第5回｜割合とは、基準を1として見ることである――数学アレルギーのための見取図

――数字より先に、「何を100％と見るか」を決めるべし

割合やパーセントに、強いアレルギーを持っている人は、それほど多くないかもしれません。

分数の割り算や、マイナス同士のかけ算に比べれば、割合は身近な存在です。

30％引き、消費税10％、支持率、利益率、前年比

ニュースでは毎日出てきますし、仕事や買い物でも当たり前に接します。

だから、多くの人はこう思っているのではないでしょうか。

「パーセントは、そこまで苦手ではない」
「数学は嫌いだけど、割合はまあ大丈夫」

ところが、割合には少し厄介な特徴があります。苦手意識はそれほどないのに、実はきちんと理解できていない人が意外と多いのです。

次の問題を考えてみてください。

ある町の面積に占める森林の割合は、10年前は50％でした。今年は30％になりました。町全体の面積は変わっていません。

では、10年前の森林面積を基準にすると、今年の森林面積は何％減ったでしょうか。

この問題は、全国10の国立大学法人の教員養成系学部で、算数科教育法を受講していた大学生1022人を対象にした調査で出された問題をもとにしています。

対象は、中学校数学の免許を取得しない学生たちです。数学を専門に教える教員候補ではありませんが、将来、小学校で算数を教える可能性のある学生たちです。

この問題の正答率は、43.9％でした。

多かった誤答は、「20％」や「60％」でした。

ここで大事なのは、国立大学の教員養成系の学生なのに割合もできない、と笑うことではありません。

むしろ逆です。

計算そのものはできても、正しい答えに辿り着けない。正しいと思っているのに、実は正しくないという怖さです。

そもそも、割合とは何でしょうか。
教科書では、次のように表されます。

割合 ＝ 比べる量 ÷ もとにする量

どこか呪文のようです。

もう少し分かりやすく考えてみると、

割合とは、「もとにする量を1と見たとき、比べる量がその何倍にあたるか」を表したものです。

たとえば、りんごが10個あります。
そのうち3個が赤いりんごです。
このとき、もとにする量は、りんご全体の10個です。10個全体を1と見ると、1個は1/10にあたります。

赤いりんごは3個なので、3/10＝0.3

計算では、3÷10＝0.3　となります。

つまり、赤いりんごの割合は0.3です。

ここで大事なのは、赤いりんごが「3個ある」ことと、赤いりんごの割合が「0.3である」ことは、同じものではないということです。

3個は、実際の個数です。

0.3は、10個を基準にしたとき、3個がその何倍に当たるかを表しています。

つまり、10個を1と見たとき、3個は0.3にあたるということです。

割合とは、実際の量そのものではありません。
基準と比べたときの大きさなのです。

では、パーセントとは何でしょうか。

パーセントとは、もとにする量を100％と見たとき、比べる量がそのうちどれくらいにあたるかを表す方法です。

先ほどの赤いりんごの割合は、0.3でした。

これをパーセントで表すと、

0.3は、100分の30と同じなので、

0.3＝30/100＝30％

となります。
別の量になったわけではありません。

同じ大きさを、小数で表すか、パーセントで表すか。その違いだけです。

0.5＝50％
0.25＝25％
0.1＝10％
0.03＝3％

もとにする量を1と見れば、0.3。
もとにする量を100％と見れば、30％。

ものさしの表し方を変えているだけで、見ている大きさは同じです。

割合の問題で、一番大事なのは計算ではありません。まず最初にやるべきことは、何を100％と見るのかを決めることです。これが割合の本質です。

では、最初の森林の問題に戻ります。

10年前、町の面積のうち森林が占める割合は50％でした。今年は30％になりました。町全体の面積は変わっていません。

ここで一番やってはいけないのは、数字だけを見て、すぐに計算を始めることです。

50％と30％。差は20。　

だから20％減。

そう考えたくなる気持ちは、よく分かります。

けれど、問題文には、こう書かれています。

「10年前の森林面積を基準にすると」

ここが重要なポイントです。

「10年前の森林面積を基準にする」とは、10年前の森林面積を100％として見る、という意味です。

町全体を100％として見るのではありません。
10年前の森林面積を100％として見るのです。

ここで、町全体の面積を100目盛りと考えてみます。町全体＝100目盛り

10年前、森林は町全体の50％でした。
したがって、10年前の森林＝50目盛りです。

今年、森林は町全体の30％になりました。
したがって、今年の森林＝30目盛りです。

森林は、50目盛りから30目盛りになりました。

減った量は、

50－30＝20目盛りです。

ここまでは、「20」で合っています。

ただし、問題はここからです。

この20目盛りは、何を基準にした20目盛りなのでしょうか。

町全体の100目盛りを基準にすれば、20目盛りは20％です。

しかし、問題が聞いているのは、

10年前の森林面積を基準にすると、何％減ったかです。

10年前の森林面積は50目盛りでした。
そのうち、20目盛りが減りました。

したがって、

20÷50＝0.4　です。

0.4は40％なので、10年前の森林面積を基準にすると、今年の森林面積は40％減ったことになります。答えは40％減です。

ここで、「20」と「40」の違いを整理しておきます。

森林が町全体に占める割合は、50％から30％になりました。その差は20です。

ただし、この差は、「20パーセントポイント」減と表します。

10年前は、町全体の50％。
今年は、町全体の30％。

町全体を基準にした割合が、20パーセントポイント（略して、20ポイント）下がったのです。

一方、

10年前の森林面積から何％減ったのか、と聞かれた場合には、10年前の森林面積を基準にします。

10年前の森林は50目盛り。
減ったのは20目盛り。

したがって、

20÷50＝0.4＝40％　です。

50目盛りを100%とみれば、そのうち20目盛りは40%にあたるということです。

つまり、森林が町全体に占める割合は、20ポイント下がった。

森林面積そのものは、10年前に比べて40％減ったということになります。

同じ変化を見ていますが、基準が違うため、数字の意味も違います。

割合とは、数字だけで決まるものではありません。何を基準にするかとセットで決まるものなのです。

では、誤答で多かった「60％」は、何だったのでしょうか。

これも、まったく意味のない数字ではありません。

10年前の森林は50目盛り、今年の森林は30目盛りです。今年の森林が、10年前の森林のどれくらいにあたるのかを考えると、

30÷50＝0.6＝60％　です。

つまり、今年の森林面積は、10年前の森林面積の60％にあたるという意味なら、60％で正しいのです。

ただし、問題が聞いているのは、何％残っているか

ではなく、何％減ったかです。

60％残っているなら、減ったのは、

100％－60％＝40％　です。

したがって、正答は40％減になります。

ここも、割合の怖いところです。60％という答えは、全く理解していないわけではありません。むしろ、かなり近いところまできています。

ただ、聞かれているものと少しずれているのです。割合の問題では、この「少しのずれ」が本当によく起こります。

日常のパーセントでも、同じことが起こります。

たとえば、ある商品の売上が100万円から120万円になったとします。売上は20万円増えました。
では、何％増えたのでしょうか。

基準は、増える前の100万円です。
増えた20万円を、もとの100万円で割ります。

20万円÷100万円＝0.2

したがって、20％増です。

では、120万円から100万円に戻ったらどうでしょうか。20万円減ったのだから、同じように20％減でしょうか。違います。

今度の基準は、減る前の120万円です。
減った20万円を120万円で割るので、

20万円÷120万円＝1/6

1/6は、およそ0.167。したがって、およそ16.7％減になります。

つまり、100万円から120万円になると、20％増。
120万円から100万円に戻ると、約16.7％減。

増えた量も、減った量も、同じ20万円です。
けれど、割合は同じではありません。
なぜなら、基準が違うからです。

割合とは、量そのものではありません。基準に対して、どれくらいの大きさかを表したものなのです。

ここで、もう一度、教科書の式に戻ります。

割合＝比べる量÷もとにする量

最初に見たときは呪文のようでしたが、もう怖くありません。​先ほどの森林の問題を、この式に当てはめてみましょう。聞かれていたのは、「10年前の森林から何％減ったか」でした。

もとにする量（基準） ＝ 10年前の森林（50目盛り）

​比べる量（減った量） ＝ 減った森林（20目盛り）

​20（比べる量） ÷ 50（もとにする量） ＝ 0.4

割合は0.4。つまり40％です。

「もとにする量」とは、1（あるいは100％）として見る基準のこと。

「比べる量」とは、その基準と比べたい量。

少しは見えやすくなりましたか。

では、「3割引」や「打率3割」の「割」は、どうでしょうか。

この「割」も、割合の表し方の一つです。

1割とは、基準を10等分したうちの1つです。

つまり、

1割＝1/10＝0.1＝10％

3割なら、

3割＝3/10＝0.3＝30％

すべて、同じ大きさを違う形で表しているだけです。小数か、分数か、パーセントか、割か。

見た目は違っても、どれも、基準に対して、どれくらいにあたるかを表しています。

割合を考えるときに大切なのは、何を1と見るのか、何を100％と見るのかを決めることでした。この補助線が引けるだけで、割合の世界はかなり見通しがよくなります。

参考

柗元新一郎・熊倉啓之・國宗進（2021）「小学校教員養成段階における大学生の割合の理解に関する調査研究――中学生・高校生の調査結果との比較を通して」『静岡大学教育実践総合センター紀要』第31号、137–146頁。

第6回はこちら↓↓