図式で学ぶ線形代数 #4 ～行列が作るヒルベルト空間～

2022年7月10日 11:47

連載の記事一覧：
#1 図式の基礎と線形代数の基礎
 #2 スペクトル分解と特異値分解
 #3 テンソル積およびトレース・転置・内積
#4 行列が作るヒルベルト空間
番外編列ベクトルや行列での微分
 番外編その2 ベクトル解析

前回では，cup列ベクトルとcap行ベクトルを導入し，これらを用いるとトレースなどが素直な形で表せることを示しました。今回は，cup列ベクトルにより行列を列ベクトルに変換できて（逆変換もできます）， $m \times n$ 行列全体から成る集合 $\Complex^{m \times n}$ を $mn$ 次元複素ヒルベルト空間とみなせることを述べます。また， $n$ 次エルミート行列全体から成る集合（ $\mathbf{Her}_n$ とおきます）が $n^2$ 次元実ヒルベルト空間とみなせることや， $n$ 次半正定値行列全体から成る集合（ $\mathbf{Pos}_n$ とおきます）が自己双対錐とよばれる構造をもつことなどを述べます。これらの構造は，量子論の数学的構造を理解するための助けになります。

行列 $X$ に対してcup列ベクトルを施すと列ベクトルになります。この操作を格下げとよびます。格下げは可逆な写像であり，その逆写像を格上げとよびます。図式上では，これらの演算を「曲がったひもをつなげる」だけで行えます。

なお，行列を列ベクトルとして表す演算として，一般にはvec演算とよばれるものが知られています。この演算は， $\mathrm{vec} X \coloneqq (I_n \otimes X) \ket{\cup_n}$ と定義できます。格下げとvec演算は単に成分の並び方が異なるだけで，本質的な違いはありません。成分の並び方について具体的に述べておくと， $3 \times 2$ 行列 $X$ に対して

$X = \begin{bmatrix} X_{1,1} & X_{1,2} \\ X_{2,1} & X_{2,2} \\ X_{3,1} & X_{3,2} \\ \end{bmatrix}, \quad \ket{X_\cup} = \begin{bmatrix} X_{1,1} \\ X_{1,2} \\ X_{2,1} \\ X_{2,2} \\ X_{3,1} \\ X_{3,2} \\ \end{bmatrix}, \quad \mathrm{vec} X = \begin{bmatrix} X_{1,1} \\ X_{2,1} \\ X_{3,1} \\ X_{1,2} \\ X_{2,2} \\ X_{3,2} \\ \end{bmatrix}$

となります（ただし $X_{i,j}$ は $X$ の $i$ 行 $j$ 列目の成分）。

格下げでは入力空間を出力空間に置き換えているとみなせます。逆に，格上げでは出力空間を入力空間に置き換えているとみなせます。このように，格下げと格上げは入力と出力を相互に変換するような演算であるといえます。

この命題で表される分解はシュミット分解とよばれます。シュミット分解は「特異値分解の格下げ版」といえます。

$XYZ$ の格下げは $Y$ の格下げに $X \otimes Z^\mathrm{T}$ を掛けることと同じであることが，図式からすぐにわかります。この形の式は，量子論でCP（完全正値）写像を扱う際にしばしば登場します。なお，vec演算についても同様に $\mathrm{vec} (XYZ) = (Z^\mathrm{T} \otimes X) \mathrm{vec} Y$ が成り立ちます。

行列は格下げにより列ベクトルに自由に変換できますので， $m \times n$ 行列全体から成る集合 $\Complex^{m \times n}$ が複素ベクトル空間とみなせて，その次元は $mn$ であることがすぐにわかります。実際，行列の通常のスカラー倍と和を考えれば，ベクトル空間の定義を満たすことを容易に確認できます。また，「ヒルベルト-シュミット内積」とよばれる自然な内積を導入すると， $\Complex^{m \times n}$ は複素ヒルベルト空間とみなせます。なお，量子論ではこの内積が頻繁に登場します。