Proces Poissona

Ścieżki dwóch procesów Poissona o intensywnościach $\lambda _{I}=2{,}4$ (niebieski) oraz $\lambda _{I}=0{,}6$ (czerwony). W przedziale czasu $[0;14{,}9]$ zrealizowano odpowiednio 30 oraz 8 skoków, co odpowiada proporcji intensywności.

Ścieżki dwóch skompensowanych złożonych procesów Poissona. Intensywność pierwszego wynosi $\lambda _{I}=2{,}4$ i jest 4 razy większa od intensywności $\lambda _{I}=0{,}6$ drugiego procesu. W przedziale czasu $[0;35]$ zarejestrowano 66 oraz 16 skoków (wartość oczekiwana dla pierwszego: 84). Skoki mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej 0,25. Składowa dryfu kompensuje przyrosty skokowe, zapewniając własność martyngału; większe intensywność implikuje silniejszy ujemny dryf.

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa $(N_{t},\;t\geqslant 0)$ zdefiniowana w następujący sposób:

$N_{t}={\begin{cases}0,&X_{1}>t\\\sup\{n:X_{1}+\dots +X_{n}\leqslant t\},&X_{1}\leqslant t\end{cases}}$

gdzie ciąg $(X_{i})_{i=1,2,3...}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych $X_{i}$ parametrem $\lambda _{I}.$

Parametr $\lambda _{I}$ nazywa się intensywnością procesu Poissona; określa on średnia liczbę zdarzeń losowych w jednostce czasu.

Zmienna $X_{i}$ oznacza czas pomiędzy $(i-1)$-szym a $i$-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a $N_{t}$ to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili $t$.

Równoważne definicje

Def. 1 Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności $\lambda _{I}$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. $N_{0}=0$, tj. w chwili początkowej proces ma wartość zero.
2. Proces ma przyrosty niezależne $N_{t}$ dla $t\geqslant 0$.
3. Realizacje procesu są niemalejącymi, prawostronnie ciągłymi funkcjami schodkowymi o skokach równych jeden.
4. Dla dowolnego $a\geqslant 0$ oraz $t>0$ przyrost $N_{a+t}-N_{a}$ ma rozkład Poissona o parametrze $\lambda _{I}t$, tj.

   $P(N_{a+t}-N_{a}=k)={\frac {(\lambda _{I}t)^{k}}{k!}}e^{-\lambda _{I}t},$

   ${\text{dla }}\,k=0,1,2,\dots$

Def. 2 Proces stochastyczny jest procesem Poissona o natężeniu $\lambda _{I}$ wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. $N_{0}=0.$
2. $(N_{t},\;t\geqslant 0)$ ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
3. $P(N_{h}=1)=\lambda _{I}h+o(h).$
4. $P(N_{h}\geqslant 2)=o(h).$

Niezależność przyrostów oznacza, że liczby zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten nie ma więc pamięci, tzn. wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w kolejnej chwili procesu.

Przykład (obciążenie centrali telefonicznej)

Klasycznym zastosowaniem procesu Poissona jest modelowanie obciążenia central telefonicznych. Załóżmy, że centrala obsługuje średnio 100 rozmów na godzinę. Parametr intensywności wynosi $\lambda _{I}=100$. Dla czasu $t=0{,}5$ godziny oczekiwana liczba zdarzeń wynosi $\lambda =\lambda _{I}\cdot t=50$.

a) Prawdopodobieństwo, że w ciągu pół godziny zostanie nawiązanych co najmniej 76 połączeń, wynosi:

$\mathbb {P} (X(t)>75)=\sum _{k=76}^{\infty }e^{-50}{\frac {50^{k}}{k!}}=1-e^{-50}\sum _{k=0}^{75}{\frac {50^{k}}{k!}}=0{,}000372$

Wartość tej sumy można wyznaczyć np. za pomocą krótkiego programu w języku Python wykorzystującego funkcję poisson.cdf, służącą do obliczania dystrybuanty rozkładu Poissona.

from scipy.stats import poisson
print(1 - poisson.cdf(75, 50))

b) Prawdopodobieństwo, że zostanie nawiązanych więcej niż 50 połączeń, można wyznaczyć analogicznie:

$\mathbb {P} (X(t)>50)=\sum _{k=51}^{\infty }e^{-50}{\frac {50^{k}}{k!}}=1-e^{-50}\sum _{k=0}^{50}{\frac {50^{k}}{k!}}=0{,}462.$

Własności

(1) Niech $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$ Wtedy $S_{n}$ ma rozkład Erlanga z parametrami $k=n,\ \theta =1/{\lambda _{I}}.$

(2) Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa

Bibliografia

• Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993.
• Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.