図式で学ぶ線形代数番外編その2 ～ベクトル解析～

2022年11月18日 15:58

連載の記事一覧：
#1 図式の基礎と線形代数の基礎
 #2 スペクトル分解と特異値分解
 #3 テンソル積およびトレース・転置・内積
 #4 行列が作るヒルベルト空間
 番外編列ベクトルや行列での微分
番外編その2 ベクトル解析

3次元実ベクトル空間 $\R^3$ でのベクトル解析を図式で表現する方法を述べます。多少の慣れが必要ですが，図式を活用すると，数式を用いる場合と比べて素直に表現できて，またいろいろな公式をすぐに導けるようになります。この記事により，図式のおもしろさが少しでも伝われば幸いです。

概要

次の行列を導入します。

ただし， $\epsilon_{ijk}$ は

$\epsilon_{ijk} \coloneqq \begin{dcases} 1, & (i,j,k) \in \{ (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \} \\ -1, & (i,j,k) \in \{ (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1) \} \\ 0, & それ以外 \\ \end{dcases}$

で定義され，レヴィ・チヴィタの記号とよばれます。2個のベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のクロス積（外積やベクトル積ともよばれます） $\vec{a} \times \vec{b}$ は，次の図式で表されます。

次式が成り立つことが知られています。

$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \qquad (1)$

ただし， $\cdot$ は内積です。細かな規則はひとまずスキップして先に結論を示すと，図式では次のようにして導出できます。

この右辺第1項にある $\vec{a}$ と $\vec{c}$ が線でつながったものは内積 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ のことです。このため，この項は $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$ を表しています。右辺第2項も同様です。このことから，この図式が式(1)と対応することが何となくわかるのではないかと思います。