第6回｜比の数字が変わるとき、何が変わっているのか――数学アレルギーのための見取図

今回は比の問題を、できるだけ優しく見ていきます。

まずは次の問題を考えてみてください。

【問題1】

AさんとBさんが持っているお金の比は、最初 7：5 でした。AさんがBさんに12円渡すと、比は 5：7 になりました。最初、二人はそれぞれ何円持っていたでしょうか。

比の問題が難しく感じる一番の理由は、計算が複雑だからではありません。

「7：5という数字が、実際には何を表しているのか」が見えにくいからです。

比とは、二つの量を「同じ大きさのまとまり（箱）」で比べたものです。

ここで用語をはっきりさせておきます。

箱の数 ＝ 比の数字
箱の大きさ ＝ 1単位の量（中身の金額）

AさんとBさんのお金の比が7：5なら、
Aさんには同じ大きさの箱が7個、
Bさんには同じ大きさの箱が5個ある、ということです。

比は、同じ大きさの「1個分」を何個ずつ持っているかで表せます。

ただし、比が変わったとき、前と後でその「1個分」が同じ大きさとは限りません。特に、全体の量が同じなのに比の合計が変われば、「1個分」の大きさも変わります。

この点を頭に入れておくと、あとで混乱しにくくなります。

箱1個の中身は、まだ分かりません。でも、箱1個分の金額さえ分かれば、実際の金額も分かります。

ここが比の問題の核心です。
まずは数式を使わずに、算数で考えてみます。

最初、二人の箱を合わせると 7 + 5 = 12 個分です。
AさんがBさんに12円渡したあと、比は5：7になりました。

移動後も箱を合わせると 5 + 7 = 12 個分です。
ここで大事な点があります。

AさんがBさんにお金を渡しても、二人の合計金額は変わりません。外から増えたり消えたりしていないからです。そして、最初も移動後も「箱の合計」が同じ12個です。

合計金額が同じで、箱の個数も同じなら、箱1個の大きさ（中身）も同じだと分かります。

Aさんに注目します。
最初は箱が7個。
渡したあとは5個。
減った箱は2個分です。

この減った2個分が、ちょうど渡した12円です。

だから、12円 ÷ 2個 = 6円

箱1個の中身は6円だと分かります。

これで最初の金額が出ます。
Aさん：6円 × 7個 = 42円
Bさん：6円 × 5個 = 30円

確かめてみます。
Aさんが12円渡すと、
A：42 - 12 = 30円
B：30 + 12 = 42円

比は30：42。両方を6で割ると5：7になり、問題の条件と一致します。

では、ここから数学を使います。
数学では、まだ分からない「箱1個分の金額」を x 円 と置きます。

実は、さっきまで使っていた箱モデルは、この x を具体物に置き換えたものです。

箱1個分が x 円。それを具体的な「箱」というイメージで考えていた、というのが正確な関係です。

すると、以下のように表せます。
最初のAさん：7x 円
最初のBさん：5x 円

Aさんが12円渡すと
後のAさん：7x - 12円
後のBさん：5x + 12円

この比が5：7なので、

(7x - 12) : (5x + 12) = 5 : 7

ここで、比例式の基本性質を使います。比例式では、外項の積と内項の積が等しくなります。

なぜこの性質が成り立つのかを、確認しておきます。まず、比には割り算と深い関係があります。

a：b の「比の値」は、a÷b、つまり a/b で表せます。

したがって、
a : b = c : d
という比例式は、

a/b = c/d
と書き換えることができます。

次に、この分数の等式の両辺に、同じ数を掛けても等式は成り立ちます。ここでは両辺に「b × d」を掛けます。

左辺に b × d を掛けると、
(a/b) × (b × d) = a × d

右辺に b × d を掛けると、
(c/d) × (b × d) = c × b

左辺と右辺が等しいので、
a × d = b × c

これが「外項の積＝内項の積」の正体です。

再度確認すると、
a : b = c : d

これの外項aとd、内項bとcをかけ合わせると、
a × d = b × c
が成り立つというわけです。

この性質を使うと、次のようになります。
7 × (7x - 12) = 5 × (5x + 12)

かっこを外すと、
49x - 84 = 25x + 60

ここから、xを含む項を左側、数字を右側にまとめます。（移項）
ただし、「移項」といっても、数字が勝手に反対側へ移動しているわけではありません。

まず、両辺から25xを引きます。
49x - 25x - 84 = 25x -25x + 60

すると、
24x - 84 = 60

次に、両辺に84を足します。
24x - 84 + 84 =  60 + 84

24x = 144

最後に、両辺を24で割ります。
x = 6

学校では、この一連の操作を短く書いて、
49x - 84 = 25x + 60
24x = 144
と進めることがあります。これが「移項」です。

右側にあった25xが左側へ移るとマイナスになり、左側にあった-84が右側へ移るとプラスになるように見えます。

でも実際には、等式を壊さないように、左右に同じ計算をしているだけです。

さて、問題に戻って、
x = 6
箱1個は6円。

Aさん42円、Bさん30円。
算数と同じ答えになります。

ここで疑問が出るかもしれません。
「算数で簡単に解けるなら、方程式なんていらないのでは？」

たしかに、問題1だけなら算数の方が速いです。

しかし、次の問題を見てください。

【問題2】

AさんとBさんが持っているお金の比は、最初 7：5 でした。AさんがBさんに15円渡すと、比は 4：5 になりました。最初、二人はそれぞれ何円持っていたでしょうか。

最初に確認した点を思い出してください。

全体の量が同じなのに比の合計が変われば、「1個分」の大きさも変わります。

この問題では、最初の比の合計が12個、移動後の比の合計が9個です。

合計金額は変わっていないのに、箱の数が変わっています。これは、箱1個の大きさが途中で変わったからです。

箱の大きさが変わると、最初の箱と後の箱が同じ「単位」ではなくなります。そのため、問題1のように「減った箱2個分が、そのまま渡した金額にあたる」と考えることはできません。

算数だけで追いかけると、頭が混乱しやすいです。一方、数学（方程式）なら、問題1とまったく同じ手順で迷わず機械的に進められます。

最初の箱1個を x 円と置く。

移動後の金額は
Aさん：7x - 15
Bさん：5x + 15

比が4：5なので
(7x - 15) : (5x + 15) = 4 : 5

外項の積と内項の積が等しいので、
5 × (7x - 15) = 4 × (5x + 15)

かっこを外すと、
35x - 75 = 20x + 60

問題1と同じように、両辺に同じ操作をして整理します。
x を左側に、数字を右側にまとめると、
15x = 135

x = 9

Aさん：9 × 7 = 63円
Bさん：9 × 5 = 45円

確かめると、15円渡したあと48：60になり、4：5と一致します。

〈今回の結論〉

算数は、意味をつかむ道具です。
数学は、関係を整理する道具です。
両者は同じ道の上にあります。