検算の種類

はじめに

「検算をしろ」「計算を見直せ」と言われることがあると思う．

同じことを繰り返すのはつまらない．また，同じ計算を同じように繰り返しただけだと，同じところでまた躓くリスクがある．

ならば違った方法で確認したい．

これは言い換えると「完全に別の観点から検証する」ことと言える．

検算方法の整理 

さて，不定積分を求めた場合，微分すると元に戻るということが知られている．また，方程式を解いた際に出てきた答えを方程式の左辺に代入すると，右辺と等しくなることも確認できる．大学範囲の数学を学んでいる人は，逆行列の計算にも取り組んでいるはずだ．

こういった検算方法を整理してみよう．

不定積分の検算

例えば，$(x+1)$ の不定積分は， $\dfrac{1}{2}x^2 +x+\mathrm{C}$である．

それを微分すると$(x+1)$ になる．

さて，$(x+1)$ の不定積分は，$\dfrac{1}{2}(x+1)^2+\mathrm{C}$とも答えられる．

これを展開すると$\dfrac{1}{2}x^2 +x+ \dfrac{1}{2}+\mathrm{C}$となる．

最初に出てきた$\dfrac{1}{2}x^2 +x+\mathrm{C}$とは一見違うように見えるが，これら2つは同じということは自信を持って言えるだろうか．

つまり，最初の$+\mathrm{C}$が何でも良いのと同じく，２つ目の$+ \dfrac{1}{2}+\mathrm{C}$もやはりなんでも良いので，同じことを言っている，ということだ．

結局微分すれば同じ元の形に戻るということなのだが，任意の積分定数$\mathrm{C}$が必要になる不定積分の問題において，少しややこしいかもしれない．

方程式の検算 

また，$(x-1)(x-2)=0$という二次方程式の解を考えてみよう．

これは答えが$x=1$あるいは$2$になる．

仮に，何かの手違いにより$x=1$しか出なかったとする．

その値を元の式の左辺に代入すると，確かに$(=0)$になる．

であるから，$x=1$が答えであることは正しい．

しかし，本来二次方程式の解を求めよ，と言われると，それは解を全て求めよ，ということであるから，検算によって他の解の存在に気づくことはない．

つまり，「その答えが正しい」という確認はできるが，「他に答えがない」ということまでは保証されない．

二次方程式の互いに異なる解が最大で２つあるという知識を持っていなければ，完全な検証はできない．

したがって，「それで答えは全部です」という検算と，「それは合っているが他にもあるかもしれません」という検算の2種類がある，ということに気づくのである．このあたりの話をきちんと考える出発点が，実は高校数学の論理（必要条件・十分条件）という考え方に繋がってくる．

逆行列の検算

また，線形対数を学んでいる人は，行列(A)の逆行列(B)を計算することがある．まず， AとBの積を計算すると単位行列になる，ということに注意．

“行列Aとその逆行列B”は，“行列Bとその逆行列A”とも言い換えられることからわかるように，AとBは2人で1組であり，一方が確定すればもう一方は1人に決まる．

よって，逆行列の検算は，自信を持って答えを1つに特定できる．

まとめ

したがって，不定積分の検算，方程式の検算，逆行列の検算は皆，意味合いが違っていることがわかる．

ざっくりいうと一番安心感のある検算が逆行列であり，続いて不定積分，最後に方程式と言えよう．

検算はあくまでミス検出の一手段にしか見えないかもしれないが，検算の種類の検討を通じて，論理，さらには写像の概念（今回の場合，問題とその回答の対応関係）に関心をもつ手がかりになり得る存在といえる． 

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