ビットコインの理論価格を知りたい方へ 〜将来価格とバリュエーション手法〜

ビットコインの将来価格なんて予想できる訳がない。
そう思っている、あなたへこの記事をお届けします。

ここには、投資判断する上での重要な理論が書かれています。

理論を知れば、あなただけの投資戦略を立てる事も可能になるはずです。

ビットコインは、いま『安いのか』、『高いのか』
1年後、5年後、10年後の価格をどうやって予想するのか。

多くの方がビットコインに興味も持たない中で、
こんなマニアックな記事を開いていただいた皆様に感謝を申し上げます。

皆様にとって、有益な情報となれば幸いです。

① ベキ法則（Power Law）による価格推移のモデリング

ビットコインの価格推移は、一見するとランダムに見えますが、長期的には明確な「ベキ法則（Power Law）」に従って成長していることが、多くの有識者によって指摘されています。

代表的なものとして、物理学教授であったジョバンニ・サントスタシ（Giovanni Santostasi）氏のモデルがあります。

彼は、ビットコインの成長が「生物の成長」や「都市の拡大」と同じような物理的プロセス、すなわち「ベキ法則」に支配されていると提唱しています。

また、ハロルド・クリストファー・バーガー（Harold Christopher Burger）氏は過去の価格データを統計的に解析し、その推移が対数グラフ上で「美しい直線の回廊（底値の直線と天井の直線）」に収まることを数学的に証明しています。

縦軸に価格 $P$, 横軸にジェネシスブロック（ビットコインのはじまり）からの経過日数 $D$ をとったとき、理論上の価格は以下の式で定義されます。

$P=\alpha \cdot D^\beta$

（$\alpha$ は定数、$\beta$ はベキ指数）

この両辺の常用対数を取ると、以下のようになります。

$\log_{10}(P) = \beta \cdot \log_{10}(D) + \log_{10}(\alpha)$

つまり対数グラフ上では、ビットコインの価格推移は傾き $\beta$ の「一次関数（直線）」として極めて高い決定係数で近似できるのです。

これがすべての相場判定の基礎となる「基準線」です。

上のグラフをご覧ください。

黒いギザギザの線が実際のビットコインの価格推移、そして赤い真っ直ぐな線が、数式から導き出された理論上の基準線（ベキ法則の近似線）です。

グラフ上部にある$R^2 = 0.9611$という数値に注目してください。

これは「決定係数」と呼ばれ、1に近づくほど相関性が高い（2つの変数の間に強い関連性がある）事を意味しています。

世界中の投資家の思惑やニュースが入り乱れる金融の複雑な世界において、単一の数式で「0.96」という高い数字は極めて稀であり、それと同時に高い精度で将来の価格を予想できる可能性が高い事を示しています。

【宝条ミトのここだけ❤️】

② 構造変化への対応（重み付き最小二乗法：WLS）

次に、先程のグラフの数式にある「5.6884」という数字（傾きを表すベキ指数）に注目してください。2018年、物理学者のサントスタシ氏がこの法則を提唱した際、この数字は「約5.8」でした。

しかし、そこから約8年の年月が経過し、ビットコインの市場が成熟していくにつれて、成長スピードは徐々に落ち着き、数字が少しずつ低下（鈍化）してきているのです。

これは、過去の固定された数式をそのまま使い続けてしまうと、いずれ将来の相場環境と大きなズレが生じてしまうことを意味しています。

将来に渡って価格を精度よく予想し続けるためには、ビットコインを取り巻く構造の変化（例えば個人投資家中心から、ETFを通じた機関投資家の台頭など）を十分に考慮する事が大切になります。

つまり、過去よりも直近の値動きに重きを置いて数式を毎日アップデートし続けなければなりません。

そのために用いる補正が、「重み付き最小二乗法（WLS）」になります。

ジェネシスブロック（ビットコインのはじまり）からの経過日数$D$に対して、以下のような「重み$W$」を設定し、日々の回帰分析に組み込んでいます。

$W = D^2$

この$D^2$（経過日数の2乗）という重みを掛けることで、昔の古いデータの影響力は小さくなり、逆に「直近の最新データ」の影響力が強くなります。

これにより、次のステップである「理論価格」を将来においても精度良く計算できるようになります。

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③ ビットコインの定価（理論価格）

例えば電気屋さんで売られている家電製品が、「安いのか、高いのか」を判断するためには、まず基準となる「定価」を知らなければ難しいですよね。

ビットコインにおいても同様に、何と比べて「安いのか、高いのか」定価の様な判断基準が必要になります。

この定価にあたるのが『理論価格』になります。

理論価格の算出方法は非常にシンプルです。WLSによって導き出された「最新の$\alpha$と$\beta$をベキ法則の基本式に戻し、「ジェネシスブロック（ビットコインが最初に生成された日）から今日までの経過日数$D$を代入します。

$\text{理論価格} = \alpha \cdot D^\beta$

私たちが普段見ている「実際の市場価格」は、この理論価格に投資家心理等のノイズ（雑音）が混ざっている状態と言えます。

そして、この理論価格は経過日数にのみ依存するため、過去から未来のすべての地点において求めることが可能です。

つまり、この数式を使えば、「10年後、15年後のビットコインの定価はいくらになっているのか？」という、将来の投資シミュレーションに活用することができるのです。

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④ 価格の乖離を測定する（対数偏差）

ビットコインの現在価格が「安いのか、高いのか」を判断するには、③のプロセスによって算出した理論価格を基準として、そこからどれだけ離れているか、すなわち『差』を測定する必要があります。

ここで重要なのは、「単純な引き算」や「パーセンテージ（％）」で『差』を計算してはいけないという点です。

まず「引き算」がダメな理由は、ビットコインの価格が変化するからです。

1万円時代の「＋1万円の差」と、1000万円時代の「＋1万円の差」では、相場の過熱感が全く異なります。

では「パーセンテージ」なら良いかというと、ここには『非対称性の罠』が潜んでいます。

例えば、価格が定価の「2倍」になるバブルと、「半分」になる暴落があったとします。パーセンテージで表すと、2倍は「＋100％」、半分は「−50％」になります。

どちらも同じ規模の値動きなはずですが、パーセンテージでは「上方向の波（＋100％）」ばかりが数字上大きく見えてしまい、正しい相場判定ができません。

そこで、『対数偏差』という手法を用います。

$\text{対数偏差} = \log_{10}(\text{実際の市場価格}) - \log_{10}(\text{理論価格})$

対数（Log）を使うと、数字が整います。

定価の2倍になった時の対数偏差は「＋0.301」、半分になった時は「−0.301」となります。

つまり、プラス方向とマイナス方向の値動きを、全く同じスケール（完璧な対称性）で評価できるのです。

難しく感じるかもしれませんが、要するにこれは、①の項目でお見せした対数グラフにおいて、「赤い真っ直ぐな線（理論価格）」から「黒いギザギザの線（今の価格）」が、縦にどれだけの距離離れているかを計算しているだけなのです。

この「対数偏差」を使うことで、時代ごとの価格規模の違いや、数字の歪みをすべて排除した、正確な「差」を測ることが可能になります。

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⑤ 波（ボラティリティ）変化に適応する（MAD：中央値絶対偏差）

ビットコインは市場が成熟するにつれて、価格変動の波（ボラティリティ）が年々小さくなっています。

そのため、「対数偏差がマイナス〇〇になったら買う」といった過去の波を基準にした固定値を用いてしまうと、波が小さくなった現代や未来の相場では、いつまで経っても判定ラインに到達しなくなります。

上のグラフは、私が過去に作成した「固定の対数偏差」による判定モデルの失敗例です。

ボラティリティの低下により、黒い線（対数偏差）が高年次になる程に、上下の色付きゾーン（割高・割安の判定ライン）に届かなくなっているのが一目で分かります。

この固定されたモデルでは、安値で買うチャンスを逃し、高値と判断して資金を残す判断も不適切になるという課題に直面しました。

将来にわたって正確に相場を判定し続けるためには、「現在の波の大きさ」を常に測定し、それに合わせて判定ラインを自動で調整する仕組みが必要となります。

データのばらつき（波の大きさ）を測る際、一般的には以下の「標準偏差」がよく使われます。

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

（※ $n$ はデータの日数、$x_i$ は日々の対数偏差、$\bar{x}$ はその平均値）

しかし今回は、この標準偏差を使用しません。

なぜなら、標準偏差はデータが「正規分布（左右対称な美しい釣鐘型の分布）」に従うことを前提とした指標だからです。

以下のグラフをご覧ください。これは、ジェネシスブロックから現在までの、日々の対数偏差の分布を表したヒストグラムです。

一見すると綺麗な山のように見えますが、グラフ右上の数値にご注目ください。

「尖度（裾の太さ）」はほぼ0（0に近い程、正規分布に近い）ですが、「歪度（左右の歪み）」が0.503と、明確なプラス（グラフの右側へのデータの偏り）を示しています。

これは、主に相場の「時間的な非対称性」に起因するものです。

ビットコインの相場において、下落（暴落）は極めて短期間で急速に進行します。

対して、上昇トレンドは下落時よりも長い時間をかけて形成されるため、グラフの右側（プラス方向）にデータが蓄積されやすくなるのです。

この様な歪度が大きいデータに標準偏差を使って評価すると以下の問題が生じます。

1. 「平均値 ± 標準偏差」の前提が崩れる

正規分布であれば「平均値 ± 1標準偏差の範囲に約68%のデータが収まる」といった法則が成り立ちます。

しかし、歪度が大きい非対称なデータでは、平均値の左右でデータの散らばり方が全く異なります。

そのため、「平均値 ± 1標準偏差」という範囲を計算しても、その中に実際にどれくらいのデータが含まれているのかが分からなくなり、バラつきの指標として機能しなくなります。

2. 平均値そのものが実態からズレる

標準偏差は「平均値からの距離」を元に計算されます。歪度が大きい（一部に極端に大きい値が存在して右に裾が長い）場合、平均値は極端な値に引っ張られてしまいます。

その結果、計算の基準となる平均値自体が「多くのデータが密集しているボリュームゾーン」からズレてしまうため、そこから算出される標準偏差も実態を表さない数値になってしまいます。

3. 外れ値の影響を過大評価してしまう

標準偏差を計算するプロセスでは、各データと平均値との差を「2乗」します。

そのため、歪度を大きくしている原因である「遠く離れた極端な値（外れ値）」の影響を指数関数的に強く受けてしまい、標準偏差の値が実態以上に跳ね上がってしまいます。

標準偏差には以上の問題があるため、今回は中央値を基準とした「MAD（中央値絶対偏差）」を用います。

$\text{MAD} = \text{median}( |x_i - \tilde{x}| )$

（※ $x_i$ は日々の対数偏差、$\tilde{x}$ はその中央値）

MADは以下のようなステップで求めます。
（話を単純化するために、対数偏差のデータは[13, 16, 20, 24, 52]という5つの整数であると仮定します）

ステップⅠ：まず「対数偏差の基準（中央値）」を決める

日々の対数偏差データを小さい順に並べたとき、真ん中（3番目）にくる数字を探します。

[13, 16, 【20】, 23, 52]

基準となる対数偏差は「20」です。

ステップⅡ：基準からの「距離（絶対値）」を計算する

それぞれの対数偏差が、基準の「20」からどれくらい離れているかを出します。

• 13は、20から「7」離れている

• 16は、20から「4」離れている

• 20は、20から「0」離れている

• 23は、20から「3」離れている

• 52は、20から「32」離れている　⇒他と比較すると異常値

これで、「基準からの距離」の新しいデータセットができました。

• 距離のデータ：[7, 4, 0, 3, 32]

ステップⅢ：距離の「中央値」をとる（ここがMADの答え）

再度、この「距離のデータ」を小さい順に並べ替え、真ん中（3番目）の数字を探します。

[0, 3,【4】, 7, 32]

真ん中に来た数字（MAD）は「4」となります。この数字を、対数偏差の標準的な波の大きさとして使用します。

MADは標準偏差の様に平均値を使用していないため、異常値に計算を狂わされることなく、「平常時の波の大きさ」を抽出する事が可能です。

②の「WLS」を使用した理論価格と、この「MAD」で波の大きさ（売買判定ライン）を現代の相場に合わせる事で、数年、数十年先の未来においても正確に機能し続けるシステム設計が可能となります。

【宝条ミトのここだけ❤️】

⑥ スプレッドシートによる自動積立システムの例

ここでご紹介するプログラムはこれまでの理論を活用して、積立総額を変えずに「より多くのビットコイン」を獲得する事を狙ったものになります。

通常の積立投資（ドルコスト平均法：DCA）は、相場が割高な時も割安な時も「常に同じ金額」を購入します。

私はこの積立投資の非効率を改善し「相場が高い時には購入金額を抑えて現金を蓄えて（リザーブ）しておき、相場が安くなった時にその資金を放出する」という自動プログラムをスプレッドシートで自作して投資を行っております。

私はこの手法を『リザーブ式DCA』と呼んでいます。

上のグラフをご覧ください。

これは過去のビットコインのデータにリザーブ式DCAを適用した場合（月２万円の予算設定）の対数偏差とリザーブ資金の推移です。

青い線が相場の過熱感（対数偏差）、オレンジの線がシステムが自動で温存した「日本円（リザーブ資金）」の動きを表しています。

青線が上昇し相場が熱狂している時にはオレンジの資金がどんどん積み上がり、青線が急落した（暴落した）瞬間に、リザーブ資金が一気にゼロ（大底で大量買い増し）になっていることが視覚的にお分かりいただけるかと思います。

これにより、毎月用意する積立予算の総額は通常DCAと同じでありながら、最終的により多くのビットコインを獲得（パフォーマンスを向上）することが可能になります。

以下の画像は、「毎月5万円」を「20年間」積立投資した場合のシミュレーション結果です。

20年間で用意した総投資額は、どちらも全く同じ「1,200万円」です。しかし、その最終的な総資産額には大きな違いが生まれています。

通常のDCAに対して約+1,000万円（投資額に対して80％以上）の追加利益となっており、通常の積立では届かなかった「✨資産総額１億円✨」の壁を突破しています。

このシミュレーションは決して大げさなものではなく、以下の極めて堅実な方法によって算出しています。

1. 開始日の違いによる運の要素を排除

「たまたま良いタイミングに始めたから儲かった」という『運の要素』を排除するため、システムの裏側で「直近10年間の相場データを用い、開始月を1ヶ月ずつズラした長期運用（2年以上）の全パターンのバックテスト」を実行し、すべてのパターンの平均的な「期待値」を算出しています。

これを用いて遡及的に計算した理論上のパフォーマンスであり、いつ投資を始めようとも、統計的に収束する数値となっています。

2. 成長の鈍化を織り込んだ計算

ビットコインは市場規模が大きくなるにつれて、過去のような「1年で100倍」といった爆発的な成長やボラティリティは失われていきます。

本システムは「過去の成長率が永遠に続く」という極端にポジティブな予測はしていません。

将来になるほどボラティリティと成長率（ベキ指数）が年利1.5%のペースで徐々に減衰していく設定とし、およそ10〜15年後というタイムスパンにおいて、ビットコインの時価総額が現在の金（ゴールド）の市場規模に追いつき、そこから先はボラティリティの低い「安定した価値保存手段」へとソフトランディング（収束）していく想定の計算になっています。

以上の様に、保守的に見積もったシミュレーションであっても、リザーブ式DCAは通常DCAを明確にアウトパフォームするという結果になっています。

これは売買を繰返すのではなく（途中売却せずに）、買うタイミングとその額を機械的に調整するだけ（極めてローリスク）で得られるリターンとしては、破格だと思います。

おわりに

ここまでマニアックな長文にお付き合いいただき、本当にありがとうございました。

未来の相場を完璧に予測することは誰にもできません。

しかし、ちょっとしたデータサイエンスと数学的な根拠を用いることで、暴落の恐怖を「買い増しのチャンス」に変え、普通の積立投資では辿り着けないパフォーマンスを目指すことは可能です。

皆様が、この理論を活用してより良い投資戦略が立てられたなら幸いです。

また、今回例として紹介した理論を全自動で実行してくれる『リザーブ式DCAプログラム（本体）』と、利益を最大化するための具体的な『資金比率（黄金比）』のロジックについては、以下の記事にて完全公開しています。

👇 システムの全貌と詳細はこちら 👇
https://tips.jp/u/mito-hojo/a/bitcoin-reserve-dca

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私と同じプログラムで投資してみたい方や、参考にしてみたい方は是非見てみて下さい。

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最後までお読みいただき、本当にありがとうございました。

宝条 ミト