2. The complete original paper and a complete Japanese translation. 【原論文の全文と日本語訳】
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第1章 序論：論文冒頭〜「LEMME.」直前
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Deˊmonstration d’un Theˊoreˋmed’Arithmeˊtique
(Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1770.)
C’est un Théorème connu depuis longtemps que tout nombre entier non carré peut toujours se décomposer en deux, ou trois, ou quatre carrés entiers ; mais personne, que je sache, n’en a encore donné la démonstration.
「算術の一定理の証明」 『ベルリン王立科学・文芸アカデミー新紀要』（1770年）
これは古くから知られている定理である. 平方数でない任意の整数は、常に二個、三個、または四個の整数平方の和として表される. しかし、私の知る限りでは、この定理の証明を与えた者はまだいない. ------------------------------------------------- M. Bachet de Méziriac est le premier qui ait fait mention de ce Théorème ; il paraît qu’il y a été conduit par la question 31e du IVe Livre de Diophante, où le Théorème dont nous parlons est en quelque sorte tacitement supposé ; mais M. Bachet s’est contenté de s’assurer de la vérité de ce Théorème par induction, en examinant successivement tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à 325 ; et quant à la démonstration générale, il avoue qu’il n’avait pas encore pu y parvenir.
メジリアックのバシェが、この定理について最初に言及した人物である. 彼はおそらくディオファントス『算術』第4巻第31問からこの定理に導かれたのであろう. そこでは、我々が論じている定理が、ある意味で暗黙のうちに仮定されている. しかしバシェは、1から325までのすべての整数を順次調べることによって、帰納的（経験的確認的）にこの定理の真実性を確かめるにとどまった. そして一般証明については、まだ到達できていないことを自ら認めている. ------------------------------------------------- « Mihi sane (dit-il dans son Commentaire à la question citée) perfecta id demonstratione assequi nondum licuit, quam qui proferet maximas ei habeo gratias, praesertim cum non solum in hac quæstione sed et in nonnullis libri quinti hoc supponere videatur Diophantus. »
（ラテン語部分） 「私自身は、この命題を完全な証明によって確立することには、まだ成功していない. もしこれを証明する者が現れるなら、私はその人物に最大の感謝を捧げるであろう. とりわけディオファントスは、この問題だけでなく第五巻のいくつかの箇所でも、この事実を前提としているように見えるからである.」 ------------------------------------------------- Je ne connais, jusqu’à présent, que deux Auteurs qui se soient appliqués à cette recherche, savoir M. Fermat et M. Euler.
私が知る限り、この問題の研究に取り組んだ著者は二人だけである. すなわち、 フェルマー(Pierre de Fermat)と オイラー(Leonhard Euler)である. ------------------------------------------------- Dans les Notes que le premier a ajoutées au Commentaire de Bachet sur Diophante, il annonce un grand Ouvrage qu’il avait dessein de composer sur la théorie des nombres, et il promet d’y démontrer cette proposition générale que tout nombre est, ou triangulaire, ou composé de deux ou de trois nombres triangulaires ; qu’il est, ou carré, ou composé de deux, ou de trois, ou de quatre carrés, et ainsi de suite ;
フェルマーは、バシェ版ディオファントスへの注釈の中で、数論に関する大著を著す計画を表明している. そしてその中で次の一般命題を証明すると約束した. * 任意の数は一個の三角数であるか、または二個もしくは三個の三角数の和である. * 任意の数は一個の平方数であるか、または二個、三個、あるいは四個の平方数の和である. * 以下同様. ------------------------------------------------- mais cet Ouvrage n’a jamais paru, et dans tout ce qui nous reste des écrits de ce grand Géomètre, on ne trouve absolument rien qui puisse fournir la moindre lumière pour la démonstration dont il s’agit.
しかし、この著作はついに出版されなかった. そして現在残されているフェルマーの著作の中には、この証明に関してわずかでも手掛かりを与えるものは全く見出されない. ------------------------------------------------- À l’égard de M. Euler, si son travail sur ce sujet n’a pas eu tout le succès qu’on pourrait désirer, on lui a du moins l’obligation d’avoir ouvert la route qu’il faut suivre dans ces sortes de recherches.
オイラーについて言えば、彼の研究は望まれるほど完全な成功には至らなかったかもしれない. しかし少なくとも、この種の研究で進むべき道筋を切り開いた功績は彼に帰せられる. ------------------------------------------------- On peut voir dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg le résultat des tentatives ingénieuses que ce grand Géomètre a faites pour parvenir à démontrer le Théorème de M. Bachet.
この偉大な数学者がバシェの定理を証明しようとして行った巧妙な試みの成果は、『ペテルブルク新紀要』第5巻に見ることができる. ------------------------------------------------- M. Euler fait voir que le produit de deux, ou de plusieurs nombres, dont chacun serait composé de quatre carrés entiers, sera aussi toujours composé de quatre, ou d’un moindre nombre de carrés entiers ;
オイラーは次を示した.もし複数の整数があり、 それぞれが四平方和で表されるならば、それらの積もまた四個以下の平方数の和として表される. ------------------------------------------------- d’où il suit d’abord que si le Théorème proposé peut être démontré pour tous les nombres premiers, il le sera aussi pour tous les autres nombres.
したがって直ちに、もしこの定理がすべての素数について証明できるならば、すべての整数についても証明できることになる. ------------------------------------------------- M. Euler démontre, de plus, qu’un nombre premier quelconque étant proposé, on peut toujours trouver deux ou trois nombres carrés dont la somme soit divisible par ce nombre sans que chacun des carrés en particulier le soit,
さらにオイラーは、任意の素数pに対して、 それぞれはpの倍数ではない二個または三個の平方数を選んで、その和がpで割り切れるようにできることを証明した. ------------------------------------------------- et que ces nombres carrés peuvent toujours être supposés tels que le quotient de la division de leur somme par le nombre premier donné soit moindre que ce même nombre.
しかもそれらは、 その平方和を素数pで割った商が p自身より小さくなるように選ぶことができる. ------------------------------------------------- De là M. Euler conclut, avec raison, que le Théorème en question serait démontré pour tous les nombres premiers si l’on pouvait seulement démontrer cette autre proposition,
そこでオイラーは正しく次を結論した. もし次の命題を証明できれば、 四平方定理はすべての素数について証明されたことになる. ------------------------------------------------- savoir, que lorsque le produit de deux nombres est la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés, et que l’un des nombres produisants est pareillement la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés, l’autre produisant le sera de même.
その命題とは、 二数 A,B の積 AB が四個以下の平方数の和で表され、さらに A 自身も四個以下の平方数の和で表されるならば、他方の因子 B もまた四個以下の平方数の和で表される、というものである. ------------------------------------------------- Si summa quatuor quadratorum a2+b2+c2+d2 fuerit divisibilis per summam quatuor quadratorum p2+q2+r2+s2, tum quotum non solum in fractis sed etiam in integris esse summam quatuor quadratorum,est Theorema elegantissimum Fermatii,
注釈 これは現在では Euler’s Four-Square Division Theorem と呼ばれる命題です. つまり p2+q2+r2+s2∣a2+b2+c2+d2 ならば p2+q2+r2+s2a2+b2+c2+d2=x2+y2+z2+w2 となる整数 x,y,z,w が存在する. これはフェルマーの極めて美しい定理である. オイラーはこれをフェルマーの定理として紹介しています. ただしフェルマー自身の完全な証明は現存していません. ------------------------------------------------- cujus demonstratio cum ipso nobis est erepta fateur me adhuc hanc demonstrationem invenire non potuisse, etc.
注釈 ここでオイラーは 「命題は正しいと思うが、自分にはまだ証明できない」と率直に認めています. そしてラグランジュは、まさにこの未解決部分を解決しようとしているのです. ------------------------------------------------- C’est donc cette dernière proposition seule qu’il s’agit de démontrer.
したがって、証明すべきなのは、 まさにこの最後の命題だけである. ------------------------------------------------- Or pour cela nous n’aurons pas besoin de supposer que le diviseur soit aussi représenté par la somme de quatre carrés,
しかもそのためには、除数自身が四平方和で表されると仮定する必要はない. ------------------------------------------------- et nous démontrerons, en général, que tout nombre premier qui est diviseur d’un nombre quelconque composé de quatre ou d’un moindre nombre de carrés,sans l’être de chacun des carrés en particulier,est nécessairement aussi composé de quatre ou d’un moindre nombre de carrés.
------------------------------------------------- LEMME. Les nombres qui sont la somme de deux carrés premiers entre eux n’admettent d’autres diviseurs que ceux qui sont pareillement la somme de deux carrés.
実際 2=12+12 5=12+22 10=12+32 25=02+52 50=12+72 です. ------------------------------------------------- Cette proposition, qui est de M. Fermat, a été démontrée par M. Euler dans un Mémoire imprimé dans le tome IV des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.
------------------------------------------------- COROLLAIRE I. Si deux nombres égaux chacun à la somme de deux carrés tels quep2+q2etr2+s2,sont divisibles par un même nombre ρ, et que les quatre nombresp,q,r,sn’aient aucun diviseur commun, je dis que les deux quotients ρp2+q2etρr2+s2seront aussi chacun égaux à la somme de deux carrés.
系 I もしp2+q2およびr2+s2,という二つの二平方和が同じ数ρで割り切れ、さらにp,q,r,sの四数が共通因子を持たないならば、私はρp2+q2およびρr2+s2の両方もまた二平方和になることを主張する. ------------------------------------------------- Car soit m la plus grande commune mesure de p et q, et n la plus grande commune mesure de r et s, de sorte qu’en faisant p=mp′,q=mq′, r=nr′,s=ns′, les nombres p′ et q′ soient premiers entre eux, comme aussi les nombres r′ et s′ entre eux ; on aura donc les deux nombres m2(p′2+q′2)etn2(r′2+s′2)qui seront divisibles à la fois par ρ.
まず、 mをpとqの最大公約数、nをrとsの最大公約数とする. したがって p=mp′,q=mq′, r=nr′,s=ns′, とおけば p′ と q′は互いに素であり、同様にr′ と s′も互いに素である. するとm2(p′2+q′2)およびn2(r′2+s′2)の両方がρ.で割り切れる。 （ここでラグランジュのρ.は系の仮定に出てくる共通除数） ------------------------------------------------- Or je remarque d’abord que m et n seront premiers entre eux ; autrement les quatre nombres p,q,r,s auraient une commune mesure, ce qui est contre l’hypothèse.
まず m と n は互いに素であることに注意する. もしそうでなければp,q,r,s は共通因子を持つことになり、仮定に反する. ------------------------------------------------- Maintenant soit μ la plus grande commune mesure entre m2 et ρ, en sorte que ρ=μρ′, et que ρ′ soit premier à μm2. Donc m2 sera divisible par μ, et il faudra que p′2+q′2 le soit par ρ′, de sorte qu’on aura ρp2+q2=μm2⋅ρ′p′2+q′2.
次に μ=gcd(m2,ρ)とする. するとρ=μρ′と書け、しかもρ′はμm2 と互いに素である. したがってm2は μ を因子に持つので、p′2+q′2は ρ′ を因子に持たなければならない. よって ρp2+q2=μm2⋅ρ′p′2+q′2. を得る. ------------------------------------------------- Or p′ et q′ étant premiers entre eux, il suit du Lemme précédent que tant le diviseur ρ′ que le quotient ρ′p′2+q′2seront la somme de deux carrés ; ainsi l’on auraρ′p′2+q′2=α2+β2.
p′ と q′ は互いに素であるから、前レンマによって除数 ρ′ も、商ρ′p′2+q′2も、ともに二平方和である. したがってρ′p′2+q′2=α2+β2.と書ける. ------------------------------------------------- Soit de plus ν2 le plus grand facteur carré du nombre μ,en sorte que μ=ν2μ′,μ′ étant un nombre qui ne soit divisible par aucun carré,et il est clair que m2 ne pourra être divisible par μ à moins que m ne le soit par νμ′ ; soit donc m=Kνμ′,et l’on aura μm2=K2μ′.
さらに、ν2をμの最大平方因子とする. するとμ=ν2μ′と書ける. ここでμ′は平方因子を全く持たない数である. μがm2を割るためには、m自身がνμ′で割り切れなければならない. そこでm=Kνμ′とおくと μm2=K2μ′. となる. ------------------------------------------------- Or n2(r′2+s′2)doit être aussi divisible par ρ=μρ′;donc μ diviseran2(r′2+s′2); mais μ divise déjà m2 ;donc, puisque m2 et n2 sont premiers entre eux,il s’ensuit que μ sera aussi premier à n2 ;par conséquent il faudra que μ diviser′2+s′2 et comme μ=ν2μ′, μ′ sera aussi un diviseur de r′2+s′2; donc, puisque r′ et s′ sont premiers entre eux, le diviseur μ′ sera égal à la somme de deux carrés par le Lemme.
一方、n2(r′2+s′2)もまたρ=μρ′ で割り切れなければならない. したがってμはn2(r′2+s′2)を割る. しかしμはすでにm2を割る. さらにmとnは互いに素であるから、 m2とn2も互いに素である. よって μとn2も互いに素でなければならない. したがってμ∣(r′2+s′2)である. さらにμ=ν2μ′だから、 μ′もr′2+s′2の約数である. r′とs′は互いに素なので、補題により μ′自身が二平方和になる. ------------------------------------------------- Faisant donc μ′=γ2+δ2, on aura μm2=K2(γ2+δ2) ρp2+q2=μm2⋅ρ′p′2+q′2 et de là ρp2+q2=K2(γ2+δ2)(α2+β2) c'est-à-dire égal à la somme de deux carrés.
そこでμ′=γ2+δ2を代入すると、 μm2=K2(γ2+δ2) となります. したがって ρp2+q2=μm2⋅ρ′p′2+q′2 に代入して ρp2+q2=K2(γ2+δ2)(α2+β2) を得ます. ------------------------------------------------- On démontrera de la même manière que le quotient ρr2+s2 sera aussi égal à la somme de deux carrés.
------------------------------------------------- COROLLAIRE II. Si la somme de deux carrés est divisible par une autre somme de deux carrés, le quotient sera toujours égal à la somme de deux carrés.
系 II 二つの平方数の和が、別の二つの平方数の和で割り切れるならば、その商も必ず二平方和になる. ------------------------------------------------- Car soit a2+b2 divisible par c2+d2, et si les nombres a,b,c,d ont une commune mesure, dénotons-la par l, en sorte que l’on ait a=lp,b=lq,c=lr,d=ls, et que p,q,r,s n’aient aucun commun diviseur ; donc on aurac2+d2a2+b2=r2+s2p2+q2.
いまa2+b2がc2+d2で割り切れるとする. また a,b,c,d が共通の約数を持つなら、その最大公約数をl とおき、 a=lp,b=lq,c=lr,d=ls と書く. さらにp,q,r,s が共通因子を持たないようにする. するとc2+d2a2+b2=r2+s2p2+q2となる. ------------------------------------------------- de sorte que p2+q2 sera divisible par r2+s2; or, faisant r2+s2=ρ, on aura par le Corollaire précédent ρp2+q2 égal à la somme de deux carrés ; donc, etc.
------------------------------------------------- THÉORÈME I. Si la somme de quatre carrés est divisible par un nombre premier plus grand que la racine carrée de la même somme, ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre carrés.
定理 I 四つの平方数の和が、その和の平方根より大きい素数で割り切れるならば、その素数自身もまた四平方和で表される. ------------------------------------------------- Car soit p2+q2+r2+s2 divisible par A, A étant un nombre premier, en sorte que l’on ait Aa=p2+q2+r2+s2, et comme on suppose que le diviseur A est plus grand que p2+q2+r2+s2, il est clair que le quotient a sera plus petit que la même racine, de sorte qu’on aura a<A.
いま p2+q2+r2+s2が素数Aで割り切れるとし、Aa=p2+q2+r2+s2と書けるものとする. 仮定により、除数 Aは p2+q2+r2+s2 より大きい. したがって商aはこの平方根より小さい. ゆえにa<Aである. ------------------------------------------------- Cela posé, si les nombres p,q,r,s ont un diviseur commun d, il est clair que la somme de leurs carrés sera divisible par d2,et qu’ainsi il faudra que Aa le soit aussi ;or d2 étant plus petit que Aa,d sera plus petit que Aa<A, à cause de a<A; donc, puisque A est premier (hypothèse), il est clair que A et d seront premiers entre eux ;
さて、もしp,q,r,sが共通約数 dを持つならば、その平方和は当然d2で割り切れる. したがってAaもまたd2で割り切れる. しかしd2<Aaなのでd<Aa. さらにa<AだからAa<A. したがってd<A. Aは素数であるからAとdは互いに素である. ------------------------------------------------- d’où il s’ensuit que Aa ne pourra être divisible par d2 à moins que a ne le soit ; ainsi, divisant tant le nombre a que chacun des carrés p2,q2,… par d2, on aura une équation de la même forme que la précédente, où le coefficient a sera toujours plus petit que A et où les quatre carrés p2,q2,r2,s2 n’auront plus de commun diviseur.
したがって Aaがd2で割り切れるためには、a自身もd2で割り切れなければならない. そこで aとp2,q2,r2,s2をすべてd2で割ると、元と同じ形の方程式が得られる. しかもそのときも係数 aは依然として Aより小さく、四つの平方数はもはや共通約数を持たない. ------------------------------------------------- Considérons donc l’équation Aa=p2+q2+r2+s2 comme déjà réduite à cet état, et si le nombre p2+q2 n’est pas premiers à a, soit ρ leur plus grande commune mesure, en sorte que l’on ait a=bρ et p2+q2=tρ, b et t étant premiers entre eux; on aura donc Abρ=tρ+r2+s2 d’où l’on voit que r2+s2 doit être aussi divisible par ρ,de sorte que, nommant le quotient u, l’équation deviendraAb=t+u; or, puisque ρ divise tant p2+q2 que r2+s2 et que p,q,r et s n’ont aucun diviseur commun, il s’ensuit du Corollaire I du Lemme précédent que les quotients ρp2+q2=t etρr2+s2=u seront l’un et l’autre la somme de deux carrés; ainsi l’on aura t=m2+n2 et u=h2+l2; donc, multipliant toute l’équation par t, on aura Abt=t2+tu,ou bien, en faisant x=mh+nl ety=ml−nh, en sorte que tu=x2+y2, on aura cette équation-ci Abt=t2+x2+y2.
そこで、方程式Aa=p2+q2+r2+s2 がすでにこの形にまで簡約されているものとする. そして、数p2+q2が aと互いに素でないとき、その最大公約数をρとおく. すると a=bρ,p2+q2=tρ と書くことができ、ここでbとtは互いに素である. したがって Abρ=tρ+r2+s2 を得る. この式からr2+s2もまたρで割り切れなければならないことが分かる. そこでその商をuと名付けると 方程式はAb=t+uとなる. さてρはp2+q2とr2+s2の両方を割り切り しかもp,q,r,sは共通の約数をまったく持たないので、前補題の系 I によって ρp2+q2=tおよびρr2+s2=u はそれぞれとも二平方和として表される数である. したがってt=m2+n2,u=h2+l2とおける. そこで方程式全体にtを掛けると Abt=t2+tuを得る. さらにx=mh+nl,y=ml−nhとおけば、二平方和の積の恒等式より tu=x2+y2となる. よって最終的に Abt=t2+x2+y2 という方程式が得られる. ------------------------------------------------- Maintenant, comme b et t sont premiers entre eux, on peut toujours trouver deux multiples de b et t tels que leur somme ou leur différence soit égale à un nombre quelconque donné, et de plus on peut supposer que l’un de ces multiples soit moindre que 2bt.
さてbとtは互いに素であるから、bの倍数とtの倍数を二つ選んで、その和または差を任意に与えられた整数に等しくすることが常にできる. さらに、そのうちの一方の倍数は 2btより小さいと仮定してよい. ------------------------------------------------- [voyez le Lemme I du Mémoire sur les Problèmes indéterminés, qui est imprimé dans le tome XXIV des Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pour l’année 1768] ; ainsi l’on peut faire x=αt+γb et y=βt+δb,
(1768年ベルリン学士院紀要所収『不定方程式について』の補題Iを参照.) したがって、 x=αt+γb,y=βt+δb と表すことができる. ------------------------------------------------- α,β,γ et δ étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et l’on peut supposer en même temps que α et β, pris positivement, soient l’un et l’autre plus petits que 2b.
ここでα,β,γ,δは正または負の整数である. さらに、∣α∣<2b,∣β∣<2b となるように選ぶことができる. ------------------------------------------------- Qu’on fasse donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra Abt=t2(1+α2+β2)+2αγtb+2βδtb+γ2b2+δ2b2,où l’on voit que tous les termes sont multipliés par b, à l’exception de ceux-ci t2(1+α2+β2);
この置換を先の式 Abt=t2+x2+y2に代入すると Abt=t2(1+α2+β2)+2αγtb+2βδtb+γ2b2+δ2b2 を得る. ここで、t2(1+α2+β2)を除くすべての項は bを因子にもっていることが分かる. ------------------------------------------------- ainsi, pour que cette équation puisse subsister en nombres entiers comme il le faut, il est nécessaire que t2(1+α2+β2) soit aussi divisible par b;
したがって、この等式が整数の範囲で成立するためには、t2(1+α2+β2) もまたbで割り切れなければならない. ------------------------------------------------- mais b et t sont premiers entre eux, donc il faudra que b divise 1+α2+β2, de sorte qu’en nommant le quotient a′ on aura a′b=1+α2+β2.
しかしbとtは互いに素である. ゆえにbは1+α2+β2 を割らなければならない. そこで商をa′とおけば a′b=1+α2+β2 となる. ------------------------------------------------- et comme α et β sont chacun plus petits que 2b,1+α2+β2sera plus petit que 2b2+1;par conséquenta′ sera plus petit que 2b+b1.
また ∣α∣<2b,∣β∣<2b だから、 1+α2+β2<1+4b2+4b2=1+2b2. したがって a′=b1+α2+β2<2b+b1 である. ------------------------------------------------- Or, mettant dans l’équation ci-dessus a′b à la place de 1+α2+β2, et divisant ensuite par b, on aura At=a′t+2αγt+2βδt+(γ2+δ2)b,
さて、先に得た a′b=1+α2+β2 を用いて先の式を書き直し、さらに全体をbで割ると、 At=a′t+2αγt+2βδt+(γ2+δ2)b となる. ------------------------------------------------- où je remarque encore que tous les termes étant multipliés par t, excepté ceux-ci (γ2+δ2)b, il faudra que le nombre (γ2+δ2)b soit divisible par t, et comme bet t sont premiers entre eux, il faudra que γ2+δ2 soit divisible par t.
注釈 ここでラグランジュは γ2+δ2=tM という形を得ます. これが降下法の第二段階です. ------------------------------------------------- Si l’on multiplie l’équation que nous venons de trouver par a′, elle pourra se mettre sous cette forme Aa′t=(a′t+αγ+βδ)2+(γ2+δ2)a′b−(αγ+βδ)2,
注釈 この変形は実際に展開すると確認できます。 (a′t+αγ+βδ)2 を展開すると a′2t2+2a′t(αγ+βδ)+(αγ+βδ)2 なので、 最後の −(αγ+βδ)2 と打ち消し合い、残るのが a′t(a′t+2αγ+2βδ) です. さらに a′b=1+α2+β2 を使う準備をしているわけです. ------------------------------------------------- ou bien sous celle-ci Aa′t=(a′t+αγ+βδ)2+γ2(a′b−α2)+δ2(a′b−β2)−2αβγδ;
あるいは、 Aa′t=(a′t+αγ+βδ)2+γ2(a′b−α2)+δ2(a′b−β2)−2αβγδ とも書ける. ------------------------------------------------- mais on a a′b=1+α2+β2, donc l’équation précédente deviendra Aa′t=(a′t+αγ+βδ)2+γ2(1+β2)+δ2(1+α2)−2αβγδ
注釈 ここが証明の最も美しい計算です. 実際、 (βγ−αδ)2=β2γ2+α2δ2−2αβγδ だから、 (βγ−αδ)2+γ2+δ2=γ2(1+β2)+δ2(1+α2)−2αβγδ. 完全に一致します. ------------------------------------------------- Or nous avons dit ci-dessus que γ2+δ2 doit être divisible par t, donc il faudra aussi que le nombre (a′t+αγ+βδ)2+(βγ−αδ)2 le soit ;
先ほどt∣(γ2+δ2)を示した. したがって Aa′t=((a′t+αγ+βδ)2+(βγ−αδ)2)+(γ2+δ2) において、左辺はtの倍数であり、後ろの項もtの倍数だから、前半の (a′t+αγ+βδ)2+(βγ−αδ)2 もまたtの倍数でなければならない. ------------------------------------------------- mais on a t=m2+n2, donc, par le Corollaire II du Lemme, chacun des deux quotients sera nécessairement la somme de deux carrés ;
ところがt=m2+n2である. そして先に証明した補題の系IIによれば、 tが二平方和であり、t∣(γ2+δ2)かつ t∣((a′t+αγ+βδ)2+(βγ−αδ)2) ならば、 それぞれの商も二平方和になる. ------------------------------------------------- de sorte qu’on aura γ2+δ2=t(p′2+q′2) et (a′t+αγ+βδ)2+(βγ−αδ)2=t(r′2+s′2).
したがって適当な整数p′,q′,r′,s′が存在して γ2+δ2=t(p′2+q′2) および (a′t+αγ+βδ)2+(βγ−αδ)2=t(r′2+s′2) となる. ------------------------------------------------- Donc on aura, après avoir divisé toute l’équation par t, Aa′=p′2+q′2+r′2+s′2.
注釈 これでラグランジュの降下法の核心 Aa⟹Aa′ かつ a′<2b+b1<a が完成します. つまり 「Aaが四平方和なら、より小さい係数a′をもつAa′も四平方和になる」 という降下ステップが証明され、これを繰り返して最終的にa′=1に到達し、 A=x2+y2+z2+w2 が従うわけです. これがこの原論文の証明の中核部分です. ------------------------------------------------- Il s’ensuit de là que si Aa est la somme de quatre carrés, Aa′ sera aussi la somme de quatre carrés, a′ étant plus petit que 2b+b1 et a=bp ; ainsi si a est plus grand que 1, a′ sera nécessairement plus petit que a;
ここから次のことが従う. もしAa が四つの平方数の和であるならば、 Aa′もまた四つの平方数の和である. しかも先に示したように a′<2b+b1であり、a=bρであるから、 a>1なら必ずa′<aとなる. ------------------------------------------------- et si a′ est encore plus grand que 1 on prouvera de la même manière que Aa′′ sera aussi la somme de quatre carrés, a′′ étant plus petit que a′ ; et ainsi de suite ;
さらに、もしa′>1 ならば全く同じ議論によって、Aa′′ もまた四平方和となることが示される. しかもa′′<a′である. そして同様の操作を繰り返すことができる. ------------------------------------------------- donc comme les nombres a,a′,a′′,… sont des nombres entiers, dont aucun ne peut être égal à zéro (…), et que ces nombres vont en diminuant, il est clair qu’on parviendra nécessairement à un de ces nombres qui sera égal à l’unité,
注釈 ここが無限降下法そのものです. ラグランジュはフェルマー流の「無限に小さくなる整数列は存在しない」という原理を使っています. ------------------------------------------------- et alors on aura A égal à la somme de quatre carrés entiers.
------------------------------------------------- Corollaire. — Si un nombre premier quelconque est un diviseur de la somme de quatre carrés qui n’aient point de commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre carrés.
系 任意の素数が共通因子を持たない四平方和 p2+q2+r2+s2 の約数であるならば、 その素数自身もまた四平方和である. ------------------------------------------------- Car nommant, comme ci-dessus, A le nombre premier donné et p2+q2+r2+s2 le nombre composé de quatre carrés qui est divisible par A,
実際、先ほどと同様にAを与えられた素数とし、 p2+q2+r2+s2をその倍数とする. ------------------------------------------------- il est clair que, si chacune des racines p,q,r,sétait moindre que 2A,on aurait p2+q2+r2+s2<4(2A)2<A2.
もしp,q,r,sがすべて 2A,より小さいならば、 p2+q2+r2+s2<4(2A)2<A2.となる. ------------------------------------------------- de sorte que A serait plus grand que p2+q2+r2+s2, comme on l’a supposé dans le Théorème précédent ;
すると A2>p2+q2+r2+s2 だから A>p2+q2+r2+s2 となる. これは先ほどの定理で仮定した条件そのものである. ------------------------------------------------- donc, etc.
したがって先ほどの定理を適用でき、 A 自身が四平方和であることが従う.
（ラグランジュは「donc, etc.」とだけ書いて証明を省略している.） ------------------------------------------------- Or je dis que quels que soient les nombres p,q,…, on peut toujours les réduire à être moindres que2A;
さて私は、p,q,r,s がどのような値であっても、 すべて2A 未満になるよう取り直すことができると主張する. ------------------------------------------------- car soit, par exemple, p>2A, il est visible que si p2+q2+r2+s2 est divisible par A, (p−mA)2+q2+r2+s2 le sera aussi, de même que (mA−p)2+q2+r2+s2,
例えばp>2Aとする. するとp≡p−mA(modA)だから、 p2+q2+r2+s2がA の倍数ならば、 (p−mA)2+q2+r2+s2もAの倍数である. 同様に (mA−p)2+q2+r2+s2もAの倍数である. ------------------------------------------------- quelque soit le nombre m; or on peut toujours prendre m tel que p−mA ou mA−p soit moindre que 2A;
注釈 これは現代的にはpを法Aの 最小剰余に置き換える操作です. ------------------------------------------------- donc il n’y aura qu’à mettre au lieu de p le nombre p−mA oumA−p;
したがってpの代わりに p−mAまたはmA−p を採用すればよい. ------------------------------------------------- et l’on fera la même chose par rapport aux autres nombres s’ils se trouvent plus grands que2A.
同じことをq,r,sについても行えば、 すべて2A未満にできる. ------------------------------------------------- Si p était divisible par A, on aurait p−mA=0;
もしpがAの倍数なら、適当なmにより p−mA=0となる. ------------------------------------------------- mais comme on suppose que p,q,r,s n’ont aucun diviseur commun, ils ne peuvent pas être tous divisibles à la fois par A,
しかしp,q,r,s は共通因子を持たないと仮定しているので、 全員が同時にA の倍数になることはない. ------------------------------------------------- et même il ne pourra pas y en avoir plus de deux qui le soient ; autrement il faudrait que tous quatre le fussent ;
さらに、 Aの倍数であるものは高々二つしか存在しえない. もし三つがAの倍数なら、 四平方和全体がAの倍数であることから、 残りの一つもAの倍数となり 結局四つ全部がAの倍数になってしまう. これは共通因子なしの仮定に反する. ------------------------------------------------- de sorte qu’il n’y a pas à craindre que, par ces réductions, le dividende p2+q2+r2+s2 devienne nul.
------------------------------------------------- REMARQUE. — Au reste il est clair que la démonstration du Théorème précédent n’en subsistera pas moins si l’on suppose qu’un ou deux des quatre carrés qui composent le dividende soient nuls ;
注記.— なお、前定理の証明は、被除数を構成する四つの平方のうち一つまたは二つが零であると仮定しても、少しもその効力を失わないことは明らかである. ------------------------------------------------- d’ailleurs il peut aussi arriver qu’un ou deux des quatre carrés qu’on trouvera pour le diviseur A soient nuls ;
さらに、除数Aに対して得られる四つの平方のうち、一つまたは二つが零となる場合もあり得る. ------------------------------------------------- donc, en général, tout nombre premier qui divisera la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers, pourvu qu’ils n’aient entre eux aucun diviseur commun, sera nécessairement égal à la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers.
------------------------------------------------- THÉORÈME II
Si A est un nombre premier et que B et C soient des nombres quelconques positifs ou négatifs non divisibles par A,je dis qu’on pourra toujours trouver deux nombres p et q tels que le nombre p2−Bq2−C soit divisible par A.
定理 II Aを素数としBおよび CをAで割り切れない任意の正または負の整数とする. すると私は、常に二つの整数p,qを見つけることができて、 p2−Bq2−C が Aで割り切れるようにできる、と主張する. ------------------------------------------------- Car : 1° Si l’on peut trouver un nombreq tel que Bq2+C soit divisible par A, il n’y aura alors qu’à prendre p divisible par A, ou bien p=0;
なぜならば： 第一に、 もしBq2+C がAで割り切れるようなqが存在するならば、 pをAの倍数に取るか、あるいはp=0と取ればよい. ------------------------------------------------- 2° S’il n’y a aucun nombre qui étant pris pour q puisse rendre Bq2+C divisible par A, faisons, pour abréger,Bq2+C=b,
第二に、 どのようなqを取ってもBq2+C がAで割り切れない場合を考える. 簡単のためb=Bq2+Cと置く. ------------------------------------------------- et supposant P=pA−3+bpA−5+b2pA−7+⋯+b2A−3, on aura (p2−Bq2−C)P=pA−1−b2A−1=pA−1−1−(b2A−1−1).
さらに P=pA−3+bpA−5+b2pA−7+⋯+b2A−3, と定義する. すると p2−Bq2−C=p2−b であるから、 (p2−Bq2−C)P=(p2−b)P となり、等比数列の公式により (p2−Bq2−C)P=pA−1−b2A−1 を得る. さらに =pA−1−1−(b2A−1−1) と書き直せる. ------------------------------------------------- multiplions cette équation par b2A−1+1 que nous supposerons égal à Q, et l’on aura (p2−Bq2−C)PQ=Q(pA−1−1)−(bA−1−1).
この等式の両辺に b2A−1+1 を掛けることにする. この量をQ=b2A−1+1と置く すると (p2−Bq2−C)PQ=Q(pA−1−1)−(bA−1−1) を得る. ------------------------------------------------- Or, par le Théorème connu de Fermat, que M. Euler a démontré dans les CommentairesdePeˊtersbourg, on sait que si A est un nombre premier quelconque et a un autre nombre quelconque non divisible par A,aA−1−1 sera toujours divisible par A.
さて、サンクトペテルブルク紀要においてオイラー氏が証明したフェルマーの有名な定理によればAが任意の素数でありaがAで割り切れない任意の整数であるとき、aA−1−1は常にAで割り切れる. （現在でいうフェルマーの小定理） ------------------------------------------------- Donc, si l’on suppose que p ne soit pas divisible par A, on aura les deux nombres pA−1−1etbA−1−1 divisibles à la fois par A, à cause que b n’est jamais divisible par A, quel que soit q (hypothèse).
aA−1≡1(modA). したがってp がAで割り切れないと仮定すると、pA−1−1およびbA−1−1 の両方がAで割り切れる. なぜなら仮定より、 b=Bq2+C はどのようなqに対してもAの倍数にならないからである. ------------------------------------------------- Donc le nombre(p2−Bq2−C)PQ sera divisible par A, de sorte que, si ni P ni Q n’étaient divisibles par A, il faudrait que p2−Bq2−C le fût, à cause que A est un nombre premier par l’hypothèse.
したがって (p2−Bq2−C)PQ もAで割り切れる。 ゆえに、もしPもQもAで割り切れないならば、 p2−Bq2−C 自身がAで割り切れなければならない. なぜならAは素数であり、 A∣(p2−Bq2−C)PQ かつ A∤P,A∤Q ならばユークリッドの補題より A∣(p2−Bq2−C) が従うからである. ------------------------------------------------- Ainsi la difficulté se réduit à prouver que l’on peut toujours prendre p et q tels que ni P ni Q ne soient pas divisibles par A,p ne l’étant pas non plus.
したがって問題は、 A∤p,A∤P,A∤Q を同時に満たすようなp,qが必ず選べることを証明することに帰着する. ------------------------------------------------- Pour cela je remarque d’abord que, quelle que soit la valeur de q, on peut toujours trouver une valeur de pplus petite que A et par conséquent non divisible par A, telle que P ne soit pas divisible par A.
そのためにまず注意する. qの値が何であっても、 1≤p≤A−2の範囲で、 したがってAの倍数ではないようなpを選んで、さらにPもAの倍数にならないようにできることを示す. ------------------------------------------------- Car si l’on substitue successivement dans l’expression de P les nombres 1,2,3,…,A−2 inclusivement à la place de p, et qu’on nomme P′,P′′,P′′′,…,P(A−2) les valeurs résultantes de P,
実際Pの式の中のpに 1,2,3,…,A−2 を順に代入する. その結果得られる値を P′,P′′,P′′′,…,P(A−2) と書くことにする. ------------------------------------------------- on aura, par la théorie connue des différences, P′−(A−3)P′′+2(A−3)(A−4)P′′′−⋯+P(A−2)=1⋅2⋅3⋯(A−3).
すると差分法(有限差分論)の既知の理論により、 次の恒等式が成立する. P′−(A−3)P′′+2(A−3)(A−4)P′′′−⋯+P(A−2)=1⋅2⋅3⋯(A−3). これは次数A−3の多項式 P(p)に対する有限差分公式である. ------------------------------------------------- Or, si tous les nombres P′,P′′,P′′′,…,P(A−2) étaient divisibles par A, il faudrait que le nombre 1⋅2⋅3⋯(A−3) le fût aussi ;ce qui ne pouvant être à cause que A est premier,
もし P′,P′′,P′′′,…,P(A−2) がすべてAで割り切れるならば、 上の線形結合もAで割り切れることになり、 したがって1⋅2⋅3⋯(A−3) もAで割り切れなければならない. しかしこれは不可能である. なぜならAは素数であり、 1,2,…,A−3 のどの因子もAの倍数ではないからである. ------------------------------------------------- il s’ensuit que parmi les nombres P′,P′′,…,P(A−2) il s’en trouvera nécessairement quelqu’un qui ne sera pas divisible par A ; donc, etc.
したがって P′,P′′,…,P(A−2) の中には必ず少なくとも一つ、 Aで割り切れないものが存在する. よって所望のpが得られる。 ------------------------------------------------- Ainsi il ne reste plus qu’à prouver que l’on peut toujours prendre q tel que Q ou (Bq2+C)2A−1+1 ne soit pas divisible par A. Soit, pour plus de simplicité, 2A−1=m, et l’on aura Q=BmqA−1+mBm−1qA−3C +2m(m−1)Bm−2qA−5C2+⋯ +mBq2Cm−1+Cm+1.
したがって残る課題はただ一つである。 すなわち、 Q=(Bq2+C)2A−1+1がA で割り切れないようなqを常に選べることを証明することである. 簡単のためm=2A−1と置く. すると二項展開によって Q=BmqA−1+mBm−1qA−3C +2m(m−1)Bm−2qA−5C2+⋯ +mBq2Cm−1+Cm+1. となる. ------------------------------------------------- Or si Cm+1 n’est pas divisible par A, il est clair qu’il n’y aura qu’à prendre q divisible par A, ou bien q=0 ;car alors Q ne sera pas divisible par A.
さて、もし Cm+1が Aで割り切れないならば、 qをAの倍数に取るか、あるいはq=0 とすれば十分である. なぜならそのときQ≡Cm+1(modA) となり、Cm+1が仮定により Aの倍数でないから、 QもAの倍数にならない。 ------------------------------------------------- Mais si Cm+1est divisible par A, alors pour que Q ne le soit pas, il faudra que q ne le soit pas,et que la quantité BmqA−3+mBm−1qA−5C +2m(m−1)Bm−2qA−7C2+⋯+mBCm−1 ne le soit pas non plus ;
しかし Cm+1 が Aで割り切れる場合には事情が異なる. この場合、 QがAで割り切れないためには、 まずq自身がAの倍数であってはならない. さらに次の量 R=BmqA−3+mBm−1qA−5C +2m(m−1)Bm−2qA−7C2+⋯+mBCm−1 もAの倍数であってはならない. ------------------------------------------------- or on peut démontrer, comme plus haut, qu’il doit nécessairement exister une valeur de q plus petite que A et par conséquent non divisible par A, telle que la quantité dont il s’agit ne le soit pas.
しかし先ほどPに対して行ったのと全く同様に、1≤q≤A−2の範囲で、 したがってAの倍数ではないようなqを選んで、さらにこの量RもAの倍数でないようにすることができることを証明できる. ------------------------------------------------- Car nommant R cette quantité,et désignant par R′,R′′,R′′′,…,R(A−2) les valeurs de R qui résulteraient de la substitution des nombres 1,2,3,…,A−2 à la place de q,
そこでこの量をRと名付ける. さらにq=1,2,3,…,A−2 を順に代入して得られる値を R′,R′′,R′′′,…,R(A−2)と書くことにする. ------------------------------------------------- on aura R′−(A−3)R′′+2(A−3)(A−4)R′′′−⋯+R(A−2)=1.2.3⋯(A−3)Bm.
有限差分法により、 R′−(A−3)R′′+2(A−3)(A−4)R′′′−⋯+R(A−2)=1.2.3⋯(A−3)Bm. が成立する. これは先ほどPに対して得られた関係式と全く同じ型の恒等式でありR(q)が次数A−3の多項式であることから従う. ------------------------------------------------- Or comme A est premier et que B n’est pas divisible par A, il est clair que le nombre 1.2.3⋯(A−3)Bm ne le sera pas non plus ;donc, etc.
------------------------------------------------- COROLLAIRE I. Si l’on fait B=−1etC=−1, on aura le nombrep2+q2+1 qui sera divisible par A;
系 I. もしB=−1,C=−1と置けば、 定理IIより、p2+q2+1がA で割り切れるような整数p,qが存在する. ------------------------------------------------- d’où il s’ensuit qu’étant donné un nombre premier quelconque on peut toujours trouver un nombre égal à la somme de trois carrés entiers dont l’un soit même l’unité, lequel soit divisible par le nombre premier donné.
したがって、任意の素数Aに対して、 p2+q2+12という形の、 三つの整数平方の和(そのうち一つは12)で表される数を見つけることができ、 しかもその数は与えられた素数Aで割り切れる. ------------------------------------------------- Ce Théorème a déjà été démontré par M. Euler d’une autre manière, dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg ; mais pour ne rien laisser à désirer à nos lecteurs nous avons cru devoir le démontrer de nouveau, d’autant plus que notre démonstration a l’avantage d’avoir une très-grande généralité.
------------------------------------------------- COROLLAIRE II. Combinant donc le Théorème précédent avec celui de la Remarque qui est après le Théorème I, on en déduira celle-ci :
系 II. したがって、前定理(定理II)と、定理Iの後に置かれた注記の結果とを組み合わせれば、次の命題が導かれる. ------------------------------------------------- que tout nombre premier est nécessairement égal à la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers.
すべての素数は必ず四個以下の整数平方の和として表される. すなわち任意の素数pに対して、 p=x12+x22+x32+x42 (あるいは一部が 0 の場合を含む)となる整数 x1,x2,x3,x4が存在する. ------------------------------------------------- D’où il est aisé de conclure que tout nombre entier est aussi égal à la somme de quatre ou d’un moindre nombre de carrés entiers ;
ここから、 すべての整数もまた四個以下の整数平方の和として表されることが容易に結論される. ------------------------------------------------- car on sait que le produit de deux, ou de plusieurs nombres égaux chacun à la somme de quatre, ou d’un moindre nombre de carrés, est aussi nécessairement égal à la somme de quatre, ou d’un moindre nombre de carrés ;
なぜなら、それぞれが四個以下の平方の和で表される二つ以上の数の積も、 やはり四個以下の平方の和として表されることが知られているからである. ------------------------------------------------- en effet on a (p2+q2+r2+s2)(p′2+q′2+r′2+s′2)= (pp′−qq′−rr′+ss′)2+(pq′+qp′−rs′−sr′)2 +(pr′+qs′+rp′+sq)2+(qr′−ps′+sp′−rq′)2.
注釈 これは今日 オイラーの四平方恒等式 （Euler’s Four-Square Identity） として知られている公式である. ------------------------------------------------- et même plus généralement (p−Bq2−Cr2+BCs2)(p′−Bq′2−Cr′2+BCs′2) =(pp′+Bqq′+C(rr′+Bss′))2 −B(pq′+qp′+C(rs′+sr′))2 −C(pr′+rp′+B(qs′+sq′))2 +BC(ps′+sp′−qr′+rq′)2. (活字の崩れを現代記法に整理.)
