在しない.

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    第2章　まとめ

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    定理 I  a4+b4≠z2\footnotesize a^4+b^4\neq z^2
    系 I  a4+b4≠c4\footnotesize a^4+b^4\neq c^4
    系 II  有理数でも解なし
    系 III  p,2q,p2−q2\footnotesize p,\;2q,\;p^2-q^2同時平方は不可能
    系 IV  x4−4y4≠z2\footnotesize x^4-4y^4\neq z^2
    系 V  ab(a2+b2)≠z2\footnotesize ab(a^2+b^2)\neq z^2
    系 VI  2ab(a2−b2)≠z2\footnotesize 2ab(a^2-b^2)\neq z^2

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    第3章　Theorem II

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    Theorem II
    a^4-b^4=c^4 の不可能性

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    Theorema 2.
    Differentia duorum biquadratorum ut a4−b4\footnotesize a^4-b^4 non potest esse quadratum, nisi sit vel b=0\footnotesize b=0 vel b=a.\footnotesize b=a.
    定理2
    二つの四乗数の差a4−b4\footnotesize a^4-b^4
    は平方数になることができない.
    ただし例外として
    b=0\footnotesize b=0またはb=a\footnotesize b=aの場合のみ可能である.
    ⸻
    Demonstratio
    Theorema hoc pari modo demonstro quo praecedens. Sint igitur biquadrata iam ad minimos terminos reducta, atque ponamus
    a4−b4\footnotesize a^4-b^4 esse quadratum: erit a\footnotesize a numerus impar, b\footnotesize b vero vel par erit vel impar.
    証明
    この定理も前定理と同じ方法で証明する.
    したがってa,b\footnotesize a,bは互いに素であり、
    さらに反例の中で最小のものと仮定する.
    そしてa4−b4\footnotesize a^4-b^4が平方数であると仮定する.
    このときa\footnotesize aは奇数であり、
    b\footnotesize bは偶数または奇数である.
    ⸻
    Casus I.
    Sit primò b\footnotesize b numerus par, erita2=pp+qq\footnotesize a^2=pp+qqetb2=2pq,\footnotesize b^2=2pq,
    existentibus p et q inter se primis, eorumque altero pari altero impari.
    場合 I
    まずb\footnotesize bが偶数であるとする.
    前定理で用いた分解より
    a2=p2+q2,b2=2pq\footnotesize a^2=p^2+q^2,b^2=2pqと表せる.
    ここでp,q\footnotesize p,qは互いに素であり、
    一方が偶数、他方が奇数である.
    ⸻
    Ob b2=2pq\footnotesize b^2=2pq debebunt ergo 2p\footnotesize 2p et q\footnotesize q esse quadrata.
    b2=2pq\footnotesize b^2=2pqが平方数であるから、
    互いに素である2p\footnotesize 2pとq\footnotesize qはそれぞれ平方数でなければならない.
    ⸻
    Quia porro pp+qq\footnotesize pp+qq ipsi a2\footnotesize a^2 aequatur,
    erit q=mm−nn\footnotesize q=mm-nn et p=2mn,\footnotesize p=2mn,
    existentibus m\footnotesize m et n\footnotesize n numeris inter se primis.
    さらにp2+q2=a2\footnotesize p^2+q^2=a^2であるから、
    原始ピタゴラス三つ組の表示により
    q=m2−n2,p=2mn\footnotesize q=m^2-n^2,p=2mnとなる.
    ここでm,n\footnotesize m,nは互いに素である.
    ⸻
    Cum autem 2p\footnotesize 2p sit quadratum, erit 4mn\footnotesize 4mn hoc est mn quadratum; adeoque m\footnotesize m et n\footnotesize n sigillatim quadrata.
    ところが 2p\footnotesize 2pは平方数である.
    2p=4mn\footnotesize 2p=4mnだからmn\footnotesize mnも平方数である.
    しかもm,n\footnotesize m,nは互いに素なので、
    m\footnotesize mとn\footnotesize nはそれぞれ個別に平方数である.
    ⸻
    Factis ergom=x2,n=y2\footnotesize m=x^2,n=y^2fiet q=x4−y4.\footnotesize q=x^4-y^4.
    したがって
    m=x2,n=y2\footnotesize m=x^2,n=y^2とおけばq=x4−y4\footnotesize q=x^4-y^4となる.
    ⸻
    ubi cum numerorum m et n alter sit par alter impar, erit quoque numerorum x et y alter par alter impar.
    m,n\footnotesize m,nの一方は偶数、他方は奇数なので、
    x,y\footnotesize x,yについても一方が偶数、
    他方が奇数となる.
    ⸻
    At ob q\footnotesize q quadratum, quadratum erit x4−y4\footnotesize x^4-y^4, ubi x\footnotesize x erit numerus impar, y\footnotesize y vero par.
    ところがq\footnotesize qは平方数であるから、
    x4−y4\footnotesize x^4-y^4も平方数である.
    しかもx\footnotesize xは奇数、y\footnotesize yは偶数である.
    ⸻
    Quo circa si fieri potest a4−b4\footnotesize a^4-b^4 quadratum, quadratum quoque erit x4−y4\footnotesize x^4-y^4, existentibus x\footnotesize x et y\footnotesize y longe minoribus quam a\footnotesize a et b.\footnotesize b.
    したがって、
    もしa4−b4\footnotesize a^4-b^4が平方数であり得るなら、
    それよりもはるかに小さい数x,y\footnotesize x,\;yについても
    x4−y4\footnotesize x^4-y^4が平方数となる.
    ⸻
    Cum ergo in minimis numeris non detur duo biquadrata differentiam quadratam habentia, nec in maximis dabuntur, falsam casu quo minus biquadratum est numerus par.
    Q.E.D.
    しかし我々は最小反例を仮定していた.
    それより小さい反例が存在することになり矛盾する.
    したがってbが偶数の場合は不可能である.
    証明終.
    ⸻
    Casus II.
    sit nunc b\footnotesize b numerus impar, eritque
    a2=pp+qq\footnotesize a^2=pp+qq et b2=pp−qq,\footnotesize b^2=pp-qq,
    existentibus p\footnotesize p et q\footnotesize q numeris inter se primis, eorumque altero pari altero impari.
    場合 II
    今度はb\footnotesize bが奇数であるとする.
    すると
    a2=p2+q2,b2=p2−q2\footnotesize a^2=p^2+q^2,b^2=p^2-q^2となる.
    ここでもp,q\footnotesize p,qは互いに素で、
    一方が偶数、他方が奇数である.
    ⸻
    Quia vero pp−qq\footnotesize pp-qq est quadratum, erit p\footnotesize p numerus impar, et propterea q\footnotesize q par.
    p2−q2\footnotesize p^2-q^2が平方数であるから、
    p\footnotesize pは奇数でなければならず、
    従ってq\footnotesize qは偶数である.
    ⸻
    Ductis autem a2\footnotesize a^2 et b2\footnotesize b^2 in se invicem, producitur
    a2b2=p4−q4,\footnotesize a^2 b^2=p^4-q^4,
    さらに
    a2b2=(p2+q2)(p2−q2)=p4−q4\footnotesize a^2b^2=(p^2+q^2)(p^2-q^2)=p^4-q^4となる.
    ⸻
    quae expressio per casum primum quadratum esse ideoque ipsi a2b2\footnotesize a^2b^2 aequari non potest.
    しかし第1の場合で示した結果より、
    p4−q4\footnotesize p^4-q^4は平方数にはなり得ない.
    一方a2b2=(ab)2\footnotesize a^2b^2=(ab)^2は平方数である.
    これは矛盾である
    ⸻
    Differentia ergo duorum biquadratorum nullo modo esse potest quadratum, nisi vel ambo sint aequalia, vel minus =0.
    Q.E.D.
    よって二つの四乗数の差が平方数になることは決してない.
    例外はa=b\footnotesize a=bまたはb=0\footnotesize b=0の場合のみである.
    証明終
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    Coroll. 1.

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    Coroll. 1.
    Cum sit a2=pp+qq\footnotesize a^2=pp+qq etb2=2pq\footnotesize b^2=2pq itemque q=mm−nn\footnotesize q=mm-nn et p=2mn,\footnotesize p=2mn, atque porro m=x2\footnotesize m=x^2 et n=y2,\footnotesize n=y^2, erit a=(x2+y2)2\footnotesize a=(x^2+y^2)^2 et b=2xy(x2−y2).\footnotesize b=2xy(x^2-y^2).
    系1
    前証明において
    a2=p2+q2\footnotesize a^2=p^2+q^2かつb2=2pq\footnotesize b^2=2pqであった.
    さらにq=m2−n2,p=2mn\footnotesize q=m^2-n^2,p=2mnであり、
    またm=x2,n=y2\footnotesize m=x^2,\qquad n=y^2であった.
    したがって
    a=(x2+y2)2\footnotesize a=(x^2+y^2)^2およびb=2xy(x2−y2)\footnotesize b=2xy(x^2-y^2)となる.

    「もし反例が存在するなら、その反例のa,b\footnotesize a,bは必ずこの形になる」
    ということを示している.
    つまり反例は
    a=(x2+y2)2\footnotesize a=(x^2+y^2)^2,b=2xy(x2−y2)\footnotesize b=2xy(x^2-y^2)
    という非常に特殊な形を持つ.

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    Coroll. 2.

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    Coroll. 2.
    Si ergo in numeris exiguís x et y darentur tales, quorum biquadratorum differentia constitueret quadratum; tum ex iis statim multo majores numeri eadem proprietate gaudentes a et b inveniri possent.
    系2
    したがって、もし小さい数x,y\footnotesize x,yが存在して、
    その四乗数の差x4−y4\footnotesize x^4-y^4が平方数になるならば、
    そこから直ちにより大きな数a,b\footnotesize a,bを構成でき、
    それらもまたa4−b4\footnotesize a^4-b^4が平方数となる性質を持つ.

    系1で
    a=(x2+y2)2,b=2xy(x2−y2)\footnotesize a=(x^2+y^2)^2,b=2xy(x^2-y^2)
    が得られた.
    つまりx4−y4\footnotesize x^4-y^4が平方数なら、
    そのx,y\footnotesize x,yからa,b\footnotesize a,bが構成できる.
    (x,y)⟶(a,b)\footnotesize (x,y)\longrightarrow(a,b)という上昇操作を示している.

    無限降下法の証明では
    (a,b)⟶(x,y)\footnotesize (a,b)\longrightarrow (x,y)という下降を使った.

    系2はその逆方向で、
    (x,y)⟶(a,b)\footnotesize (x,y)\longrightarrow (a,b)を与える.
    つまり Euler は反例が存在するなら
    無限に多くの反例が存在することも示している.

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    Coroll. 3.

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    Coroll. 3.
    Hinc clarius perspicitur ex casu quo biquadrata vel sunt aequalia, vel alterum = 0, non praebere, facto enim vel x=y vel y=0, fit simul b=0, unde vis demonstrationis eo magis perspicitur.
    系3
    以上によって、二つの四乗数が等しい場合、あるいはその一方が零である場合だけが例外であることが、さらに明瞭に理解される.
    実際、x=y\footnotesize x=yあるいはy=0\footnotesize y=0とすると、
    同時にb=0\footnotesize b=0となる.
    したがって証明の効力は、いっそう明確になる.
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    Coroll. 4.

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    Coroll. 4.
    Ex demonstratione porro sequitur non dari numeros p et q, eius indolis, vt essent 2p, q et pp-qq quadrata. Posito ergo 2p=4xx\footnotesize 2p=4xx et q=yy,\footnotesize q=yy, non poterit esse quadratum ista forma 4x4+y4.\footnotesize 4x^4+y^4.
    系4
    さらに証明から、2p,q,p2−q2\footnotesize 2p,\quad q,\quad p^2-q^2
    が同時に平方数となるような整数
    p, q\footnotesize p,\ qは存在しないことが従う.
    したがって2p=4x2,q=y2\footnotesize 2p=4x^2,\qquad q=y^2とおくと、
    4x4+y4\footnotesize 4x^4+y^4は平方数になり得ない.
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    Coroll. 5.

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    Coroll. 5.
    Ex his formulis quoque sequitur, nec ab(aa-bb)}$$ nec 2ab(aa-bb)}$$ unquam fieri posse quadrata; id quod non solum valet, si a et b sint numeri inter se primi, sed etiam si compositi atque adeo fracti. Fractiones enim eiusmodi facile ad integros, atque integri ad numeros inter se primos reducuntur.
    系5
    これらの公式からさらに、
    ab(a2−b2)\footnotesize ab(a^2-b^2)も2ab(a2−b2)\footnotesize 2ab(a^2-b^2)も、
    決して平方数にはなり得ないことが従う.
    これはa, b\footnotesize a,\ bが互いに素な整数の場合だけでなく、合成数の場合にも、さらには分数の場合にも成立する.なぜなら、そのような分数は容易に整数へ帰着でき、整数はさらに互いに素な数へ帰着できるからである.
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    Coroll. 6.

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    Coroll. 6.
    In his igitur duabus propositionibus euictum est, sequentes novem expressiones nunquam fieri posse quadrata.
    系6
    したがって、以上の二つの定理から、
    次の諸式は決して平方数になり得ないことが証明された.
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    I.a4+b4\footnotesize I. a^4+b^4
    II.a4−4b4\footnotesize II. a^4-4b^4
    III.4a4−b4\footnotesize III. 4a^4-b^4
    IV.ab(aa−bb)\footnotesize IV. ab(aa-bb)
    V.2ab(aa−bb)\footnotesize V. 2ab(aa-bb)
    VI.a4−b4\footnotesize VI. a^4-b^4
    VII.4a4+b4\footnotesize VII. 4a^4+b^4
    VIII.ab(aa+bb)\footnotesize VIII. ab(aa+bb)
    IX.2ab(aa+bb)\footnotesize IX. 2ab(aa+bb)
    X.a2±2b2\footnotesize X. a^2\pm 2b^2
    ⸻
    decimam expressionem ideo adieci, quia eius veritas mox demonstrabitur.
    この第10の式を付け加えたのは、
    その真偽が次の定理で直ちに証明されるからである.
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    第4章　Theorem  III

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    2a^4+2b^4は平方数にならない

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    Theorema 3.
    Summa duorum biquadratorum bis sumta, ut
    2a4+2b4\footnotesize 2a^4+2b^4
    quadratum esse nequit, nisi sita=b.\footnotesize a=b.
    ⸻
    定理3
    二つの四乗数の和の2倍、すなわち
    2a4+2b4\footnotesize 2a^4+2b^4は平方数になり得ない.
    ただしa=b\footnotesize a=bの場合のみ例外である.
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    Demonstratio
    Pono primo a et b numeros esse inter se primos; nam nisi tales essent, formula per divisionem eo reduci posset.
    まずa\footnotesize a とb\footnotesize b は互いに素であると仮定する.
    もしそうでなければ、共通因子で割ることによって同じ問題へ帰着できるからである.
    ⸻
    Facile autem perspicitur utrumque numerum a et b debere imparem esse.
    さらにa\footnotesize a とb\footnotesize bはともに奇数でなければならないことは容易に分かる.
    ⸻
    si enim alter par esset, tum fieret 2a4+2b4\footnotesize 2a^4+2b^4 numerus impariter par, qui quadratum esse nequit.
    実際、一方が偶数なら2a4+2b4\footnotesize 2a^4+2b^4は「奇数倍の2」
    の形となり、平方数にはなり得ない.
    ⸻
    Porro haec forma congruit cum ista (aa+bb)2−(aa−bb)2.\footnotesize (aa+bb)^2-(aa-bb)^2.
    さらにこの式は
    (a2+b2)2−(a2−b2)2\footnotesize (a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2に等しい.
    ⸻
    quam ideo demonstrari oportet quadratum esse non posse, nisi sit $${\footnotesize a=b.
    したがって示すべきことは、
    この差が平方数となるのは
    a=b\footnotesize a=bの場合だけである、ということである.
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    Corollarium 1

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    Corollarium 1
    Si ergo a et b fuerint numeri impares, etiam 2ab(aa+bb)\footnotesize 2ab(aa+bb) nequit esse quadratum.
    したがってa,b\footnotesize a,bが奇数なら、
    2ab(a2+b2)\footnotesize 2ab(a^2+b^2)も平方数にはなり得ない.
    ⸻
    debebent enim a,b\footnotesize a,b et 2aa+2bb\footnotesize 2aa+2bb esse quadrata; quod per hoc theorema fieri nequit.
    なぜなら、
    もしそれが平方数ならa,b,2a2+2b2\footnotesize a,\quad b,\quad 2a^2+2b^2
    がすべて平方数でなければならないが、
    それはこの定理によって不可能だからである.
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    Corollarium 2

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    Corollarium 2
    Demonstratio ergo etiam formari potuisset ex formula nona 2ab(aa+bb).\footnotesize 2ab(aa+bb).
    したがって、この定理の証明は
    第9式2ab(a2+b2)\footnotesize 2ab(a^2+b^2)
    を出発点として組み立てることもできた.
    ⸻
    sed ibi numerorum a et b alter positus erat par, alter impar.
    しかしその場合には
    a,b\footnotesize a,b の一方を偶数、他方を奇数として扱う必要があった.
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    Corollarium 3

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    Corollarium 3
    Hac igitur demonstratione ipsa formulae nonae veritas magis confirmatur.
    したがってこの証明によって、
    第9式の不可能性はさらに確実に裏付けられる.
    ⸻
    cum hinc iam constet 2ab(aa+bb)\footnotesize 2ab(aa+bb) quadratum esse non posse, etiam si numeri a et b ambo sint impares.
    というのも、
    今や2ab(a2+b2)\footnotesize 2ab(a^2+b^2)は平方数にならないことが、
    a,b\footnotesize a,bがともに奇数の場合についても確定したからである.
    -------------------------------------------------

    Corollarium 4

    -------------------------------------------------
    Corollarium 4
    Brevius vero etiam veritas huius theorematis ostendi potest ex forma (a2+b2)2+(a2−b2)2.\footnotesize (a^2+b^2)^2+(a^2-b^2)^2.
    さらにこの定理は、(a2+b2)2+(a2−b2)2\footnotesize (a^2+b^2)^2+(a^2-b^2)^2
    という形からもより簡潔に証明できる.
    ⸻
    quae ideo quadratum esse nequit,
    quia (a2+b2)2−(a2−b2)2\footnotesize (a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2 est quadratum.
    なぜなら、
    (a2+b2)2−(a2−b2)2\footnotesize (a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2が平方数であるなら、
    前定理と矛盾するからである.
    -------------------------------------------------

    Corollarium 5

    -------------------------------------------------
    Corollarium 5
    Simili modo a4−6a2b2+b4\footnotesize a^4-6a^2b^2+b^4 quadratum esse nequit.
    同様に、a4−6a2b2+b4\footnotesize a^4-6a^2b^2+b^4
    も平方数にはなり得ない.
    ⸻
    Est enim
    a4−6a2b2+b4=(a2−b2)2−4a2b2.\footnotesize a^4-6a^2b^2+b^4=(a^2-b^2)^2-4a^2b^2.
    実際、a4−6a2b2+b4\footnotesize a^4-6a^2b^2+b^4は
    (a2−b2)2−4a2b2\footnotesize (a^2-b^2)^2-4a^2b^2に等しい.
    ⸻
    quorum summa facit quadratum.
    そしてこれらの項は、
    前定理で扱った平方数の形へ帰着される.
    -------------------------------------------------

    Corollarium 6

    -------------------------------------------------
    Corollarium 6
    Atque pari modo a4+6a2b2+b4\footnotesize a^4+6a^2b^2+b^4
    quadratum esse nequit.
    同様に、a4+6a2b2+b4\footnotesize a^4+6a^2b^2+b^4
    も平方数にはなり得ない.
    ⸻
    quia est(a2+b2)2+4a2b2\footnotesize (a^2+b^2)^2+4a^2b^2
    なぜなら、(a2+b2)2+4a2b2\footnotesize (a^2+b^2)^2+4a^2b^2
    と書けるからである.
    -------------------------------------------------

    第4章　まとめ

    -------------------------------------------------

    Theorema III
    2a4+2b4\footnotesize 2a^4+2b^4は平方数にならない.
    ただしa=b\footnotesize a=bの場合のみ例外で
    2a4+2a4=4a4=(2a2)2\footnotesize 2a^4+2a^4=4a^4=(2a^2)^2となる.

    Corollarium 1
    2ab(a2+b2)\footnotesize 2ab(a^2+b^2)は平方数にならない.

    Corollarium 2
    2ab(a2+b2)\footnotesize 2ab(a^2+b^2)を出発点としても
    Theorema III を証明できる.

    Corollarium 3
    2ab(a2+b2)\footnotesize 2ab(a^2+b^2)は
    a,b\footnotesize a,bがともに奇数の場合でも平方数にならない.

    Corollarium 4
    (a2+b2)2+(a2−b2)2\footnotesize (a^2+b^2)^2+(a^2-b^2)^2は平方数にならない.

    Corollarium 5
    a4−6a2b2+b4\footnotesize a^4-6a^2b^2+b^4は平方数にならない.
    a4−6a2b2+b4=(a2−b2)2−4a2b2\footnotesize a^4-6a^2b^2+b^4=(a^2-b^2)^2-4a^2b^2

    Corollarium 6
    a4+6a2b2+b4\footnotesize a^4+6a^2b^2+b^4は平方数にならない.
    a4+6a2b2+b4=(a2+b2)2+4a2b2\footnotesize a^4+6a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2+4a^2b^2

    -------------------------------------------------

    第5章　Theorem IV

    -------------------------------------------------

    2a^4-2b^4は平方数にならない

    -------------------------------------------------
    Theorema 4.
    Duplum differentiae duorum biquadratorum, ut 2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4, quadratum esse nequit, nisi sit a=b\footnotesize a=b.
    定理4
    二つの四乗数の差の2倍2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4
    は平方数となることはない.
    ただし、a=b\footnotesize a=bの場合
    (すなわち差が 0 の場合)だけは例外である.
    -------------------------------------------------
    Demonstratio
    Ponamus a et b numeros inter se primos et
    2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4
    esse quadratum.
    証明
    a,b\footnotesize a,bを互いに素な整数とし、
    2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4
    が平方数であると仮定する.
    ⸻
    Erunt a et b numeri impares.
    するとa,b\footnotesize a,bはともに奇数である.

    互いに素であるから偶数が共通因子になれない.もし片方が偶数なら2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4
    の2進評価が平方数の条件と矛盾する.
    したがってa,b\footnotesize a,bはともに奇数.

    ⸻
    Foret ergo 2(a−b)(a+b)(a2+b2)\footnotesize 2(a-b)(a+b)(a^2+b^2) quadratum.
    よって2(a−b)(a+b)(a2+b2)\footnotesize 2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)も平方数である.
    ⸻
    Ideoque etiam eius pars sexta
    （以下分数表示）
    従ってその六分の一に相当する因子分解も平方数になる.

    ここでオイラーは
    a−b=2u,a+b=2v\footnotesize a-b=2u,\qquad a+b=2vと置く.
    a,b\footnotesize a,bは奇数だから両者とも偶数である.
    すると
    2(a−b)(a+b)(a2+b2)=8uv(a2+b2).\footnotesize 2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=8uv(a^2+b^2).
    平方数から8を取り除くと
    uv(a2+b2)\footnotesize uv(a^2+b^2)も平方数になる.

    ⸻
    qui factores cum sint inter se primi,
    singuli esse deberent quadrata.
    これらの因子は互いに素であるから、
    各因子はそれぞれ平方数でなければならない.

    現代記法
    u,v,a2+b2\footnotesize u, v, a^2+b^2は互いに素.
    その積が平方数なのでu=p2,v=q2.\footnotesize u=p^2, v=q^2.

    ⸻
    Sit ergo a−b2=pp,a+b2=qq.\footnotesize \dfrac{a-b}{2}=pp,\dfrac{a+b}{2}=qq.

    よってa−b2=p2,a+b2=q2.\footnotesize \dfrac{a-b}{2}=p^2,\dfrac{a+b}{2}=q^2.と置く.
    ⸻
    erit a=pp+qq\footnotesize a=pp+qq et b=qq−pp.\footnotesize b=qq-pp.
    したがってa=p2+q2,b=q2−p2.\footnotesize a=p^2+q^2,b=q^2-p^2.となる.
    ⸻
    unde fit aa+bb2=p4+q4.\footnotesize \dfrac{aa+bb}{2}=p^4+q^4.
    これより
    a2+b22=p4+q4\footnotesize \dfrac{a^2+b^2}{2}=p^4+q^4となる.
    ⸻
    cum igitur p4+q4\footnotesize p^4+q^4 quadratum esse nequeat
    ところがp4+q4\footnotesize p^4+q^4は平方数になりえない.

    Theorema 3
    2p4+2q4\footnotesize 2p^4+2q^4は平方数でない

    a2+b2=2(p4+q4)\footnotesize a^2+b^2=2(p^4+q^4)
    だから、もし左辺が平方数なら
    2(p4+q4)\footnotesize 2(p^4+q^4)が平方数になる.
    しかし Theorema 3 がそれを否定している.

    ⸻
    etiam aa+bb2\footnotesize \dfrac{aa+bb}{2} ideoque
    2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4 quadratum esse nequit.
    Q.E.D.
    したがってa2+b22\footnotesize \dfrac{a^2+b^2}{2} は平方数になりえない.
    ゆえに2a4−2b4\footnotesize 2a^4-2b^4も平方数になりえない.
    証明終
    -------------------------------------------------

    第6章　Theorema V

    -------------------------------------------------

    ma^4-m^3b^4と2ma^4-2m^3b^4
    は平方数となることはない.

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    Theorema 5.
    Neque ma4−m3b4\footnotesize ma^4-m^3b^4 neque 2ma4−2m3b4\footnotesize 2ma^4-2m^3b^4 potest esse quadratum.
    定理5
    ma4−m3b4\footnotesize ma^4-m^3b^4と2ma4−2m3b4\footnotesize 2ma^4-2m^3b^4
    も、平方数となることはない.
    ⸻
    Demonstratio
    Ponamus a et b esse numeros inter se primos, atque m numerum esse nec quadratum nec per quadratum divisibilem:
    証明
    a\footnotesize aと b\footnotesize bを互いに素な整数とし、
    m\footnotesize mを平方数ではなく、さらに平方因子を持たない整数とする.
    ⸻
    si enim m esset divisibilis per quadratum, tum factor quadratus per divisionem tolli posset.
    なぜなら、もしm\footnotesize mが平方数で割り切れるならば、その平方因子は除去できるからである.
    ⸻
    Ponatur porro m esse numerum tam ad a quam b primum,
    さらにm\footnotesize mはa\footnotesize aに対してもb\footnotesize bに対しても互いに素であると仮定する.
    ⸻
    erunt ob
    ma4−m3b4=m(aa−mbb)(aa+mbb)\footnotesize ma^4-m^3b^4=m(aa-mbb)(aa+mbb)
    toti factores inter se primi,
    なぜなら
    ma4−m3b4=m(a2−mb2)(a2+mb2)\footnotesize ma^4-m^3b^4=m(a^2-mb^2)(a^2+mb^2)
    と因数分解でき、
    これらの因子は互いに素だからである.
    ⸻
    ideoque singuli esse deberent quadrata.
    したがって、それぞれの因子は個別に平方数でなければならない.
    ⸻
    Facto ergo m=pp,\footnotesize m = pp,
    よってm=p2\footnotesize m=p^2とならなければならない.
    ⸻
    deberet (aa−ppbb)(aa+ppbb)\footnotesize (aa-ppbb)(aa+ppbb)
    esse quadratum,
    そして(a2−p2b2)(a2+p2b2)\footnotesize (a^2-p^2b^2)(a^2+p^2b^2)
    は平方数でなければならない.
    ⸻
    quod fieri nequit.
    しかしそのようなことは起こり得ない.
    ⸻
    Simili modo ob
    2ma4−2m3b4=2m(aa−mbb)(aa+mbb),\footnotesize 2ma^4-2m^3b^4=2m(aa-mbb)(aa+mbb),
    同様に
    2ma4−2m3b4=2m(a2−mb2)(a2+mb2)\footnotesize 2ma^4-2m^3b^4=2m(a^2-mb^2)(a^2+mb^2)
    であるから
    ⸻
    atque factores inter se vel primos vel binarium pro communi mensura habentes,
    これらの因子は互いに素であるか、あるいは共通因子として 2 のみをもつ.
    ⸻
    exit vel 2m vel m quadratum:
    したがって2m\footnotesize 2mまたはm\footnotesize mが平方数でなければならない.
    ⸻
    priori vero casu facto 2m=4pp,\footnotesize 2m=4pp,
    第一の場合
    すなわち2m=4p2\footnotesize 2m=4p^2となるならば
    ⸻
    oporteret esse aa−4ppbb\footnotesize aa-4ppbb quadratum,
    次の数a2−4p2b2\footnotesize a^2-4p^2b^2
    が平方数でなければならない.
    ⸻
    quod pariter fieri nequit.
    しかしこれもまた不可能である.
    ⸻
    Sin autem m=pp,\footnotesize m=pp,
    一方、m=p2\footnotesize m=p^2の場合には
    ⸻
    tum foret aa−2ppbb\footnotesize aa-2ppbbquadratum,
    次の数a2−2p2b2\footnotesize a^2-2p^2b^2が平方数となる.
    ⸻
    quod per theorema praecedens fieri nequit.
    しかしこれは前定理(Theorema 4)によって不可能である.
    ⸻
    At si m non fierit primus respectu ipsius a;
    しかし、もしm\footnotesize mがa\footnotesize aと互いに素でないならば
    ⸻
    ponamus m=rs, atque a=rc,
    m=rs,a=rc\footnotesize m=rs,a=rcと置こう.
    ⸻
    ubi notandum est r et s numeros esse inter se primos,
    ここでr\footnotesize rとs\footnotesize sは互いに素であることに注意せよ.
    ⸻
    quia m nullum factorem quadratum habere ponitur.
    なぜならm\footnotesize mは平方因子を持たないと仮定されているからである.
    ⸻
    Quadrata ergo esse deberent istae formae r3sc4−rs3b4\footnotesize r^3s\,c^4-rs^3b^4 et 2r3sc4−2rs3b4\footnotesize 2r^3s\,c^4-2rs^3b^4
    したがってr3sc4−rs3b4\footnotesize r^3s\,c^4-rs^3b^4と2r3sc4−2rs3b4\footnotesize 2r^3s\,c^4-2rs^3b^4が平方数でなければならない.
    ⸻
    seu r2s2(rc2−sb2)(rc2+sb2)\footnotesize r^2s^2(rc^2-sb^2)(rc^2+sb^2)
    すなわちr2s2(rc2−sb2)(rc2+sb2)\footnotesize r^2s^2(rc^2-sb^2)(rc^2+sb^2)である.
    ⸻
    et 2r2s2(rc2−sb2)(rc2+sb2)\footnotesize 2r^2s^2(rc^2-sb^2)(rc^2+sb^2)
    また2r2s2(rc2−sb2)(rc2+sb2)\footnotesize 2r^2s^2(rc^2-sb^2)(rc^2+sb^2)である.
    ⸻
    Ob factores autem harum formularum inter se primos
    ところで、これらの式に現れる因子は互いに素であるから、
    ⸻
    vel rc2−sb2\footnotesize rc^2-sb^2 vel 2rc2−2sb2\footnotesize 2rc^2-2sb^2 deberent esse quadrata;
    rc2−sb2\footnotesize rc^2-sb^2または2rc2−2sb2\footnotesize 2rc^2-2sb^2
    が平方数でなければならない.
    ⸻
    adeoque r et s singulariter.
    したがって結局r\footnotesize rとs\footnotesize sが個別に現れる場合へ帰着される.
    ⸻
    vide formulae obtinerentur,quas quadrata esse non posse jam est ostensum.
    Q. E. D.
    すると得られる式は、それらが平方数になり得ないことは既に示されている.
    証明終
    -------------------------------------------------

    Coroll. I.

    -------------------------------------------------
    Coroll. I.
    Huiusmodi igitur formae mn(n2a4−n2b4)\footnotesize mn(n^2a^4-n^2b^4) et
    2mn(n2a4−n2b4)\footnotesize 2mn(n^2a^4-n^2b^4)
    quadrata esse non possunt,quicunque etiam numeri loco m,n,a\footnotesize m,n,a et b\footnotesize b accipiantur.
    系1
    従って次の形の数
    mn(n2a4−n2b4)\footnotesize mn(n^2a^4-n^2b^4)および
    2mn(n2a4−n2b4)\footnotesize 2mn(n^2a^4-n^2b^4)は平方数になり得ない.
    ここでm,n,a,b\footnotesize m,n,a,bにどのような整数を代入しても同様である.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 2.

    -------------------------------------------------
    Coroll. 2.
    Si igitur maa+nbb\footnotesize maa+nbb fuerit quadratum,
    系2
    もしma2+nb2\footnotesize ma^2+nb^2が平方数であるならば
    ⸻
    nec m2na4−n3b4\footnotesize m^2na^4-n^3b^4 nec 2m2na4−2n3b4\footnotesize 2m^2na^4-2n^3b^4 quadrata esse poterunt.
    次の二数
    m2na4−n3b4\footnotesize m^2na^4-n^3b^4および2m2na4−2n3b4\footnotesize 2m^2na^4-2n^3b^4
    は平方数になり得ない.
    ⸻
    Atque si maa−nbb\footnotesize maa-nbbfuerit quadratum,
    また、ma2−nb2\footnotesize ma^2-nb^2が平方数であるならば、
    ⸻
    nec m2na4+n3b4\footnotesize m^2na^4+n^3b^4 nec 2m2na4+2n3b4\footnotesize 2m^2na^4+2n^3b^4 quadrata esse poterunt.
    次の二数
    m2na4+n3b4\footnotesize m^2na^4+n^3b^4および2m2na4+2n3b4\footnotesize 2m^2na^4+2n^3b^4
    も平方数になり得ない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 3.

    -------------------------------------------------
    Coroll. 3.
    Ponamus ma2+nb2=cc;\footnotesize ma^2+nb^2=cc;
    系3
    ma2+nb2=c2\footnotesize ma^2+nb^2=c^2と置こう.
    ⸻
    erit ma2=cc−nbb.\footnotesize ma^2=cc-nbb.
    このときma2=c2−nb2\footnotesize ma^2=c^2-nb^2となる.
    ⸻
    Ergo esse neque n(cc−nbb)(cc−2nbb)\footnotesize n(cc-nbb)(cc-2nbb)
    したがってn(c2−nb2)(c2−2nb2)\footnotesize n(c^2-nb^2)(c^2-2nb^2)
    は平方数になり得ない.
    ⸻
    neque 2n(cc−nbb)(cc−2nbb)\footnotesize 2n(cc-nbb)(cc-2nbb)
    また
    2n(c2−nb2)(c2−2nb2)\footnotesize 2n(c^2-nb^2)(c^2-2nb^2)も平方数になり得ない.
    ⸻
    Atque si fuerit ma2=cc+nbb;\footnotesize ma^2=cc+nbb;
    またma2=c2+nb2\footnotesize ma^2=c^2+nb^2とすると、
    ⸻
    tum neutra istarum formularum
    n(cc+nbb)(cc+2nbb)\footnotesize n(cc+nbb)(cc+2nbb) et
    2n(cc+nbb)(cc+2nbb)\footnotesize 2n(cc+nbb)(cc+2nbb)
    次の式n(c2+nb2)(c2+2nb2)\footnotesize n(c^2+nb^2)(c^2+2nb^2)
    は平方数になり得ず、
    また2n(c2+nb2)(c2+2nb2)\footnotesize 2n(c^2+nb^2)(c^2+2nb^2)
    も平方数になり得ない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 4.

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    Coroll. 4.
    Si ponatur a=pp+ngg\footnotesize a=pp+ngg et b=2pg,\footnotesize b=2pg,
    系4
    a=p2+nq2,b=2pq\footnotesize a=p^2+nq^2,b=2pqと置く.
    ⸻
    sequentes obtinebuntur formulae
    n(pp−nqq)(pp+nqq)\footnotesize n(pp-nqq)(pp+nqq) et 2n(pp−nqq)(pp+nqq),\footnotesize 2n(pp-nqq)(pp+nqq),
    するとn(p2−nq2)(p2+nq2)\footnotesize n(p^2-nq^2)(p^2+nq^2)および
    2n(p2−nq2)(p2+nq2)\footnotesize 2n(p^2-nq^2)(p^2+nq^2)が得られる.
    ⸻
    quae nullo modo quadrata effici poterunt.
    これらはいかなる場合にも平方数となることはない.
    -------------------------------------------------

    第6章　まとめ

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    Theorema 5
    ma4−m3b4\footnotesize ma^4-m^3b^4と2ma4−2m3b4\footnotesize 2ma^4-2m^3b^4
    は平方数にはなり得ない.
    (m は平方因子を持たない整数.)

    Corollarium I
    mn(n2a4−n2b4)\footnotesize mn(n^2a^4-n^2b^4)と2mn(n2a4−n2b4)\footnotesize 2mn(n^2a^4-n^2b^4)
    は平方数にならない.
    (定理5でm\footnotesize mをmn\footnotesize mn,b\footnotesize bをnb\footnotesize nbに置き換えた一般化.)

    Corollarium II
    仮定1
    ma2+nb2\footnotesize ma^2+nb^2が平方数.
    結論
    m2na4−n3b4\footnotesize m^2na^4-n^3b^4および2m2na4−2n3b4\footnotesize 2m^2na^4-2n^3b^4
    は平方数にならない.
    ⸻
    仮定2
    ma2−nb2\footnotesize ma^2-nb^2が平方数.
    結論
    m2na4+n3b4\footnotesize m^2na^4+n^3b^4および2m2na4+2n3b4\footnotesize 2m^2na^4+2n^3b^4
    は平方数にならない.
    (平方数表示
    ma2±nb2=c2\footnotesize ma^2\pm nb^2=c^2
    から作られる四乗式は平方数にならない.)

    Corollarium III
    仮定
    ma2+nb2=c2\footnotesize ma^2+nb^2=c^2
    結論
    n(c2−nb2)(c2−2nb2)\footnotesize n(c^2-nb^2)(c^2-2nb^2)および
    2n(c2−nb2)(c2−2nb2)\footnotesize 2n(c^2-nb^2)(c^2-2nb^2)は平方数にならない.
    ⸻
    仮定
    ma2=c2+nb2\footnotesize ma^2=c^2+nb^2
    結論
    n(c2+nb2)(c2+2nb2)\footnotesize n(c^2+nb^2)(c^2+2nb^2)および
    2n(c2+nb2)(c2+2nb2)\footnotesize 2n(c^2+nb^2)(c^2+2nb^2)は平方数にならない.
    (二平方和・二平方差の表示から導かれる特定の三因子積は平方数にならない.)

    Corollarium IV
    仮定
    a=p2+nq2,b=2pq\footnotesize a=p^2+nq^2,b=2pq
    結論
    n(p2−nq2)(p2+nq2)\footnotesize n(p^2-nq^2)(p^2+nq^2)および
    2n(p2−nq2)(p2+nq2)\footnotesize 2n(p^2-nq^2)(p^2+nq^2)は平方数にならない.

    展開形
    n(p4−n2q4)\footnotesize n(p^4-n^2q^4)と2n(p4−n2q4)\footnotesize 2n(p^4-n^2q^4)
    は平方数にならない.

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    第7章　Theorema VI

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    ma^4+m^3b^4と2ma^4+2m^3b^4は平方数となることはない

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    Theorema 6.
    Neque ma4+m3b4\footnotesize ma^4+m^3b^4 neque 2ma4+2m3b4\footnotesize 2ma^4+2m^3b^4 potest esse quadratum.
    定理6
    ma4+m3b4\footnotesize ma^4+m^3b^4も2ma4+2m3b4\footnotesize 2ma^4+2m^3b^4
    も平方数にはなり得ない.
    ⸻
    Demonstratio
    Dico primo, si fueritmp2−mq2\footnotesize mp^2-mq^2 quadratum,
    証明
    まずmp2−mq2\footnotesize mp^2-mq^2が平方数であると仮定する.
    ⸻
    tum nec mp2+mq2\footnotesize mp^2+mq^2 nec 2mp2+2mqq\footnotesize 2mp^2+2mqq
    quadratum ullo modo esse potest:
    そのときmp2+mq2\footnotesize mp^2+mq^2も2mp2+2mq2\footnotesize 2mp^2+2mq^2
    も決して平方数ではあり得ない.
    ⸻
    sequeretur enim vel m2(p4−q4)\footnotesize m^2(p^4-q^4) vel 2m2(p4−q4)\footnotesize 2m^2(p^4-q^4)quadratum,
    なぜなら、その場合には
    m2(p4−q4)\footnotesize m^2(p^4-q^4)または2m2(p4−q4)\footnotesize 2m^2(p^4-q^4)
    が平方数になることになってしまうからである.
    ⸻
    contra jam demonstrata.
    しかしこれは既に証明した結果に反する.
    ⸻
    Faciamus autem mp2−mq2,\footnotesize mp^2-mq^2, unde reperitur
    q2=aa−mp2m.\footnotesize q^2=\dfrac{aa-mp^2}{m}. eius =(p−q)ab\footnotesize =\dfrac{(p-q)a}{b},
    erit mp+mq=a2p−a2qbb\footnotesize mp+mq=\dfrac{a^2p-a^2q}{bb} ,vnde reperi q=p(aa−mbba2+mbb\footnotesize q=\dfrac{p(aa-mbb}{a^2+mbb}.
    さてmp2−mq2=a2\footnotesize mp^2-mq^2=a^2と置く.
    するとq2=a2−mp2m\footnotesize q^2=\dfrac{a^2-mp^2}{m}が得られる.
    また変形によりmp+mq=a(p−q)b\footnotesize mp+mq=\dfrac{a(p-q)}{b}となる.
    ここからq=p(a2−mb2)a2+mb2\footnotesize q=\dfrac{p(a^2-mb^2)}{a^2+mb^2}が従う.
    ⸻
    Sic igitur p=a2+mb2,\footnotesize p=a^2+mb^2, erit q=aa−mbb,\footnotesize q=aa-mbb,
    したがってp=a2+mb2,\footnotesize p=a^2+mb^2,q=a2−mb2\footnotesize q=a^2-mb^2となる.
    ⸻
    adeoque p2+q2=2a4+2m2b4.\footnotesize p^2+q^2=2a^4+2m^2b^4.
    よってp2+q2=2a4+2m2b4.\footnotesize p^2+q^2=2a^4+2m^2b^4.が成立する.
    ⸻
    Quadratum ergo effe non poterit
    ゆえにこれは平方数にはなり得ない.
    ⸻
    primo mp2+mq2=2ma4+2m3b4;\footnotesize mp^2+mq^2=2ma^4+2m^3b^4;
    まずmp2+mq2=2ma4+2m3b4\footnotesize mp^2+mq^2=2ma^4+2m^3b^4である.
    ⸻
    deinde 2mp2+2mq2=4ma4+4m3b4.\footnotesize 2mp^2+2mq^2=4ma^4+4m^3b^4.
    また2mp2+2mq2=4ma4+4m3b4.\footnotesize 2mp^2+2mq^2=4ma^4+4m^3b^4.である.
    ⸻
    Ex his colligitur
    これらのことから次が従う.
    ⸻
    neque ma4+m3b4\footnotesize ma^4+m^3b^4 neque
    2ma4+2m3b4\footnotesize 2ma^4+2m^3b^4 quadratum esse posse.
    Q. E. D.
    ma4+m3b4\footnotesize ma^4+m^3b^4も2ma4+2m3b4\footnotesize 2ma^4+2m^3b^4
    も平方数にはなり得ない.
    証明終.
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    第8章　Theorema VII

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    1を除く三角数は四乗数にならない

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    TheoremaⅦ  Fermatianum.
    Nullus numerus trigonalis in integris potest esse biquadratum praeter vnitatem.
    フェルマーの定理
    整数の範囲において、
    三角数が四乗数となることはない.
    ただし 1 を除く.
    ⸻
    Demonstratio
    Omnis numerus trigonalis hac forma
    x(x+1)2\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2 continetur.
    ⸻
    全ての三角数はx(x+1)2\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2という形で表される.
    ⸻
    Demonstrandum ergo hanc formulam
    x(x+1)2\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2
    nunquam esse posse biquadratum:
    したがって、x(x+1)2\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2
    が四乗数となることは決してないことを証明すべきである.
    ⸻
    siquidem loco x numeri integri substituantur,
    ただしx\footnotesize xには整数を代入するものとする.
    ⸻
    excepto casu x=1.\footnotesize x=1.
    ただしx=1\footnotesize x=1の場合を除く.
    ⸻
    Notandum autem est vel x esse numerum parem vel imparem;
    さてx\footnotesize xは偶数であるか奇数であるかのどちらかであることに注意する.
    ⸻
    priori igitur casu x2(x+1)\footnotesize \dfrac x2(x+1)
    まずx\footnotesize xが偶数の場合には、
    x2(x+1)\footnotesize \dfrac x2(x+1)を考える.
    ⸻
    posteriori vero x(x+1)2\footnotesize x\dfrac{(x+1)}2
    一方、x が奇数の場合には、
    x(x+1)2\footnotesize x\dfrac{(x+1)}2を考える.
    ⸻
    esse debere biquadratum;
    これらはいずれも四乗数でなければならない.
    ⸻
    in quorum factorum utroque bini factores sunt inter se primi,
    ところが、どちらの場合も二つの因子は互いに素である.
    ⸻
    ideoque uterque esse deberet biquadratum.
    したがって、それぞれの因子自身が四乗数でなければならない.
    ⸻
    Sit igitur priori casu x2=m4\footnotesize \dfrac x2=m^4
    そこで偶数の場合、x2=m4\footnotesize \dfrac x2=m^4と置く.
    ⸻
    seu x=2m4.\footnotesize x=2m^4.
    すなわちx=2m4\footnotesize x=2m^4である.
    ⸻
    debebitque x+1=2m4+1\footnotesize x+1=2m^4+1
    esse biquadratum.
    またx+1=2m4+1\footnotesize x+1=2m^4+1
    も四乗数でなければならない.
    ⸻
    Posteriori vero casu sit x+12=m4,\footnotesize \dfrac{x+1}{2}=m^4,
    奇数の場合にはx+12=m4,\footnotesize \dfrac{x+1}{2}=m^4,と置く.
    ⸻
    ut sit x=2m4−1.\footnotesize x=2m^4-1.
    するとx=2m4−1\footnotesize x=2m^4-1となる.
    ⸻
    quod itidem oportet esse biquadratum.
    そしてこの数もまた四乗数でなければならない.
    ⸻
    Hanc ob rem biquadratum esse deberet
    2m4±1.\footnotesize 2m^4±1.
    ゆえに2m4±1\footnotesize 2m^4±1が四乗数でなければならない.
    ⸻
    Ponatur 2m4±1=n4.\footnotesize 2m^4±1=n^4.
    そこで2m4±1=n4\footnotesize 2m^4±1=n^4と置く.
    ⸻
    erit 2m4=n4∓1.\footnotesize 2m^4=n^4∓1.
    すると2m4=n4∓1\footnotesize 2m^4=n^4∓1である.
    ⸻
    deberet ergo 2n4∓2\footnotesize 2n^4∓2 esse quadratum.
    したがって2n4∓2\footnotesize 2n^4∓2
    は平方数でなければならない.
    ⸻
    Supra autem demonstratum est2a4±2b4\footnotesize 2a^4±2b^4
    しかし先に2a4±2b4\footnotesize 2a^4±2b^4は平方数にならないことが証明されている.
    ⸻
    adeoque etiam 2n4±2\footnotesize 2n^4±2
    従って2n4±2\footnotesize 2n^4±2も平方数にはなり得ない.
    ⸻
    nunquam quadratum esse posse
    praeter casum n=1.\footnotesize n=1.
    n=1\footnotesize n=1の場合を除き平方数になることはない.
    ⸻
    Posito autem n=1,fit m=0 vel m=1;
    ところが n=1\footnotesize n=1とすると、
    m=0\footnotesize m=0またはm=1\footnotesize m=1となる.
    ⸻
    atque x=0 vel x=1.
    したがってx=0\footnotesize x=0またはx=1\footnotesize x=1となる.
    ⸻
    Nullus igitur numerus integer datur,
    qui loco x substitutus redderet
    x(x+1)2\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2
    biquadratum,
    ゆえに、x(x+1)2\footnotesize \dfrac{x(x+1)}2
    を四乗数とする整数x\footnotesize xは存在しない.
    ⸻
    praeter casus x=0\footnotesize x=0 et x=1.\footnotesize x=1.
    ただしx=0,x=1\footnotesize x=0,\quad x=1
    の場合を除く.
    ⸻
    Quamobrem in integris nullus extat numerus trigonalis qui esset biquadratus praeter vnitatem et cyphram.
    Q. E. D.
    したがって整数の範囲では、
    0\footnotesize 0と1\footnotesize 1を除いて、
    四乗数である三角数は存在しない.
    証明終
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    Coroll. I.

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    Coroll. I.
    Si ponatur xx+x2=y4\footnotesize \dfrac{xx+x}2=y^4 erit
    4xx+4x+1=8y4+1=(2x+1)2.\footnotesize 4xx+4x+1=8y^4+1=(2x+1)^2.
    Ex quo sequitur numeris integris loco y\footnotesize y substituendis hanc formam 8y4+1\footnotesize 8y^4+1 nunquam esse posse quadratum,praeter casus y=0\footnotesize y=0 et y=1.\footnotesize y=1.

    系1
    x(x+x)2=y4\footnotesize \dfrac{x(x+x)}2=y^4と置くと、
    三角数条件から
    4xx+4x+1=8y4+1=(2x+1)2.\footnotesize 4xx+4x+1=8y^4+1=(2x+1)^2.
    が得られ.
    したがって整数y\footnotesize yに対し、
    8y4+1\footnotesize 8y^4+1は平方数になり得ない.
    ただしy=0,y=1\footnotesize y=0,\qquad y=1
    の場合を除く.
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    Coroll. 2.

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    Coroll. 2.
    Si ponatur 8y4+1=z2,\footnotesize 8y^4+1=z^2, fiet
    16y4=2z2−2.\footnotesize 16y^4=2z^2-2.
    系2
    もし8y4+1=z2\footnotesize 8y^4+1=z^2とすると、
    16y4=2z2−2\footnotesize 16y^4=2z^2-2が得られる.
    ⸻
    Quocirca 2z2−2\footnotesize 2z^2-2
    nunquam esse potest biquadratum;
    従って2z2−2\footnotesize 2z^2-2は四乗数になり得ない.
    ⸻
    quicunque numerus integer loco z substituatur,
    praeter casus z=1\footnotesize z=1 et z=3.\footnotesize z=3.
    これはz\footnotesize zにどの整数を代入しても同様であり、
    例外はz=1,z=3\footnotesize z=1, z=3の場合だけである.
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    第8章　まとめ

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    Theorema Ⅶ  Fermatianum.
    三角数Tn=n(n+1)2\footnotesize T_n=\dfrac{n(n+1)}2
    が四乗数になるのはT0=0,T1=1\footnotesize T_0=0,\qquad T_1=1のみ.

    Coroll. 1.
    8y4+1=z2\footnotesize 8y^4+1=z^2の整数解は
    (y,z)=(0,1),(1,3)\footnotesize (y,z)=(0,1),(1,3)のみ.

    Coroll. 2.
    2z2−2=w4\footnotesize 2z^2-2=w^4の整数解は
    (z,w)=(1,0),(3,2)\footnotesize (z,w)=(1,0),(3,2)のみ.

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    第9章　Theorema VIII

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    a^4+2b^4=z^2 の整数解は自明解
    b=0 しか存在しない

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    Theorema 8.
    Summa trium biquadratorum, quorum duo sunt aequalia inter se, seu huiusmodi forma
    a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4
    quadratum esse nequit, nisi sit b=0.\footnotesize b=0.
    定理8
    三つの四乗数の和で、そのうち二つが互いに等しいもの、すなわち
    a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4は平方数にはなり得ない.
    ただしb=0\footnotesize b=0の場合を除く.

    これは現代的には
    a4+2b4=z2\footnotesize a^4+2b^4=z^2の整数解は
    自明解b=0\footnotesize b=0しか存在しない.
    という定理です.

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    Demonstratio
    Ponamus a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4 esse quadratum,
    証明
    a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4が平方数であると仮定する.
    ⸻
    eiusque radicem a2+mnb2\footnotesize a^2+\dfrac{m}nb^2
    その平方根をa2+mnb2\footnotesize a^2+\dfrac{m}nb^2と書く.
    ⸻
    ubi tam a\footnotesize a et b\footnotesize b quam m\footnotesize m et n\footnotesize n numeri erunt inter se primi.
    ここでa,b\footnotesize a,bは互いに素であり、
    また後で導入するm,n\footnotesize m,nも互いに素とする.
    ⸻
    Facta autem aequatione erit
    2n2b2=2mna2+m2b2\footnotesize 2n^2b^2=2mna^2+m^2b^2
    方程式を変形すると2n2b2=2mna2+m2b2\footnotesize 2n^2b^2=2mna^2+m^2b^2
    になる.
    ⸻
    atque b2a2=2mn2n2−m2:\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2mn}{2n^2-m^2}:
    quae fractio vel simplicissimam iam habet,
    vel divisione per 2\footnotesize 2 ad simplicissimam erit reducibilis.
    またb2a2=2mn2n2−m2:\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2mn}{2n^2-m^2}:である.
    この比(あるいは分数表示)はすでに既約形であるか、あるいは2\footnotesize 2で割ることによって既約形へ還元できる.
    ⸻
    Ponamus primo 2mn\footnotesize 2mn et
    2n2−m2\footnotesize 2n^2-m^2 numeros esse inter se primos.
    まず2mn\footnotesize 2mnと2n2−m2\footnotesize 2n^2-m^2
    が互いに素である場合を考える.
    ⸻
    quod evenit, si m\footnotesize m sit numerus impar.
    これはm\footnotesize mが奇数である場合に起こる.
    ⸻
    eritque b2=2mn\footnotesize b^2=2mn et a2=2n2−m2\footnotesize a^2=2n^2-m^2
    するとb2=2mn\footnotesize b^2=2mnまたはa2=2n2−m2\footnotesize a^2=2n^2-m^2となる.
    ⸻
    hic duo evolvendi sunt casus,
    ここで二つの場合を考察しなければならない.
    ⸻
    quorum alter est si n\footnotesize n est numerus impar,
    第一の場合はn\footnotesize nが奇数である場合.
    ⸻
    alter si n\footnotesize n est par.
    第二の場合はn\footnotesize nが偶数である場合.
    ⸻
    (場合1)
    illo casu, quo n\footnotesize n est impar,
    まず n\footnotesize nが奇数である場合.
    ⸻
    manifestum est ob m\footnotesize m etiam imparem 2mn\footnotesize 2mn fieri non posse quadratum,
    m\footnotesize mも奇数だから明らかに2mn\footnotesize 2mn
    は平方数になり得ない.

    奇数×奇数＝奇数
    なので2mn\footnotesize 2mnは2×\footnotesize 2×奇数の形.
    平方数の素因数分解では指数は全て偶数でなければならない.
    しかし2\footnotesize 2の指数は1.\footnotesize 1.
    したがって平方数ではない.

    ⸻
    hoc vero casu, quo n\footnotesize n est numerus par,fieri nequit
    次にn\footnotesize nが偶数である場合.成立し得ない.
    ⸻
    a2=2n2−m2\footnotesize a^2= 2n^2− m^2 feu a2+m2=2n2\footnotesize a^2+m^2= 2n^2
    a2=2n2−m2\footnotesize a^2=2n^2-m^2を考える.
    すなわちa2+m2=2n2\footnotesize a^2+m^2= 2n^2である.
    ⸻
    ob a et m numeros impares,
    a\footnotesize aとm\footnotesize mは奇数である.

    m\footnotesize mは奇数.2n2\footnotesize 2n^2は偶数.
    したがってa2=2n2−m2\footnotesize a^2=2n^2-m^2は奇数.
    ゆえにa\footnotesize aも奇数.

    ⸻
    et 2n2\footnotesize 2n^2 numerum pariter parem.
    一方2n2\footnotesize 2n^2は 4 の倍数である.
    矛盾.

    n\footnotesize nが偶数なのでn=2r\footnotesize n=2rと書ける.
    よって2n2=8r2\footnotesize 2n^2=8r^2は8\footnotesize 8の倍数.
    すると
    a2+m2=2n2\footnotesize a^2+m^2=2n^2
    左辺は1+1≡2(mod8)\footnotesize 1+1\equiv 2\pmod 8
    右辺は0(mod8)\footnotesize 0\pmod 8となる.

    ⸻
    Habeant igitur 2mn\footnotesize 2mn et 2n2−m2\footnotesize 2n^2-m^2 communem divisorem 2\footnotesize 2, quod accidit si m\footnotesize m sit numerus par, puta m=2k\footnotesize m=2k, exitque n\footnotesize n numerus impar.
    したがって2mn\footnotesize 2mnと2n2−m2\footnotesize 2n^2-m^2
    が共通因子2\footnotesize 2を持つ場合を考える.
    これはm\footnotesize mが偶数の場合に起こる.
    そこでm=2k\footnotesize m=2kと置く.
    するとn\footnotesize nは奇数となる.
    ⸻
    habebitur ergo b2a2=4kn2nn−4kk=2knnn−2kk:\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{4kn}{2nn-4kk}=\dfrac{2kn}{nn-2kk}:
    するとb2a2=4kn2n2−4k2=2knn2−2k2:\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{4kn}{2n^2-4k^2}=\dfrac{2kn}{n^2-2k^2}:となる.
    ⸻
    vbi 2kn\footnotesize 2kn et nn−2kk\footnotesize nn-2kk numeri erunt inter se primi.
    ここで2kn\footnotesize 2knとn2−4k2\footnotesize n^2-4k^2は互いに素である.
    ⸻
    Hinc igitur ob b2\footnotesize b^2 et a2\footnotesize a^2 pariter inter se primos erit
    b2=2kn\footnotesize b^2=2kn et a2=n2−2kk.\footnotesize a^2=n^2-2kk.
    したがってb2\footnotesize b^2とa2\footnotesize a^2も互いに素な平方数であるから、
    b2=2kn,\footnotesize b^2=2kn,およびa2=n2−4k2\footnotesize a^2=n^2-4k^2である.
    ⸻
    At hic 2kn\footnotesize 2kn fieri nequit quadratum, nisi sit k\footnotesize k numerus par.
    しかし2kn\footnotesize 2knが平方数となるためには、
    k\footnotesize kが偶数でなければならない.
    ⸻
    Sit ergo k\footnotesize k numerus par,atque tam n\footnotesize n quam 2k\footnotesize 2k debebunt esse quadrata.
    そこでk\footnotesize kを偶数とする.
    するとn\footnotesize nと2k\footnotesize 2kは共に平方数でなければならない.
    ⸻
    Fiat igitur n=cc\footnotesize n=cc et 2k=4dd\footnotesize 2k=4dd,ubi erit c\footnotesize c numerus impar,
    したがってn=c2,2k=4d2\footnotesize n=c^2,2k=4d^2と置く.
    ここでc\footnotesize cは奇数である.
    ⸻
    hocque facto habebitur a2=c4−8d4.\footnotesize a^2=c^4-8d^4.
    するとa2=c4−8d4\footnotesize a^2=c^4-8d^4が得られる.
    ⸻
    Quo igitur investigemus an c4−8d4\footnotesize c^4-8d^4 possit esse quadratum,
    そこでc4−8d4\footnotesize c^4-8d^4
    が平方数になり得るかを調べるために、
    ⸻
    ponamus eius radicem esse c2−2pqdd.\footnotesize c^2-\dfrac{2p}{q}dd.
    その平方根をc2−2pqd2\footnotesize c^2-\dfrac{2p}{q}d^2と置く.
    ⸻
    eritque
    \footnotesize 2q^2d^2=pqc^2-ppd^2; feu $${\footnotesize \dfrac{dd}{cc}=\dfrac{pp}{pp+2qq}
    すると変形によって
    2q2d2=pqc2−p2d2; d2c2=p2p2+2q2\footnotesize 2q^2d^2=pqc^2-p^2d^2;  \dfrac{d^2}{c^2}=\dfrac{p^2}{p^2+2q^2}
    という関係が得られる.
    ⸻
    ubi iterum tam c\footnotesize c et d\footnotesize d quam p\footnotesize p et q\footnotesize q sunt numeri inter se primi.
    ここでもc,d\footnotesize c,dおよびp,q\footnotesize p,q
    はそれぞれ互いに素である.
    ⸻
    Hic de suo duo casus sunt notandi, sive p\footnotesize p sit numerus impar sive par.
    ここでも再び二つの場合を考える.
    p\footnotesize pが奇数の場合と偶数の場合である.
    ⸻
    (第1の場合)
    Sit ergo primo p\footnotesize p numerus impar; habebitur ob pq\footnotesize pq et pp+2qq\footnotesize pp+2qq numeros inter se primos,dd=pq\footnotesize dd=pq et cc=pp+2qq;\footnotesize cc=pp+2qq;
    まずp\footnotesize pが奇数である場合を考える.
    このときpq\footnotesize pqとp2+2q2\footnotesize p^2+2q^2は互いに素である.
    またd2=pq,\footnotesize d^2=pq,およびc2=p2+2q2\footnotesize c^2=p^2+2q^2である.
    ⸻
    Necessè ergo est vt tam p\footnotesize p quam q\footnotesize q sit quadratum.
    したがって必然的に
    p\footnotesize pもq\footnotesize qもそれぞれ平方数でなければならない.
    ⸻
    quamobrem pono p=xx\footnotesize p=xx
    et q=yy,\footnotesize q=yy,
    そこでp=x2,q=y2\footnotesize p=x^2,q=y^2と置く.
    ⸻
    prodibitque cc=x4+2y4;\footnotesize cc=x^4+2y^4;
    するとc2=x4+2y4\footnotesize c^2=x^4+2y^4が得られる.
    ⸻
    quare si a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4 esset quadratum, tum quoque foret x4+2y4\footnotesize x^4+2y^4 quadratum,
    したがって、もしa4+2b4\footnotesize a^4+2b^4
    が平方数であるならば、
    同様にx4+2y4\footnotesize x^4+2y^4も平方数であることになる.
    ⸻
    numerique x\footnotesize x et y\footnotesize y vehementer erunt minores, quam a\footnotesize a et b;\footnotesize b;
    しかもx,y\footnotesize x,\;yはa,b\footnotesize a,\;bより著しく小さい.
    ⸻
    ex iisque denuo minores inueniri possent,
    さらに、その新しい解から再びもっと小さい解を見出すことができる.
    ⸻
    quod in integris fieri nequit.
    しかし、そのようなことは整数の世界では不可能である.
    (無限に小さい正整数列は存在しない.)
    ⸻
    (第2の場合)
    Pro secundo casu, quo p\footnotesize p est numerus par, ponamus $${\footnotesize p=2r,
    次に第2の場合、
    p}$$が偶数であるとする.
    そこでp=2r\footnotesize p=2rと置く.
    ⸻
    eritque
    ddcc=2qr2rr+2qq=qrrr+qq;\footnotesize \dfrac{dd}{cc}=\dfrac{2qr}{2rr+2qq}=\dfrac{qr}{rr+qq};
    すると
    d2c2=2qr2r2+q2=qr2r2+q2\footnotesize \dfrac{d^2}{c^2}=\dfrac{2qr}{2r^2+q^2}=\dfrac{qr}{2r^2+q^2}
    となる.
    (原文では途中計算を省略している.)
    ⸻
    et ob q\footnotesize q imparem erunt qr\footnotesize qr et
    2rr+qq\footnotesize 2rr+qq numeri inter se primi.
    またq\footnotesize qは奇数であるから、
    qr\footnotesize qrと2r2+q2\footnotesize 2r^2+q^2は互いに素である.
    ⸻
    Erit ergo dd=qr\footnotesize dd=qr et cc=2rr+qq;\footnotesize cc=2rr+qq;
    したがってd2=qr,\footnotesize d^2=qr,およびc2=2r2+q2\footnotesize c^2=2r^2+q^2となる.
    ⸻
    quare numerorum q\footnotesize q et r\footnotesize r vterque debet esse quadratus;
    ゆえに
    q\footnotesize qとr\footnotesize rはともに平方数でなければならない.
    ⸻
    positis itaque q=xx\footnotesize q=xx et r=yy,\footnotesize r=yy,
    そこでq=x2,r=y2\footnotesize q=x^2,r=y^2と置く.
    ⸻
    fiet cc=2y4+x4;\footnotesize cc=2y^4+x^4;
    するとc2=2y4+x4\footnotesize c^2=2y^4+x^4となる.
    ⸻
    vnde patet, si a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4 esset quadratum,
    したがって、
    もしa4+2b4\footnotesize a^4+2b^4が平方数であるならば、
    ⸻
    tum quoque in numeris longe minoribus fore similem formam x4+2y4\footnotesize x^4+2y^4
    quadratum.
    よりはるかに小さい整数についても
    x4+2y4\footnotesize x^4+2y^4が平方数になることになる.
    ⸻
    Quo circa a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4 quadratum esse nequit,
    したがってa4+2b4\footnotesize a^4+2b^4
    は平方数ではあり得ない.
    ⸻
    nisi sitb=0.\footnotesize b=0.
    Q. E. D.
    ただしb=0\footnotesize b=0の場合だけは例外である.
    証明終
    -------------------------------------------------

    Coroll. I.

    -------------------------------------------------
    Coroll. I.
    Quoniam inuenimus
    b2a2=2mn2n2−m2\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2mn}{2n^2-m^2}
    posito a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4
    quadrato ; sequitur
    2mn(2n2−m2)\footnotesize 2mn(2n^2-m^2)
    quadratum effe non poffe ; quicunque etiam numeri loco m\footnotesize m et n\footnotesize n fubftituantur.
    系1
    前に
    b2a2=2mn2n2−m2\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2mn}{2n^2-m^2}
    を得ているので、
    もしa4+2b4\footnotesize a^4+2b^4が平方数であると仮定すれば、2mn(2n2−m2)\footnotesize 2mn(2n^2-m^2)
    は平方数でありえないことが従う.
    そしてこれは、
    m,n\footnotesize m,nにどのような整数を代入しても成り立つ.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 2

    -------------------------------------------------
    Coroll. 2.
    Factis ergo m=x2\footnotesize m=x^2 et n=y2,\footnotesize n=y^2,
    quadratum non erit haec forma 4y4−2x4.\footnotesize 4y^4-2x^4.
    系2（第一部）
    したがってm=x2,n=y2\footnotesize m=x^2, n=y^2と置けば、
    4y4−2x4\footnotesize 4y^4-2x^4という形は平方数にならない.
    ⸻
    Simili modo pofito 2m=4x2\footnotesize 2m=4x^2 et n=yy,\footnotesize n=yy,
    quadratum non erit haec forma 2y4−4x4.\footnotesize 2y^4-4x^4.
    同様に
    2m=4x2\footnotesize 2m=4x^2およびn=y2\footnotesize n=y^2と置けば、
    2y4−4x4\footnotesize 2y^4-4x^4も平方数にはならない.
    ⸻
    Atque facto m=x2\footnotesize m=x^2 et 2n=4y2,\footnotesize 2n=4y^2,
    haec formula 8y4−x4\footnotesize 8y^4-x^4
    quadratum effe nequit.
    さらにm=x2\footnotesize m=x^2および2n=4y2\footnotesize 2n=4y^2と置けば、
    8y4−x4\footnotesize 8y^4-x^4は平方数になりえない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 3

    -------------------------------------------------
    Coroll. 3.
    Si generaliter fiat m=αx2\footnotesize m=\alpha x^2
    et n=βy2,\footnotesize n=\beta y^2,
    prodibit haec formula 2αβ(2β2y4−α2x4)\footnotesize 2\alpha\beta(2\beta^2y^4-\alpha^2x^4)
    系3
    一般にm=αx2,n=βy2\footnotesize m=\alpha x^2, n=\beta y^2と置くと、
    次の式が得られる.2αβ(2β2y4−α2x4)\footnotesize 2\alpha\beta(2\beta^2y^4-\alpha^2x^4)
    ⸻
    feu 4αβ3y4−2α3βx4,\footnotesize 4\alpha\beta^3y^4-2\alpha^3\beta x^4,
    すなわち 4αβ3y4−2α3βx4\footnotesize 4\alpha\beta^3y^4-2\alpha^3\beta x^4である.
    ⸻
    quae nullo modo quadratum effe poterit.
    そしてこの式は、いかなる場合にも平方数にはなりえない.
    -------------------------------------------------

    第9章　まとめ

    -------------------------------------------------

    Theorema 8
    a4+2b4\footnotesize \;a^4+2b^4\; はb=0\footnotesize b=0を除いて平方数にならない.

    Cor. 1
    2mn(2n2−m2)\footnotesize \;2mn(2n^2-m^2)\;は平方数にならない.

    Cor. 2
    4y4−2x4,2y4−4x4,8y4−x4\footnotesize \;4y^4-2x^4,\;2y^4-4x^4,\;8y^4-x^4\;
    は平方数にならない.

    Cor. 3
    2ab(2b2y4−a2x4)(≡4ab3y4−2a3bx4)\footnotesize \;2ab(2b^2y^4-a^2x^4)(≡ 4ab^3y^4-2a^3bx^4)
    は平方数にならない.

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    第10章　Theorema IX

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    非平方形から新たな非平方形を生成できる

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    Theorema 9
    Si haec forma a4−kb4\footnotesize a^4-kb^4
    quadratum esse non potest, tum etiam haec forma 2kαβ3y4−2α3βx4\footnotesize 2k\alpha\beta^3y^4-2\alpha^3\beta x^4
    nullo pacto quadratum effici poterit.
    もしa4−kb4\footnotesize a^4-kb^4
    という形が平方数になりえないならば、
    2kαβ3y4−2α3βx4\footnotesize 2k\alpha\beta^3y^4-2\alpha^3\beta x^4
    という形もまた、いかなる場合にも平方数にはなりえない.
    ⸻
    Demonstratio
    Ponamus formam propositam a4−kb4\footnotesize a^4-kb^4
    esse quadratum, eiusque radicem
    =a2−mnb2;\footnotesize =a^2-\dfrac{m}{n}b^2;
    証明
    提案された形
    a4−kb4\footnotesize a^4-kb^4が平方数であると仮定し、
    その平方根をa2−mnb2\footnotesize a^2-\dfrac{m}{n}b^2とおく.
    ⸻
    erit kn2b2=2mna2−m2b2.\footnotesize kn^2b^2=2mna^2-m^2b^2.
    するとkn2b2=2mna2−m2b2\footnotesize kn^2b^2=2mna^2-m^2b^2を得る.
    ⸻
    atque b2a2=2mnkn2−m2.\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2mn}{kn^2-m^2}.
    したがってb2a2=2mnkn2−m2.\footnotesize \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2mn}{kn^2-m^2}.となる.
    ⸻
    Quia ergo a4−kb4\footnotesize a^4-kb^4quadratum esse nequit;
    tum etiam 2mnkn2−m2\footnotesize \dfrac{2mn}{kn^2-m^2} seu 2mn(kn2−m2)\footnotesize 2mn(kn^2-m^2)
    quadratum esse non poterit.
    ところで仮定によりa4−kb4\footnotesize a^4-kb^4
    は平方数になりえない.
    ゆえに2mnkn2−m2\footnotesize \dfrac{2mn}{kn^2-m^2}に対応する
    2mn(kn2−m2)\footnotesize 2mn(kn^2-m^2)も平方数になりえない.
    ⸻
    Fiat m=αx2\footnotesize m=\alpha x^2 et n=βy2,\footnotesize n=\beta y^2,
    ここでm=αx2,n=βy2\footnotesize m=\alpha x^2,n=\beta y^2とおく.
    ⸻
    prodibit 2αβ(kβ2y4−α2x4)\footnotesize 2\alpha\beta(k\beta^2y^4-\alpha^2x^4)
    すると2αβ(kβ2y4−α2x4)\footnotesize 2\alpha\beta(k\beta^2y^4-\alpha^2x^4)が得られる.
    ⸻
    seu 2kαβ3y4−2α3βx4.\footnotesize 2k\alpha\beta^3y^4-2\alpha^3\beta x^4.
    すなわち2kαβ3y4−2α3βx4\footnotesize 2k\alpha\beta^3y^4-2\alpha^3\beta x^4である.
    ⸻
    quae formula propterea quadratum esse non potest; quicunque numeri sive affirmativi sive negativi loco α\footnotesize \alpha et β\footnotesize \beta substituantur.
    Q. E. D.
    したがってこの式は、
    α,β\footnotesize \alpha,\beta
    に正整数を代入しても負整数を代入しても、
    決して平方数にはなりえない.
    証明終
    -------------------------------------------------

    Coroll. 1

    -------------------------------------------------
    Coroll. 1
    Fiat sive α\footnotesize \alpha sive β\footnotesize \beta negativum ut prodeat haec forma 2α3βx4−2kαβ3y4,\footnotesize 2\alpha^3\beta x^4-2k\alpha\beta^3y^4,
    α\footnotesize \alpha または β\footnotesize \beta を負に選び、
    2α3βx4−2kαβ3y4\footnotesize 2\alpha^3\beta x^4-2k\alpha\beta^3y^4
    という形を得るものとする.
    ⸻
    atque ponatur 2α3β=−p2,\footnotesize 2\alpha^3\beta=-p^2,
    さらに2α3β=−p2\footnotesize 2\alpha^3\beta=-p^2とおく.
    ⸻
    erit
    β=p2−2α3.\footnotesize \beta=\dfrac{p^2}{-2\alpha^3}.
    するとβ=p2−2α3.\footnotesize \beta=\dfrac{p^2}{-2\alpha^3}.となる.
    ⸻
    unde illa forma transit in hanc
    p2x4−kp64α8y4.\footnotesize p^2x^4-\frac{kp^6}{4\alpha^8}y^4.
    この代入によって式はp2x4−kp64α8y4.\footnotesize p^2x^4-\frac{kp^6}{4\alpha^8}y^4.
    へ変形される.
    ⸻
    Quadratum ergo esse nequit haec formula
    x4−ky4\footnotesize x^4-ky^4
    したがってx4−ky4\footnotesize x^4-ky^4は平方数になりえない.
    ⸻
    posito y4\footnotesize y^4 pro p44α8y4.\footnotesize \dfrac{p^4}{4\alpha^8}y^4.
    ただしy4\footnotesize y^4をp44α8y4.\footnotesize \dfrac{p^4}{4\alpha^8}y^4.と見なしている.
    ⸻
    Ex hac ergo formula ulterius sequitur hanc expressionem
    2α3βx4+8kαβ3y4\footnotesize 2\alpha^3\beta x^4+8k\alpha\beta^3y^4
    quadratum fieri non posse.
    さらにこの結果から、
    2α3βx4+8kαβ3y4\footnotesize 2\alpha^3\beta x^4+8k\alpha\beta^3y^4という式についても、
    平方数になることはありえない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 2

    -------------------------------------------------
    Coroll. 2
    Ponatur in formula inventa 2kαβ3=pp,\footnotesize 2k\alpha\beta^3=pp,
    得られた式において2kαβ3=p2\footnotesize 2k\alpha\beta^3=p^2とおく.
    ⸻
    ut sit α=p22kβ3.\footnotesize \alpha=\dfrac{p^2}{2k\beta^3}.
    するとα=p22kβ3.\footnotesize \alpha=\dfrac{p^2}{2k\beta^3}.となる.
    ⸻
    transibit illa in hanc p2y4−p64k2β8x4,\footnotesize p^2y^4-\dfrac{p^6}{4k^2\beta^8}x^4,
    元の式はp2y4−p64k2β8x4,\footnotesize p^2y^4-\dfrac{p^6}{4k^2\beta^8}x^4,へ変形される.
    ⸻
    ex qua sequitur a4−kb4\footnotesize a^4-kb^4
    quadratum esse non posse ;
    ここから
    a4−kb4\footnotesize a^4-kb^4は、平方数になりえないことが従う.
    ⸻
    unde ut ante 2α3βx4+8kαβ3y4\footnotesize 2\alpha^3\beta x^4+8k\alpha\beta^3y^4
    quadratum esse non poterit.
    したがって先ほどと同様に、
    2α3βx4+8kαβ3y4\footnotesize 2\alpha^3\beta x^4+8k\alpha\beta^3y^4も、平方数にはなりえない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 3

    -------------------------------------------------
    Coroll. 3
    Si ergo a4+kb4\footnotesize a^4+kb^4 quadratum esse nequit, tum nec haec formula 2ka3b3y4−2a3b3x4\footnotesize 2ka^3b^3y^4-2a^3b^3x^4 nec haec a3b3x4+ka3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+ka^3b^3y^4 quadratum esse poterit; quae posterior ex corollariis praecedentibus sequitur scribendo 2a\footnotesize 2a loco a.\footnotesize a.
    したがって、a4+kb4\footnotesize a^4+kb^4
    が平方数になり得ないならば、
    2ka3b3y4−2a3b3x4\footnotesize 2ka^3b^3y^4-2a^3b^3x^4も平方数になり得ず、また
    a3b3x4+ka3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+ka^3b^3y^4も平方数になり得ない.
    後者については、前の系でa\footnotesize aの代わりに2a\footnotesize 2aを代入すれば直ちに従う.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 4

    -------------------------------------------------
    Coroll. 4
    Cum igitur a4−b4\footnotesize a^4-b^4 non possit esse quadratum, sequentes binae formulae a3b3x4+a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+a^3b^3y^4 et 2a3b3y4−2a3b3x4\footnotesize 2a^3b^3y^4-2a^3b^3x^4 quadrata esse omnino non poterunt.
    さて、
    a4−b4\footnotesize a^4-b^4は平方数になり得ないので、
    a3b3x4+a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+a^3b^3y^4および2a3b3y4−2a3b3x4\footnotesize 2a^3b^3y^4-2a^3b^3x^4
    という二つの式も、まったく平方数にはなり得ない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 5

    -------------------------------------------------
    Coroll. 5
    Atque quia a4−b4\footnotesize a^4-b^4 quadratum esse non potest, orientur hae duae novae formulae a3b3x4−a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4-a^3b^3y^4 et 2a3b3x4+2a3b3y4\footnotesize 2a^3b^3x^4+2a^3b^3y^4, quae nullo modo quadrata reddi possunt.
    さらに、
    a4−b4\footnotesize a^4-b^4が平方数になり得ないことから、
    a3b3x4−a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4-a^3b^3y^4および2a3b3x4+2a3b3y4\footnotesize 2a^3b^3x^4+2a^3b^3y^4
    という新たな二式が得られる.
    これらもいかなる方法によっても平方数となることはない.
    -------------------------------------------------

    Coroll. 6

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    Coroll. 6
    Quoniam denique a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4 quadratum esse nequit, istae quoque formulae a3b3x4+2a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+2a^3b^3y^4 et 4a3b3y4−2a3b3x4\footnotesize 4a^3b^3y^4-2a^3b^3x^4 non poterunt effici quadrata.
    最後に、
    a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4も平方数になり得ないので、
    a3b3x4+2a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+2a^3b^3y^4および4a3b3y4−2a3b3x4\footnotesize 4a^3b^3y^4-2a^3b^3x^4
    もまた平方数となることはできない.
    -------------------------------------------------

    Scholion(総括)

    -------------------------------------------------
    Scholion（総括）
    Ex iis igitur, quae hactenus demonstraui, prodierunt sex sequentes formulae generaliores, quae nullo modo in quadrata transmutari possunt:
    以上これまで証明したことから、
    平方数へ変換することが全く不可能な、
    次の六つのより一般的な形が得られる.
    ⸻
    I. a3b3x4+a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+a^3b^3y^4
    II. a3b3x4−a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4-a^3b^3y^4
    III. a3b3x4+2a3b3y4\footnotesize a^3b^3x^4+2a^3b^3y^4
    IV. 2a3b3x4−2a3b3y4\footnotesize 2a^3b^3x^4-2a^3b^3y^4
    V. 2a3b3x4+2a3b3y4\footnotesize 2a^3b^3x^4+2a^3b^3y^4
    VI. 2a3b3x4−4a3b3y4\footnotesize 2a^3b^3x^4-4a^3b^3y^4
    ⸻
    Atque in his sex formulis omnes continentur, quas in praecedentibus formulis tractauimus.
    そして、これら六つの形の中に、これまで扱ってきたすべての式が包含されている.
    ⸻
    Ex his autem formulis possent, vt iam ante feci, formulae trinomiales elici, quas aeque certum esset quadrata neutiquam reddi posse;
    さらに私は以前行ったのと同様に、これらから三項式を導くこともできる.
    そして、それらもまた決して平方数にならないことが確実である.
    ⸻
    sed iis exhibendis supersedeo, ad alia nonnulla theoremata progressurus, quae circa cubos versantur, atque ex istis formulis expediri nequeunt.
    しかしそれらを列挙することはここでは省略する.
    というのも、私はこれから立方数に関する別の定理へ進む予定であり、それらはここまでの諸公式だけからは導けないからである.
    -------------------------------------------------

    第11章　Theorema X

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    x^3+1=y^2 の解は x=2,y=3 のみ

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    Theorema 10
    Nullus Cubus, ne quidem numeris fractis exceptis, vnitate auctus quadratum efficere potest, praeter vnicum casum, quo cubus est 8.\footnotesize 8.
    いかなる立方数も、分数の場合を含めても、
    それに1\footnotesize 1を加えて平方数になることはできない。
    ただし唯一の例外は、その立方数が
    8=23\footnotesize 8=2^3である場合である.
    ⸻
    Demonstratio
    Propositio ergo huc redit, vt a3b3+1\footnotesize \dfrac{a^3}{b^3}+1 nunquam esse possit quadratum, praeter casum quo ab=2.\footnotesize \dfrac{a}{b}=2.
    証明
    したがって命題は、a3b3+1\footnotesize \dfrac{a^3}{b^3}+1
    が平方数になることは決してなく、
    ab=2\footnotesize \dfrac{a}{b}=2の場合のみが例外である.
    という主張に帰着する.
    ⸻
    Quocirca demonstrandum erit, hanc formulam a3b+b4\footnotesize a^3b+b^4 nunquam fieri posse quadratum, nisi sit a=2b.\footnotesize a=2b.
    ゆえに、
    a3b+b4\footnotesize a^3b+b^4が平方数になることはなく、
    a=2b\footnotesize a=2bの場合だけが例外であることを示せば十分である.
    ⸻
    Haec autem expressio resoluitur in istos tres factores b(a+b)(aa−ab+bb)\footnotesize b(a+b)(aa-ab+bb)
    ところがこの式はb(a+b)(a2−ab+b2)\footnotesize b(a+b)(a^2-ab+b^2)
    という三因子に分解される.
    ⸻
    qui primo quadratum constituere possunt si esse posset b(a+b)=a2−ab+bb\footnotesize b(a+b)=a^2-ab+bb
    もし積全体が平方数になるなら、まず
    b(a+b)=a2−ab+b2\footnotesize b(a+b)=a^2-ab+b^2
    が成り立つ可能性を考えられる.
    ⸻
    vnde prodit a=2b\footnotesize a=2b, qui erit casus, quem excipimus.
    ここからa=2b\footnotesize a=2bが導かれる.
    これはまさに例外として除外している場合である.
    ⸻
    Pono autem, vt vlterius pergam, a+b=c\footnotesize a+b=c,
    seu a=c−b,\footnotesize a=c-b,
    さらに議論を進めるため、
    a+b=c\footnotesize a+b=cすなわちa=c−b\footnotesize a=c-bとおく.
    ⸻
    qua facta substitutione habebitur
    bc(cc−3bc+3bb),\footnotesize bc(cc-3bc+3bb),
    この置換によって式はbc(c2−3bc+3b2)\footnotesize bc(c^2-3bc+3b^2)となる.
    ⸻
    quam demonstrandum est quadratum esse non posse, nisi sit c=3b;\footnotesize c=3b;
    そしてこれが平方数になることは、c=3b\footnotesize c=3b
    の場合を除いて不可能であることを示せばよい.
    ⸻
    sunt autem b\footnotesize b et c\footnotesize c numeri inter se primi.
    またb,c\footnotesize b,\;cは互いに素な数である.
    ⸻
    Hic autem duo occurrunt casus considerandi prout c\footnotesize c vel multiplum est ternarii, vel secus:
    ここで考えるべき場合は二つある.
    すなわちc\footnotesize cが3\footnotesize 3の倍数である場合と
    そうでない場合である.
    ⸻
    illo enim casu factores c\footnotesize c et cc−3bc+3bb\footnotesize cc-3bc+3bb communem diuisorem habebunt 3,\footnotesize 3,
    前者の場合には、
    c\footnotesize cとc2−3bc+3b2\footnotesize c^2-3bc+3b^2
    は公約数3\footnotesize 3をもつ.
    ⸻
    hoc vero omnes tres inter se erunt primi.
    後者の場合には、
    三つの因子は互いに素になる.
    ⸻
    Sit primo c non diuisibile per 3,\footnotesize 3,
    まず3∤c\footnotesize 3\nmid cの場合を考える.
    ⸻
    necesse erit, vt singuli illi tres factores sint quadrata, scilicet b\footnotesize b, et c\footnotesize c, et cc−3bc+3bb\footnotesize cc-3bc+3bb seorsim.
    すると三因子
    b,c,c2−3bc+3b2\footnotesize b,\quad c,\quad c^2-3bc+3b^2
    はそれぞれ個別に平方数でなければならない.
    ⸻
    Fiat ergo cc−3bc+3bb=(mnb−c)2,\footnotesize cc-3bc+3bb=\left(\dfrac{m}{n}b-c\right)^2,
    そこでcc−3bc+3bb=(mnb−c)2,\footnotesize cc-3bc+3bb=\left(\dfrac{m}{n}b-c\right)^2,とおく.
    ⸻
    erit bc=3nn−2mn3nn−mm\footnotesize \dfrac{b}{c}=\dfrac{3nn-2mn}{3nn-mm} vel bc=2mn−3nnmm−3nn\footnotesize \dfrac{b}{c}=\dfrac{2mn-3nn}{mm-3nn}
    するとbc=3n2−2mn3n2−m2\footnotesize \dfrac{b}{c}=\dfrac{3n^2-2mn}{3n^2-m^2}またはbc=2mn−3n2m2−3n2\footnotesize \dfrac{b}{c}=\dfrac{2mn-3n^2}{m^2-3n^2}
    となる.
    ⸻
    cuius fractionis termini erunt primi inter se, nisi m\footnotesize m sit multiplum ternarii;
    これらの分数の分子・分母は、
    m\footnotesize mが3\footnotesize 3の倍数でない限り互いに素である.
    ⸻
    sit ergo m per 3\footnotesize 3 non diuisibile,
    そこで3∤m\footnotesize 3\nmid mと仮定する.
    ⸻
    erit vel c=3nn−mm\footnotesize c=3nn-mm vel c=mm−3nn;\footnotesize c=mm-3nn;
    するとc=3n2−m2\footnotesize c=3n^2-m^2またはc=m2−3n2\footnotesize c=m^2-3n^2
    となる.
    ⸻
    et vel b=3nn−2mn\footnotesize b=3nn-2mn, vel b=2mn−3nn.\footnotesize b=2mn-3nn.
    同様にb=3n2−2mn\footnotesize b=3n^2-2mnまたはb=2mn−3n2\footnotesize b=2mn-3n^2
    となる.
    ⸻
    At cum 3nn−mm\footnotesize 3nn-mm quadratum esse nequeat,
    しかし3n2−m2\footnotesize 3n^2-m^2は平方数になり得ない.
    ⸻
    ponatur c=mm−3nn,\footnotesize c=mm-3nn,
    したがってc=m2−3n2\footnotesize c=m^2-3n^2の場合だけを考える.
    -------------------------------------------------
    quod quadratum fiat radicis m−pqn.\footnotesize m-\dfrac{p}{q}n.
    そして、この値はm−pqn\footnotesize m-\dfrac{p}{q}n
    を平方根にもつ平方数であると仮定する.

    すなわちc=(m−pqn)2\footnotesize c=\left(m-\dfrac{p}{q}n\right)^2とおく.

    -------------------------------------------------
    hincquè oritur mn=3qq+pppq\footnotesize \dfrac{m}{n}=\dfrac{3qq+pp}{pq}, atque bnn=2mn−3=3qq−3pq+pppq.\footnotesize \dfrac{b}{nn}=\dfrac{2m}{n}-3=\dfrac{3qq-3pq+pp}{pq}.
    ここから
    mn=3q2+p2pq\footnotesize \dfrac{m}{n}=\dfrac{3q^{2}+p^{2}}{pq}
    が得られ、さらに
    bn=2mn−3=3q2−3pq+p2pq\footnotesize \dfrac{b}{n}=\dfrac{2m}{n}-3=\dfrac{3q^{2}-3pq+p^{2}}{pq}
    となる.
    ⸻
    Quadratum ergo esset haec formula pq(3qq−3pq+pp)\footnotesize pq(3qq-3pq+pp), quae omnino similis est propositae bc(3bb−3bc+cc)\footnotesize bc(3bb-3bc+cc) et ex multo minoribus numeris constat.
    したがってpq(3q2−3pq+p2)\footnotesize pq(3q^{2}-3pq+p^{2})
    は平方数になることになる.
    しかしこれは最初に考えた
    bc(3b2−3bc+c2)\footnotesize bc(3b^{2}-3bc+c^{2})と全く同じ形であり、
    しかもそれを構成する数ははるかに小さい.
    ⸻
    At sit m multiplum ternarii, puta m=3k\footnotesize m=3k, erit
    bc=nn−2knnn−3kk,\footnotesize \dfrac{b}{c}=\dfrac{nn-2kn}{nn-3kk},
    vnde erit vel c=nn−3kk\footnotesize c=nn-3kk vel c=3kk−nn.\footnotesize c=3kk-nn.
    次にm\footnotesize mが3\footnotesize 3の倍数である場合を考えよう.
    すなわちm=3k\footnotesize m=3kとすると、
    bc=n2−2knn2−3k2\footnotesize \dfrac{b}{c}=\dfrac{n^{2}-2kn}{\,n^{2}-3k^{2}\,}となる.
    したがって
    c=n2−3k2\footnotesize c=n^{2}-3k^{2}またはc=3k2−n2\footnotesize c=3k^{2}-n^{2}である.
    ⸻
    quia autem 3kk−nn\footnotesize 3kk-nn quadratum esse nequit, ponatur c=nn−3kk\footnotesize c=nn-3kk, eiusque radix n−pqk.\footnotesize n-\dfrac pqk.
    しかし
    3k2−n2\footnotesize 3k^{2}-n^{2}は平方数にはなり得ないので、
    c=n2−3k2\footnotesize c=n^{2}-3k^{2}のみを考える.
    その平方根をn−pqk\footnotesize n-\dfrac pqkとおく.
    ⸻
    vnde fiet
    nk=3qq+pp2pq,\footnotesize \dfrac nk=\dfrac{3qq+pp}{2pq}, seu kn=2pq2qq+pp,\footnotesize \dfrac{k}{n}=\dfrac{2pq}{2qq+pp},
    atquebn=1−2kn=pp+3qq−4pq3qq+pp.\footnotesize \dfrac bn=1-\dfrac{2k}{n}=\dfrac{pp+3qq-4pq}{3qq+pp}.
    すると
    nk=3q2+p22pq\footnotesize \dfrac nk=\dfrac{3q^{2}+p^{2}}{2pq}となり、同値に
    kn=2pq3q2+p2\footnotesize \dfrac{k}{n}=\dfrac{2pq}{3q^{2}+p^{2}}である.
    さらにbn=1−2kn=p2+3q2−4pq3q2+p2\footnotesize \dfrac bn=1-\dfrac{2k}{n}=\dfrac{p^{2}+3q^{2}-4pq}{3q^{2}+p^{2}}となる.
    ⸻
    Quadratum ergo esse deberet
    (pp+3qq)(p−q)(p−3q).\footnotesize (pp+3qq)(p-q)(p-3q).
    したがって(p2+3q2)(p−q)(p−3q)\footnotesize (p^{2}+3q^{2})(p-q)(p-3q)
    も平方数でなければならない.
    ⸻
    ponatur p−q=t\footnotesize p-q=t et p−3q=u,\footnotesize p-3q=u, erit
    q=t−u2\footnotesize q=\dfrac{t-u}{2} et p=3t−u2,\footnotesize p=\dfrac{3t-u}{2},
    illaque formula abit in hanc tu(3tt−3tu+uu).\footnotesize tu(3tt-3tu+uu).
    ここでp−q=t,p−3q=u\footnotesize p-q=t, p-3q=uとおく.
    するとq=t−u2,p=3t−u2\footnotesize q=\dfrac{t-u}{2},\qquad p=\dfrac{3t-u}{2}
    となり、上の式は
    tu(3t2−3tu+u2)\footnotesize tu(3t^{2}-3tu+u^{2})へ変形される.
    ⸻
    quae iterum similis est priori bc(3bb−3bc+cc).\footnotesize bc(3bb-3bc+cc).
    これは再び最初に扱った
    bc(3b2−3bc+c2)\footnotesize bc(3b^{2}-3bc+c^{2})と全く同じ形である.
    ⸻
    Restat ergo posterior casus, quo est c\footnotesize c multiplum ternarii, puta c=3d;\footnotesize c=3d; atque quadratum esse debet bd(bb−3bd+3dd),\footnotesize bd(bb-3bd+3dd),
    quae cum iterum similis sit priori, manifestum est utroque casu evenire non posse, ut formula proposita sit quadratum.
    したがって残るのはc\footnotesize c
    が3\footnotesize 3の倍数である場合だけであり、
    c=3d\footnotesize c=3dとおく.
    このときbd(b2−3bd+3d2)\footnotesize bd(b^{2}-3bd+3d^{2})
    が平方数でなければならない.
    しかしこれもまた最初と同じ形であるから、どちらの場合にも最初の式が平方数となることは不可能である.
    ⸻
    Quamobrem praeter cubum 8\footnotesize 8, alius ne in fractis quidem datur, qui cum unitate faciat quadratum.
    Q. E. D.
    したがって
    8(=23)\footnotesize 8(=2^3)を除いて、分数を許したとしても、1\footnotesize 1を加えて平方数となる立方数は存在しない.
    証明終
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    Corollarium I

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    Corollarium I
    Simili modo demonstrari potest nullum cubum unitate minutum esse posse quadratum; hocque ne quidem in fractis.
    同様の方法により、1\footnotesize 1を引いた立方数が平方数になることも不可能であることが証明できる。これは分数の場合についても同様である.
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    Corollarium II

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    Corollarium II
    Hinc sequitur nec x6+y6\footnotesize x^{6}+y^{6} nec x6−y6\footnotesize x^{6}-y^{6} esse posse quadrata; atque nullum numerum trigonalem esse cubum praeter unitatem.
    ここから次が従う.
    * x6+y6\footnotesize \;x^{6}+y^{6}\;は平方数にならない.
    * x6−y6\footnotesize \;x^{6}-y^{6}\;も平方数にならない.
    * また、1\footnotesize 1を除いて三角数が立方数となることはない.
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    第11章　まとめ

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    Theorema X
    x3+1=y2\footnotesize x^3+1=y^2の整数解は(2,3)\footnotesize (2,3)のみ.
    分数解も存在しない.

    Corollarium I
    x3−1=y2\footnotesize x^3-1=y^2は
    整数・分数ともに解を持たない.

    Corollarium II
    x6+y6,x6−y6\footnotesize x^6+y^6,x^6-y^6は平方数にならない
    三角数で立方数となるのは1\footnotesize 1のみ.

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    2.  Historical supplement.
    【歴史的補足】

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    この論文の数論史上の位置づけ.

    フェルマーの数論を、初めて体系的な
    「証明付き理論」に変えた論文です.

    論文タイトルも
    Euler (1738)
    Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes
    「ある算術定理の証明たち」です.

    つまり
    新定理の発見ではなく
    フェルマーの定理の厳密証明
    が目的です.

    17世紀のフェルマーは
    * 二平方和定理
    * 四平方定理
    * 三角数と平方数
    * 立方数と平方数
    * 無限降下法
    など多数の結果を発見しました.
    しかしフェルマーは
    「私は証明を持っている」
    と言いながら証明をほとんど残しませんでした.

    年代順に並べると
    1. Pierre de Fermat
       * 定理を発見
       * 証明を残さない
    2. Leonhard Euler
       * Theorematum quorundam arithmeticorum  
          demonstrationes を執筆
       * フェルマーの定理を体系的に証明
    3. Joseph-Louis Lagrange
       * 四平方定理を完成
    4. Adrien-Marie Legendre
       * 三平方和理論
    5. Carl Friedrich Gauss
       * 近代整数論を創設

    したがってかの論文は
    フェルマーの未証明命題群とガウスの近代整数論との間をつなぐ最重要論文の一つ
    と評価されています.

    特に
    Theorema VII（フェルマー三角数定理）
    Theorema VIII（a4+2b4\footnotesize a^4+2b^4）非平方）
    Theorema X（x3+1=y2\footnotesize x^3+1=y^2の特殊解）は、18世紀の無限降下法研究の代表例として現在でも数論史で頻繁に引用されます.
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    3.  【古典数学】原論文の講読

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    ⭐️「Lettre de M. de Fermat à M. Mersenne,
        du 25 Décembre 1640」
    (1640年12月25日付フェルマー氏よりメルセンヌ氏宛書簡)👇

    ⭐️1770年の Joseph-Louis Lagrange の
    「DÉMONSTRATION D’UN THÉORÈME D’ARITHMÉTIQUE」
    (ラグランジュの四平方定理論文)👇

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    4.  Reference【参考文献】

    -------------------------------------------------
    原典（ラテン語）
    オイラー全集
    Opera Omnia E98

    https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1097&context=euler-works

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