超動くマンカラ番外編：カラハ一人勝ち問題（７）～お手玉ンカラ「Seethaipandi」を拡張する（前篇）。

前回の超動くマンカラはこちら。

今回は、番外編。
前回の「Seethaipandi（シータイパンディ）」につながります。

「シータイパンディ」は、盤面１４個の穴に、７、６、５、……、２、１と、７から１ずつ少なくなって１で終わる「減少自然数数列」の２組になるように、石を配置（下の図）しました。

で、気になりました。
これって、数列の長さを変えたり、数列の組を増やしたりしても、ちゃんとお手玉ンカラになっているかもしれない、と。
「シータイパンディ」を一般拡張できるのではないか、と。
今回は、現時点でいろいろ実験してみたことを、書いていきます。
「シータイパンディ」の一般拡張を、仮に

「Seethai'p'pandi（シータいっぱんディ）」

と呼ばせていただきます。

レピュニットをシータイパンディしてみる

レピュニット。
聞き慣れない言葉ですが、要は「１がずっと並んだ数」になります。

英語で綴ると「Repunit」。
繰り返し（Repear）の単位（Unit）を短縮した言葉です。

「シータいっぱんディ」でのレピュニットは「ｎ個穴のある盤面で、１つの穴に石を１個配置する（ｎは自然数）」になります。
とまあ、こんな定義を書いても、さっぱりわかりません、かも知れないので、実際に状況を用意してみます。

◆穴１個のレピュニット：

１

盤面は穴１個なので、石１個配置します。
手番でただ１個の穴からただ１個の石を取って手持ちとし、マンカラの動きに従い、その隣の穴、つまり、ただ１個の穴に手持ちとしたただ１個の石を入れます。
盤面は最初の状態になっているので、目的を達成してゲーム修了です。
かかった手数は１手です。

◆穴２個のレピュニット：

０手目：１１
１手目：０２

２個の場合です。
０手目は、最初の状態です。
石を取る穴を太字にしてあります。
マンカラを行い、石を動かします。
「シータいっぱんディ」では、次の手番で石を動かす穴は、前の手番で最後に石を置いた穴の隣の穴になります。
２手目で石を動かす穴は、石のない穴になります。
つまり、穴２個のレピュニットは、目的を達成できません。

◆穴３個のレピュニット：

０手目：１１１
１手目：０２１
２手目：１２０
３手目：１１１

３個の場合です。
こちらは、３手目で盤面の配置は最初（０手目）と同じ配置になりました。
では解答は３手……かというと、ちょっと待ってください。

石を取る位置が異なります。

１つ先にズレています。
もう少し続けてみると、

３手目：１１１
……………
６手目：１１１
……………
９手目：１１１

９手目で、石を動かす穴も最初の状態になります。
なので、９手となります。

◆穴４個以上のレピュニット：

結論から書くと、４個以上はできません。

４個の場合だと、２手目で、

０２０２

となってしまいます。
実は、盤面が偶数（２ｍ、ｍは２以上の自然数）個の穴だと、ｍ手目に

０２０２………………０２０２

となってしまうのです。
５個の場合は、

０手目：１１１１１
１手目：０２１１１
２手目：０２０２１
３手目：１２０２０
４手目：１０１３０

で、目的が達成できません。
実は、残りの盤面が奇数（２ｍ＋１、ｍは２以上の自然数）個の穴だと、（ｍ＋２）手目に

１０１３０２０………０２０２０

となってしまうのです。
つまり、レピュニットの場合は、盤面の穴の数が、１個もしくは３個だと、お手玉ンカラができます。

数列１組をシータイパンディしてみる

もう１つシンプルなものを考えてみます。
数列が１組だけの場合です。
オリジナルの「シータイパンディ」から変化させると、

０手目：７６５４３２１

上のような盤面と石の配置になります。
実際に動かしてみると、

１手目：１７６５４３２
２手目：２１７６５４３
３手目：３２１７６５４
４手目：４３２１７６５
５手目：５４３２１７６
６手目：６５４３２１７
７手目：７６５４３２１

と、穴１個分石を動かす方向に数列がズレていきます。
穴の数と手数が同じ数で、目的が達成します。
実は、穴ｎ（ｎは自然数）個の盤面で、

　　　０手目：ｎ…………３２１
　　　１手目：１ｎ…………３２
　　　…………
ｎー１手目：…………２１ｎ
　　　ｎ手目：ｎ…………３２１

と、ｎ手かかって元の状態に戻ります。

数列２組をシータイパンディしてみる

７から１までの２組の数列だと「シータパンディ」と同じ盤面になります。
それ以外、ｎから１までの２組の数列の配置を考えてみます。
まず、オリジナルの「シータイパンディ」はどうだったかというと、

０手目：７６５４３２１７６５４３２１
１手目：０７６５４３２８７５４３２１
２手目：１７６５４３２８０６５４３２
３手目：１０７６５４３９１６５４３２
４手目：２１７６５４３９１０６５４３
５手目：２１０７６５４10２１６５４３
６手目：３２１７６５４10２１０６５４
７手目：３２１０７６５11３２１６５４
８手目：４３２１７６５11３２１０６５
９手目：４３２１０７６12４３２１６５
10手目：５４３２１７６12４３２１０６
11手目：５４３２１０７13５４３２１６
12手目：６５４３２１７13５４３２１０
13手目：６５４３２１０14６５４３２１
14手目：０６５４３２１14６５４３２１
15手目：１７６５４３２１７６５４３２

となって、１５手目で最初の盤面の配置から穴１つ分ずれる状態に並びます。
この１５手を１サイクルと数えると、７サイクル目、つまり、１０５手目で最初の状態に戻ります。

では、ほかの場合も試してみます。
５から１の数列２組だと、

０手目：５４３２１５４３２１
１手目：０５４３２６４３２１
２手目：１５４３２６０４３２
３手目：１０５４３７１４３２
４手目：２１５４３７１０４３
５手目：２１０５４８２１４３
６手目：３２１５４８２１０４
７手目：３２１０５９３２１４
８手目：４３２１５９３２１０
９手目：４３２１０10４３２１
10手目：０４３２１10４３２１
11手目：１５４３２１５４３２

11手で１サイクル。
５サイクルで元の配置となるので５５手かかります。

ところで、「７から１の２組の１サイクルの手順」と「５から１の２組の１サイクルの手順」をみると、非常に似通っています。
実は、「ｎ（ｎは２以上の自然数）から１の２組の１サイクル」は、ほぼこの形式で推移しています。
そこから、手数も推測できます。

です。

ちょっと余談になります。

ｎ（２ｎ＋１）。
この数ですが、ｎをちょっと変えてみます。
ここでのｎは数列の長さですが、穴の数ｌでみてみます。
穴の数ｌは数列２組分なので、ｌ＝２ｎですので、ｎ＝ｌ／２（ｌの半分）です。
代入すると、

ｎ（２ｎ＋１）＝（ｌ／２）（ｌ＋１）＝ｌ（ｌ＋１）／２

です。
これをみて、ピンときた方、いるでしょう。
ｌ＝１０の場合を図示すると、

三角数です。

お待たせしました。
話を戻します。
「ｎ（ｎは２以上の自然数）から１の２組の盤面」はｎ（２ｎ＋１）手で元の状態に戻る、と推測しました。
ｎ＝５だと、

11手目：１５４３２１５４３２
22手目：２１５４３２１５４３
33手目：３２１５４３２１５４
44手目：４３２１５４３２１５
55手目：５４３２１５４３２１

なので、たしかに５×（２×５＋２）＝５×１１＝５５です。

実は、ちょっと仕組んでおりまして、偶数の場合の例を出していませんでした。
最小の２の場合をやってみます。

０手目：２１２１
１手目：０２３１
２手目：１２３０
３手目：１０４１
４手目：０１４１
５手目：１２１２

たしかに、１サイクルは２×１＋１＝５手です。
推測だと、２サイクルで最初の状態に戻る、はずですが、

６手目：２３１０
７手目：２３０１
８手目：０４１１
９手目：１４１０
10手目：１２１２

なんと、手番の石を動かす穴の位置が最初の状態と異なります。
実は、１サイクルで穴１個分ずれるのではなく、穴（ｎ＋１）個分ずれます。
さらにいえば、数列が偶数の場合、奇数の場合からさらに２倍の手数をかけないと手番の石を動かす穴の位置が最初の状態に戻りません。

つまり、「ｎ（ｎは２以上の自然数）から１の２組の盤面」は

ｎ（２ｎ＋１）手：ｎが３以上の奇数
２ｎ（２ｎ＋１）手：ｎが２以上の偶数

動かすと、完全に最初の状態に到達します。

いったんの締め

ということで、「シータイいっぱんディ」の手数を考えてみました。
前篇としていますが、まだやっていない範囲があります。
数列が３組以上の場合、です。

実際、いくつか手作業でやってみました。
まあ、プログラムやスクリプト組めよ、って話がありますが、手作業のほうが色々と気づくことがあるので、ちまちまとやりました。

全て解明したわけではありませんが、いくつかわかったことを次回書いてみます。

では。