第3回│分数の足し算とかけ算は、なぜルールが違うのか――数学アレルギーのための見取図

はじめに

分数は、数学の理解にとって、とても大事な土台です。この連載では、数学が苦手な方に届くように、あえて同じ考え方を角度を変えて何度か説明します。「なんとなく分からない」を残さないために、ゆっくり丁寧に進めていきます。

分数でつまずく理由の一つは、計算によってルールが急に変わるように見えることです。

・足し算では、分母をそろえる。
・かけ算では、分母同士、分子同士をかける。
・割り算では、ひっくり返してかける。

こうして並べると、分数はまるで、計算ごとに別々の呪文を唱えなければならない世界のように見えます。

なぜ、足し算とかけ算で、やり方がこんなに違うのか。ここが見えないまま進むと、分数は「とにかくルールを覚えるもの」になってしまいます。

前回、分数とは「割り算の答え」であり、割り切れない世界を見捨てないための道具だと考えました。

今回は、足し算とかけ算で私たちが一体何をしているのか、その正体をのぞいてみましょう。まずは、足し算から考えてみます。

ここで、先に小さな問題を出しておきます。「1メートルのひもの半分」と、「5メートルのひもの3分の1」を合わせたら、何メートルになるでしょうか。

分数だけを見ると、つい1/2 ＋ 1/3と考えたくなるかもしれません。でも、本当にそれでよいのでしょうか。答えは、少し後で出てきます。まずはその前に、分数の足し算で私たちが何をしているのかを確認していきます。

さて、なぜ足し算では、そのまま足してはダメなのか？
たとえば、「1/2 ＋ 1/3」を計算するときに、つい上と上、下と下を足して、

1/2 ＋ 1/3 ＝ 2/5

としたくなることがあります。見た目としては、とても自然ですよね。

でも、これは間違いです。なぜなら、「答えの大きさの感覚」がズレてしまうからです。

ちょっと想像してみてください。1/2 は半分です。そこに 1/3 を足したのなら、当然、もとの半分より大きくなるはずです。ところが、上と上、下と下を足し合わせた 2/5 を小数に直すと 0.4。半分、つまり0.5より小さくなってしまいます。

足したはずなのに、足す前より小さくなる。そんなおかしなことはありません。では、なぜそのまま足してはダメなのでしょうか。

それは、分数の足し算が、同じ「何分の1」が何個あるかを数える計算だからです。

ここで、分数の見方を少し変えてみましょう。
2/3 とは、「3分の1」が2個あるという意味です。
1/3 とは、「3分の1」が1個あるという意味です。

これなら、どちらも同じ「3分の1」を数えているので、そのまま個数を合わせることができます。
「3分の1」が2個　＋　「3分の1」が1個
合計すると、「3分の1」が3個。
つまり、答えは 3/3 です。

一方、1/2 ＋ 1/3 はどうでしょうか。
1/2 は、「2分の1」が1個。
1/3 は、「3分の1」が1個。

これでは、数えている「何分の1」が違います。違うものが2つある状態なので、そのまま個数だけを合わせることはできません。同じ「何分の1」で数えられる形に直す必要があります。それが「通分」です。

分母をそろえる＝数える基準をそろえること

1/2 と 1/3 の両方に共通する「何分の1」を探すと、「6分の1」が見つかります。

1/2 は、「6分の1」が3個分に直せます。
つまり 3/6 です。

1/3 は、「6分の1」が2個分に直せます。
つまり 2/6 です。

これで、どちらも同じ「6分の1」で数えられるようになりました。
「6分の1」が3個と、「6分の1」が2個。
合わせて「6分の1」が5個。だから 5/6 になる。
つまり、3/6 ＋ 2/6 ＝ 5/6　です。

分数の足し算で分母をそろえるのは、ただの形式ではありません。違う「何分の1」で数えているものを、同じ「何分の1」で数え直してから、個数を合わせるための作業なのです。

イメージがつきにくい方は、長さに直せる例を思い浮かべてみてください。
たとえば、1メートルの　1/2＋1/5　をみてみます。

1メートル、つまり100cmの2分の1は50cmです。同じ1メートルの5分の1は20cmです。これを分数で見るときは、どちらも「10分の1」で数え直すことができます。
1/2 ＝ 5/10
1/5 ＝ 2/10

つまり、「10分の1」が5個と、「10分の1」が2個。
合わせて「10分の1」が7個。

だから 7/10 になります。長さでいえば70cmです。

【一歩深掘り】文章題の隠れた大前提

さて、同じ「何分の1」で数え直せば何でも足せるかというと、文章題ではもう一つ大切な確認があります。それが、「何を1、つまり全体として見ているか」です。

冒頭の問題に戻りましょう。

「1メートルのひもの半分」と、「5メートルのひもの3分の1」を合わせたら、何メートルになるでしょうか。

1/2 ＋ 1/3 ＝ 5/6メートル
……絶対になりませんよね。5メートルのひもの3分の1は、それだけで1メートルより長いからです。それなのに、全部合わせて 5/6メートル になるはずがありません。

計算問題として「1/2 ＋ 1/3」と書かれているときは、どちらも「同じ数直線上の数」として扱います。量としてイメージするなら、同じ「1」を基準にした半分と3分の1だと考えると分かりやすいでしょう。この場合は、そのまま1/2＋1/3として通分できます。

しかし、上の文章題では「1メートルの半分」と「5メートルの3分の1」ですから、見ている全体が違います。だから、分数の形だけを見て、いきなり 1/2 ＋ 1/3 としてはいけません。この場合は、まず実際の長さに直す必要があります。

1メートルの半分は、1/2メートル。
5メートルの3分の1は、1/5メートルの5倍の長さなので、5/3メートル。

ここまで直せば、どちらも「メートル」という同じ単位になります。
1/2メートル ＋ 5/3メートル
＝ 3/6メートル ＋ 10/6メートル
＝ 13/6メートル
つまり、2と1/6メートル。小数で表すと約2.17メートルです。

分数の足し算には、実はこの二段構えのステップがあります。何を1、つまり全体として見ているのかを確かめる。そのうえで、同じ「何分の1」で数えられる形に直して、個数を足す。

足し算は、別々の量を「ひとつに合わせる」計算です。だから、同じ土台で数えられる形にする必要があるのです。

次に、かけ算を見てみましょう。
なぜ、かけ算では分母をそろえなくてよいのか

足し算では、あれほど苦労して分母をそろえたのに、かけ算ではその必要がありません。ここが、分数の計算を怪しく見せる原因の一つです。

でも、理由ははっきりしています。
足し算とかけ算では、していることが根本的に違うからです。

足し算は、同じ「何分の1」で数え直してから、個数を合わせる計算でした。

一方、かけ算は、ある数を「何倍にするか」を表す計算です。

たとえば、1,000円の半分は500円です。

1,000 × 1/2 ＝ 500

1/2をかけるとは、もとの大きさを1/2倍、つまり半分にすることです。

特に、1より小さい分数をかける場合は、「ある大きさの、さらに何分のいくつを見る計算」と考えると分かりやすくなります。「部分の、さらに部分を見る計算」といってもよいでしょう。

まずは、簡単な例から考えてみます。

1/2 × 1/2

これは、1/2をさらに1/2倍する計算です。言い換えれば、「半分の、さらに半分」を求めています。

何かを半分にし、その半分をもう一度半分にすれば、もとの全体の1/4になります。

1/2 × 1/2 ＝ 1/4

分数のかけ算は、このように「ある部分の、さらにその一部分」を求める計算です。

では、同じ考えで、もう少し複雑な

2/3 × 3/4

を考えてみましょう。 これは、2/3を3/4倍する、つまり「3分の2にあたる大きさの、さらに4分の3」を求める計算です。

板チョコの例で考えてみましょう。
ここで、「なぜチョコが12マスになるのか」を先に確認しておきましょう。

2/3 と 3/4 を図で同時に表すには、

3等分 と 4等分 の両方が見える形にする必要があります。

そこで、分母の数をそのままマス目に表して、縦に3列、横に4行 のマス目を作ります。

すると、全体は

3 × 4 ＝ 12

で、12個の同じ小さなマス に分かれます。

この12マスのチョコを使えば、2/3 も 3/4 も一つの図の中で同時に表せます。

まず、縦に3列あるうちの 2列分 が、全体の 2/3 です。

次に、その2/3の部分について、横に4行あるうちの 3行分 を見ます。

これが、「2/3 の、さらに 3/4」という意味です。

すると、重なった部分は、

2列 × 3行 ＝ 6マス　になります。

全体は12マスなので、

2/3 × 3/4 ＝ 6/12　です。

そして、6/12 は約分すると　1/2　になります。

この図を見ると、分数のかけ算のしくみが自然に見えてきます。

2/3 × 3/4 ＝ (2×3)/(3×4) ＝ 6/12

という形になるのは、ただの暗記ルールではありません。図にすると、そうならざるをえないのです。

分数のかけ算は、同じものを足し合わせる計算ではなく、ある部分をさらに小さく区切って、その重なりを見る計算 なのです。

次回予告

ここまで来ると、次の関門が見えてきます。
分数の割り算です。学校では、
「割る数をひっくり返してかける」と習いました。

2/3 ÷ 4/5 ＝ 2/3 × 5/4

計算は、これでできます。
でも、なぜひっくり返すのでしょうか。
なぜ、割り算なのに、かけ算へ変わるのでしょうか。

次回は、分数の割り算のナゾを、計算の意味から考えていきます。

数学アレルギーのための見取図　第４回はこちら↓