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【数理的溢れ話11パス目】「ムッツリスケベ」数聖ガりスは䜕に぀いお語らなかったのか

    Yasunori Matsuki

    今回の投皿、実は圓初以䞋の投皿の䞀郚だったですが、曞き足すうちに独立性が高たったので分離を決意した次第。

    ずころで「ムッツリスケベ」数聖ガりスは䜕に぀いお語らなかったのか

    前回投皿時の蚭問。

    その数聖ガりスが、自らもフランス革呜(1789幎~1795幎)からナポレオン戊争(1796幎~1815幎)にかけおの既存䟡倀芳厩壊期に「愛(i)ぞの忌避感」も匱たったのを背景に耇玠平面抂念を広めた圓事者の䞀人だったにも関わらず、それず密接な関わりのある業瞟をあえお切り離しお発衚しおきた疑惑が急浮䞊。

    䞊掲「数理的こがれ話パス目」より

    その埌、この「ムッツリスケベ数聖ガりスは「衚珟芏制党盛期」䜕に぀いお語るのを芋合わせたのか」 なる質問の回答になるかもしれない仮説を思い぀きたした。ここで䟿宜的に「衚珟芏制党盛期」ず呌んだのは 

    • 叀代ギリシャ時代から続く数孊の䌝統ず盞容れない「二乗するず-1ずなる」虚数i=−1i=\sqrt{- 1} 抂念に぀いお、倧っぎらに語る事が憚られる時代が数䞖玀にわたっお続いおきた(かろうじお数匏䞭でのみ䜿甚が蚱され゚ヌテル仮説同様「蚈算䞊の䟿宜」ず蚀い蚳されおきた)。
      耇玠数の歎史にみる虚数を実䜓化する孊習

    虚数は 16 䞖玀にカルダノ15011576 幎によっお初めお考察された。以埌、カルダノの匟子のボンベリ15261572 幎が蚈算法則を定矩し、オむラヌ17071783 幎などによっお虚数の研究は進められた。しかし、圓時の数孊はギリシャ数孊の圱響を匷く受けおおり、図瀺されない数は認められるこずがなかった。埓っお、「負数の堎合のように−1\sqrt{- 1} もこれを目の前に図瀺できるたでは、その理論を十分に展開できるこずはなかった。それで、ニュヌトン16421727 幎、デカルト、オむラヌ時代には、−1\sqrt{- 1} はやはり代数的虚構ずされおいたのである」

    䞊掲「耇玠数の歎史にみる虚数を実䜓化する孊習」

    • 圓時の欧州人は公平䞖界仮説同様「この䞖界のあらゆる事象それぞれに぀いお神が䞎えたもう固有の確率分垃が存圚する」ず完党に信じ切っおおり「サンプル数を無制限に増倧させおいけば、ほずんどの確率分垃が正芏分垃に収束する」なる考え方を受容する準備が出来おいなかった。

    前者の壁に぀いおは数聖ガりス自身も深く関䞎した耇玠平面ず巡回矀の抂念の発芋によっお圌の存呜䞭に突砎の倢が叶った䞊、産業革呜時代には「原則ずしお1次元の事象ながら䞉次元的干枉も受け、これを虚数で衚すず倧倉郜合がいい」電子工孊分野の台頭たであった蚳ですが 

    「この䞖界のあらゆる事象それぞれに぀いお神が䞎えたもう固有の確率分垃が存圚する」先入芳に぀いおは「ラプラスが考案した原因の確率論(ベむズ統蚈孊)こそ新しい芳察結果に基づいお仮説を怜蚌する際に有効な唯䞀の手段」ずその著曞に曞き残したフランスの数孊者ベルトラン(Joseph Louis François Bertrand、1822幎~1900幎)ですら、ベむズの定理に぀いお以䞋の様に反応しおしたう状況が19䞖玀䞀杯続いたのです。

    ただしラプラスの信奉者たちは道を芋倱っおしたっおおり、事前原因の確率を芋境なく半々にするのはやめるべきだ、ずいうのがベルトランの考えだった。そしおそれを裏付けるために、近所の岩だらけの海岞で難砎が起きる原因を突きずめるのに、海の朮の流れが原因である可胜性ずそれよりはるかに危険な北西の颚が原因である可胜性が等しいずしたブルタヌニュの愚かな田舎者の話を匕き合いに出した。ベルトランにいわせれば、事前確率を等しくするのは──きわめおたれなケヌスだが──あらゆる仮説が実際に同じように起きやすいか、あるいはそれらの仮説が起きる可胜性に぀いお䜕もわかっおいない堎合に限るべきだった。

    䞊掲「異端の統蚈孊ベむズ」「フランス軍のなかで生き぀づけたベむズの法則」より。

    あくたで「倚くの堎合、それぞれの事象の起こる事前確率は自明の堎合ずしお明らかになっおいる」なる条件を付けおのベむズ統蚈孊受容だった蚳ですね。しかも䞖間のベむズ統蚈孊ぞの批刀があたりにも匷過ぎる為、フランス軍はその珟堎での採甚を䞖間には隠し通さねばならなかったのです。たさしく猥耻物扱いもいいずころ そんな圓時の状況が図らずしも匕き起こしおしたった悲劇がドレフェス事件(1894幎~1906幎)の最終局面だったずいう 

    ドレフュスの匁護士は䞀八九九幎に開かれた軍事裁刀に、フランスのもっずも有名な数孊者で物理孊者のアンリ・ポアンカレを招聘した。ポアンカレは䞀〇幎以䞊にわたっお゜ルボンヌ倧孊で確率を教えおおり、頻床に基づく統蚈を信じおいた。ずころがベルティペンが蚌拠ずする文曞がドレフュスの手になるものなのかず問われたポアンカレは、ベむズの法則を持ち出した。法廷が新たな蚌拠に基づいおそれたでの仮説を曎新したいのなら、この手法こそが良識ある方法であっお、このような文曞のね぀造に関する問題は、ベむズの法則に基づく仮説怜定の兞型的問題だずいうのである。ポアンカレはドレフュスの匁護士に皮肉の利いた短い手玙を蚗し、匁護士が法廷でこの手玙を読み䞊げた。ベルティペンが「もっずもわかりやすい点ず述べおいるものは誀りであっお  この途方もないたちがいゆえに、その埌のすべおが疑わしくなる  なぜあなたがたが刀断に悩むのか、わたしにはわからない。被告が有眪になるかどうかはわたしのあずかり知らぬずころであるが、かりに有眪になるずすれば、その根拠はこの手玙ずは別の蚌拠であるはずだ。このような論拠によっお、しっかりした科孊教育を受けおきた公正な人間を動かすこずはできない」匁護士がここたで読み䞊げたずころで──法廷の速蚘者によるず──法廷は「長期にわたり倧隒ぎ」になったずいう。ポアンカレの蚌蚀は起蚎の根拠を朚っ端みじんにした。裁刀官は党員軍孊校を出おおり、ベルトランの教科曞でベむズの法則を孊んでいたのである。

    裁刀官たちは劥協案ずしお、ドレフュスはそれでも有眪だが、刑期は五幎に短瞮されるずいう評決を䞋した。ずころが䞀般倧衆は怒り狂い、二週間埌には共和囜倧統領が恩赊を発什するこずになった。ドレフュス自身は昇進しおレゞペン・ドヌヌル勲章を受け、政府の改革によっお教䌚ず囜は厳密に分けられるようになった。

    䞊掲「異端の統蚈孊ベむズ」「フランス軍のなかで生き぀づけたベむズの法則」より。

    ベルトランの教科曞を通じお「あらゆる局面で最優先刀断をもたらす」近代的統蚈を孊んできた圓時のフランス軍人にずっお、数孊者ポアンカレが䞋した「数孊的裁定」が絶察だった事こそ八方塞がりの状況が動いた蚳ですが、䞖界䞭のむンテリ達はその事実を認めず党郚自分達のアンガヌゞュマン(engagement=知識人や芞術家の政治参加)の手柄にしおしたったずいう次第。

    フランスでは、絶察王政の時代から政治や経枈の䞭枢を担うのは䌝統的に「理系」すなわち゚コヌル・ポリテクニヌク(École polytechnique=囜立工芞院)の様なグランれコヌル(Grandes Écoles=テクノクラヌト逊成校)出身者ずされ、こうした人はそれなりの保護を受け぀぀もそうした珟堎から遠ざけられおきた蚳ですが「どうしおそんな䜓制が生み出され、珟代なお維持され続けおいるのか」に぀いおの答え合わせがこれなのかもしれたせん。

    前眮きは頃くらいにしお、そろそろ本題に入りたしょう。「ムッツリスケベ数聖ガりスは䞀䜓䜕に぀いお語らなかったのか」。私が思い぀いたのは、それは「x2=−1x^2=-1 ずx2=1x^2=1の連続性」に぀いおの䜕かだったんじゃないかずいう事でした。もちろんここでいうx(i)2=−1x(i)^2=-1ずは耇玠数a+biの事 

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    そしおx2=1x^2=1の「1」ずは円錐曲線の離心率εの事ずなりたす。


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    円錐曲線(立䜓図)
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    円錐曲線(平面図)

    そしおもちろん、行列挔算で連立方皋匏が「綺麗に解ける(綺麗な逆行列が芋぀かる)」のが方圢行列(行ず列の数が䞀臎する行列)に限られ、それ以倖の堎合は近䌌ずなっお最終的に最小二乗法による解法」に蟿り着く蟺りが最倧のヒントずなりそうです。x2=−1x^2=-1の系では䞀定を保぀回転半埄がx2<1x^2<1たたは1x2>11x^2>1の範囲では際限なく倧きくなっおいくむメヌゞ

    ここで興味深いのが、こうした展開党䜓に(衚珟芏制バリバリの)数孊の䞖界を避け(分析しなければならない芳察察象が目の前に実存し、なりふり構っおなどいられない)物理孊の䞖界を䞭心ずしお展開しおきた気配が芋おずれる事。

    ただ、ただ詳しい話たで螏み蟌める段階にありたせん。䟋えばこの問題に぀いおはカむ2乗怜定の関䞎も疑っおるのですが、(盞関係数ず最小二乗法で経隓した様に)たずその蚈算の意味を十分に深く理解しない限り䞀歩も先に進めないのです。

    連続䞀様分垃抂念も、どこかで絡んできそうな予感。特に暙準偏差がb−a23\frac{b-a}{2\sqrt{3}}ずなる蟺り 
    連続䞀様分垃

    ちょっずばかり竜頭蛇尟気味ではありたすが、ずりあえず以䞋続報 

     
     

    Yasunori Matsuki

     
     
    名乗るほどでもないむンタヌネットず路䞊の芳察者。

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