【記録】正多面体の面中心角に基づく菱形多面体骨格の構成②

※ChatGPT使用

第 2 章

正十二面体から生じる菱形三十面体骨格

2.1 概要

第 1 章では、正八面体の隣接面中心角と菱形十二面体の菱形面の鋭角が一致することを用いて、中心骨格が生じる理由を示した。本章では同じ考え方を正十二面体へ適用する。正十二面体の隣接二面の中心をその中心から見込む角は、菱形三十面体を構成する黄金菱形の鋭角に一致する。この一致により、正十二面体を面接続した集合の中心骨格から菱形三十面体の骨格を得ることができる。

2.2 正十二面体の面中心

正十二面体の中心を O とし、一辺を共有する隣接二面の中心を A、B とする。正十二面体の内二面角を δ₁₂ 、隣接面中心角 ∠AOB を θ₁₂ とする。線分 OA、OB はそれれの面に垂直であるため、θ₁₂ は δ₁₂ の補角である。

2.3 黄金菱形との角度一致

菱形三十面体の各面は、長対角線と短対角線の比が黄金比 φ:1 である黄金菱形である。黄金菱形の鋭角を ψ とする。菱形の対角線は互いに直交し、角を二等分するため、cot(ψ/2)=φ である。したがって tan(ψ/2)=1/φ となる。

2.4 92個の正十二面体による中心骨格

点数の内訳は 92=32+60 である。32 点は菱形三十面体本来の頂点であり、残る 60 点は 60 本の辺に一つずつ置かれた中間点である。各辺は『本来の頂点 中間点 本来の頂点』という二線分で表される。一直線上の 60 個の中間点を省略すると、32 頂点・60 辺・30 菱形面をもつ菱形三十面体の骨格を得る。各小線分は正十二面体の中心から面までの距離の 2 倍で一定であり、各黄金菱形の鋭角は定理 2 により arccos(1/√5) である。

2.5 第一章との対応

今回はここまで。

では。