CADの円錐曲線と光学設計ソフトの非球面を対応付ける方法

3D CAD Autodesk Fusion のスケッチで使用できる形状に円錐曲線があります。光学エンジニアにとって円錐曲線といえば

の h の多項式で表される部分を除いた、分数の部分を思い浮かべます。これらを相互に変換する方法について考えてみます。

CAD で使われる円錐曲線は、2つの端点と後述の交点を指定し、パラメータとして ρ (またはrho) のみを使います。

交点は2つの端点における接線の交点です。また、交点は2つの端点の垂直二等分線上になくてもよいのですが、ここでは簡単のためそのように限定します。つまり線対称な曲線を想定します。

パラメータの ρ は円錐曲線の種類を指定します。

さてここで、

で表される曲線をCAD上で描く方法を考えてみます。(h,z)平面上で式(1)は頂点が原点にあり、端点がP₁(h₁,z₁), P₂(h₂,z₂)  (ただし、h₂ = -h₁, z₂ = z₁) となります。P₁, P₂ における接線の交点 P₀ は z 軸上にあり、z = z₀ であるとします。曲率半径を R とし、c= 1/R であることを用いて

ρからKをもとめるにはこれを解いて

となります。

実例追記予定ですがいったん公開します。