500字/③おまけ：円周率とオイラーの等式とアルキメデスのお墓

人の都合で選ばれた片割れ

絶対的な定数だと思っていた円周率
それは使う人にとって便利だったから選ばれただけで、残された片割れも案外元気でやってるのかも知れませんね

表裏一体のようなペア

アルキメデスがお風呂で「ユリーカ（エウレカ、ヘウレーカ）」と叫んで、裸で町へ飛び出したエピソードは有名ですが
お墓に刻んで欲しいと頼んだ図形については初めて知りました

おまけ

美しさは一つじゃない

πをτに置き換えた公式達のなかで
「ん？これも美しくなってるか？？」
と違和感を覚えるものがありました

円の面積を求める式です

πr^2
↓
1/2 × τr^2

AIによると「1/2」は積分の特徴で
球の体積の場合と同じ「原理がそのまま顕れた美しさ」なんですって

円の面積と積分の関係が気になりますね

底辺 × 高さ ÷ 2

円の面積を
「円の中心から円周までの年輪をすべて足し合わせたもの」
と捉えてみます

長方形の面積を
「底辺の直線を高さ分すべて足し合わせたもの」
と捉えるのと同じですよね

すべての年輪を足し合わせるということは

底辺r × 高さτr の「三角形の面積」と同じ

だから2で割るんですねぇ

比例と積分

どんな三角形なのかグラフで表してみます

円周は半径と比例関係にあるのですから
ある半径をx、その年輪をyとするなら
傾きがτのグラフが描けて y = τx ですね

積分すると二次関数
逆に微分すると一次関数になるらしい
と聞いたことしかある程度でしたが
なんとなく理解に近づけた気がしました