有価証券等、価値が変動する金融資産に対して、ドル・コスト平均法は手軽で比較的お得に購入できる買い方であり、定量売却法は比較的お得に売却できる売り方であることが分かっています。では、同じ金融資産にお得な購入方法とお得な売却方法を同時に行なった場合どうなるのか数式で示してみましょう。
買いながら売るとかそんな馬鹿げたシチュエーション考えて何になるとかあるかも知れませんが、いいんですよ。私が数式考えたいだけなんだから（笑）。みんなも売るときに、同時に買ってることあると思うんですよ。購入設定変更するのが面倒くさくて。で、、、
結論
わざわざ、購入と売却を同時にするのは時間の無駄です。数式的には、購入分と売却分の損益が相殺する傾向があり、何もしない塩漬けと変わらない傾向があります。
数式
さて、無駄という結論に至った数式を示していきますが、総資産は現金と、保有している証券に基準価額を掛けて合算したものとして、以下の定義をしておきます。
\[ \displaystyle
時点tにおける総資産 [円] A(t) = Q(t) + w(t) S(t)
\]
ただし
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
Q(t) &: 時点tにおける現金 [円] \\
S(t) &: 時点tにおける証券数 [口] \\
w(t) &: 時点tにおける単位証券の価格 [円/口]
\end{aligned}
\]
金融資産をゴールドとするなら、単位をグラムにするなど、適切に読み替えてください。単位については、数式の理解を助ける程度でそれほど重要ではありません。
また、ここから購入と売却を同時に行っていきますので、以下も定義しておきます。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
q(t) &: 時点tにおける証券購入額 [円] \\
s(t) &: 時点tにおける証券売却数 [口]
\end{aligned}
\]
以降、時点\( t_i \)における総資産\( A(t_i) \)を簡単のため、\( A_i \)と記述します。同様に\( Q_i, S_i, w_i, q_i, s_i \)と記述します。
早速ですが、証券の購入と売却を行っていきます。最初時点の総資産は、\( A_0 = Q_0 + w_0 S_0 \)です。時点\( t_1 \)において、\( q_1 \)円分の証券を購入し、\( s_1 \)数分の証券を売却します。このとき、以下となります。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
Q_1 &= Q_0 + w_1 s_1 - q_1 \\
S_1 &= S_0 + q_1/w_1 - s_1
\end{aligned}
\]
現金は、売却分増えて購入分減ります。逆に証券数は、購入分増えて売却分減ります。
続けて、時点\( t_2 \)において、\( q_2 \)円分の証券を購入し、\( s_2 \)数分の証券を売却します。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
Q_2 &= Q_1 + w_2 s_2 - q_2 \\
&= (Q_0 + w_1 s_1 - q_1) + w_2 s_2 - q_2 \\
&= Q_0 + (w_1 s_1 - q_1) + (w_2 s_2 - q_2) \\
S_2 &= S_1 + q_2/w_2 - s_2 \\
&= (S_0 + q_1/w_1 - s_1) + q_2/w_2 - s_2 \\
&= S_0 + (q_1/w_1 - s_1) + (q_2/w_2 - s_2) \\
\end{aligned}
\]
同様に続けていき、時点\( t_n \)において、\( q_n \)円分の証券を購入し、\( s_n \)数分の証券を売却します。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
Q_n &= Q_{n-1} + w_n s_n - q_n \\
&= Q_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (w_k s_k - q_k) } \\
S_n &= S_{n-1} + q_n/w_n - s_n \\
&= S_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (q_k/w_k - s_k) } \\
\end{aligned}
\]
上記までが、\( t_n \)時点での現金と証券数を示す式です。時点\( t_n \)における総資産\( A_n \)を計算すると、次式を得ます。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
A_n &= Q_n + w_n S_n \\
&= \left\{ Q_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (w_k s_k - q_k) } \right\} + w_n \left\{ S_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (q_k/w_k - s_k) } \right\} \\
&= Q_0 + w_n S_0 + \sum_{k=1}^{n}{ \left\{ q_k w_n/w_k - q_k - w_n s_k + w_k s_k \right\} }
\end{aligned}
\]
ゆえに
\[ \displaystyle
A_n = Q_0 + w_n S_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (w_n/w_k - 1)(q_k - w_k s_k) }
\]
または
\[ \displaystyle
A_n = \left\{ Q_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (w_k s_k - q_k) } \right\} + w_n \left\{ S_0 + \sum_{k=1}^{n}{ (q_k/w_k - s_k) } \right\}
\]
上式は、毎回証券の購入と売却をしたときの関係式ですが、一般式にもなっています。例えば、売却証券数\( s_k \)を\( 0 \)とし、証券購入額\( q_k \)を定数とすれば、ドル・コスト平均法のケースそのものになります。（この記事の成果ですね ほっ😌）
ここで、最初時点の現金\( Q_0 \)と証券数\( S_0 \)を維持していた場合（購入も売却もせず塩漬けにしていた場合）との総資産を比較してみます。差で比較しますが、求めるのは簡単です。最初時点の"現物"は現金\( Q_0 \)と証券\( S_0 \)であり、\( S_0 \)の現金換算の価値は、\( w_n S_0 \)ですので、既に\( A_n \)に含まれています。即ち、\( A_n \)から塩漬けのときの総資産\( Q_0 + w_n S_0 \)を引いた差は下式となります。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
D &= \sum_{k=1}^{n}{ (w_n/w_k - 1)(q_k - w_k s_k) } \\
&= \sum_{k=1}^{n}{ (w_k - w_n)(s_k - q_k/w_k) } \\
&= \sum_{k=1}^{n}{ (w_n/w_k - 1)q_k } + \sum_{k=1}^{n}{ (w_k - w_n)s_k } \\
\end{aligned}
\]
すっきりしましたね、してないですか？この値\( D \)が大きいほど、最後時点で資産が増えたということになります。
\( D \)は、最後時点（もしくは、最新時点ともいえます）の単位証券価格\( w_n \)の影響が大きそうな式になっていますが、複数の変数が影響するため、このままの式では意味を見い出すことは難しいです。
さて、本記事の主目的である定額購入と、定量売却を同時に行うケース、即ち購入額、購入数双方が定数である\( q_k=q:定数 \)、\( s_k=s:定数 \)のケースを考えます。最後の式に代入して、
\[ \displaystyle
D = \sum_{k=1}^{n}{ (w_n/w_k - 1)q } + \sum_{k=1}^{n}{ (w_k - w_n)s }
\]
なんのことはありませんね。プラスを挟んで左側が購入による影響を示す項で、右側が売却による影響を示す項となります。
ここで、以下を定義します。\( W_b \)は証券単価の調和平均、\( W_s \)は証券単価の相加平均です。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
W_b &= \frac{n}{ \sum_{k=1}^{n}{ \frac{1}{w_k} } } \\
W_s &= \frac{ \sum_{k=1}^{n}{ w_k } }{ n }\\
\end{aligned}
\]
そして、\( W_s \)と\( W_b \)を使って\( D \)を表現します。
\[ \displaystyle
\begin{aligned}
D &= w_n q \sum_{k=1}^{n}{ \frac{1}{w_k} } - q n + s \sum_{k=1}^{n}{ w_k } - s w_n n \\
&= w_n q \frac{n}{W_b} - q n + s n W_s - s w_n n \\
\end{aligned}
\]
ゆえに
\[ \displaystyle
D = \left( w_n / W_b - 1 \right) q n + s \left( W_s - w_n \right) n
\]
この式から次のことが分かります。
\( W_b, W_s \)双方ともに平均値のため、大きな変動なく比較的安定しています。一方、最後時点の証券単価\( w_n \)は比較的変動が大きく、購入項、売却項ともに\( w_n \)によりプラスにもマイナスにも変動します。ただし、\( w_n \)が高いときは、購入項はプラス方向に、売却項はマイナス方向に動くのに対し、\( w_n \)が低いときは、購入項はマイナス方向に、売却項はプラス方向に動くことから、反対の特性をもつことも分かり、\( D \)式全体は\( w_n \)の変動に対し頑強ともいえるかも知れません。
。。。という前向きな解釈もできますが、要は、\( D \)式全体、塩漬けと比較した損益への影響は限定的ということです。
以上、お疲れさまでした。
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