洛南高等学校附属中

「2以上の整数」と矢印「↑」を組み合わせてできる列があります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この列の一番右の「数、矢印、数」について、次の操作Ⅰ〜操作Ⅲのいずれかを行います。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この作業をくり返し行い、「↑」がなくなるまで計算をします。

例えば、2↑↑↑2→2↑↑2→2↑2→4

3↑2↑↑2→3↑2↑2→3↑4→81となります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次の問いに答えなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)2↑↑3はいくらになりますか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、4↑Aと2↑10が同じ数になるとき、Aはいくらですか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)2↑↑↑Bが65536になるとき、Bはいくらですか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)CとDがどちらも1けたの数で、C↑↑4と2↑D↑Eが同じ数になるとき、Eとして考えられる数を小さい方から順に4つ答えなさい。

◎(1)2↑↑3は、2↑2↑2(2が3個)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2↑2↑2は、2↑4(2を2回かけると、2×2＝4)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2↑4は16。(2を4回かけると、2×2×2×2＝16)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　始めの正解は16。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2↑10は1024(2を10回かけると1024だが、この1024は実は関係ない)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4↑Aは、4をA回かけた数。

2を10回かけ合わせる（2↑10）ということは、4を5回かけ合わせた（4↑5）ことと同じことだから、A＝5ということ。　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正解はA＝5。　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◯(2)65536は、2を16回かけ合わせた数。

また、2↑↑↑Bは、

もしもB＝2だったら、

もしもB＝3だったら、

正解は、B＝3。　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△(3)まず、2↑D↑Eは、結局、2ばかりをかけ合わせたものになる。

だから、Cは、2か4か8。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C＝2のとき、2を16回かけ合わせたものになる。

すると、DがE個で16個だから、

E＝2、E＝4で、2つ見つかった。C＝4のとき、

8(D)が171(E)個の時(画像㋑)と、2(D)が513(E)個の時(画像㋐)の時にうまくいくから、E＝171、E＝513。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2を4つまとめて、16×16×……もできるが、Dは一桁だから、やらなくてもいい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これでEは4つ見つかったが、まだ小さい方から4つかどうか不明。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一応、C＝8の時も考えてみると、

ここまでやると、513より小さいEはもうないことが分かる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正解は、2、4、171、513。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これは指数を学んでいない小学生には無理。　　　　　　　　　　　　小学生に「カラマーゾフの兄弟」を読ませるようなもの。