問題は解くだけで終わるともったいない！！

　先日調子に乗って赤本を購入しました。
　別に受験予定はありません（笑）

　２０１７年度のセンター入試で、次のような問題があります。
　※記事に合うように、若干記述を変えています。

　もちろん、センター入試で実際に受験した学生にとって、この問題の正誤が最重要です。
　ですが、私のような日曜数学者にとっては、問題の正誤は二の次です。

　では、この問題からどんなことを考えたのか、記事にしてみたいと思います。
　最後まで読んでいただけるとうれしいです！！

１　問題の趣旨

　私が考えるこの問題の趣旨は、
　$x^n+\frac{2^n}{x^n}$で、展開の公式を使って、$n=1,3,4$の値を求める力を測る
ということだと思います。

　これが私の考えた「問題」です。

２　値を求める規則性はあるのか

　$x^2+\frac{4}{x^2}=9$は、すでに問題で与えられてます。

　$n=1$のとき、
　$(x+\frac{2}{x})^2-2×2=9$

　$n=3$のとき、
　$x^3+\frac{2^3}{x^3}$
$=(x+\frac{2}{x})(x^2+\frac{2^2}{x^2})-2x-\frac{2^2}{x}$
$=(x+\frac{2}{x})(x^2+\frac{2^2}{x^2})-2(x+\frac{2}{x})$

　$n=4$のとき、
　$x^4+\frac{2^4}{x^4}$
$=(x^2+\frac{2^2}{x^2})^2-2×2^2$
$=(x^2+\frac{2^2}{x^2})^2-2^3$

　$n=5$のとき、
　$x^5+\frac{2^5}{x^5}$
$=(x^2+\frac{2^2}{x^2})(x^3+\frac{2^3}{x^3})-2^2(x+\frac{2}{x})$

　$n=6$のとき、
　$x^6+\frac{2^6}{x^6}$
$=(x^3+\frac{2^3}{x^3})^2-2×2^3$
$=(x^3+\frac{2^3}{x^3})^2-2^4$

　$n=7$のとき、
　$x^7+\frac{2^7}{x^7}$
$=(x^3+\frac{2^3}{x^3})(x^4+\frac{2^4}{x^4})-2^3(x+\frac{2}{x})$

　$n=8$のとき、
　$x^8+\frac{2^8}{x^8}$
$=(x^4+\frac{2^4}{x^4})^2-2×2^4$
$=(x^4+\frac{2^4}{x^4})^2-2^5$

　これを$n$の値を奇数と偶数に分けてみる。

　こう見ると、値を求める過程の規則性は、このように表現できます。

　$n$が偶数のとき、（$n=2k$のとき、ただし$1\leqq k$）
　$x^{2k}+\frac{2^{2k}}{x^{2k}}$
$=(x^k+\frac{2^k}{x^k})^2-2^{k+1}$

　$n$が偶数のとき、（$n=2k$のとき、ただし$1\leqq k$）
　$x^{2k+1}+\frac{2^{2k+1}}{x^{2k+1}}$
$=(x^k+\frac{2^k}{x^k})(x^{k+1}+\frac{2^{k+1}}{x^{k+1}})-2^k(x+\frac{2}{x})$

３　問題を作り変えるよさ

　問題を作り変えるということは、問題を作るということです。

　問題は解くだけではなく、作ることで、新しい発見があるかもしれません。
　ちなみにこの記事で書いたことでは、

• $x^n+\frac{2^n}{x^n}$の値は、$n-1$以下の値を利用すれば計算量を減らして求められる。

• コンピュータにプログラムすれば、コンピュータの計算量を減らせる可能性がある。

という知見が得られます。

　問題を作り変えた有名なものでは、

　三平方の定理
　$a^2+b^2=c^2$
の「２」を３以上にすると、この等式を満たす$a,b,c$の自然数の組は存在しない

という、フェルマーの最終定理があります。

　このように問題を作り変えることは、学問を長生きさせることだってある、大事なことです。

　以前、このようなつぶやきもさせていただきました。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！